DjVu

      ОТ АВТОРА
      Когда речь идет о прошлом, мы с уважением относимся к народным сказкам. Их собирают, анализируют. О них пишут исследования, диссертации, делают открытия в этой области. Но народное творчество существует не только в прошлом, оно продолжается и сейчас, зачастую с поправкой на уровень образования. При всеобщем образовании возникают сказки про инопланетян, Бермудский треугольник, нарушепия фундаментальных законов природы и т. д., тем более что такие реальные явления, как шаровая молния, Тунгусский метеорит, создавали почву для вполне современных сказок.
      Непреходящий интерес к таинственному — это, вероятно, эволюционная особенность человека. Поэтому и сказка давних времен и современная сказка притягательны до тех пор, пока им не дано рационального объяснения. Как только оно находится, интерес профессионалов заметно повышается, но круг тех, кого она волнует, суживается до уровня замкнутой группы ученых и ипже-неров. Как таипственно и дискуссионно звучали еще десятилетия назад предположения известного ученого прошлого века А. Вегенера о дрейфе континентов! Какими захватывающими были соображения за и против его гипотезы, например, в журнале «Вокруг света» тех времен. И как все это стало буднично, когда версия о дрейфующих плитах превратилась в признанную геологическую теорию, которая дала результативную основу поисков полезных ископаемых и предсказания землетрясений. Реальная сенсация открытия в Атлантическом океане той самой «щели», где континенты отплывают друг от друга, ее исследования, включая непосредственное бурение, — все это для многих прошло незамеченным.
      Народная мудрость учит, что у царевны-лягушки совершенно не обязательно, даже просто вредно сжигать
      ее лягушачью шкуру. И сказители, и их слушатели сохраняли во все века и у всех народов долю лукавства ц юмора. Внимая современным сказкам, неплохо об этом помнить. Слушать сказки — полезно, сочинять их — непредосудительно, делать из них выводы — желательно. Но нельзя становиться рабами пустых фантазий.
      Так ли важен вопрос о сомнительных измышлениях в наш век научно-технического прогресса, когда от пауки зависят судьбы человечества? Нужно ли писать о них книгу?
      Ответ: важен! Нужно! Но не только потому, что жалко, когда люди живого, ищущего ума тратят энергию, а иногда и жизнь на дутые сенсации; не только потому, что переписка по прожектам и «открытиям» отнимает время, создает своего рода «отрицающий иммунитет», который потом негативно проявляется по отношению к действительно новому. Дело гораздо серьезнее: в повседневной практической деятельности, в научном творчестве, в инженерных решениях, в экономике и общественных отношениях далеко не редки те же ошибки, которые приводят к возникновению и живучести современных околонаучных сказок.
      В последние годы возникла еще одна серьезная проблема. Реальностью становятся сложные вычислительные системы, содержащие обширные банки информации и разветвленные связи между ними, включающие самостоятельные ЭВМ, — иногда их называют системы с искусственным интеллектом. В таких системах человеку отводится роль, которую сегодня играют хорошие научные руководители работ. Академик П. JI. Капица отмечал, что научный руководитель эффективно выполняет свои функции, когда сам проводит 25 — 50% работы. Сложность решаемых с помощью ЭВМ задач настолько велика, что такой объем участия человека становится невозможен. Искусственный интеллект дает людям конечный результат, не всегда оставляя возможности детальной проверки процесса его получения. Человек оказывается в положении неспециалиста, читающего в газетах и журналах о достижениях науки и техники наряду с информацией о разнообразных «сенсациях».
      На пути развития вычислительных систем в обозримых пределах длительности человеческой деятельности нет ограничений типа тех, которые накладывает к. п. д. цикла Карно на совершенствование тепловых двигателей. Однако в науке и технике выявленная ошибка — один из движущих элементов процесса поиска нового. Поэтому ни при каком развитии искусственного интеллекта наука не может гарантировать безошибочность каждого индивидуального решения машины. Это создает серьезные вопросы. Например, сегодня накопленный запас атомных и водородных бомб, выраженный в тротиловом эквиваленте, составляет примерно три тонны (!) на каждого жителя Земли, включая грудных младенцев. Запал всего этого собираются отдать в соответствии с программой СОИ в руки системы искусственного интеллекта, но сотворенный ею «бермудский треугольник» может стать причиной гибели человечества в целом!
