|
АННОТАЦИЯ
В третьем издании книги, осуществленном под редакцией A. Л. Вредно, были сделаны небольшие уточнения. Наиболее важные из них следующие:
Старое название «Приемы быстрого счёта» заменено названием «Приёмы счёта», так как книга не имеет ничего общего с вычислительными фокусами и приемами эстрадных вычислителей.
В разделе о письменном решении процентных задач вместо трёх арифметических правил дано одно алгебраическое, которое запоминается мнемонически.
Слегка изменён и расширен раздел о квадратных корнях. Настоящее, пятое, издание книги печатается без всяких изменений.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Эта книга не является учебником. Она не претендует ни на полноту, ни на систематичность изложения. Здесь собраны простые приёмы, которые помогают ускорить вычисления, ускорить не какие-нибудь сложные расчёты, а самые обычные числовые выкладки, с которыми постоянно приходится иметь дело в быту и особенно на производстве. Книга рассчитана на квалифицированного рабочего или техника-практика. Чтение её не требует никаких специальных знаний, не нужно знать даже элементарной алгебры. Но предполагается, что читатель вполне свободно владеет обычными приёмами счёта с целыми и дробными числами.
Книга не является учебником. Но, разумеется, если её читать как рассказ, то это будет пустой тратой времени. Математическая книга, даже самая простая, требует работы. Читать её нужно внимательно, с карандашом в руках, выполняя все нужные выкладки и закрепляя каждое понятое правило решением примеров. Примеров в книжке много, но даны они без ответов, так как проверить себя очень легко: достаточно те же примеры проделать не упрощённым, а обычным путём.
Выводов и доказательств в книжке нет. Но там, где это не очень загромождает изложение, даются необходимые объяснения. Кое-где терминология немного отличается от обычной. Это иногда позволяет упростить изложение. В главе о приближённых вычислениях рассматриваются почти исключительно вычисления с той степенью точности (относительная погрешность в 1 %), которая чаще всего требуется при технических расчётах.
ГЛАВА I
УСТНЫЙ СЧЁТ
Общие замечания
Каждый из нас умеет считать в уме; в магазинах, в столовых, в автобусе — везде приходится иметь дело со счётом. Особенно важно уметь считать производственнику. Почти ни одна квалифицированная работа не обходится без предварительного подсчёта. Одним приходится при этом возиться с карандашом и бумагой; другие считают в уме, но считают медленно, часто ошибаются и сильно усгают; третьи считают легко и уверенно.
Для того чтобы быстро и уверенно считать в уме, не нужно иметь ни специальных знаний, ни способностей. Несколько простых правил, а главное — постоянная тренировка в устном счёте, — помогут научиться хорошо считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырёх- и пятизначные числа Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться. Эго искусство в практической жизни почти не может пригодиться. Наша задача — научиться работать с двузначными, иногда — с трёхзначными числами Этого для быта и производственной практики достаточно Если же встретятся большие числа, то лучше, вернее, сделать вычисления на бумаге.
Если нужно сделать много расчётов, то и в простых случаях лучше не считать в уме. Устный счёт не всегда медленнее, но почти всегда утомительнее. При большом объёме работы или начинают считать медленнее или делают ошибки. Лица, которым приходится много считать, должны пользоваться вычислительными приборами, в первую очередь арифмометром — для точных вычислений — и логарифмической линейкой — для приближённых. Логарифмическая линейка — незаменимый прибор для «процентных» вычислений с точностью до 1%.
Напомним некоторые арифметические термины. Числа, которые складываются, называются слагаемыми. Результат сложения называется суммой.
То число, из которого мы вычитаем, называется уменьшаемым, число, которое мы вычитаем, называется вычитаемым, результат вычитания называется разностью чисел. Возьмём такой пример: 25 — 7 = 18. Здесь 25 — уменьшаемое, 7 — вычитаемое, 18 — разность.
Числа, которые перемножаются, называются множителями или сомножителями. Иногда один из сомножителей называют множимым, другой — множителем, но такое различие несущественно: и множимое, и множитель совершенно равноправны. Результат умножения называется произведением.
