Россыпи головоломок

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
      Первый дошедший до нас учебник математики, точнее, его кусок длиною более пяти метров, известный в литературе как «лондонский папирус», или «папирус Райнда» (по имени обнаружившего его англичанина, который подарил свиток Британскому музею), а также как «папирус Ахмеса» (по имени его писца, жившего на рубеже XVII в. до н. э.), содержит 84 сопровождаемые решениями задачи. По этому учебнику велись занятия в школе государственных писцов. Уже древние египтяне понимали, сколь важную роль в процессе обучения играет элемент занимательности, и среди включенных в «папирус Ахмеса» задач было немало таких, которые подошли бы и для настоящего сборника. Так, в течение тысячелетий (!) из одного сборника математических головоломок в другой кочует «задача о кошках» из этого папируса (в каждом из 7 домов живет по 7 кошек; каждая кошка съела по 7 мышей; каждая мышь съела по 7 колосьев; из каждого колоса могло получиться 7 мер хлеба — так сколько всего предметов мы перечислили?); иными словами, первый известный нам учебник математики был «россыпью головоломок».
      Вообще-то только древние греки (и в первую очередь злосчастный Евклид) на горе детей многих поколений ввели привычную систему обучения математике — с длинным рядом определений и теорем, образующих непрерывную цепочку, которую надо постигать и запоминать звено за звеном.
      Прежде все было не так: мы располагаем сотнями клинописных «математических табличек» учебного характера, составленных древними вавилонянами, — это тоже в своем роде «россыпи головоломок», Прежде было не так — но и потом тоже не всегда было так: высочайший уровень строгости, отточенная логическая дедукция древних греков в чем-то явились даже препятствием на пути дальнейшего прогресса математической науки. Греки глубоко развили знания, полученные ими от египтян и вавилонян, которым свойственная грекам скрупулезность в выводах была чуждой; Однако для решительного прыжка вперед надо отойти назад: на уровне строгости греков математический анализ был обоснован лишь в XIX в., построения же Лейбница и Ньютона греков никак бы не удовлетворили — но ведь создать анализ сразу на уровне строгости Карла Вейерштрасса (1815 — 1897) было явно невозможно! И вот, на закате греческой цивилизации мы видим гениального Диофанта Александрийского, который, возвратись к вавилонской и египетской традиции, начал набирать новые факты. Его не волновало приведение их в строгую систему; и «Арифметика» Диофанта — это снова «россыпь головоломок» (притом весьма трудных).
      Самым знаменитым произведением средневековой математики была книга «Liber abaci» (1228) итальянского купца Леонардо из Пизы, известного как Леонардо Фибоначчи. По этой замечательной «россыпи головоломок» в Европе учили математику в течение столетий (наибольшую популярность из головоломок Леонардо приобрела «задача о размножающихся кроликах», послужившая основой важной теории рекуррентных, или возвратных, последовательностей2). Да и что иное, кроме «россыпи головоломок», мог предложить своим читателям Леонардо: происхождение его книги тесно связано с «математическими турнирами», которыми увлекался обласкавший Фибоначчи чудаковатый (как считали тогда) или, напротив, мудрый и во многом обогнавший свое время (как думаем мы сегодня) император «священной римской империи германской нации» и король легкомысленного (точнее — ренессансного) Неаполитанского королевства Фридрих II Гогеншта-уффен. (Традиция «математических турниров» получила дальнейшее развитие в Италии периода «высокого Возрождения» и имела большое значение для достигнутого в этот период прогресса математики.) В XVI — XVII вв. сборники математических головоломок уже не рассматривались как учебники, но отношение к ним было достаточно серьезным, и ни один труд по истории математики не обойдет вниманием сборник «Приятных и занимательных задач» сира Баше де Мезирака (Лион, J612 г.), сыгравший большую роль в создании и развитии теории чисел.
