|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Мы являемся свидетелями резкого расширения круга интересов математики и области ее приложений. Это связано с тем, что все более и более широкие области человеческой деятельности достигают такого уровня развития, на котором они требуют применения точных методов мышления. Если несколько десятилетий тому назад потребителями математики являлись главным образом технические науки и физика, тогда как в других областях появление математических методов было редким исключением, то в настоящее время математические методы находят широкое применение в самых различных областях естествознания — таких, как химия и биология, и начинают проникать в некоторые области общественных наук, прежде всего в лингвистику и экономику.
Одним из широких направлений, по которому идет проникновение математических методов в весьма разнообразные области человеческой деятельности, является изучение управляющих систем и процессов управления, составляющих предмет кибернетики. Вопросы такого рода возникают, с одной стороны, в области техники и охватывают проблематику автоматического регулирования работы машин, автоматизацию управления технологическими процессами, а также конструирование и эксплоатацию вычислительных или семантических машин. С другой стороны, такие вопросы возникают в области, биологии и охватывают различные аспекты изучения работы нервной системы, начиная с описания функционирования отдельного нейрона или группы нейронов, связанных между собой, и кончая изучением функционирования нервной системы в целом, как с точки зрения экспериментальной физиологии, так и с точки зрения психологии. Кроме того, проблематика, связанная с изучением процессов управления и управляющих систем, возникает на почве генетики, эволюционной биологии и динамики развития.
Подход кибернетики ко всей этой проблематике заключается в разработке алгоритмов, описывающих с той или иной степенью точности процессы передачи и переработки информации при помощи которых осуществляется управление.
Важным случаем разработки управляющих алгоритмов является случай, когда назначение алгоритма заключается в ведении борьбы против другой управляющей системы или другого алгоритма. При этом принципы, на которых основаны действия противника, могут считаться известными лишь в определенных пределах. Для выработки целесообразной системы действий приходится опираться на весь комплекс имеющихся сведений о возможных ответных действиях противника, которые во многих случаях могут быть прогнозированы лишь в теоретико-вероятностном смысле. Это ведет к необходимости разработки теории управляющих алгоритмов для ведения борьбы с использованием с юбражений статистического характера об ответных действиях противника. Вопросы такого рода возникают перед исследователем в самых разнообразных областях науки. Они возникают перед экспериментатором-рефлексологом, планирующим свои эксперименты, которые можно рассматривать как борьбу с нервной системой подопытного животного. Такие же вопросы возникают перед экономистом, планирующим функционирование того или иного предприятия или той или иной области хозяйства в расчете на наиболее рациональное преодоление внешних трудностей. Наконец, аналогичные задачи возникают перед командиром на поле боя.
Теория игр — это новое направление в математике, возникшее в работах Э. Бореля (1921 г.) и Дж. Неймана (1928 г.) и развившееся к настоящему времени в большую область, представляет собой теоретическую основу методов разработки алгоритмов для ведения борьбы против некоторой, быть может не вполне известной, управляющей системы. Для придания отчетливости постановке вопроса в теории игр заранее ограничивают возможности борющихся сторон, а также ту цель, которую они преследуют. То и другое находит свое выражение в правилах игры. Если правила игры оставляют партнерам ту или другую степень произвола, то задачей теории является разработка таких алгоритмов, следуя которым и опираясь на имеющуюся информацию о состоянии игры, игрок может выбрать наиболее рациональные решения в пределах имеющегося у него произвола.
Предлагаемая читателю книга Блекуэлла и Гиршика представляет собой изложение основной части теории игр, в достаточной степени сложившейся в настоящее время, в которой изучаются игры с конечным числом возможностей. Последнее требование выполнено в подавляющем большинстве ходовых интеллектуальных игр и само по себе вполне допустимо с точки зрения тех приложений, в расчете на которые теория игр разрабатывается. Однако его роль в основной части теории весьма своеобразна. В конечном итоге оно затрудняет приложение теории во многих случаях. Дело в том, что в теории, игр с конечным числом возможностей делается предположение, что в каждом отдельном случае осуществим полный перебор всех имеющихся возможностей и сопоставление их между собой. В такой игре, как шахматы, которая имеет конечное число возможностей, это ведет к необходимости просмотра триллионов вариантов. Ясно, что в таких условиях использование методов теории игр во всей полноте становится невозможным. В связи, с этим все больший интерес приобретает общая теория игр с бесконечным числом состояний. Может быть, целесообразно различать основные типы игр по несколько иному признаку: вместо конечного или бесконечного числа возможностей следует разграничивать случаи, когда полный перебор всех возможностей доступен и когда он не доступен.