      Почему это так, как искать преодоление таких трудностей — понять далеко не просто. В этом переплетаются все до сих пор полученные человеком знания от космологии до психологии, вся история развития науки. Гротескность «сенсаций» создает уникальную возможность объединить столь разнородный материал. Маленькому ребенку больше всего удовольствия доставляет ситуация, когда, опережая лукавящего взрослого, он сам видит ошибку. Поскольку такую психологическую особенность человек зачастую сохраняет на всю жизнь, то нельзя пренебрегать народной мудростью сказочных приемов, которая учит, что обсуждение вопроса об остановке «вокзал у трамвала» — весьма эффективное педагогическое средство. «Перчатки на пятках» бермудских треугольников, летающих тарелок и т. п. дают возможность понять сложные и важные сугубо научные вопросы. Но нужны и серьезные примеры из области пауки. Вот почему эта книга имеет свой выверенный ритм простоты и сложности. Те из читателей, которых подъемы сложности будут утомлять, могут «туннелировать» сквозь них, подобно квантово-механическим частицам.
      Одно в этой книге часть читателей найдет для себя близким и понятным, но для других это же самое окажется неожиданным, побуждающим к спору. Несомненно, что тех, кто везде ищет только подтверждение своей веры в невозможное, эта книга разочарует. Но читатели, которых интересует наука, и те, кто может и хочет работать, найдут в книге оригинальные постановки задач, вопросы, а в некоторых случаях важные результаты (к частности, принадлежащие автору). Если эта книга заставит задуматься над оценками и решениями, как в известном, так и в очень сложном, в частности, связанном с научным творчеством, если она поможет переключить азарт,
      вызываемый таинственным, на копкретиую работу, то автор будет считать свою задачу выполненной.
      А сказки? Слушайте и выдумывайте сказки, но не пренебрегайте доводами тех, кто им не верит; учитесь для того, чтобы не стать бесплодными фантазерами; не повторяйте ошибок сказок в своей повседневной работе.
      Что касается автора, то он просит читать книгу внимательно и считает своим долгом поблагодарить академиков JI. И. Седова и Г. Г. Черного, академика АН УССР Б. В. Гнеденко, члена-корреспондента АН СССР С. С. Григоряна, докторов физико-математических наук С. А. Лосева и П. В. Щеглова за внимание к работе, а также доктора технических наук Д. А. Поспелова, доктора физико-математических наук Ю. Л. Климонтовича, доктора химических наук А. Н. Шамина, доктора медицинских наук И. Л. Черткова, кандидатов физико-математических паук А. А. Старобинского, Ф. А. Цицина, В. Г. Сурдина за внимательное ознакомление с рукописью и сделанные ими ценные замечания.
      Книга была закончена еще в 1976 г. Это позволило проверить временем ее основные положения и подкрепить их новыми примерами.
     
      Глава 1
      ПРИЧИНЫ И СЛЕДСТВИЯ
     
      Наука выводов и анализа может быть освоена только путем долгого и упорного изучения, и жизнь слишком коротка, чтобы смертный мог достигнуть предела возможного совершенства.
      Артур Конан Дойл. Записки о Шерлоке Холмсе
     
      § 1. Сложное — простое и простое — сложное
      Окружающий нас мир в самом простом, повседневном исключительно сложен и многообразен и во многом до сегодняшнего дня не имеет исчерпывающего научного описания. Но вместе с тем человек может точно рассчитывать, объяснять и предсказывать процессы и явления для множества таких случаев, которые часто поражают своей необычностью.