      Однако мы живем после Евклида и Архимеда и не имеем права и возможности игнорировать древнегреческий опыт. В школе мы ныне учимся по составленным под руководством акад. А. Н. Колмогорова пособиям, которые по систематичности и уровню строгости не уступают «Началам» Евклида. Но это в школе, вне школы все мы — и бывшие ученики, и ученики нынешние — имеем полное право пренебречь Евклидом и обратиться к писцу Ахмесу и сиру Баше, другими словами, обратиться к «приятным и занимательным» головоломкам, думать над которыми можно и в часы досуга и которые, право же, учат не так уж малому.
      Предлагаемый читателю сборник головоломок составлен американским писателем и любителем математики Стивеном Барром. В США он вышел в свет в виде трех отдельных книг, имевших значительный читательский успех, — возможно, даже больший, чем успех чисго беллетристических произведений Барра. К математике Барр обратился довольно поздно, заинтересовавшись задачами моделирования сложных поверхностей, обсуждаемыми в последней части настоящей книги. Его интерес стимулировали внимание и поддержка такого корифея занимательной математики, как хорошо известный нашим читателям Мартин Гарднер.
      Успех книг Барра в определенной мере связан с их современностью, с тем, что они несут на себе достаточно явственную печать нашего времени. «Приятные и зани-
      мательные задачи» Баше были, в первую очередь, связаны с целыми числами, ибо развитие теории чисел являлось в тот период насущной задачей математической науки. Головоломки Баше еще, разумеется, теорией чисел не являлись; но настраивали читателя на определенный лад, чем заметно способствовали прогрессу теории чисел как области математической науки.
      Сегодня в математике на одно из первых мест выходит топология, заметно потеснившая свою «старшую сестру» — геометрию. Несколько даже неожиданный расцвет топологии является одной из характернейших примет современной науки. Надо сразу же сказать, что на самом деле «топологические эксперименты» Барра, как правило, даже к топологии-то не относятся — постановки задач здесь зачастую «выходят» из топологии и «приходят» к геометрии. Однако задачи эти, безусловно, могут способствовать пробуждению как интереса к топологии, так и некоторой топологической интуиции — и в этом заключается их смысл и интерес.
      Еще одним достоинством книги Барра является ее полнейшая несистематичность: все задачи в ней независимы. Взяв с собой эту книгу, скажем, в дорогу, вы можете выбрать себе из нее в пути «изюминку» по вкусу. Но вы никогда не ощутите истинного вкуса изюминки, если ее разжуют за вас другие, — и над головоломками Барра надо думать самостоятельно, обращаясь к включенным в книгу решениям лишь после того, как найдете собственное, или если уж очень долго будете биться над задачей (но и в последнем случае ваши размышления Не пройдут без пользы).
      Итак, желаю вам успеха.
      И. Яглом
     
      Головоломка в противоположность задаче представляет собой нечто такое, от решения чего вы получаете удовольствие — в противном случае с какой стати вы стали бы ее решать? Я не думаю, что ответ непременно должен удивить вас, однако, мне кажется, вовсе не плохо, когда, узнав его, вы воскликнете: «Проклятье, как же мне самому это не пришло в голову!»
      Головоломки из жизни, вроде тех, где требуется найти преступника, зависят от обнаружения какого-то ключевого факта (именно его некогда и искал Шерлок Холмс), но ответ на обычную головоломку не должен опираться на какие-либо сведения, которые не были бы широко известны или до которых нельзя было бы додуматься в процессе решения.
      Головоломка может быть даже коварной, с небольшим подвохом, но и в этом случае ответ должен быть в своем ,роде достоверным. Я однажды спросил у своей младшей внучки, которая, как я думал, уже начала изучать геометрию — я очень плохо разбираюсь в возрасте, — знает ли она, как построить квадрат.
      — Да, — ответила девочка уверенно, — нужно просто отрезать у круга углы.