То число, которое делят на другое, называют делимым; то число, на которое делят, называют делителем. Результат деления называют частным. Разделим, например, 18 на 6. Получим 3. Здесь 18 — делимое, 6 — делитель, 3 — частное.
Не всегда деление проходит так гладко. Поделим, например, 22 на 7. Получим 3 и в остатке единицу. Поделив остаток на 7, найдём одну седьмую. Значит, 22:7 = 3у. Результатом деления целых чисел может быть дробное число (в нашем примере — целое с дробью).
Сложение
Складывать в уме очень легко; и всё-таки о сложении нужно сказать несколько слов Ведь сложение — основное действие, поэтому складывать надо очень быстро и уверенно.
Начнём с прибавления однозначного числа. Прибавить 5 к 23 совсем просто: будет 28. Важнее тот случай, когда единицы обоих слагаемых дают в сумме больше десятка и этот десяток нужно держать в уме. Прибавим, например, 8 к 87. Здесь лучше рассуждать так. В восьмидесяти семи нехватает до 90 тройки, а 8 равняется сумме трёх и пяти. 87 да 3 — девяносто, да ещё 5 — всего 95. Ещё пример: 119 + 7. Семь равно единице плюс шесть; 119 да единица — будет 120, да ещё шесть — всего 126. Итак, однозначное слагаемое представляем в виде суммы двух меньших чисел, из которых одно дополняет большее слагаемое до целых десятков. Самая небольшая тренировка приводит к тому, что это разложение выполняется совершенно автоматически, без всякого усилия воли или внимания. При работе на русских (конторских) счётах такое разложение делают постоянно.
Так же прибавляется число, состоящее из целого числа десятков или сотен. Прибавим, например, 50 к 272. Говорим: 272 да 30 даст 302, да ещё 20 — всего 322. И здесь разбиваем слагаемое, состоящее из целых десятков, на два (50 = 30 + 20), одно из которых (30) дополняет десятки большего слагаемого (семь десятков) до целой сотни.
Примеры: 326 + 9; 148 + 7; 94 + 8; 112 + 6;
243 + 80; 567 + 70; 192 + 20; 341 +50; 1 460 + 50;
277 + 70.
Если оба слагаемых — многозначные числа, то к большему прибавляем сначала старший разряд меньшего, потом — младший разряд. Так, если прибавляется двузначное число, то сначала прибавляют десятки, потом единицы. Сложим, например, 343 и 25. Говорим: 343 да 20 будет 363, да ещё 5 — всего 368. Так же поступают при сложении больших чисел. Если нужно сложить 8 365 и 376, то рассуждают так: 8 365 да 3 сотни будет 8 665, да семь десятков — 8 735, да шесть единиц — всего 8 741.
Отметим случай, когда сложение упрощается. Если одно из слагаемых близко к целому числу десятков или сотен (вообще — к «круглому» числу), то рассуждают так: пусть нужно сложить 173 и 59. 59 это 60 без единицы. Прибавляем 60 — будет 233, а нам нужно было прибавить 59, значит единицу нужно отнять: получится 232. Точно так же, если к 882 нужно прибавить 197, то говорим так: 197 это 200 без трёх, 882 да 200 будет 1 082, отнимая 3, получим 1 079.
Если оба числа близки к «круглым», например, если нужно сложить 98 и 395, то рассуждаем так. 98 — это 100 без двух; 395 — это 400 без пяти. 100 да 400 даст 500; отнимаем 2, будет 498, отнимем ещё 5, будет 493. Это и есть искомая сумма.
П р и м е р ы: 263 + 25; 384 + 49; 298 + 96; 4 532 + 93; 882+ 161; 766 + 419; 89+ 77; 8 122 + 891; 395 + 88.
Если нужно сложить в уме несколько двузначных чисел, то обычно сначала складывают все десятки, потом все единицы. Сложим, например, 26, 17, 85 и 43. Рассуждаем так. Двадцать да 10 будет 30, да ещё 80 — будет 110, да 40 — всего 150; запоминаем. Шесть и семь даёт 13, да 5 — будет 18, да ещё 3 — всею 21. Сто пятьдесят да двадцать один — всего получится 171. Этот приём всегда быстро ведёт к цели. Так же складываются и большие числа, например, три или четыре трёхзначных числа, но при этом приходится «держать в уме» несколько сумм, так что легко сбиться. Неопытному человеку лучше большие числа складывать на счётах или на бумаге.