Следует отметить, что наряду с имеющими большой интерес разработкой теории игр как математической дисциплины и применением ее к конкретным задачам, заслуживает внимания также и экспериментальное изучение игр в тех случаях, когда теоретический подход оказывается недостаточным. Я имею в виду эксперименты, которые могут быть осуществлены при помощи цифровых вычислительных машин. Тот или Другой тактический алгоритм может быть программным путем осуществлен в машине, после чего игры человека с машиной или Двух машин между собой позволяют нащупать слабые места того алгоритма и подойти к вопросу об его экспериментальном усовершенствовании. Конечно, использование общих соображений теории игр при этом будет весьма существенным. Думаю, что такой подход может продвинуть нас в направлении разработки статистической теории игр, в случае когда полный перебор возможностей неосуществим.
Думаю, что она принесет значительную пользу широкому кругу математиков, интересующихся теорией вероятностей и ее приложениями, а также всем тем лицам, которые занимаются кибернетикой.
А. А. Ляпунов
Теория решений при рассмотрении статистических задач исходит из принципа, что любое статистическое правило нужна оценивать по даваемым им результатам в различных обстоятельствах. Этот принцип был впервые ясно высказан Нейманом и Пирсоном в их теории проверки гипотез. В 1939 г. А. Вальд пред-ложил распространить этот принцип на все статистические задачи и разработал его в ряде статей, завершением которых явилась его книга Statistical Decision Functions, Wiley, 1950. Значение подхода Вальда было широко признано, и теория решений за последнее время применялась во многих исследованиях по статистике. Эта книга представляет прежде всего учебник. по теории решений для аспирантов первого года обучения в области статистики.
Математическая модель Вальда в теории решений является частным случаем модели теории игр, предложенной Борелем в 1921 г. и в более общей форме Дж. Нейманом в 1928 г. Полное развитие она получила в книге Дж. Неймана и О. Моргенштерна Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, 1944 г. Многие из выводов в книге Неймана и Моргенштерна, например приведение игр к нормальной форме, теорема минимаксов, теорема выгоды и многие из исследований, вызванных этой книгой, имеют фундаментальное значение для теории решений, поэтому наша книга начинается с рассмотрения соответствующих разделов теории игр. Попутно мы рассматриваем некоторые вопросы, не относящиеся, строго говоря, к статистике, например игры с полной информацией. Превосходный разбор не рассматриваемых здесь Многочисленных сторон теории игр читатель может найти в книге С. С. McKinsey, Introduction to the Theory of Games, McGraw-1 1952. В развитии теории игр и теории решений приняли
участие многие исследователи. В работах, указанных в перечне литературы в конце книги, читатель в большинстве случаев найдет более полный разбор изложенных здесь вопросов.
Необходимой предпосылкой для чтения этой книги является знание курса элементарного анализа, охватывающего такие вопросы, как пределы последовательностей, равномерная сходимость, интеграл Римана и теорема Гейне—Бореля. Для отдельных параграфов требуется некоторое знакомство с матрицами, детерминантами и понятием линейной зависимости. Применяемые статистические понятия определяются в книге, однако читателю, не знакомому со статистикой, некоторые разделы могут показаться трудными. В основном изложении встречаются только дискретные распределения, но в примерах приводятся также непрерывные распределения, например нормальное распределение. Более полный разбор используемых здесь понятий теории вероятностей и статистики читатель может найти в двух превосходных книгах:
В. Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, ИЛ, Москва, 1952, и А. М. Mood, Introduction to the Theory of Statistics, McGraw-Hill, 1950.
Мы весьма благодарны Военно-Морскому исследовательскому бюро за его постоянную помощь, которая дала нам возможность написать эту книгу. Мы благодарны также нашим прежним коллегам по работе в «Ранд Корпорейшн», которые в многочисленных собеседованиях помогли нам уточнить наши понятия, Герману Рубину и Патрику Саппесу, участие которых, по существу, явилось соавторством, Д. Ч. Ч. Мак-Кинси за многочисленные исправления, в частности в I-й и П-й главах, Оскару Уэслеру, который значительно увеличил ясность и точность изложения при окончательном просмотре книги, РозедитСитгривс и Расселу Н. Бранту за существенные замечания,Глэдис Гарабедьян за приготовление чертежей и многим другим за помощь и критические замечания. Мы благодарны Филлис Уинклер, которая, не теряя своей жизнерадостности, перепечатала два варианта книги, изменив соответствующим образом обозначения и расшифровав малопонятные указания авторов.
Дейвид Блекуэлл, Февраль 1954 г. М. А. Гирилик.
|