      Из поздравительной речи доктора Силвэна Мура, произнесенной в Регент-клубе Лондон, 1954 год
     
      Два стакана портвейна. У А. и В. было 16 унций портвейна и два стакана по 8 унций каждый. Джентль-мены наполнили свои стаканы, но, надо же такому случиться, их собачка, которая тоже обожала портвейн, вылакала из стакана, принадлежавшего В., целых 5 унций. Тем временем В. выпил по ошибке 3 унции портвейна из стакана, принадлежавшего А. Стоит заметить, что на стаканах были выгравированы деления, а также инициалы владельцев, каждый предпочитал пить из собственного стакана, да и вообще эти джентльмены были довольно легкомысленны и чудаковаты.
      — Послушай, — сказал А., — несправедливо, чтобы ты один страдал из-за собаки. Я отолью тебе из своего стакана, чтобы портвейна у нас оказалось поровну.
      Но В. покачал головой.
      — Я согласен, что мы должны распределить между собой потерянные 5 унций, но не забудь, что я уже выпил 3 унции из твоего стакана. Вот видишь, я их тебе возвращаю.
      С этими словами В. вылил все, что у него оставалось, в стакан А., который при этом вновь наполнился до краев.
      — Теперь мы поделим то, что осталось, — сказал В., и А. вылил ему в стакан половину своего портвейна.
      — Вот видишь, — удовлетворенно заключил А., — мы пришли к тому же, что предлагал и я, — у каждого из нас полстакана портвейна, и мы в расчете.
      В расчете ли джентльмены на самом деле? Если нет, то как восстановить справедливость? (Попытайтесь ответить на вопрос, не пользуясь карандашом и бумагой.)
      2. Паутина на кукольном домике. На рис. 1 изображен современный кукольный домик, покоящийся на
      плоском основании. По центру симметричного фронтойа высится флагшток AD. На крыше нижней части домика расположен садик размером 1 X 2. Высота флагштока равна 2 единицам. Все грани имеют прямоугольную форму.
      Ночью один сведущий в математике, но в остальном безвредный паук протянул паутинки, связывающие А, В, С и D, как показано на рис. 1, тонкими линиями. При этом он столкнулся со странным фактом: оказалось, что длина каждой из этих четырех паутинок равна зысоте флагштока. Пауку захотелось протянуть пятую паутинку от В к D.
      Какой длины окажется эта паутинка, если выразить ее в характерных размерах домика или любой из его частей?
      3. Патриарший крест. С помощью одного прямого разреза, проходящего через точку А, разделите патриарший крест, изображенный на рис. 2, на две равновеликие части. Доказательство должно опираться на элементарную геометрию и затрагивать только рационалы ные отношения отрезков (то есть отношения, выражаемые рациональными дробями). Разрешается полвзо-ваться лишь циркулем и линейкой. Длина стороны каждого из квадратиков на рисунке равна 1.
      4. Спрячьте край. У вас имеется квадрат со стороной в 5 дюймов, вырезанный из толстой бумаги. По краям квадрата с обеих сторон бумаги идет красная полоска шириной в '/, дюйма. Срез бумаги тоже покрашен в красный цвет. Требуется сложить бумагу таким образом, чтобы красный цвет полностью исчез. Это значит, что любой участок стороны квадрата или среза бумаги (даже угол) считается неспрятанным, если его можно различить среди прикрывающих частей бумаги, как показано в увеличенном виде на рис. 3.
      Здесь Е нужно убрать по крайней мере на ’/б дюйма. Если бумага уже была сложена и в результате очередного складывания образуется более чем одна складка, то мы все равно засчитываем одно новое складывание.
      Каково минимальное число складываний, необходимое для решения задачи?
      5. Постройте куб. У вас есть прямоугольный кусок бумаги размером 1 X 3. Разрежьте его (проводя прямые разрезы) на две одинаковые части так, чтобы, сложив их должным образом, а затем соединив вместе, получить куб.
