Три судьбы
Постижение мира

DjVu

      ПЯТЫЙ ПОСТУЛАТ
     
      Отец и сын
      Как-то в прозрачное осеннее утро 1796 года по тихим улочкам Геттингена бродили двое студентов. Один из них был уроженец соседнего Брауншвейга Карл Фридрих Гаусс, другой — венгр из Трансильвании Фаркаш, а на немецкий лад Вольфганг Бойаи.
      Тогда в «Германии туманной» прогулки чуть свет или под звездами мало кого могли удивить, то был стиль и быт питомцев университета. Но эти двое искали уединения не только ради традиции.
      Математика! Едва ли что-нибудь другое на свете больше занимало их мысли. Оба друга, порывистый, экзальтированный Бойаи и сдержанный Гаусс, верили, что они внесут свой вклад, может и не малый, в науку. Молодости свойственно и мечтать, и увлекаться, и переоценивать свои силы. Но тут на самом деле были недюжинные силы, ждущие выхода, был талант. Нерешенные задачи прошлого, веками занимавшие математиков, не могли не будоражить их юные головы. И уж конечно, они снова и снова возвращались к пятому постулату Эвклида, этому камню преткновения геометрии, вот уже две тысячи лет лежащему на ее пути.
      Минувшей ночью Фаркаша осенила новая идея. Ему показалось, что он придумал, как, наконец, разгрызть этот орешек — постулат о параллельных. Бойаи пораньше разбудил Гаусса, вытащил его из постели и увлек за собой.
      Они шли, забыв обо всем яг свете. Возбужденный Фаркаш то рисовал на земле геометрические фигуры.
      задевая палкой прохожих, то мелом исчерчивал стены домов, не заканчивая одной мысли, перескакивал на другую, но чуткий ум Гаусса схватывал все на лету.
      — Я назову это «Геттингенской теорией параллельных линий»! — воскликнул Фаркаш.
      — Вы гений, вы мой друг... — тихо и проникновенно ответил Гаусс.
      — «Ты, ты»! Разве мы не братья, Гаусс, разве мы не друзья на всю жизнь!
      ...Кончились годы учения, пришло время расставаться. Гаусс уехал домой, в Брауншвейг, а Фаркаш задержался в Геттингене. Не по доброй воле. Как это ни странно звучит, он был оставлен в залог. Получилось так, что Шимон Кемени, юный отпрыск богатого трансильванского барона, неумеренно тратил отпущенные отцом деньги и к окончанию университета кругом задолжал. А кому же расплачиваться за это, как не Фар-кашу Бойаи? Ведь его, сына обедневшего дворянина, еще в детстве взяли в семью барона для совместных занятий с Шимоном; он стал спутником молодого Кемени при поездке в Германию, вместе с ним учился и окончил университет.
      И вот молодой барон уехал, а Фаркаш остался заложником.
      Чтобы выручить друга, Шимон Кемени нашел простой выход:
      «Дайте мне четыреста рейнских форинтов, чтобы я мог вытащить Фаркаша из болота. Я обещаю вам выплатить все это в течение двух лет», — написал он старику Бойаи.
      Потом Шимон, видимо, вспомнил, что семья Фаркаша очень бедна и вряд ли располагает такой суммой, и дал блестящий совет: «У вас есть земельная собственность, продайте кусок земли».
      Странно только, что юному барону не пришло в голову продать хоть клочок своих огромных владений.
      В конце концов Фаркаш был отпущен домой. Пешком, без денег возвращался он в Трансильванию. Ему предстояло перевалить через Гарц, пересечь Германию с севера на юг, а это значило пройти десятки королевств и княжеств с запертыми границами, миновать Австрию
      и в самой Венгрии дойти до ее юго-восточной окраины. Мысленно представляя себе весь этот долгий путь, Фаркаш с каждым днем удлинял переходы. Только изредка останавливался он отдохнуть в придорожных трактирах.
      Неспокойна была дорога. Вдоль нее ползли тревожные слухи, разговоры о войне. Немногим больше года прошло с тех пор, как Австрия заключила с Наполеоном Кампоформийский мир. А теперь Англия создала вторую коалицию, и вот-вот опять грянет война.