      Движение планет еще тысячелетия назад описывали с вполне достоверной точностью, а сегодня среднее расстояние от Марса до Земли измерено с погрешностью всего в 10 метров. Ученые не только рассчитывают траектории полетов к Луне и планетам, но и управляют реальными космическими аппаратами в полете. С завидной достоверностью описываются и предсказываются процессы в глубинах космоса на таких расстояниях, которые свет, скорость которого предельна, проходит за миллионы и миллиарды лет. Например, около двух десятилетий назад из космоса были приняты очень мощные, строго повторяющиеся с частотой около 1Гц радиосигналы, которые охотники за сенсациями немедленно приписали внеземным цивилизациям. И вот в считанные месяцы ученые сумели объяснить эти сигналы как излучение сверхплотных, так называемых нейтронных звезд, масса которых превышает массу Солнца, а диаметр составляет всего несколько километров, проверили теоретические построения наблюдениями, предсказали новые эффекты, характерные для таких звезд, и нашли множество других нейтронных звезд в окружающей пас Вселенной. Разве это не внушает представление об абсолютной всесиль-пости современной науки?
      Но оказывается, что даже в ванной комнате современного жилого дома есть процессы, которые наука достаточно строго описать не в состоянии. Например, из крана вытекает струйка воды. Вначале она сохраняет удивительно правильную и красивую форму, но йотом разбивается на меняющиеся, беспорядочные образования. Распад струйки воды непосредственно связан с понятием о турбулентном движении. Оказывается, при всех успехах современной науки исчерпывающей строгой теории турбулентности сегодня еще не существует, хотя все выдающиеся ученые, когда-либо сталкивающиеся с задачами движения жидкостей и газов, считали бы для себя честыо создать такую теорию.
      Самая глубокая в мире скважина бурится сейчас у нас в стране на Кольском полуострове около города Заполярный. Она уже имеет глубину свыше 12 километров и должна закончиться на 15 километрах. Но если сопоставить эту еще никогда в мире не достигнутую глубину проникновения в глубь земли с диаметром нашей планеты, то окажется, что укус комара по отношению к размеру тела человека — фантастическая бездна по сравнению с этой скважиной. Все, что нам известно о горных породах на больших глубинах, есть результаты косвенных измерений и теоретических построений*).
      У нас на глазах в самые последние десятилетия человек только начинает по-настоящему понимать основные процессы, связанные с жизнью. И с удивлением обнаруживает, что чем больше подробностей становится известно, тем больше наряду с ними открывается сложного и непонятного. Человек то с увереннностью демонстрирует всесильность науки в сложнейших вещах, то вдруг обнаруживает, что в его знаниях о самом обыденном зияют глубокие провалы.
      Противоречие между уровнем возможностей научного описания обыденно простого и, казалось бы, невероятно сложного порождает множество заблуждений, надежд и фантазий. Для того чтобы понять, в чем причины таких парадоксальных противоречий, нам придется разобраться в основах построения современной науки, в роли математики и исходных положений физики, в вопросах, с одной стороны, элементарно простых, которые, казалось бы, все знают еще со школы, и в то же время остающихся исключительно сложными, лежащими в поле зрения ведущих ученых современности.
      *) Об оригинальных методах проникновения в глубь Земли см. в книге: Островский А. П. Новые процессы бурения глубоких скважин. — М.: Гостоптехиздат, 1960.
     
      § 2. Приближенное описание — основа научного подхода к процессам и явлениям природы
      Искусство — музыка, поэзия, живопись своими средствами как-то отражают окружающий нас мир, пытаясь воссоздать ассоциации, передать его красоту и сложпость. Наука намного примитивнее, она грубо упрощает реальное, выделяя каждый раз только одну ограниченную группу явлений и полпостыо игпорируя остальные. Но это создает и основное преимущество науки — точность и универсальность результатов.