      При этом не допускаются никакие наложения или дыры. Сведите число разрезов до минимума.
      6. Человек в люльке. Человек стоит в строительной люльке, привязанной к концу А перекинутой через блок веревки (рис. 4). Другую часть веревки, В, он держит в руках. Прямо перед ним нахо дится стена. Конец веревки С, расположенный ниже его рук, имеет в длину 5 футов и заканчивается петлей. Человек устал держать веревку в руках и хочет позавтракать. Он спускается до тех пор, пока ему в руки не попадает петля, которую он накидывает на
      торчащий в стене гвоздь. Длина всей веревки 25 футов. Веревка слегка эластична, так что в начальный момент (изображенный на рисунке) части Л и В веревки сильно растянуты (примерно 90 % от критического растяжения, при котором веревка разрывается), а человек находится в 15 футах от земли. Растяжение веревки составляет 1 дюйм1 на каждый фут. На какой высоте окажется человек, когда наденет петлю на гвоздь? Размером петли можно пренебречь. Дайте округленный ответ с точностью до полудюйма.
      7. Сколько частей? Возмите квадратный лист бумаги и разрежьте его поперек почти до конца (рис. 5, а).
      1 фут = 12 дюймам.
      Затем сложите, как указано, и снова разрежьте его поперек почти до конца (рис. 5, б). Далее сложите его под прямым углом к предыдущей складке и вновь разрежьте, как и раньше (рис. 5,в). Продолжайте этот процесс, но шестой разрез сделайте до конца. Сколько отдельных частей у вас при этом получится?
      Как выражается общее количество частей в случае любого числа разрезов (не включая сюда последний, полный, разрез)? Попытайтесь ответить на первый вопрос в уме. Затем попробуйте построить нечто вроде диаграммы, показывающей, что здесь происходит. (Эксперименты более чем с восемью складываниями исключаются, поскольку вы не сумеете их осуществить на практике.)
      8. Медленно — значит рано. Один человек получил надежную информацию о времени, когда объект А прибывает в пункт X. Основываясь на этих данных, он оценил время его прибытия в пункт У. Человек попытался угадать скорость (постоянную) этого объекта А, но ошибся. Тем не менее его информация во всем, что касается расположения А и У, а также времени прибытия А в X, правильна. В действительности объект А прибывает в У раньше, так как он движется медленнее, чем
      предполагал человек. Объясните, как это могло произойти, и приведите пример из жизни.
      9. Волк в овчарне. Волк пересекал пустыню. К середине своего пути он так отощал, что уже не мог двигаться дальше. И тут-то он наткнулся на железную ограду, за которой паслись жирные овцы — увы, слишком жирные, чтобы пролезть между прутьями. Самому оголодавшему волку это бы удалось, но он понимает, что если пролезет в загон и отъестся, то неминуемо растолстеет и уже не сможет выбраться из-за ограды, которая замкнута, слишком высока и прочна. Пастух придет с ружьем на следующей неделе, а волку не выдержать уже такого голодания, как раньше. Какова наилучшая стратегия волка в данной ситуации?
      10. Что за животные? Два животных, А и В, находятся на огромной гладкой равнине. Если А хочет схватить В, В стремится убежать от Л и В расположен от А в 20 ярдах, то А всегда может схватить В. В то же время если В хочет схватить А, А стремится убежать от В и А расположен от В в 20 ярдах, то В всегда может схватить А. Как это может быть и что это за животные?
      11. Стихи о возрасте. Эти два четверостишия задают общие уравнения, лежащие в основе старинной загадки «Сколько лет Энни?» (Женщины, дети и адвокаты, по-видимому, смогут решить первую из них в уме. Что же касается математиков, то им совершенно необходимо разрешить пользоваться карандашом и бумагой.)
      I
      Прошу, найдите отношенье наших лет (Но карандаш положен вам едва ли).