      Чем дальше на юг продвигался Фаркаш, тем напряженней становилась атмосфера. Вена полна была воспоминаний о недавних событиях; она не успела еще оправиться от смятения, охватившего ее, когда Наполеон перешел через Альпы и готовился вступить в город. Об этом говорили все, и все по-разному относились к событиям. Фаркаш то и дело вмешивался в споры. Оч воспламенялся от любого сказанного ему наперекор слова и готов был сразу лезть в драку. «Я огонь, я пламя», — сказал он как-то о себе. Но даже частые путевые приключения и перемена мест не очень отвлекали его все от тех же мыслей — о Геттингене, о Гауссе, о математике.
      На границе Трансильвании Фаркаша ждала коляска: хоть это догадался сделать для него Шимон Кемени. Так, уже основательно сбив башмаки, Фаркаш последнюю, пятую часть своего пути ехал барином. Кучер довез его до Колошвара, где жили Кемени.
      В те времена Колошвар был небольшой город с двенадцатитысячным населением. И хотя он заслуженно носил негласный, но громкий титул центра культуры Трансильвании, средоточия ее интеллигенции, все же духовная жизнь там едва теплилась. Молодой талантливый математик Фаркаш Бойаи, окончивший один из лучших университетов Европы, снова вынужден был поступить воспитателем к тому же барону Кемени: найти лучшее применение своим способностям он не мог.
      Впрочем, Фаркаш не унывал. Он с удовольствием поселился в Колошваре, бывал в обществе, много развлекался, и даже наука на какое-то время отошла на задний план. Но привязанность к Гауссу не ослабевала.
      Верный привычке обо всем рассказывать другу, Фаркаш подробно пишет Гауссу о том, что его окружает, — о Колошваре, о тамошнем обществе, о семье Кемени. Однажды в Брауншвейг полетело письмо о знаменательной встрече...
      На масленице 1800 года Фаркаш познакомился с восемнадцатилетней девушкой, дочерью местного хирурга Сусанной Бенке, и полюбил ее. «Сердце захватило королевский трон, принадлежащий мозгу, — в обычном своем стиле писал Фаркаш. — Моя невеста не красавица, но она удивительно привлекательна, умна, благородна, очень музыкальна».
      Фаркаш стал мужем Сусанны Бенке. Однако счастье молодой четы скоро омрачилось. У Сусанны начались острые приступы тяжелой наследственной истерии. «Будущее окутано черными тучами, и уже слышны первые раскаты грома», — через год после свадьбы написал Фаркаш Гауссу.
      Но вот 15 декабря 1802 года родился сын. В Германию снова полетели восторженные письма.
      «Это, слава богу, здоровый, очень красивый ребенок, с тонкими чертами лица, черными волосами и ресницами и горящими темно-синими глазами, которые играют как два бриллианта».
      И через год: «Наш сын — чудесный мальчик. Он как луч света в ночи нашей души».
      Горячий последователь Руссо, Фаркаш хотел, чтобы детство Яноша протекало среди природы. У Бойаи было небольшое наследственное имение Домальд близ города Марошвашархея. Дикая красота местности, изрезанной скалами, заросшей лесами, казалось, как нельзя более отвечала замыслам Фаркаша. Недалеко от дома протекал бурливый, извилистый ручей, который Бойаи сам отвел из соседней долины. Вода падала со скалы на скалу. У одного из маленьких водопадов Фаркаш построил хижину, вся обстановка которой состояла из каменного стола да двух скамеек. Они с женой часто приходили сюда, захватив хлеба, овощей и бутылку местного вина. Родители мечтали, чтобы Янош всегда делил с ними это уединение.
      В день рождения сына Фаркаш посадил у старого дома несколько берез; они должны были расти вместе с Яношем.
      Однако мальчик прожил в деревне лишь немногим более года. Весной 1804 года семья переехала в Марошвашархей, где Фаркаш Бойаи получил, наконец, в местной коллегии кафедру математики, физики и химии.
      Марошвашархей был маленьким торговым городком, о чем говорило само его имя — Ярмарка на реке Марош. Жизнь там шла медленно и однообразно, почти не меняясь с течением столетий. На узких улочках, застроенных большей частью двухэтажными домами с островерхими крышами, царила тишина, нарушаемая лишь цоканьем копыт да звоном церковных колоколов. Но не в этом была прелесть Марошвашархея. Стоило подняться крутыми переулками на один из высоких холмов города, откуда открывались бескрайные леса, гордые зеленые трансильванские горы, голубая дуга Мароша, как душу охватывало волнение, всегда вызываемое истинной красотой и чувством простора.