Примеры:
39 + 48 + 13; 56+13+18; 24+17 + 14 + 47;
88 + 75 + 39; И + 26 + 8 + 44; 58 + 43 + 92.
Вычитание
При вычитании однозначного числа возможны два случая. Если оЙнозначное число меньше последней цифры уменьшаемого, то действие выполняется совсем просто. Например, отнимем от 28 число 6. Получим 22. Если же однозначное число больше последней цифры уменьшаемого, например, от 42 нужно отнять 7, то удобнее рассуждать так. Семь — это 5+2 (2 — последняя цифра уменьшаемого). От 42 отнимаем 2, получим 40; от 40 отнимем 5, получим 35.
Так же рассуждаем, если нужно вычесть число, состоящее из целых десятков. Отнимем, например, 60 от 243. Шестьдесят — это 40 + 20; отнимаем от 243 сорок, — получим 203; отнимаем еше 20, останется 183
Примеры: 43-8; 58 — 7; 135 — 9; 260 — 40;
52 — 7; 43 — 6; 116 — 8; 116 — 70; 1003 — 40.
Если вычитается двузначное или ещё большее число, то сперва отнимаем сотни (если они есть), потом десятки, потом единицы. Вычтем, например, 27 из 243. От 243 отнимаем 20, остаётся 223. Но 7 = 4 + 3 (3 — последняя цифра уменьшаемого). Значит, отнимаем от 223 число 3, остаётся 220; да ещё отнимаем 4 — получаем ответ: 216.
Можно рассуждать иначе. От 243 хотим отнять 27. Но 27 — это 30 без трёх. Прибавим по 3 и к уменьшаемому и к вычитаемому; результат не изменится. Получим 246 и 30. От 246 отнимаем 30; получаем 216.
Если одно из чисел или оба близки к «круглым», то удобно сначала произвести действие над круглыми числами, а потом внести поправку Отнимем, например, 296 от 1 285. Число 296 меньше трёхсот всего на 4 единицы. Поэтому сначала отнимаем от 1 285 число 300 = = 200+ 100 (в уменьшаемом как раз 2 сотни). От 1 285 отнимаем 200 — получается 1 085, да ещё отнимем 100 — получится 985. Остаётся прибавить 4 единицы — 989. Это и есть искомый ответ.
Примеры: 463 — 25; 326 — 83; 561 — 59; 1 020 — 98; 241 — 91; 881 — 95; 624 — 73; 815 — 27; 827 — 39;
111 — 87; 1 063 — 120; 822 — 48; 516 — 123.
Подытожим всё сказанное.
Если нужно сложить два числа, то к большему прибавляем меныисе; сначала прибавляем сотни, потом десятки, потом единицы (сначала — старшие разряды, потом — младшие).
Если слагаемые (оба или одно) близки к «круглым» числам, то складываем эти «круглые» числа и учитываем нужную поправку.
При сложении нескольких двузначных чисел складываем сначала все десятки, потом все единицы и к общему числи десятков прибавляем единицы.
Несколько больших чисел (трёхзначных и больших) целес000разнее складывать на бумаге.
Если нужно вычесть однозначное число, меньшее последней цифры уменьшаемого или равное ей, то затруднений не возникает.
Если нужно вычесть однозначное число, большее последней цифры уменьшаемого, то разбиваем это однозначное число на два (равное последней цифре уменьшаемого и остаток) и вычитаем полученные числа одно за другим.
При вычитании двузначных (и многозначных) чисел сначала отнимаем старшие разряды вычитаемого, потом младшие его разряды.
Если вычитаемое близко к «круглому» числу, то сперва отнимаем это «круглое» число, а затем делаем поправку.
Простейшие случаи умножения и деления
Умножать и делить проще всего на 10, 100, вообще на число, изображаемое единицей с нулями. При умножении на такие числа мы приписываем к множимому столько нулей, сколько их имеется во множителе. Умножим, например, 173 на 100. Получается 17 300.