      В два раза старше я, чем были вы в момент,
      Когда я был такой, каким теперь вы стали.
      II
      На доказательство пусть хватит ваших сил Того, что я, как ни были б вы старше, чем я был,
      Когда вам было, сколько мне сейчас,
      Моложе менее чем вдвое вас.
      12. Семь зверей. Имеется семь (и только семь) зверей: лев, гиена, пудель со щенком, сиамская кошка
      с котенком и датский дог. Каждый из них принадлежит к одному из двух подотрядов. Одного из животных зовут X, а другого (отличного от первого) — Y.
      Зрачки у льва отличаются по форме от зрачков X.
      Гиена принадлежит к тому же подотряду, что и Y.
      Y никогда не касается X.
      Какого зверя зовут К?
      Нужно заметить, что в нашем случае задача имеет единственное решение.
      13. Веревка и солонка. Вы берете веревечную петлю, кладете ее на пол и придаете ей форму квадрата, в середину которого ставите солонку. Затем вы перекидываете угол квадратной петли через солонку, как показано пунктиром на рис. 6, а. Если вы проделаете это всеми четырьмя углами, то сколько замкнутых петель веревки будет окружать солонку?
      Если вы сложите исходную петлю в виде треугольника, перекрутите каждую из его вершин по часовой стрелке и перекинете полученные при этом петли через солонку, как показано пунктиром на рис. 6, б, то сколько замкнутых петель в итоге будет окружать солонку? На оба вопроса вы должны ответить, не пользуясь ни веревкой, ни даже бумагой и карандашом.
      14. «Лучинки». Для того чтобы сдлать «лучинку» (перекрученную полоску бумаги, годную, например, на то, чтобы с ее помощью прикурить, скажем, от костра), мы отрываем полоску от газеты, при этом один край
      полоски остается ровным, а другой будет рваным. Затем мы начинаем скручивать нашу полоску с одного из двух углов (рис. 7). Допустим, мы хотим спрятать рваный край. Тогда каким способом надо скручивать полоску? Да и вообще попробуйте, не пользуясь бумагой, ответить на вопрос: к какому из указанных на рис. 8 результатов приведет каждый упомянутый выше способ?
      15. Свободный участок. От параллельных стен, ограждающих с двух сторон изображенный на рис. 9 свободный участок земли шириною 10 ярдов, отходят еще две перегородки. В дальнем углу участка находится лампа L. Возвращаясь вечером из школы, Пит обычно видел эту лампу. Все расстояния до изгороди он измерил шагами (на рисунке они даны в ярдах). Позднее владелец участка построил два прямоугольных (на участке все имело прямоугольную форму) сарая, один перед перегородкой В, а другой за перегородкой А, использовав А и В как торцовые стены. Он сказал Питу, что отношение длины к ширине у обоих сараев одинаково, но не сообщил их величину. Владелец построил
      также новую изгородь, идущую вдоль участка. Теперь Пит видел только, как свет лампы мелькает между дальним углом сарая А и ближним углом сарая В. Не в состоянии уже измерить что-либо шагами, он тем не ме
      Умица Рис. 9.
      нее сумел вычислить длину участка. Чему же она равна?
      16. Бумажные звезды. Каждому известно, что складывая особым образом и разрезая бумагу, можно получить звезды. Звезду мы определим как правильную фигуру с острыми лучами. Пятиугольник не подходит под наше определение, так как углы при его вершинах тупые; а вот фигура, изображенная на рис. 10, а, — это пятиконечная звезда. На самом деле она представляет собой десятиугольник, вершины которого, чередуясь через одну, определяют лучи нашей звезды. В данной головоломке разрешается сделать один прямой разрез, а вот число складываний не ограничено.