      Где-то далеко внизу, и справа и слева, мелькали, звали к себе огоньки поселков свободолюбивых горцев, обитавших здесь с незапамятных времен...
      И в городе Фаркаш постарался создать для мальчика обстановку близости к природе. Сразу за маленьким домиком начинался сад. Фруктовые деревья сменялись лесом густолистых тополей.
      Отец хотел, чтобы Янош как можно позже научился читать и писать, как можно дольше не соприкасался с «цивилизацией». Страстный садовод, Фаркаш сумел увлечь и сына работой в саду. Но ненадолго. Очень скоро Фаркаш столкнулся с такой неуемной жаждой знания, овладевшей маленьким Яношем, что вынужден был отступить. Теперь он только и делал, что отвечал на бесконечные вопросы сына.
      Ощущение пространства, образы геометрических фигур — эти отвлеченные математические представления проникли в сознание мальчика уже в такие ранние годы жизни, когда обычно мир ребенка составляют лишь окружающие его люди да находящиеся рядом осязаемые предметы.
      — Когда мне было около трех лет, — вспоминал Янош, — я услышал без подробных объяснений, что мир, под которым я понимал только землю, не имеет конца. Я представил себе, что земля, как в глубину, уходит в бесконечность, и если бы она имела край, то за ним должна была бы идти бесконечная пропасть, бездна, иными словами — пустота. Таким образом, я уже тогда составил себе какое-то представление о пространстве.
      Развитие мальчика и особенно его геометрической интуиции шло вперед семимильными шагами. Полный гордости отец сообщал Гауссу, что пятилетний Янош, играя, запомнил геометрические фигуры и научился различать созвездия. Однажды за городом, увидев Юпитер, он сказал, что звезда находится очень далеко, потому что и в городе она видна на том же месте неба.
      Трудно поверить, чтобы у пятилетнего ребенка были так развиты и чувство пространства, расстояния и способность логически мыслить.
      Фаркаш хорошо помнил свое детство, помнил, как очень рано проявилось его собственное математическое дарование, но все же успехи сына изумляли, даже пугали его. К тринадцати годам Янош по своим знаниям не уступал студентам университета. Мальчик изучил планиметрию, стереометрию, тригонометрию и теорию конических сечений, с увлечением занимался дифференциальным и интегральным исчислением, легко и правильно производя сложные выкладки.
      Незаметно Бойаи прошел с сыном первые шесть книг Эвклида. Он старался не обращать внимание Якоша на постулат о параллельных. Зная страстный и увлекающийся характер мальчика, Фаркаш был уверен, что тот пустится в поиски решения задачи. Сам безрезультатно потратив многие годы на доказательство пятого постулата, он хотел по крайней мере сына уберечь от этого опасного соблазна. Но однажды, забывшись, Фаркаш воскликнул:
      — Тот, кто найдет доказательство аксиомы о параллельных, заслужит бриллиант величиной с земной шар!
      Якош промолчал. Слова отца, однако, запали ему в душу.
      Янош жил все время своей внутренней напряженной жизнью, неведомой окружающим. Эта скрытая внутренняя жизнь прорывалась то приступами мрачной меланхолии, то взрывами бурного веселья, не вызванными, казалось, никакими причинами. Мальчик без удержу носился по лесу, о проворством обезьяны влезал на деревья, добирался до птичьих гнезд и бесстрашно повисал на тонких ветках, а через минуту забивался в укромный угол и часами неподвижно сидел там, сдвинув брови, пряча лицо в ладони, не желая никого видеть,
      не отвечая на вопросы. Такие странности Яноша ставили в тупик и страшили его родителей.
      Отец с сыном были не схожи между собой во всем — кроме любви к математике. Фаркаш — общительный, восторженный, сентиментальный, любитель поэзии и возвышенных слов, человек меняющихся интересов и увлечений. Янош поэзии не любил и никогда не понимал. Все бури, а бури редко утихали в его душе, выражал он в музыке.
      Мцыри «знал одной лишь думы власть, одну, но пламенную страсть», — вот так же пламенны были .страсти Яноша, которые он пронес через всю жизнь: математика и музыка. Эти страсти были активны, они требовали выхода в творчестве.
