Психология арифметики

PDF

      Предисловие проф. И. В. Андронова

      С начала XIX столетия, в эпоху роста капиталистического хозяйства, когда усилилось требование на большое количество грамотных рабочих и служащих, началось стихийное созидание массовой государственной народной школы.
      Разорившиеся из дворян, нуждающиеся из духовных, самоучки из дворовых и отставных солдат становятся ее первыми учителями и вырабатывают кое-как рефлексы грамоты, в особенности арифметической грамоты. Народная нищенская школа, содержавшаяся классовым государством на гроши, еще не имеет своей учебной литературы; учебную литературу народный учитель берет для себя взаимообразно из школы другого класса. Другая, богатая, светлая школа имеется у буржуазии для своего класса в виде просторных гимназий, переходящих ей по наследству от дворян, и в виде прочно строящихся для своего класса реальных училищ. В эти привилегированные школы шел университетски подготовленный (чаще) чиновник-преподаватель, гордившийся своим углубленным знанием науки и сознававший (часто) силу своего хозяина-капиталиста, идущего на подъем.
      Гимназический преподаватель, свысока смотревший на народного учителя, пишет учебник, в частности по математике, с оттенком «эстетической научности», к которой и тянет своих учеников; иногда в учебнике появляются значительные предисловия, в которых старший и более опытный преподаватель дает дидактические советы далеко отстоящему от него народному учителю.
      К средине XIX столетия, с ростом начальной школы, когда самотек учительской рабочей силы не мог удовлетворить количественно возросшим требованиям на народного учителя, создаются массовые учительские семинарии и педагогические курсы, где цель была поставлена как можно скорее (и дешевле) натаскать в учебном предмете будущего учителя» дав ему некоторые рецепты обучения, которые учитель ввиду своей хозяйственно-культурной связанности будет тщательно и рабски копировать; опыт руководителей учительских семинарий и педагогических курсов, накопившиеся учебные предисловия через мышление талантливых педагогов (Грубе, Дистервег и др.) стихийно порождают новый особый предмет педагогических заведений — методику, в частности методику арифметики.
      Вначале робкими тенденциями, а в дальнейшем полным ходом создается необходимая для учителя той эпохи рецептообразная, эмпирически-догматическая методика арифметики, до последнего времени не имевшая научного обоснования. Лишь при переходе к XX столетию в трудах специалистов экспериментальных наук о сознании, а не у преподавателей математики и ее методики, как у Лая, Павлова и др., традиционная методика арифметики получила научно-рефлексологическое обоснование.
      Мировым поставщиком, так сказать монополистом методической культуры, являлись немецкие учителя-методисты.
      Германии, выступившей на арену капиталистического хозяйства с опозданием по сравнению со своими западными соседями, пришлось особенно быстро нагонять своих конкурентов, используя для этого школу; быстрый рост германской народной школы потребовал для подготовки дешевого учителя создания более или менее стандартной методики быстрого и легкого (в особенности для учителя) обучения, в частности арифметике.
      В таких условиях естественна была потребность и естественен историей данный ответ на рефлексологическую методику арифметики.
      Однообразная педантичная школьная дрессировка, где по существу не считаются с дошкольной и внешкольной стихий, но оформляющейся детской арифметикой, дрессировка арифметического сознания, ложилась тяжелым бременем на юношеское сознание. Характерно в этом направлении отношение к задачам, этому по существу базису математической культуры, лишь как к средству, через которое происходит закрепление вырабатываемых арифметических рефлексов, почему задача является не исходным моментом при постановке новых тем, а лишь конечной заключительной стадией в развертываемой теме; в этом направлении считается реальность содержания задачи не существенной направленностью; здесь характерен отрыв формы от содержания, который в конечном счете привел надстройку к идеализму.
      Создается неподвижный, конкретный и подробный стандарт расположения арифметики как учебного предмета начальной школы, отступление от которого считается нежелательным и даже вредным; например создаются неприкосновенные концентры: до пяти, до десяти, до двадцати, в целых десятках, до ста и т. д., или следуют за формальными гербартовскими ступенями в уроке; примерно: восприятие числа, пальцевый счет, отвлеченные устные вычисления, то же письменные (столбики) и наконец применение к задачам и т. д.