      Сложив бумагу один раз, мы еще ничего не сможем сделать (рис. 10,6), а с помощью двух складываний удается получить квадрат (рис. 10, в), который никак нельзя считать звездой, поскольку углы при его вершинах не острые. Однако и здесь можно сделать «двухконечную звезду», если провести разрез под углом, отличным от 45° (рис. 10,г). С помощью трех складываний (рис. 11, а) мы получаем настоящую четырехконечную звезду (рис. 11,6), а делая перегибы в разные стороны (рис. 11,е), удается получить трехконечную звезду (рис. 11, г).
      I. Получите с помощью четырех складываний пятиконечную и шестиконечную звезды. (Восьмиконечную звезду можно получить, сделав одно дополнительное складывание по диагонали, показанное на рис. 11, а.)
      II. Изготовьте трехконечную звезду с помощью четного числа складываний.
      17. Трюк с шапкой Мёбиуса. Лист Мёбиуса получают, склеивая концы перекрученной на пол-оборота полоски бумаги (рис. 12) *. В результате у полоски соединяются оба края А я В и обе стороны, так что у листа Мёбиуса — только одна сторона и только один край. Если вы проведете продольную линию по центру листа Мёбиуса, то она пройдет по обеим «сторонам»;
      1 Листу Мёбиуса уделено много внимания в заключительной части книги. — Прим. ред.
      если же вы произведете вдоль этой линии разрез, то в результате получатся не две, а снова одна часть. Чтобы заниматься подобными головоломками, требуются карандаш, бумага и ножницы.
      Если мы воспользуемся достаточно плотной бумагой, например полоской ватмана 1 X Ю см, то петля будет выглядеть как неправильный овал с прогибами. Растянув стороны, мы добьемся только того, что петля примет треугольную форму. Но исходная полоска не обязана быть прямоугольной: нужно только, чтобы края полоски, даже если они искривлены, были «параллельны», подобно краям дороги (не обязательно прямолинейной).
      I. Определите с помощью эксперимента и рассуждений наилучшую форму полоски, при которой дыра в листе Мёбиуса, образованном из этой полоски, была бы близка к круглой.
      II. Все сказанное выше было лишь подготовкой к основному вопросу: можно ли использовать лист Мёбиуса в качестве полей к шляпе? Задача сводится к тому, чтобы приделать край листа или, точнее, часть края к цилиндру, поскольку часть шляпы, окружающая голову, имеет форму цилиндра. При внимательном изучении становится очевидным, что как бы мы ни искривляли и ни обрезали край полого цилиндра, его нельзя полностью соединить с краем листа Мёбиуса, поскольку последний перекручен. Сделайте просто шляпу, которая выглядела бы достаточно разумно и была бы, если возможно, довольно красивой.
      18. Бассейн и флаги. У одного человека был круглый бассейн 100 футов в поперечнике и два флага, которые он решил поставить на краю бассейна таким образом, чтобы кратчайшее расстояние между ними (измеренное вдоль края) так же относилось к большему расстоянию, как это большее расстояние — ко всей длине окружности (рис. 13). Только этот человек успел поставить первый флаг, как пришел его приятель (математик) и принес третий флаг.
      — Теперь, — сказал приятель, — мы должны pacnqj ложить флаги таким образом, чтобы расстояние между первым и вторым флагами относилось к расстоянию между вторым и третьим флагами, как это последнее к первому и второму расстояниям, вместе взятым. Более
      гг
      того, боюсь, что второе расстояние должно относиться к третьему, как это третье ко второму и третьему, вместе взятым.
      — Боже мой! — воскликнул владелец бассейна. — Куда же я должен воткнуть третий флаг?
      — Я не могу тебе так сразу определить расстояние до него от второго флага, — сказал приятель. — Зато я знаю, на каком расстоянии по прямой он должен находиться от первого флага.
      Почему это расстояние легче определить и чему оно равно?