      На основе глубокого обобщепия эксперимента, создания специального языка — математики оказалось возможным для широких групп задач выделить исходные, определяющие величины, ограниченный набор которых позволяет точно выявить и описать взаимосвязи данной задачи, именно то, что называют законами природы. Объекты, с которыми работает наука, очень часто настолько абстрагированы от реальпого, что их природпого воплощения может и не существовать. Примером может служить математическая точка, не имеющая ни длины, пи ширины, ни высоты. Точность решения задач космической навигации именно потому так высока, что в этой области реальные тела — космические аппараты, планеты, их естественные спутники можно заменить идеализированными моделями — * математическими точками. А вот единой упрощенной модели горных пород не существует — слишком разнообразен их состав, кристаллическое строение, зависимость свойств от температуры, давления и пр. Поэтому описать горные породы не то что на больших глубинах, а даже на поверхности земли так точно, как движение тел в космических глубинах, пока невозможно.
      После замены «очевидных» свойств окружающих нас тел и процессов строгими, но упрощенными по отношению к исходному природпому явлению научными формулировками — моделями возникает возможность точного расчета, описания, предсказания, но только в строго ограниченной области применения — пока справедливы те исходные упрощающие предположения, на основе которых модель и строилась. В этом парадоксальная особенность науки — исключительная точность, вызванная к жизни принципиально неточными, приближенными, по самой своей сущности годными только в определенной области явлений, моделями реального. Перефразируя известное высказывание Валентина Катаева о литературных произведениях, можно сказать, что «наука есть ложь, но ложь более похожая на правду, чем сама правда».
      Исходные, обобщающие и идеализирующие реальное предположения в математике ассоциируются с понятием об аксиомах. К их существованию все привыкли, хотя не всегда отдают себе отчет в том, какие именно ограничения накладывают аксиомы на соответствие результатов теорий и расчетов процессам природы и техники.
      Проиллюстрируем особенности математических аксиом на примере определения прямой и плоскости из школьного учебника геометрии. Посмотрите, насколько сложно математическое определение элементарного, казалось бы, обобщения понятий о проведенной по линейке линии или о поверхности стола. «Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть несовпадающее с пространством непустое множество точек». В чем дело, почему необходимо такое сложное, на первый взгляд бессмысленное, определение прямой и плоскости? Да потому, что природных объектов, точно соответствующих рассматриваемым в геометрии, т. е. имеющих протяженность без толщины, не существует. Именно поэтому появилось волевое утверждение в определении: «существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость». Не менее тысячелетия понадобилось человечеству для формирования и внедрения в науку такой модели реальных тел.
      Прямые и плоскости должны состоять из чего-то — из математических точек. Но как математические точки, не имеющие конечных размеров, не имеющие поэтому и частей, могут заполнять математическую прямую или плоскость? Ведь одна из их частей должна касаться одной соседней точки, а другая — другой. Но для этого они должны иметь протяженность, что противоречит их определению. И вот появляется вторая часть аксиомы: «каждая прямая и каждая плоскость есть... непустое множество точек». Опять утверждение — несмотря ни на что идеализированный объект существует. Естественно, что в науке используется своя терминология, в частности, для этого утверждения — «непустое множество».
      Вопрос о том, каким образом математические точки могут непрерывным образом заполнять прямую, плоскость, объем, для своего разрешения потребовал далеко не тривиальных усилий. Фундаментальный для всей науки раздел математики, посвященный предельному переходу, разрешает зтот парадокс. Вводится понятие об «е-окрестности» точки, и математическая точка становится пределом последовательности чисел или непрерывной функции, благодаря чему нематериальные, не имеющие частей математические точки, линии, поверхности приобретают способность непрерывным образом заполнять геометрические объекты. Создание последовательной теории пределов и ее использование для обоснования основ дифференциального и интегрального исчисления завершилось совсем недавно, всего только в середине — конце прошлого века, т. е. почти на два тысячелетия позже создания геометрии Евклидом. Эффективность применения этих идеализированных образов лежит, без преувеличения, в основе всей научно-технической революции*), а противоречия сопряжения реального и его моделей обычно становятся основой фантастических надежд. Например, в романе известного писателя-фаптаста Герберта Уэллса «Машина времени» обоснование возможности путешествий во времени ищется именно в противоречии математических определений прямых и плоскостей с реальными объектами**).