Почти так же поступаем при делении на число, изображаемое единицей с нулями. Отделяем запятой столько последних цифр, сколько имеется нулей в делителе. Разделим, например, 2 650 на 100. Получаем 26,50 или 26,5 (двадцать шесть целых н 5 десятых). Ответ чаще всего получается дробный.
Примеры: 2 240:10; 51 X Ю0; 37X1000;
83 X Ю 000; 62 000 : 100; 84 000 : 10.
Почти так же просто умножение на 2 и на 4. Умножаем на 2, начиная со старших разрядов. Умножим, например, 347 на 2. Рассуждаем так: триста на два будет шестьсот; сорок на два будет 80 — итого шестьсот восемьдесят; семь на два даст 14. Итого — шестьсот восемьдесят да 14 — будет шестьсот девяносто четыре.
Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2. Умножим, например, 596 на 4. Умножим 596 на 2. Пятьсот на 2 даст тысячу, 90 на 2 даст 180, значит имеем 1 180, да ещё 2X6 = 12. Тысяча сто восемьдесят да двенадцать будет 1 192. Это число нужно ещё раз удвоить. Тысяча на 2 будет 2 000, да 100X2 = 200, всего 2 200, да 90X2 = 180, всего 2 380, да 2X2 = 4, всего 2 384. Это и есть искомый ответ.
Таким же образом можно умножить на 8 (три раза последовательно умножить на 2), на 16 и т. д.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА 5, 25, 50 11
Примеры: 365X 2; 643X2; 97X2; 88X2;
915X2; 63X4; 76X4; 112X4; 31X8; 1 285X2; 23 X 8; 288 X 4; 51 X 16; 165 X 4.
При делении пополам делим пополам все разряды, начиная с высшего, попутно складывая получающиеся результаты. Разделим, например, 364 пополам. Триста пополам даст 150, шестьдесят пополам будем 30; 150 да 30 будет 180; остаётся прибавить 4, делённое пополам, т. е 2. Получится 182.
Можно делить на 2 и по-другому. Пусть нужно разделить 364:2. Рассуждаем так: 3 делить на 2 будет 1... и 1 в остатке; 16 на 2 будет 8; 4 на 2 будет 2. Таким образом получается 182.
При делении на 4 делим сначала на 2, затем полученное частное ещё раз на 2. Разделим, например, 1 938 на 4. Делим пополам: тысяча пополам будет 500, да 900 пополам будет 450, итого 950, тридцать пополам даст 15; итого 965; восемь пополам даст 4; всего 969. Полученное число делим ещё раз пополам. Девятьсот пополам будет 450, да шестьдесят пополам — тридцать — всего 480, да 9 пополам — четыре с половиной. Всего получается 484-2 . Не нужно удивляться, что ответ получился с дробью. При делении почти всегда так и бывает.
Только в редких случаях деление чисел, взятых из практической задачи, приводит к целому числу.
Если нужно разделить на 8 или на 16, то будем три или четыре раза последовательно делить на 2.
Примеры: 116:2; 98:2; 264:2; 39:2, 1 486:2;
932 : 2; 216 : 4; 536 : 4; 512 : 8; 1 488 : 8; 134 : 4; 17 : 4.
Умножение и деление на 5, 25, 50.
Увеличение в 1 раза. Умножение на 15
Умножение на 5 сводится к делению пополам, деление на 5 — к умножению на 2. Умножим, например, 387 на 5. Рассуждаем так: чтобы умножить на 5,
можно умножить на 10 и результат разделить пополам.
38/ умножаем на 10; получаем 3 870. Делим 3 870 пополам: три тысячи пополам — полторы тысячи; восемьсот пополам — четыреста; итого 1 900; да ещё 70 пополам даст 35. Всего получится 1 935. Значит, 387 X 5 = 1 935.
Разделим теперь 6 145 на 5. Для этого удвоим данное число и результат разделим на 10. Умножаем 6145 на 2. Шесть тысяч на 2 — двенадцать тысяч, сто на 2 — двести, всего 12 200; 40 на 2 даст 80, всего 12 280, пять на 2 — десять; всего 12 290. Разделив на 10, получим 1 229. Значит, 6 145:5 = 1 229.