      19. Бесконечная шахматная доска. На шахматной доске размера 8X8, изображенной на рис. 14, а, черные клетки расположены таким образом, чтобы из любой клетки можно было попасть в черную клетку ходом слона. Если мы сдвинем все черные клетки на одну клетку влево, то нам придется использовать 13 черных клеток вместо 12 (рис. 14,6). На рис. 15 показано, что происходит на досках, содержащих 9, 16, 25 и 36 клеток. Можно заметить, что число черных клеток возрастает довольно нерегулярным образом. Вопрос заключается в следующем: какую долю составляют черные клетки на бесконечно большой шахматной доске?
      20. Резиновые ленты. Коробку можно перевязать одной матерчатой ленточкой, не перекручивая ее, если мы считаем, что в тех местах, где ленточка перехлестывается, как показано на рис. 16,а, скручивания не происходит. Например, коробку можно перевязать способом, изображенным на рис. 16,6 или в (узлом мы пренебрегаем). Но можно ли, исходя из тех же двух способов, перевязать коробку резиновой лентой? Разница заключается в том, что резиновая лента (например, аптекарская резинка) уже соединена в неперекручен-ную петлю до начала перевязывания, в то время как матерчатую ленточку мы завязываем узелком в конце. Мы требуем только, чтобы резиновая лента обвязывала коробку по схеме, приведенной на рис. 16, г. Что же касается мест самопересечения х, то их можно сделать либо прямыми, как на рис. 16,6, либо с перехлестом, как на рис. 16, в.
      Для экспериментов возьмите широкую толстую резиновую ленту 1 длиной около 30 см (в нерастянутом состоянии) и вырезанный из толстого картона прямоугольник размером, скажем, 15X20 см. Перехлест на рис. 16, а по внешнему виду походит на перехлест на рис. 17, но нам удобнее будет считать, что на рис. 17 не происходит перекручивания, поскольку сторона ленты, которая ранее была верхней, остается верхней и далее.
      Чтобы читатель не тратил зря времени, мы сразу скажем, что с помощью способов, указанных на рис. 16, б и 17, обвязать коробку резиновой лентой без перекручивания нельзя; а с помощью способа, представленного на рис. 16, г, можно. Как это сделать?
      21. Неправильный рост. Некий человек заметил, что одна его ресница растет под таким углом, что задевает глазное яблоко. Он вырвал ее пинцетом. Затем это стало повторяться вновь и вновь, причем через крайне нерегулярные промежутки времени, так что человек решил во всем разобраться. Между двумя предыдущими удалениями ресницы прошло 4 дня, но на этот раз интервал составил 12 дней. Далее — снова 12 дней, потом, к его удивлению, — 4 дня. Затем последовал долгий перерыв в 16 дней, потом — 4 дня, далее — 12 и наконец опять 12 дней.
      — Ага! — воскликнул он. — Я понял, что происходит, и знаю, когда придется удалять очередную ресницу.
      Когда же это придется сделать и почему?
      22. Изобретательный реставратор. Реставратора попросили подновить испорченную фреску. Владелец сказал:
      — Как видите, вся фреска пбкрыта пятнами. Правда, в большинстве своем они очень мелкие, и, я думаю, их следует оставить нетронутыми как свидетельство древности фрески. Однако вам следует удалить 10 или 15 самых крупных пятен, которые портят изображение неба, ибо напоминают навозных жуков или что-то в этом роде.
      Реставратор сделал все, как его просили, но владелец, посмотрев на работу, заметил:
      — Я вижу, вы еще не закрасили самые большие пятна.
      Тем не менее 10 или 15 наибольших пятен было к тому времени удалено, и реставратор предложил полностью отреставрировать небо, удалив все пятна. На это владелец возразил, что тогда пришлось бы полностью реставрировать и остальную часть фрески, чего он не может себе позволить. В итоге реставратор еще раз проделал аналогичную работу и с тем же результатом: следующие 10 или 15 наибольших пятен все так же выделялись на фоне неба.