      В детстве Янош, конечно, был еще не в силах создавать что-нибудь свое в науке, в ту пору он мог только учиться. И стремление все время постигать новое никогда не оставляло мальчика. «Он прыгал передо мной, как чертенок, и без конца требовал, чтобы я с ним занимался», — писал Бойаи Гауссу.
      Зато способность к музыкальному творчеству проявилась в Яноше очень рано. В десять лет он уже сочинял музыку, а через два года играл вторую скрипку в театре. В городе рассказывали о любопытном происшествии: однажды в зале сидел слепой композитор, автор исполнявшейся оперы; он все время недовольно морщился; вдруг у первой скрипки порвалась струна, и Янош, взяв ноты, начал с блеском исполнять партию первой скрипки. Лицо композитора прояснилось, он поднялся с места и воскликнул:
      — Браво, теперь доминирует первая!
      Играть в оркестре и писать музыку Янош скоро перестал, но скрипка на всю жизнь сделалась его неизменной спутницей, его утешением и отдыхом.
      Несмотря на различие характеров, отец с сыном жили дружно и очень любили друг д{)уга. Яноша с детства отличало требовательное чувство правды и справедливости, и это невольно действовало на его родных, временами даже незаметно подчиняло их влиянию мальчика. Родителей не оставляло ощущение, что в этом ребенке, в их сыне, накапливаются большие силы, зреют серьезные мысли и решения... Захваченный глубо-
      ким интересом мальчика к знаниям, Фаркаш много и с удовольствием занимался с ним.
      Когда Янош уставал, они откладывали книги, и отец принимался рассказывать о своей жизни. Чаще всего вспоминал он юность, Геттингенский университет, дружбу с Гауссом. О Гауссе Фаркаш мог говорить часами, с упоением, в той возвышенной, экзальтированной манере, которая всегда была ему свойственна.
      — Он был скромным. Ты знаешь, можно было провести с ним рядом многие годы и не узнать его величия. Мне жаль, что эту молчаливую книгу без титула я сам не сумел открыть и не смог прочитать. Я не подозревал, как много он знает, пока он первый не открыл во мне моего призвания и не заговорил о близких нам обоим предметах. Нас связала настоящая, а не поверхностная страсть к математике и наше нравственное единомыслие. Часто, находясь вместе, мы могли молчать часами, занятые одними и теми же думами.
      Рассказывая, Фаркаш смотрел в окно — и казалось, вместо холмов Марошвашархея, круглых луковок церковных куполов и острых готических шпилей над двухэтажными крытыми черепицей домиками он видит здание Георгии-Августы, как называли Геттингенский университет, да улочки, спускающиеся к берегу Лейне, — любимое место прогулок студентов.
      — Однажды мы вдвоем отправились пешком к родителям Гаусса в Брауншвейг. Когда Карл вышел в другую комнату, его мать спросила меня, получится ли что-нибудь из ее сына. Я ответил: «Первый математик Европы». У старой женщины потекли слезы. И я оказался прав, мой мальчик! — с торжеством воскликнул Фаркаш.
      Вздохнув, отец продолжал:
      — Расставаясь, в минуту прощания мы обменялись трубками и поклялись в последний день каждого месяца устраивать «праздник дружбы»: вечером в один и тот же час выкуривать по трубке в честь друга. Я помню первую весточку от Гаусса: «Твое письмо мне принесли вечером, как раз когда я сел, чтобы начать праздник нашей дружбы. Я сижу в своем кресле, зажигаю трубку и мечтаю о тебе...»
      Фаркаш уходил в воспоминания и забывал, что рядом с ним сын, который, затаив дыхание, слушает его рассказы.
      А я мечтал о том, чтобы наши жизненные пути до конца шли рядом. Знаешь, — вдруг живо перебил себя Фаркаш, — ведь мы увиделись еще раз перед разлукой. Когда я возвращался домой, в Трансильванию, мы встретились в Гарце. В тот вечер мы выкурили наши трубки, сидя рядом. Было холодно, снег покрыл вершины гор, окутал леса и скалы. А мы сидели, курили и от чувств, переполнявших наши сердца, не могли вымолвить ни слова.
      Фаркаш опустил голову и надолго замолчал.
      Рассказы о Гауссе неизменно заканчивались одними и теми же словами:
      — Ты вырастешь, мой мальчик, окончишь гимназию и поедешь к нему. Ты будешь учеником лучшего математика мира!