Вот ещё пример, где результат получится с дробью. Разделим 283 на 5. Для этого умножаем 283 на 2. Получим 2X 200 = 400, да 2X80 = 160, итого 560, да 2X3 = 6, всего 566. Разделив 566 на 10, получим пятьдесят шесть целых и шесть десятых.
При умножении на 25 мы умножаем на 100 и делим на 4. При делении на 25 — умножарм на А (т. е. два раза на 2) и делим на 100. При умножении на 50 умножаем на 100 и делим пополам-, при делении на 50 сперва удваиваем, потом делим на 100.
Примеры: 1. Умножим 137 на 25 Умножаем 137 на 100. Получим 13 7С0. Делим это число пополам: десять тысяч пополам — пять тысяч, три тысячи пополам — полторы тысячи; всего шесть с половиной тысяч; семьсот пополам — триста пятьдесят. Всего 6 850. Это число ещё раз делим пополам. Получим 3 425. Таким образом 137X25 = 3 425.
2. Разделим 218 на 50. Удваиваем 218; получим 436. Полученное число делим на 100. Получим четыре целых и тридцать шесть сотых. Значит, 218:50 = 4,36.
Примеры- 32X5; 117X5; 89X5; 46X5;
28 X 25; 63 X 25; 19 X 50; 295 : 5; 515 5; 83 : 5; 675 : 25; 1 050 : 50; 285 : 25; 1 285 : 50; 92 : 5; 751 : 50.
Очень легко увеличить некоторое число в I-j- раза. Для этого нужно к самому числу прибавить его половину.
Умножим, например, число 87 на 1--.Половина от 87 будет 40 да 3- — сорок три с половиной. 87 да 40 даст 127, да ещё 3 — всего 130, да всего 130--. Это и есть искомый ответ.
Уменье умножать число на 1-2~позволяет дать простое правилЪ для умножения на 15. Умножим, например, 342 на 15. Сначала умножаем 342 на 10, получим 3 420. Это число увеличим в 1-?)-раза, т. е. прибавим к нему его половину. Половина от 3 420 будет 1710. Складывая 3 420 и 1710, получим 5 130. Значит, 342X15 = 5 130. Итак, чтобы помножить некоторое число на 15, мы увели-чиваем его в 10 раз и к полученному числу прибавляем половину того, что получилось.
Примеры: 64Х 11; 38 X1 у; 292Х 1 у! 35Х1 у ; 49 X 1 у; 26X15; 38X15; 164X15; 618X15; 41X15; 19X15.
Умножение на 9, 11, 99, 101
Чтобы умножить какое-нибудь число на 9, нужно увеличить его в 10 раз и от полученного результата отнять само данное число. Умножим, например, 87 на 9. Рассуждаем так: 87 X Ю = 870. Остаётся от 870 отнять 87. Но 87 близко к 90 (нехватает трёх единиц). Прибавим к уменьшаемому и вычитаемому по 3: получим 873 и 90. Отнимая 90 от 873, получим 783. Значит, 87 X 9 = 783.
Чтобы умножить какое-нибудь число на 11, нужно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить само данное число. Возьмём то же, что и в предыдущем примере, число 87 и умножим его на 11. Увеличив 87 в десять раз, получим 870. Прибавим теперь 87. Восемьсот семьдесят да восемьдесят (80 = 30 -f- 50) даст 950 да ещё 7 — девятьсот пятьдесят семь. Значит, 11 X 87 = 957.
Эти правила очень полезны и почти всегда заметно облегчают счёт, но не следует думать, что их нужно применять во всех случаях. Иногда бывает легче умножать попросту. Если, например, число записано с помощью единиц и нулей, то умножаем его на 9 непосредственно.
Умножим 101 на 9. Ясно, что получится 909 и никаких специальных правил применять не нужно.
