Дорогие любители математики!
Наверное, много раз вас волновали вопросы вроде таких: что сделать для решения трудной задачи? Как можно было догадаться до этого остроумного доказательства? Почему был выбран именно такой путь рассуждения? Подобные вопросы связаны не только с математикой — сюда относится также принятие решений и отыскание выхода из затруднительных положений в жизненных ситуациях, производственных вопросах, условиях военного боя и т. д.
В каком-то смысле ответ на поставленные вопросы содержится в тех двух словах знай и умей, которые составляют название серии, в которой выходит эта книга. Ведь в математике есть четко сформулированные аксиомы, определения, теоремы, а также правила логических умозаключений; нужно знать эти теоремы и правила и уметь их применять. Но это еще не всё. В средних по трудности (а тем более сложных) задачах приходится применять не одну, а несколько теорем. И заранее неясно, какие следует применять теоремы и в какой последовательности. А над очень трудными задачами (например, теми, которые предлагают на олимпиадах) даже лучшие ученики думают часами, хотя они прекрасно знают все изученные теоремы и владеют правилами логики.
Пожалуй, будет правильным сказать, что законы логики больше приспособлены для того, чтобы изложить уже найденное решение, убедить учителя и товарищей в верности этого решения. Найти же решение трудной задачи чаще помогают не доводы логики, а случайно подмеченная аналогия, навеянное примерами предположение (которое вначале вовсе не является логически обоснованным), опыт, интуиция и другие психологические факторы.
Книга, которую вы держите в руках, как раз и имеет своей целью рассказать о психологии поиска решения, приоткрыть завесу таинственности над «лабораторией мышления» математика — от школьника до академика. Авторы в доступной и легкой для восприятия форме бесед учителя со школьниками-кружковцами рассказывают о богатом арсенале эвристических приемов.
Вы узнаете о поучительности контрпримеров, об использовании аналогии при решении задач, о применении индукции; узнаете, что иногда легче найти решение более общей задачи, чем некоторого ее частного случая; познакомитесь с другими методами поиска решения.
Желаю вам успехов в решении задач!
В. Г. Болтянский, лауреат Ленинской премии, член-кор респондент Академии педагогических наук СССР
Я обращаюсь ко всем, кто обучается математике, элементарной или высшей, и заинтересован в овладении ею, и говорю: «Конечно, будем учиться доказывать; но давайте также учиться догадываться».
Д. Пойа
Предисловие
Между первой встречей с новой «нестандартной», «нетиповой» задачей и окончательным, компактным изложением ее решения лежит полоса поиска этого решения. Как производить этот поиск? Как догадаться о способе решения? К сожалению, единого, универсального метода для достижения этой цели не существует. Однако имеются некоторые общие приемы и правила, которые нередко помогают догадаться о способе решения разнообразных задач. Можно, оказывается, сформулировать несколько вопросов весьма общего характера, которые полезно время от времени ставить себе при поиске решения трудной задачи; если найдешь ответы на эти вопросы, то заметно приблизишься к искомому решению. В этой книжке формулируются вопросы общего характера, облегчающие поиск решения, и показывается (на сравнительно трудных задачах), как срабатывают эти общие приемы.
Много сделал для улучшения первоначальной рукописи книги ее титульный редактор В. Г. Болтянский. Были также учтены полезные критические замечания Г. С. Уманского. Выражаем им свою искреннюю признательность.
Мы с большой теплотой вспоминаем учащихся Смоленской средней школы № 7 имени Н. М. Пржевальского — участников занятий экспериментального математического кружка при Смоленском педагогическом институте. Без них эта книжка не была бы написана.
Авторы
ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ, ИЛИ ЧТО ДЕЛАТЬ, ЕСЛИ ЗАДАЧА «НЕ РЕШАЕТСЯ»
В тот ранний зимний вечер их здесь было четырнадцать: тринадцать восьмиклассников — девять мальчишек и четыре девчонки — и преподаватель одной из математических кафедр педагогического института Георгий Данилович Селиванов, которого школьники между собой, видимо по привычке, называли «учитель». Им нравилась эта комната на четвертом этаже физматовского корпуса, столы с зачехленными счетными приборами, мягкий «дневной» свет, падающий на темно-коричневую доску. Здесь они собирались еженедельно, по пятницам, на занятия своего математического кружка, чтобы, как однажды под общее одобрение сказал Сережа Лапшинов, «часа два наслаждаться математикой».