      Так Гаусс прочно вошел в жизнь маленькой семьи. Когда все отчетливее стало проявляться математическое дарование Яноша, с именем Гаусса связывались все надежды, все будущее. Не преувеличивая, можно сказать, что в доме царил культ Гаусса. Его называли не иначе, как «Геттингенский Колосс». В этой атмосфере преклонения перед Гауссом рос и воспитывался Янош.
      Мальчик подрастал, внутренне подготавливая себя к встрече с великим математиком, со все усиливающимся нетерпением ожидая этой минуты.
      Когда Яношу пошел шестнадцатый год и он окончил гимназию, настало время серьезно и безотлагательно решать вопрос о его дальнейшей судьбе. Фаркаш сел за письмо Гауссу. Он просил старого друга взять Яноша в свою семью и самому заняться его образованием. «Твое время и труд не пропадут даром — тому порукой дарование Яноша и его горячий интерес к математике», — писал Фаркаш. Он откровенно признавался, что боится отпускать мальчика одного в большой город, где нет никого из близких, и что он не сможет обеспечить Яноша средствами, необходимыми для самостоятельной жизни вне семьи. Однако расходы, связанные с пребыванием сына у Гаусса, Фаркаш брался оплачивать полностью...
      Может быть, Гауссу странным показался в этом письме естественный интерес Фаркаша к обстановке в доме геттингенца. Фаркаш и в самом деле без должного такта осведомлялся даже о том, представляет ли супруга Гаусса «исключение из всего женского пола или нет». Он спрашивал: «Не меняется ли, подобно флюгеру, ее настроение?»
      Конечно, едва ли подобные вопросы были приятны Гауссу. Но ведь в прежние времена он и Фаркаш были откровенны друг с другом во всем.
      Письмо ушло в Геттинген, где Гаусс уже возглавлял в университете кафедру математики и астрономии. Письмо ушло, и отец с сыном с волнением стали ожидать ответа.
      Прошла неделя, другая, третья... С каждым днем становилось все яснее, что почта, которую они обвиняли в нерасторопности, тут ни при чем. Наконец, спустя год, оба поняли, что ждать больше нечего.
      ...Много горьких слов о Гауссе пришлось услышать отцу от сына. Фаркаш Бойаи старался защитить Гаусса, но слова его звучали робко и неубедительно. На этот раз ему изменило обычное красноречие. Про себя он думал: «Неужели Янош прав?!» Впервые за долгую дружбу Гаусс не ответил, и как раз тогда, когда его ответ был необходим. «Как быть?» — тысячи раз спрашивал себя Фаркаш и не находил ответа. Талантливого мальчика надо серьезно учить дальше, а послать его в университет не хватает средств.
      — Бедность давит, как свинец, — жаловался Фаркаш друзьям.
      Заподозрить обожаемого Гаусса в чем-то нехорошем старый Бойаи не мог. «Случилось нечто непонятное...», — думал он.
      Гораздо позже, став взрослым человеком, Янош так объяснял поведение Гаусса:
      — Наверное, Колосс не захотел выполнить просьбу своего друга, но и побоялся причинить ему боль отказом. Вот почему он отмолчался.
      Гаусс не пришел на помощь. После долгих раздумий родители решили послать Яноша в Вену, в Военноинженерную академию. Они отважились на это, хотя для содержания Яноша в столице империи требовалась сумма, в пять раз превышающая все состояние семьи. Оставалась одна надежда на помощь меценатов. Но и таким путем достать нужные средства было очень труд-
      Фаркаш Бойаи.
      Дом Ф. Бойаи в Колошваре.
      НО. Страна пережинала тяжелый кризис; между 1811 и 1816 годами две инфляции вдвое обесценили деньги.
      Отец совершал унизительные обходы всех состоятельных жителей Марошвашархея и, наконец, один из них согласился внести плату за обучение Яноша. Это было не просто великодушие. Среди аристократии в те времена* существовал обычай посылать за свой счет учиться талантливых, но бедных юношей. Завершив образование, эти юноши должны были или оставаться на государственной службе, или поступать в услужение к той семье, которая их содержала. Так Яношу после академии пришлось много лет отдать ненавистной военной службе. Он с гневом и горечью вспоминал о том унижении, которым заплатил отец за его образование;
      — Моему отцу удалось отправить меня учиться на деньги высокомерных магнатов. Эта сумма была для них ничтожна, в тысячу раз меньше той, что они с легкостью проигрывали в карты и тратили на роскошь.