Заметим ещё один приём умножения двузначного числа на 11. Раздвинем цифры двузначного числа и вставим между ними их сумму. Получим нужный результат. Умножим, например, 24 на 11. Раздвигаем цифры 2 и 4 (2.. .4) и между ними вставляем сумму 2.+ 4 = 6. Получим 264. Значит, 24 X 11 = 264.
Если сумма цифр двузначного числа сама является двузначной, то её единицы вставляем между цифрами данного числа, а десятки прибавляем к первой цифре. Например, 67 умножаем на 11. Раздвигаем цифры 6 и 7 (6.. .7) и между ними вставляем 6-{-7 = 13. Получим 6(13)7. Теперь тройку оставляем на месте, а единицу прибавляем к шести. Получим 737. Значит, 67 X 11 = 737. При небольшом навыке всё это легко делается в уме.
Особенно просто умножение двузначного числа на 101. Нужно мысленно приписать справа к данному числу его самого и прочесть то, что получится. Умножим, например, 73 на 101. Пишем (мысленно) семьдесят три и приписываем справа еще семьдесят три. Получим семь тысяч триста семьдесят три. Это и есть искомый результат: 73 X Ю1 = 7 373.
Нетрудно сообразить, как поступать при умножении на 99. Нужно, очевидно, увеличить данное число в 100 раз и от полученного числа отнять само данное число. Если, например, нужно 34 умножить на 99, то сначала умножаем 34 на 100; получим 3 400. Теперь от 3 400 отнимаем 34. Отнимая 30, получим 3 370; отнимая ещё 4, получим 3 366. Значит, 34 X 99 = 3 366.
Примеры: 24X9; 37X9; 125X9; 48 X И*.
29X11; 63X11; 27X11; 62X101; 54X9; 99X9; 13ХЮ1; 15X99; 163ХП; 88ХП.
Умножение на 3, 6 и 7
При умножении двузначного числа на 3, на 6 или ча 7 сначала умножаем десятки, потом единицы, затем оба результата складываем. Умножим, например, 86 на 3. Восемьдесят на три даст двести сорок (3X8 = 24), а трижды шесть — восемнадцать. 240 да 18 будет 258.
Помножим ещё 35 на 7. Тридцать на семь — двести десять, семью пять — тридцать пять. 210 да 35 будет 245. Так же выполняется умножение на 6.
Трёхзначное число умножается на три по такому же правилу: сперва умножаются сотни, потом — десятки, потом — единицы, потом всё складывается. Умножать по такому же правилу на 6 было бы невыгодно: пришлось бы «держать в уме» большие числа. Лучше сперва умножить данное число на 3, а затем результат удвоить. Умножим, например, 519 на 6. Умножаем сперва 519 на 3. Пятьсот, умноженное на три, даст 1 500; десять, умноженное на 3, даст тридцать. Всего получается 1 530; да ещё 9, умноженное на 3, даст 27. Прибавляем к 1 530 это число (27) и получаем 1 557. Теперь удваиваем 1 557, Полторы тысячи дадут при удвоении 3000, а пятьдесят семь при умножении на два даёт 114. Всего получается 3 114. Значит, 519X6 = 3 114.
Умножение многозначных чисел на 7 делается тем же приёмом, что и умножение на 3. Но при этом приходится «держать в уме» большие числа, тому, кто не имеет специальной тренировки, лучше умножать многозначные числа на семь на бумаге.
Примеры: 67X3; 29X3; 116X3; 285X 3;
24X6; 49X6; 51X7; 19X7; 216X6; 811X6;
1261X3; 715X3; 93X6; 92X7; 49X7; 212X3; 212X7; 97X6.
Умножение многозначных чисел
При перемножении многозначных чисел в уме неопытные счётчики часто делают ошибки. Поэтому лучше многозначные числа перемножать на бумаге. Но в некоторых случаях умножение выполняется легко. Особенно важно научиться перемножать в уме двузначные числа; это делается просто и постоянно встречается в жизни.