В тот вечер кружок был в полном составе. Каждый сидел на своем привычном месте. Вот Вадим Шведов — не только самый старший из ребят (ему на днях исполнилось уже пятнадцать), но и самый высокий, хороший баскетболист и один из самых толковых учеников класса. Рядом с ним его друг Максим Сергиенко, маленький смешливый паренек с мягкими, как у девушки, белокурыми волосами. Поближе к учителю устроился Герман Великанов, Гера, невысокий мальчик с робкими мечтательными глазами. Первый ряд неизменно занимают «старые» ученики Селиванова: заниматься они начали в кружке два года назад, когда были еще шестиклассниками. Это худощавый, веснушчатый Саша Тихомиров — капитан команды КВН и прошлогодний победитель городской математической олимпиады; Сережа Лапшинов, такой же худенький, как и Саша (его хобби, если не считать математику, — велосипед); Андрей Марусанов, не по годам серьезный, спокойный, уравновешенный, художник классной стенгазеты и староста кружка. За ними, во втором ряду, сплоченной стайкой расположились четыре подружки: Надя Грибова, серьезная подтянутая девушка в очках, член комитета комсомола школы, Ира Никольская и Лена Фоменко, обе белокурые, всегда в ученической форме, и смуглая Зарифа Мухтарова. И, наконец, в третьем ряду — Игорь Райков, единственный отличник в классе, Витя Романков, который увлекается всем (последнее время — химией и гитарой), и Толик Москвичев, в очках, немного тугодум, но способный в спокойной обстановке решить, кажется, самые трудные задачи.
Занятие кружка уже подходило к концу. Последняя задача оказалась трудной и никак не поддавалась решению. Все «сдались», и Андрею Ма-русанову, который принес эту задачу, пришлось самому рассказать, как она решается.
И тогда Георгий Данилович предложил:
— А не заняться ли нам в кружке — в этом и в будущем учебном году — общими приемами поиска решения задач? Иначе говоря, приемами, которые пригодны для задач самых различных типов?
— А разве такие приемы существуют? — Сережа недоверчиво посмотрел на учителя.
— Метода, который гарантировал бы решение любой наперед заданной задачи, нет, — ответил Георгий Данилович. — Но все же существуют весьма общие приемы, которые при умелом их применении заметно облегчают решение многих трудных задач. Разработкой таких приемов занимается эвристика. Слово это происходит от знаменитого возгласа «Эврика!». Помните? «Эврика!» («Нашел!») — воскликнул, согласно легенде, древнегреческий ученый Архимед, выскочил из ванны и выбежал на улицу: он понял, как решить предложенную ему задачу.
Слово «эвристика» можно перевести с греческого на русский язык как «искусство изобретать». Эвристика — учение об общих методах поиска решений задач и проблем, учение о тех мыслительных операциях, которые часто оказываются полезными в процессе поиска решения. Эвристику разрабатывали такие знаменитые математики, как Декарт, Паскаль, Лейбниц, Эйлер, Больцано, Эрмит, Адамар и др. В наше время для разработки эвристических идей многое сделал известный математик и педагог Д. Пойа. Его книги пользуются популярностью у математиков всего мира.
Вы все тоже, решая задачи или доказывая теоремы, привлекаете эвристические приемы. Но пользуетесь вы ими «стихийно», неосознанно. Если бы вы применяли эти приемы сознательно, целенаправленно, то эффект был бы значительно больше. В школьном курсе математики довольно много внимания уделяется последовательному изложению доказательств теорем, аккуратному и грамотному оформлению решений задач, логическому обоснованию различных этапов решения и доказательства. А самому процессу поиска решения задачи или способа доказательства теоремы, процессу открытия новых математических фактов внимания уделяется значительно меньше. Школьнику так и остается неясным, с помощью каких соображений удалось открыть ту или иную теорему, как удалось догадаться о способе решения той или иной трудной задачи. Как искать? Как догадываться? Вот что будет предметом наших занятий!
Разумеется, первое и совершенно обязательное условие: чтобы решить трудную задачу, надо сильно хотеть ее решить!
— Одного желания мало, — вздохнул Андрей.
— Конечно, — согласился учитель. — Прежде всего, надо хорошо понять условие задачи, отдать себе отчет, что дано и что требуется (вычислить, или построить, или доказать, или выяснить и т. д.). Но часто и этого еще недостаточно! Вот здесь и могут пригодиться эвристические приемы, приемы целенаправленного поиска, приемы догадки. Мы проследим на многих примерах, как срабатывают эти приемы. Некоторые задачи я буду предлагать вам заранее, за несколько дней до занятия кружка, чтобы вы могли спокойно, без спешки, осмыслить их, понять, что дано и что требуется в задачах; почувствовать, легки или трудны они для вас; отдать себе отчет, что именно вызывает у вас затруднение. Над каждой такой задачей надо будет дома подумать хотя бы минут 15-5-20. Решать эти задачи до занятия не обязательно. Они будут служить как бы прологом к предстоящему занятию кружка. На самом занятии мы будем решать, разумеется, и другие задачи. В конце некоторых занятий я буду вам давать «задачи для кружкового интервью». Каждый, кому такая задача достанется, должен будет, поразмыслив над ней, сказать, как он считает нужным провести поиск решения.
— Как интересно! — воскликнула Зарифа.
— Когда же мы начнем эти занятия? — спросил Вадим.
— С ближайшей пятницы, — ответил учитель. — А задачу из пролога к этому занятию я могу вам предложить хоть сейчас.
И Георгий Данилович привел задачу, которую вы можете прочитать на следующей странице.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