      Создается несколько стандартных искусственных наглядных пособий для счета, например пучки соломки (прутики), которые никто из взрослых в жизни не считает, а ребенок должен проводить на этом ведущем в практике школы пособии полгода, год, а иногда и два года.
      На границе XIX столетия с XX, в эпоху империалистической стадии капиталистического хозяйства* рефлексологическая система поднимается до кульминационного пункта, особенно в работах опять же немецких методистов, например Лая, Вальземана и др.; так Лай изобретает счетный стандартный инструмент, где обучение арифметике должно быть связано только с одним наглядным пособием — счетами Лая, где воспроизводятся особые фигуры Лая; так тщательно методисты подготовляют побег от всей разносторонней и красочной жизни, не говоря уже о производственной основе и стороне ее.
      Создается лестница с мелкими и мельчайшими ступенями и ступеньками продвижения учащегося, где методистом старательно предусмотрена и устранена каждая мельчайшая трудность, тем самым скрыт от учащегося механизм разъединения жизненно-целого процесса и представлены для упражнений учащегося лишь мертвые элементы его.
      Например сложение в концентре сотни проходит через следующие ступени тренировок, созданные без размышления и планирования учащегося.
      (Формулы...)
      Учащиеся при этой системе сравнительно легко получают нужные арифметические рефлексы, но основательно отучаются от размышлений и от построения соответствующего плана для преодоления видимых трудностей.
      Эта система в целом характерна для буржуазного догматически-эволюционного мышления, для периода империалистической стадии загнивающего капиталистического хозяйства, где не признается революционный скачок, план и участие революционного юношеского мышления в строительстве, где уходят от жизни в мир вредных иллюзий и пр.
      Так создался с кризисом капиталистического хозяйства вытекающий из него кризис школы и в частности кризис в арифметическом начальном образовании.
      Неудивительно, что наиболее активно и относительно плодотворнее стали разрешать школьный кризис арифметической культуры в стране более мощного и относительно передового капиталистического хозяйства, по ту сторону Европы — в САСШ, наиболее ярким представителем которого является Эдуард Ли Торндайк. В лице Торндайка мы имеем талантливого педагога в широком смысле этого слова; его перу принадлежит значительное количество выпущенных оригинальных работ, связанных с реформой образования вообще, реформой математического образования и арифметического в частности.
      Пред нами находится одна из основных работ Торндайка «Психология арифметики». Название работы оригинально, а сочетание двух терминов непривычно. Внимательно прочитав книгу, понимаешь, что автор пытается оформить психологическое направление в арифметическом образовании, которое созидается в противовес односторонне-рефлексологическому загнивающему направлению, ожидающему с часу на час своего исторического удара. Эти тенденции к психологической системе автор разрабатывает экспериментально в противовес установившейся массовой традиции, за исключением немногих авторов, создавать методику на основе лишь личного учительского опыта и на основе теоретическо-эклектических соображений; последних, правда, не избег и Торндайк.
      Мелкобуржуазные реформисты, каковым является и Торндайк, предполагают мелкими или относительно большими реформами, в рамках буржуазной культуры, разрешить эволюционно кризис; отсюда понятно, что Торндайк не создает ведущей теории, а односторонне увлекается экспериментом, где действительность берется как нечто данное и почти неизменное, где нет речи об изменяющейся школьной среде, где подчеркнута биологическая, а не производственно-социальная сторона процесса, которая (биологическая) является у Торндайка решающей в психологии и педологии и пр.
      Возьмете ли вы измерение арифметических способностей через тесты, или измерение математического круга представлений и знаний поступающих в школы, или измерение индивидуальных различий в арифметическом поведении учащихся — вы не получаете удовлетворяющего вас ответа на вопрос, нечетко поставленный самим же автором, вы получаете полуответ, полумеру.
      Так же неудивительно, что автор не ведет последовательной критики традиционного направления и тем самым организационно и теоретически не разбивает до конца живучих традиций; правда, в раскрываемой автором практике дана целеустремленность на жизненность и захватывающий учащихся интерес, что ярко выражено в этой книге; глухая критика дана скорее в проникнутых иногда юмором и иронией суждениях. Так автор, легко критикуя традиционную систему, говорит о новой динамической производительной системе, что она — последовательность, единственная, которую учащиеся могут усваивать легко и надолго независимо от того, как она стала бы выглядеть в музее арифметических систем.