Приём, которым при этом пользуются, называется «умножением крестиком». Возьмём два двузначных числа, например, 53 и 37 и подпишем их одно под другим;
Умножая десятки на десятки, получим сотни. В нашем примере 3 десятка, умноженных на 5 десятков, дадут 15 сотен, т. е. тысячу пятьсот. Перемножив простые единицы, получим в нашем примере двадцать один (3X7 = = 21). Всего получается 1 521. Короче это число можно было получить так: к произведению десятков (15) приписываем справа произведение единиц (21); получаем 1 521. Но это ещё не всё. Нужно учесть произведение единиц каждого числа на десятки другого. Имеем (в нашем примере): семь раз пять десятков — тридцать пять десятков, да три раза три десятка — девять десятков; итого тридцать пять да девять — сорок четыре десятка, т. е. 440. Значит, к 1 521 нужно добавить четыреста сорок. Получим 1 961.
При практических вычислениях схема не рисуется. Все рассуждения проводятся в уме. Как это делается, будет видно из следующего примера. Умножим 68 на 47. Перемножаем десятки. Четырежды шесть — двадцать четыре; перемножаем единицы: семью восемь — пятьдесят шесть. Мысленно справа от двадцати четырёх пишем пятьдесят шесть — получим две тысячи четыреста пятьдесят шесть. Далее выполняем умножение «крест-накрест»: шестью семь — сорок два десятка и четырежды восемь — тридцать два десятка — всего семьдесят четыре десятка, т. е. семьсот сорок. К двум тысячам четырёхстам пятидесяти шести прибавляем семьсот, получаем три тысячи сто пятьдесят шесть, да ещё сорок — три тысячи сто девяносто шесть. Это число и есть искомый ответ. Итак, 68 X 47 = = 3 196.
Отметим некоторые особенно простые случаи. Если каждый из сомножителей меньше двадцати, например, если надо умножить 18 на 13, то прибавляем к первому единицы второго (18 + 3 = 21), мысленно приписываем нуль (210) и прибавляем произведение единиц (3X8 = = 24): двести десять да двадцать четыре — двести тридцать четыре.
Если нужно умножить само на себя двузначное число, оканчивающееся пятью, то делаем так. Первую цифру увеличиваем на единицу и результат умножаем на саму первую цифру. К тому, что получится, мысленно справа приписываем 25.
Пример: умножим 75 на 75. Семь да один — восемь, семью восемь — пятьдесят шесть; приписываем справа 25 — получим 5625.
Если один из сомножителей близок к «круглому» числу, то умножаем на это «круглое» число и делаем поправку. Пример: умножим 37 на 98.
Рассуждаем так: 98 — это сто без двух. Значит, умножим 37 на 100 и отнимем от результата 37, умноженное на 2. Тридцать семь, умноженное на сто, даст три тысячи семьсот; тридцать семь на два даст семьдесят четыре. Значит, от трёх тысяч семисот нужно отнять семьдесят четыре. Получим 3 626.
Если оба сомножителя близки к «круглому» числу, причём один из них больше, а другой меньше его на одно и то же число единиц, то поступаем так. Умножаем «круглое» число само на себя и от того, что получится, отнимаем разницу между «круглым» числом и данными числами, тоже умноженную саму на себя. Умножим, например, 97 на 103. Оба сомножителя отличаются от сотни на 3 единицы, только одно больше сотни на 3, а другое меньше сотни на 3. Сто, умноженное на сто, даст 10 000, а трижды три — девять. Отняв от 10 000 девять, получим 9 991. Ещё пример: умножим 62 на 58. Оба сомножителя отличаются от 60 на 2 единицы. Шестьдесят на шестьдесят даст 3 600, дважды два — четыре. От 3 600 отнимаем 4, получим 3 596*).
Примеры: 43X16; 17X19; 18X18; 12X17;
32X97; 53X67; 22X83; 17X85; 28X82; 81X79; 202X 198; 15X16; 72X68; 43X53; 25X25; 35X35; 85 X 85; 69 X 85; 502 X 498; 95 X 95.
Особенно просто перемножаются два двузначных числа,, каждое из которых содержит по 9 десятков.
*) Для читателей, знакомых с началами алгебры, заметим, что это правило основано на известной формуле умножения суммы двух величин на их разность: ...