      Но этим еще не исчерпаны фундаментальные вопросы, которые связаны с обобщением и идеализацией элементарно простого. Без внимания осталось утверждение «не совпадающее с пространством». Оно подчеркивает, что объекты геометрии Евклида существуют в не зависящем от них пространстве. Казалось бы, очевидно — ведь линии проводят на бумаге, поверхность Стола находится в чем-то. А на самом деле эта оговорка связана с истоками таких важнейших, относящихся к самому последнему времени областей науки, как общая теория отпоситель-
      *) Задачи, вызванные к жизни развитием электроппых вычислительных машин, стимулировали как иные пути решения проблемы заполнения объектов математическими точками (папри-мер, нестандартный или неархимедов анализ), так и новые подходы (например, возникновение дискретной математики).
      **) Математический образ, похожий па реальную прямую, создан только в последние десятилетия. Это фракталь — математический объект, подобно пити или струпе тонкий и гладкий издали; все время изменяющий свою поверхность при детальном рассмотрении его уменьшающихся участков и опять становящейся гладким при очень большом «увеличении». В его основе лежит казавшееся совсем педавно искусственной выдумкой представление о непрерывных функциях, не имеющих производных ни в одной точке.
      ности Альберта Эйнштейна или, как ее еще называют,- теория гравитации, с истоками атомизма древних греков и сегодняшними самыми современными работами по теории «элементарных частиц».
      Как видите, ввести в науку эквиваленты таких простейших обиходных понятий, как линия на бумаге или поверхность стола — далеко не простая задача, в решении которой необходимо пойти на существенные и сложные упрощения, идеализацию реальных объектов. Но зато операции с объектами, описанными определениями и аксиомами, можно вести очень точно, единообразна. Изучение математики, которое начинается в школе, имеет своей первоочередной целью научить людей специальному, характерному именно для науки языку, которым и является математика. Один из барьеров в достижении этой цели — трудности усвоения начальных, подчас кажущихся искусственными приемов, с помощью которых сопрягается обыденно очевидное и его абстрактные образы.
      Дорогая цена, заплаченная за формулировку определений и аксиом (а нами рассмотрен только один простейший пример), окупается точностью и общностью результатов их использования.
      К сожалению, часто даже технически грамотных специалистов в научной литературе поражают математические выкладки, которые им кажутся верхом сложности и учености. На самом деле не так уже редко эти выкладки — только технологический процесс получения результатов, а самым сложным является формулировка исходных обобщений, ставящих в соответствие реальным объектам обязательные для науки приближенные эквиваленты.
      Известный советский ученый академик А. Н. Крылов в одной из своих статей, написанных для пропаганды и прославления математики, подчеркивает эту особенность математического аппарата. Он пишет: «Ум человеческий ограничен — глупость беспредельна, математика и нужна уму ограниченному как подспорье для правильных умозаключений» *).
      В связи с проиллюстрированными выше свойствами математических образов в каждой из областей пауки можно найти конкретные задачи, для которых на вопрос, что возможно и что невозможно с научной точки зрения,
      *) Крылов А. Н. Воспомипапия и очерки. М.: Изд-во АН СССР, 1956. — См. с. 581.
      всегда существует два равноправных, оба правильных, по взаимнопротиворечивых ответа. Например, вопрос: могут ли быть неверными выводы, сделанные на основе геометрии Евклида?
      Ответ первый. В условиях, когда верны исходные приближения — аксиомы геометрии Евклида, полученные на их основе выводы верны. В пределах применимости исходных постулатов геометрия Евклида (как и любая другая область математики в пределах применимости своих исходных аксиом) носит абсолютный характер и никогда, ни при каком развитии науки и техники не окажется неверной.
      Но выше на примере одного определения было показано, что исходные постулаты геометрии Евклида заведомо и принципиально искажают свойства реальных объектов. Поэтому равноправно существует второй, казалось бы, противоречащий первому ответ: всегда найдутся такие процессы, объекты и явления в природе, которые не удовлетворяют условиям аксиом геометрии Евклида, и ее применение к ним даст заведомо ошибочный результат, т. е. геометрия Евклида, как и любое другое научное построение, неприменима и неверна вне области справедливости своих аксиом.