      Автор критикует решительно слишком систематизированную и классифицированную арифметику, что в значительной степени лишено значения в глазах учащихся; возможно «принесение в жертву лучшего порядка... но имя достижения большего или более здорового интереса».
      Легко касается Торндайк и внутреннего ведущего метода в математике, абсолютизируя различия дедуктивного и индуктивного метода, отдавая предпочтение последнему и заявляя, что «чистая арифметика в том виде, как она изучается и усваивается, является в значительной мере индуктивной наукой».
      Но еще легче автор раскрывает «социологию арифметики», вкладывая в это понятие проведенное им обследование, дающее ответ на вопрос, в каких размерах и формах взрослые применяют арифметические знания в жизни; по видимому автор вел эксперимент над «видными юристами, врачами, промышленниками и коммерсантами, равно как их женами»; этот односторонний эксперимент, поставленный через непроизводственные тесты, по преимуществу перед потребителем с его покупкой и продажей, а не производителем с его техническим предвидением, естественно показал результат, дающий впечатление о ненужности в жизни второй части арифметики и повидимому, при продолжении опыта, значительной доли математики.
      Характерно здесь данное Торндайком суждение: Цены в 5 и 10 центов, магазины с вывеской «любая вещь 25 центов» и организация платежей в рассрочку — вот обычные моменты, устраняющие арифметику из человеческой жизни».
      «Социологию» самого автора можно видеть из двух общих замечаний, брошенных как бы вскользь; так на одной из страниц автор говорит о наследственных способностях и пpoдолжает: «Не она ли является причиной того, что некоторые дети обнаруживают особую склонность к начертанию некоторых видов слов к срисовыванию лиц, а не цветов, к изучению древней, а не новой истории» и т. д.; на другой из страниц автор продолжает говорить: «Нужда вовсе не является матерью изобретения; ею является знание прежних изобретений; отцом же является природная способность».
      Несмотря на вышеуказанные органические «социальные пороки мышления» автора, все же его книга представляет большой и значительный интерес. Учителю опытной или опорной школы, разбивающему традиционные цепи; методисту и студенческому коллективу педтехникума и педвуза, ставящим ответственный эксперимент и создающим политехническую арифметику; организатору и инспектору школ, производящим экспертизу и инструктаж в частности арифметического образования, — книга при умелом чтении даст всем нужный пафос и конкретные пути борьбы с рутиной.
      Книгу проникает органическая направленность автора на подбор жизненных по содержанию задач. Автор справедливо говорит: «Жизненные задачи имеют первостепенное значение как ядро, около которого организуется обучение арифметике. Пожалуй, можно требовать, чтобы каждому новому процессу предпосылалось в виде части введения к нему несколько жизненных задач — положений, требующих применения этого процесса», и не только говорит, но и эпизодически показывает, как это сделать. Правда, и здесь весьма часто содержание задач не связано с психологией трудового ребенка в его трудовой действительности.
      Но дело с жизненными задачами обстоит у Торндайка глубже, чем это может показаться на первый взгляд: автор стремится психологически тонко поставить в задаче вопрос, оправдать вопросом поставленную заданную тему и тем самым дать дополнительный стимул к ее решению. Возьмете ли вы предложенные Торндайком рецепты для приготовления тянучки или сдобного хлеба, или выбор подарков для товарища и родителей, смету ли на устраиваемый школьный вечер, а также смету на предполагаемую экскурсию, или составление отчета детского клуба и пр., или даже возьмете предложенные им простенькие задачи на сложение и умножение — вы всюду видите чуткого мастера в постановке задачного вопроса; недаром автор ставит тему «о задачах, ответы на которые в реальной жизни всегда уже известны».
      Интересно отметить, как автор-психолог страдает и не находит выхода в условиях американской действительности в связи с тем, «что тридцать учащихся, из которых половина— мальчики, а половина—девочки с разницею в возрасте до пяти лет и которые пришли из различных семей, с различными природными способностями, — не могут единодушно почувствовать такого-то сентября 19...г. жизненную потребность решать такую-то задачу, а затем, скажем 16 октября, почувствовать также единодушно потребность решить другую задачу». И тут хочется сказать, что только в условиях нашего социалистического хозяйства, с строительным пафосом молодежи, где создается единый органический социальный интерес, можно добиться того, о чем так беспочвенно мечтает Торндайк.
