От развлечения к знаниям

DjVu

      К ЧИТАТЕЛЮ
      Эта книга не является систематическим курсом «занимательной математики». Ее цель — совершенно другая.
      Читая об интересных и полезных вещах, о которых повествует книга, читатель сможет увлекательно провести время, сможет хорошо отдохнуть после работы. Рассказы, из которых она состоит, очень короткие, но они затрагивают вопросы, несомненно заинтересующие каждого любознательного читателя. Более трудные темы перемежаются в книге с веселыми историями, афоризмами и головоломками, а также короткими рассказами из истории математики и смежных наук. Чтобы не принуждать читателя решать все, иногда довольно трудные задачи, автор привел в конце каждой главы их решения, но, конечно, читатель может самостоятельно испытать свои силы и решить все задачи, не заглядывая в указанные решения. Материал этой книги подобран не только из разделов элементарной математики, в книге имеются темы посвященные некоторым разделам высшей математики (аналитической геометрии, топологии, вариационному исчислению, теории вероятности), которые, по сути дела, вовсе «не так страшны, как их малюют».
      Изобилие иллюстраций должно внести некоторое разнообразие при чтении книги и сделать более наглядным ход ее повествования.
      Кроме оригинального материала, многое в книге заимствовано из различных польских и зарубежных источников.
      Многие читатели поставят, очевидно, автору в упрек отсутствие последовательности в расположении материала. Автор сделал это вполне сознательно, считая, что систематическое расположение материала может довольно быстро «набить оскомину» читателю и утомить его, так как у него может возникнуть ощущение, что он имеет дело с учебником. Развлечение и отдых — вот цель этой книги, а им чужды педантичность и систематика.
     
      ВМЕСТО ПРЕДИСЛОВИЯ
      1. Аристотель:
      Мы сладостно вкушаем математику и с нами совершается то, что с Лотофагами, ибо, отведав ее, мы не хотим от нее отступиться и она овладевает нами, как цветы лотоса.
      2. Евклид:
      В математике нет особых путей для королей.
      3. Роджер Бэкон:
      Кто пренебрегает достижениями математики, тот приносит вред всей науке, так как тот, кто не знает математики, не может изучить другие точные науки и не может познать мир.
      4. Иммануил Кант:
      В каждом познании столько науки — сколько есть в нем математики.
      5. Ян Снядецкий:
      Математика — царица всех наук, ее любимцем является истина, а простота и бесспорность — одеянием... Математика, которая оказала столько услуг обществу, наукам и искусству, станет также путеводной звездой человеческого разума во всех областях познания.
     