      Например, известно, что изменение аксиомы о параллельных прямых в геометрии Евклида приводит к построению геометрии с новыми свойствами, которую называют геометрией Лобачевского.
      Ниоткуда не вытекает, что запрещены другие варианты исходных постулатов геометрии (и они существуют;). Естественно, что новые аксиомы не могут возникнуть «просто так». Их необходимость иногда вытекает из несоответствия решений, полученных в рамках старых аксиом, реальным процессам, т. е. экспериментальным данным. Иногда, и это не менее плодотворно, необходимость новых аксиом осознается на основе умозрительного анализа слабых мест в известных аксиомах.
      Все сказанное относится не только к геометрии, но и к другим разделам математики. Формирование первичных аксиом для широких областей науки или для частной задачи — сложный и трудный процесс.
      Убеждение многих: понятие аксиомы элементарно и все связанное с ним исчерпано еще в средней школе. Возникнут в этом сомнения — к услугам «Энциклопедический словарь», в котором можно прочесть: «аксиома — положение, принимаемое без логического доказательства
      в силу непосредственной убедительности: истинное и исходное положение теории». В этом определении все верно, только не подчеркнуто важнейшее: истинностью, непо-средственнной убедительностью положения-аксиомы наделяет воля человека, иногда вопреки явно видимым противоречиям.
      В более строгом и, естественно, тяжелее воспринимаемом изложении аксиоматический метод определяется так *).
      Даны система объектов, термины, выражающие свойства объектов, и отношения между ними. Сами объекты не определяются, так же как их свойства и отношения. Высказывается только ряд утверждений, которые должны для них выполняться. Эти утверждения и есть аксиомы.
      Как видите, первичное правило, по которому получены аксиомы, не предполагает ни их истинности, ни непосредственной убедительности. Но тем, что аксиомы сформулированы, из совокупности всех возможных объектов, присущих им свойств и отношений, выделяется ограниченный класс систем — тех, для которых данные аксиомы выполняются.
      Теперь необходимо убедиться, что в окружающем нас мире существуют (хотя бы приближенно) эти системы — реальные объекты, их свойства и отношения, для которых истинны сформулированные аксиомы. Такую реальность называют интерпретацией системы аксиом. Только в результате сопоставления реальности и абстрактно сформулированных утверждений появляется понятие истинности аксиом.
      Даже после этого система аксиом еще не имеет права на участие в математических построениях. Нужно убедиться, что она непротиворечива: ни одна из аксиом не должна исключать других. Инструмент проверки непротиворечивости — опять-таки интерпретация, т. е. сопоставление с реальностью. Система аксиом должна быть независимой, т. е. ни одна из них не должна являться логическим следствием других. Наконец, система аксиом должна быть полной, т. е. добавление к ней новых аксиом обязательно приведет к противоречиям.
      *) Более детально иптересующимся этими вопросами можно рекомендовать книги: Гильберт Д. Основапия геометрии. — М.: Гостехиздат, 1948; Яновская С. А. Методологические проблемы науки. — М.: Мысль, 1972; Новиков П. С. Элементы математической логики. — М.: Наука, 1973.
      И только в результате описанпого сложного процесса, первичной основой которого являются волевые утверждения, система аксиом приобретает свойства, которыми ее наделяет школьный учебник или энциклопедический словарь.
      Вопрос об аксиоматизации в математике — предмет весьма серьезных исследований, начало которым положил известный ученый Д. Гильберт. Сегодня этот вопрос выходит на передний план науки в связи с развитием и совершенствованием электронных вычислительных машин и образованных на их основе сложных систем искусственного интеллекта, о которых будет рассказано в последних главах этой книги. А пока продолжим примеры, отражающие отдельные особенности интерпретации аксиом, понимаемых в более широком смысле, чем в математике.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