      Автор дает не только значительное количество образцов целеоправданных задач, но и дает серию ненужных задач и иронизирует насчет задач на торжественные речи и библейские псалмы или насчет сложения надгробных памятников.
      Но сила и тонкость психологического анализа рассыпаются не только в освещении заданной культуры; кристаллы психологизма оседают и на выявленные эпизоды частной методики арифметики. Автор справедливо подвергает критическому анализу «интуитивное восприятие числа», которое задано соответствующей числовой фигурой; он разносторонне рассматривает понятие о числе как характеристике множественной собирательности, или как отношении величин, или как идеи порядковой последовательности и пр. Правда, здесь чувствуется вся слабость философской и математической подготовки Торндайка, не говоря уже о том, что для анализа вопроса о возникновении понятия числа необходимо быть подготовленным с точки зрения определенной философии — диалектического материализма — единственно правильно разрешающей этот старый вопрос.
      В этой работе Торндайк старается, не совсем без успеха, уточнить понятие об устных и письменных приемах вычисления и стремится улучшить технику записей при письменных вычислениях, особенно рекомендуя карточный задачник и тесты.
      Автор удачно ставит и разрешает вопрос о месте и роли именованных чисел как базисе отвлеченных чисел и заданий для вычисления.
      Даже вскользь брошенное замечание о том, что нужно разработать методику деления с остатком, поставленную скорее в связь с методикой точного деления, или о начале умножения с пятков, о вычитании через прием пробы я пр.,— все это наводит сознание на глубокие методические размышления.
      На серии конкретных примеров автор показывает нам традиционную шкалу трудностей в подборе и расположении примеров, по которой поднимается сознание учащегося обращая между прочим особое внимание на нуль, котором/ в начальной арифметике не уделено достаточного психологического внимания; здесь автор стихийно подходит к большому вопросу, с тем чтобы сейчас же убежать к новым мелким вопросам практики, а между прочим только диалектика всеобщего и особого в их переходах дает учителю правильное разрешение вопроса о нулевом количестве.
      Мимоходом обращается внимание на такие связи, которые тормозят вырабатываемые рефлексы; например при сложении (столбиком) 9+8/17 в концентре двадцати мы приучаем учащихся, чтобы они сейчас же писали десяток, а в дальнейшем, в концентре сотни, отучаем от этого навыка, создавая другой рефлекс, связанный с оставлением десятка в уме, как то: 29+38/67
      Отсюда обоснованно ставится и разрабатывается назревший в методике вопрос о разной прочности рефлексов, о чем Торндайк говорит, что «некоторые связи применяются только в течение ограниченного времени; поэтому их необходимо развивать только до ограниченной, небольшой степени прочности».
      В «Психологии арифметики» дается анализ учебных начальных книг по математике с точки зрения правильности распределения по всему курсу повторяемого материала и вскрывается вся кустарщина в этом деле, практикующаяся в американской действительности; понятно, что на данном этапе развития методического мастерства у нас, в СССР, этой кустарщины в подборе и чередовании нового и старого арифметического материала не менее, чем в американской методике.
      Не менее интересен анализ Торндайка языковой стороны в начальном арифметическом образовании, где обращается внимание на «бесполезные лингвистические трудности», вошедшие в арифметическую культуру.
      Составителям арифметических книг для начальной школы не бесполезны некоторые советы по гигиене арифметического печатного и письменного текста в связи с его чтением.
      Поскольку мы в СССР отрываемся от традиционной рутины и вырываемся из плена односторонне-рефлексологической системы, постольку нам необходимо критически учиться и зорко наблюдать достижения буржуазной культуры; Торндайк же является в современной Америке апологетом новой, трудовой и педологизированной школы. Конечно, при этом мы всегда должны иметь в виду, что наша трудовая социалистическая школа весьма мало похожа на идеалы, которыми грезят мелкобуржуазные педагоги ближайшего и далекого Запада.
      Еще раз хочется повторить, что в книге есть чему учиться, но учиться по ней нужно умело, выбирая по преимуществуй техническую, а не идеологическую сторону методического процесса, помня, что расщепление приходится делать критически, так как обе стороны — техническая и идеологическая — в конкретном движении слиты в единый методологический и методический процесс.
      Проф. И. Андронов. Москва,
      19 сентября, 1931 г.