Умножим, например, 94 на 97. Дополним 97 до ста — получим 3; эту тройку отнимем от 94 — получим 91. Это и будут две первые цифры произведения. Дополним 94 до 100; получим 6. Перемножим дополнения: 3X6 = 18. Это будут последние две цифры произведения. Значит, 97 X 94 = 9 118. Итак, для перемножения двузначных чисел, содержащих каждое по 9 десятков, дополняем их до ста. Из множимого вычитаем дополнение множителя, это даст первые две цифры произведения. Перемножаем дополнения; это даст последние две цифры произведения.
Примеры: 97X92; 93X95; 96X96; 98X91: 95 X 94; 93 Х93.
Несколько слов о делении в уме
Делить в уме значительно труднее, чем множить. Кроме случаев, упомянутых в начале главы (деление на 2, 4, 5, 25 и т. д.), стоит отметить только деление сравнительно небольших чисел на однозначное число. При этом приходится выполнять в уме те действия, которые мы привыкли делать на бумаге. Разделим, например, 95 на 7. Девять десятков дадут при делении на 7 один десяток, причём два десятка останутся неиспользованными. Эти два десятка да 5 единиц — всего двадцать пять единиц — дадут при делении на 7 в частном три и в остатке — четыре. Значит, ответ будет: тринадцать в частном и четыре в остатке, или 13у.
П р и м е р ы: 87: 3; 126 : 3; 59 : 7; 97 : 2; 95 : 3; 147 : 7; 159:9; 90:11; 116:3; 104:13; 51:3; 91:7; 189:9; 89 : 9; 1 000: 3.
В связи с делением стоит вопрос об отыскании той или иной доли данного числа. Действительно, чтобь; найти половину какого-нибудь числа, например 562, достаточно разделить его на 2. В нашем примере получим 281. Чтобы найти одну треть некоторого числа, нужно его разделить на 3. Умея делить в уме на 2, 4, 8, 5, 10, 25, 50, 100, 3, 6, 7, мы можем находить половину, четверть, восьмую, пятую, десятую и другие доли данного числа. Нетрудно
найти двадцатую долю некоторого числа: для этого нужно разделить пополам его десятую долю.
Найти три четверти какого-нибудь числа можно двумя способами: прежде всего нужно найти одну четверть числа. Потом одно из двух: или умножить найденную четвертушку на 3, или отнять её от самого числа. Найдём, например, -у от 748. Делим 748 на 4. Семьсот пополам — триста пятьдесят, да сорок восемь пополам — двадцать четыре, всего триста семьдесят четыре. Полученное число делим ещё раз пополам: триста пополам — сто пятьдесят, да семьдесят пополам — тридцать пять (всего 185), да четыре пополам — два, всего 187. Это — четвёртая часть. Делая первым способом, умножаем на три: трижды сто — триста, да трижды восемьдесят — двести сорок (всего пятьсот сорок), да трижды семь — двадцать один; всего 561. Делая вторым способом, отнимаем найденную четвертушку (187) от самого данного числа (748). Вычитаемое близко к круглому числу (к 200), недостаёт только тринадцати. Прибавляем к уменьшаемому 13, получаем 761; отнимаем двести — остаётся 561.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
Мы рассмотрели основные, простейшие приёмы вычислений как точных, так и приближённых, как устных, так и письменных. Этого очень мало для того, чтобы сделаться вычислителем-виртуозом, но вполне достаточно, чтобы стать хорошим счётчиком-практиком Читатель, который заинтересуется приёмами быстрого счёта, может найти интересные сведения в книге Я. И. Перельмана «Занимательная арифметика». Лицам, интересующимся приближёнными вычислениями, можно рекомендовать книгу Нейшуллера и Акушского «Как упростить вычисления». Значительно более трудной, но интересной, является книга проф. А. Виттинга «Сокращенные вычисления».
Повторяем ещё раз: счётчику-практику вполне достаточно сведений, имеющихся в этой книжке. Если есть время и охога, то лучше изучить различные вспомогательные средства вычисления: таблицы, графики, номограммы, русские счёты и счётную линейку. Изучение всех этих вспомогательных средств выходит, однако, за рамки нашей книги; их нужно изучать по специальным руководствам, к которым и отсылаем читателя.
|