     
      ГЛАВА 1
      МЫ ЖИВЕМ СРЕДИ ЧИСЕЛ
      Мы живем среди чисел. Мы все время должны рассчитываться или предъявлять какие-нибудь счета. В конструкторских бюро, в лабораториях и в магазинах — везде мы должны что-то измерять, считать. На любом крупном предприятии отделы планирования и статистики, бухгалтерия выполняют важные задачи, а работа их сводится, по-существу, к расчетам и замерам, причем считают и мерят не только люди, но и призванные служить человечеству машины.
      Современный уровень нашей цивилизации требует от людей умения пользоваться не только очень большими, но и очень маленькими числами. Но 5000 лет тому назад человек уже не мог обойтись без счета. Об этом свидетельствуют надписи на надгробных плитах, глиняные таблички и папирусы. Ученые, которые исследуют, каким образом человечество освоило счет, обращаются не только к древним документам, но также изучают культуру существующих в настоящее время первобытных племен, а также развитие понятия числа у маленьких детей. Американский историк математики Ф. Кэджори в своей книге «История элементарной математики», изданной в 1896 году, указывает, что одно из индейских племен, проживавшее в лесах в районе среднего
      течения Амазонки, число «три» выражает словом «поэтаррароринкоароак». Путешественник, который об этом сообщил, принял это слово за название числа «три», но можно вполне предположить, что это было не одно слово, а целое предложение. Это предложение могло, конечно, также обозначать какое-то «очень большое» (содержавшее более, чем два элемента) множество предметов, для которого это племя еще не нашло соответствующего числительного. Современный человек начинает пользоваться числами уже с раннего детства. Такие числа, как 1, 2, 3, т. е. натуральные числа, нужны малышу уже в детском саду. Однако, несмотря на обиходный характер натуральных чисел, немногие знают о их некоторых очень интересных свойствах. Существует целый раздел математики, именующийся «теория чисел» (смотри главу 6), который занимается изучением натуральных чисел. Теоремы теории чисел обладают очень интересным свойством, все они кажутся очень простыми. Словесное изложение этих теорем понятно даже среднеобразованному человеку, однако, доказательства этих простых теорем — вещь чрезвычайно кропотливая и очень часто оно не под силу даже крупнейшим математическим умам.
      Прежде, чем начать считать, необходимо решить две задачи: выбрать систему счисления и установить названия числительных. Уже много тысячелетий тому назад почти все народы, принадлежащие к нашей цивилизации, избрали одну и ту же систему счисле-
      ния, основанную на десятичной системе: десяток содержит десять единиц, сотня — 10 десятков, тысяча — 10 сотен и т. д. Однако, названия числительных каждый народ установил в зависимости от своих потребностей. В русском языке имеются отдельные названия для первых десяти цифр и первых трех ступеней числа десять: 101 (десять), 102 (сто) и 103 (тысяча). Древние греки имели также название мириады для обозначения числа 104, а древние обитатели Индийского полуострова, которые пользовались санскритом, имели наименования числительных для обозначения и дальнейших ступеней числа десять вплоть до Ю10. Пока требования, предъявляемые повседневной жизнью и наукой, были относительно незначительны, вполне хватало числительных и их производных: 10 тысяч, 100 тысяч, 1000 тысяч и т. д. Но уже в позднем средневековье, благодаря прогрессу науки и развитию экономических отношений, потребовались более крупные числа чем тысяча тысяч, а тем самым, возникла необходимость дать им определенные названия. Так возникли такие числительные, как: миллион, миллиард, биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион и т. д.
      Очень любопытно, что на разных языках эти названия употребляются для обозначения разных чисел. Итак, например, в Польше, Великобритании, Германии миллион обозначает 10б, миллиард 109, биллион 1012, триллион 1018, квадриллион 1024, квинтиллион Ю30, в то время как во Франции, Coветском Союзе и Соединенных Штатах Северной Америки биллион обозначает 109, триллион 1012, квадриллион 1015 и т. д.
      Происхождение таких названий как биллион, триллион, квадриллион, квинтиллион становится вполне понятным, если вспомнить латынь: эти названия состоят из двух несколько видоизмененных латинских слов: bis (два раза), ter (три раза), quarter (четыре раза)... и суффикса «Яои». Только числительное «миллион» происходит от итальянского «milione», что означает «жирная тысяча».
      С помощью этих терминов можно было назвать большие числа, встречающиеся в астрономии, физике, географии, как, например:
      Среднее расстояние от Земли до Солнца
      150 000 000 км
      Масса земного шара
      6 000 000 000 000 000 000 000 т
      Так как выписывать столь большие числа — операция довольно-таки трудоемкая, да и для этого требуется много бумаги, ученые решили вместо длиннющего ряда нулей писать эти числа в виде 10". Символ п указывает, сколько необходимо дописать нулей. Итак, например, число 1 083 000 000 000 можно записать в виде 1083 109, а число
      Площадь земного шара Объем земного шара
      510 000 000 км2 1 083 000 000 000 км3
      6 000 000 000 000 000 000 000 — соответственно в виде 6 1021.
      Такой способ записи позволил представить даже самые большие числа, с которыми мы встречаемся при астрономических исчислениях, в очень простом виде. Астрономы утверждают, что наиболее отдаленные галактики, иначе говоря, громадные скопления звездных систем, состоящие из миллиардов звезд, находятся от нас на таких расстояниях, что солнечному лучу, бегущему со скоростью 300 000 км/сек, нужно миллиард лет, дабы преодолеть такое расстояние. Из этого следует, что это расстояние порядка 1022 км. Но даже такое, столь необъятное разумом, расстояние, которое отделяет нашу крохотную Землю от самых удаленных галактик, можно представить очень просто в миллиметрах весьма несложным числом 1028, так как 1022 км = 1022-10б мм;
      1 км = 103 м = 103 • 103 мм.
      Человек второй половины XX века умеет хорошо считать. Правда, может быть, не столь быстро, как этого от него требуют темпы современного ритма работы и научного прогресса. Но для этого у него есть вычислительные машины. Несовершенство зрения компенсировали очки, микроскоп и телескоп, несовершенство слуха — микрофоны, а несовершенство наших вычислительных способностей — электронные вычислительные машины, которые считают со «скоростью света».
      Следующий раздел посвящен числовым обозначениям, иначе говоря, цифрам, этим буквам замечательного математического алфавита, с помощью которых мы в состоянии выразить и записать любые числа.
     