      Вопрос состоит в следующем. Пятна на фреске убывают по размеру от самых больших до мириадов микроскопических точек, сосчитать которые не взялся бы ни один человек. Реставратор понял, что, как бы долго ни продолжал он действовать подобным образом, всегда останутся очередные 10 — 15 наибольших пятен. Как же ему следует поступить?
      23. Криптарифм. Криптарифм представляет собой головоломку, в которой над числами выполняются арифметические действия, например сложение или умножение, но цифры зашифрованы буквами. Требуется восстановить все числа, участвующие в головоломке. Простейшим примером служит «криптарифм на умножение»
      Поскольку одинаковыми буквами обозначаются одинаковые цифры, мы заключаем, что А = 1, ибо только 1 удовлетворяет данному равенству.
      Иногда вместо цифр ставятся и другие символы. Так, например, в приведенном ниже криптарифме вместо всех зашифрованных цифр ставится точка. Известно также, что у этой задачи ответ единствен. (Цифрой 1 обозначена, разумеется, единица.) Восстановите все цифры.
      24. Человек и пояс. Один человек имел обыкновение, отправляясь в дорогу, скатывать пояс от купального халата. Один конец этого пояса был срезан под углом 45°, что раздражало нашего владельца, поскольку из-за этого толщина рулона в поперечном направлении становилась неравномерной. Человек пытался сложить конец пояса так, чтобы придать ему прямоуголь-
      Просто загнуть конец, как показано на рис. 18, а, нельзя, поскольку удвоенная толщина приходится на непрямоугольный участок А. Способ, представленный на рис. 18,6, тоже не годится, так как, хотя теперь утолщение и принимает прямоугольную форму, на участок В приходится 2 слоя, а на участок С — 3 слоя. Ряд других манипуляций тоже не привел к цели. Как же человек в конце концов справился с этой задачей?
      25. Азбука Морзе. Взгляните на международную азбуку Морзе на рис. 19. Учить ее наизусть довольно скучно; а поскольку научиться посылать с ее помощью сообщения легче, чем научиться их принимать, то лучше начинать с последнего. Для отправителя приведенная выше таблица выглядит вполне логично, ибо буквы на ней расположены в алфавитном порядке, но для человека, получающего сообщения, они мало пригодны. В каком же порядке следует расположить символы так, чтобы, получив сигнал, мы могли, не теряя времени, определить, какой букве соответствует данный символ? (Пунктуацией, цифрами и т. п. мы пренебрегаем.)
      26. Полускрытые весы. На рис. 20 горизонтальная линия изображает невесомое коромысло, точка опоры которого расположена в F. Длина правого рычага коромысла неизвестна, длина левого рычага равна 1 м, к тому же на его конце подвешен груз в 1 кг. Коромысло способно удерживать любой вес, а поскольку оно находится в равновесии, на его правом конце тоже висит некий груз. Чем дальше расположен правый груз от точки опоры, тем меньшим он должен быть. Каковы наибольшая и наименьшая границы для суммарной силы, с которой коромысло давит на точку опоры F?
      27. Звездоподобный тетраэдр. Назовем звездоподобным правильным многогранником фигуру, которая получится из обычного правильного многогранника, если на каждой его грани как на основании построить правильную пирамиду (на каждой грани одинаковую). Так, на рис. 21 изображен звездоподобный куб; он имеет 24 грани, а не 6, как обычный куб. Легко заметить, что к каждому ребру исходного куба примыкает теперь по две грани, образующих двугранные углы вроде а (которые тоже примыкают друг к другу); это — общее правило.
      В нашем определении ничего не говорится о высотах пирамид, кроме того, что все они равны между собой. Если мы возьмем звездоподобный тетраэдр, или «родо-дендраэдр» (рис. 22), и начнем уменьшать высоту
      соответствующих пирамид, то, очевидно, углы будут возрастать. В какой-то момент они станут равны 180°. Как называется (на обычном математическом языке) такой звездоподобный тетраэдр?