      ЦИФРЫ РАЗНЫХ НАРОДОВ И ЭПОХ
      Вавипон
      Знакомясь с числами, мы не можем не заняться знаками, с помощью которых числа обозначаются на бумаге. Знаки эти мы называем цифрами.
      Самыми древними цифровыми знаками являются вавилонские знаки. Если мы взглянем на карту (рис.1-2), то увидим на ней две черные жирные извивающиеся линии — реки Тигр и Евфрат. Древние греки назвали эту страну Месопотамией, что по русски означает междуречье, так как расположена она была в долине между двумя реками-близнецами. Часть Месопотамии занимало могучее государство, столицей которого был город Вавилон.
      Уже четыре тысячелетия назад в Вавилоне расцветала наука и существовали библиотеки. Правда, в те времена еще не было печатных книг, но зато существовали глиняные таблички, на которых вавилонские мудрецы писали свои труды. Современные ученые нашли 44 таблички, на которых записана вся математическая наука, известная вавилонцам. Ученые Вавилона пользовались, так называемой, клинописью. Клинописных букв было очень много, но цифровых знаков — мало.
      На рисунке 1-3 изображена одна из табличек с записью кодекса законов царя Хаммурапи. Вавилонские числа являются, собственно говоря, комбинацией трех клинописных знаков: единицы, десятка и сотни (рис. 1-4).
      С помощью этих знаков можно было написать число тысяча, а также любое другое число, при этом использовались, как принцип сложения, так и умножения, а более крупные числа всегда предшествовали меньшим (рис. 1-5).
      Кроме этого способа записи чисел вавилонцы применяли также позиционную систему и шестидесятиричный счет. В этом счете знак единицы может обозначать соответственно: 1, 60, 602 и т. д. в зависимости от места, которое занимает (рис. 1-6).
      Также в зависимости от занимаемого места знак де-32 сятки может соответственно означать: 10, 10 • 60, 10 • 602, 10 • 603 и т. д.
      Вавилонцы имели некое подобие знака нуль. Для выражения недостающего места они писали наклонно два знака единицы.
      Вавилонцы умели также пользоваться простыми и шестидесятиричными дробями (со знаменателями 60, 602, 603 и т. д.), которые записывали так, как мы пишем десятичные дроби. Они умели также выполнять четыре арифметических действия на натуральных числах и дробях, подсчитывать проценты, делить числа на пропорциональные части. Из области геометрии они знали лишь столько, сколько им было необходимо для нужд строительства и землемерного дела: умели подсчитать площадь фигур, ограниченных отрезками, например, площадь треугольника, четырехугольника и т. д.
      Египет
      Почти столь же древними являются и египетские цифры.
      Для выражения своих мыслей и слов на бумаге египтяне использовали знаки, которые мы в настоящее время называем иероглифами (рис. 1-7). Затем иероглифное письмо было заменено более простым иератическим письмом.
      В обоих видах письма египтяне имели специальные знаки для цифр (рис. 1-8а, б).
      Египтяне в начале писали числа высшего порядка, а затем Нисшего. При этом использовался принцип сложения (рис. 1-9) или умножения.
      Египтяне умели также пользоваться дробями. Все египетские дроби имели в числителе единицу, других дробей они не умели даже выговорить (исключение составляло 2/3). Дроби писались так же, как и натуральные числа, только над ними ставилась точка, причем для 1/2 и для 2/3 имелись специальные знаки (рис. 1-10).