      Венская академия давала некоторое математическое образование, но оно было весьма ограниченно. Всю жизнь Янош ощущал неполноценность своих знаний. Он оказался в стороне от главного русла математики века, с ее проблемами и методами. Почти через сорок лет, в 1856 году, уже после смерти Фаркаша, он писал: «При том таланте, который отец во мне открыл, лучше было бы оставить меня дома при себе и самому заниматься моим воспитанием и математическим образованием. Во всяком случае, я, если бы мне выпало счастье иметь такого сына, не отпустил бы его от себя».
      Пока Янош жил в Вене, семью постигло большое горе. Летом 1819 года у матери, особенно трудно переживавшей разлуку с сыном, стала обостряться старая болезнь: все чаще повторялись тяжелейшие припадки истерии. «Это не смертельно, но ужаснее смерти, — говорил Фаркаш, — врач боится сумасшествия».
      Но врач ошибся, болезнь оказалась смертельной...
      Первое время отец всемерно поощрял углубленные занятия Яноша математикой. Он писал сыну:
      «Я все больше верю в то, что великим математиком может стать только тот, кто неустанным длительным трудом достигает совершенства.
      Годы проходят и ничего не оставляют тому, кто не
      глядит в будущее с помощью подзорной трубы мудрости и только срывает цветы настоящего; но счастлив тот, кто умеет использовать время и, как дерево, каждый год становится сильнее на одно кольцо».
      Но как только Фаркаш узнал, что сын его увлекся теорией параллельных, что она стала любимым занятием Яноша, он пришел в ужас, и в Вену полетели отчаянные письма:
      «Ты не должен пытаться одолеть теорию параллельных линий; я знаю этот путь, я проделал еГо до конца я прожил эту бесконечную ночь, и весь свет, всю радость моей жизни я там похоронил. Молю тебя, оставь в покое учение о параллельных линиях; ты должен страшиться его, как чувственных увлечений; оно лишит тебя здоровья, досуга, покоя, оно погубит счастье твоей жизни. Этот глубокий, бездонный мрак может поглотить тысячу таких гигантов, как Ньютон; никогда на земле не будет света, и никогда бедный род человеческий не достигнет совершенной истины, не достигнет ее и в геометрии, это ужасная вечная рана в моей душе; да хранит тебя бог от этого увлечения, которое так сильно овладело тобой. Оно лишит тебя радости не только в геометрии, но и во всей земной жизни. Я готов был сделаться мучеником этой истины, чтобы только подарить человечеству геометрию, очищенную от этого пятна; я проделал гигантскую, тяжелейшую работу; я достиг гораздо большего, чем то, что было получено до меня, но совершенного удовлетворения я не получил.
      Учись на моем примере; из-за того, что я хотел постичь теорию параллельных линий, я остался безвестным. Это отняло у меня всю мою кровь, все мое время. Здесь зарыт корень всех моих последующих ошибок. Если бы я мог открыть загадку параллельных линий, пусть об этом никто бы не узнал, я стал бы ангелом...
      Непостижимо, что в геометрии существует эта непобежденная темнота, этот вечный мрак, туча, пятно на девственной, нетронутой истине... Дальше геркулесовы столпы; ни шагу дальше, или ты погибнешь!»
     
      Неразрешимая задача
      В математике есть так называемые «вечные задачи». Таковы три знаменитых геометрических построения, которые надлежит выполнить только с помощью циркуля и линейки: трисекция угла, то есть разделение любого угла на три равные части, удвоение куба и квадратура круга.
      ...Существует предание: жители древнегреческого острова Делоса жестоко страдали от эпидемии чумы; оракул провозгласил, что если кому-нибудь удастся построить новый алтарь, по объему вдвое больше старого, но сохраняющий форму куба, то остров избавится от мора; оракул потребовал, чтобы при удвоении алтаря циркуль и линейка были единственными инструментами геометров. При таком условии задача оказалась неразрешимой.
      В задаче о квадратуре круга, само название которой стало нарицательным, требовалось построить квадрат, равновеликий по площади данному кругу, тоже пользуясь только циркулем и линейкой. Лишь в девятнадцатом веке было доказано, что эта задача, так просто решаемая разными способами, линейке и циркулю неподвластна.
      Но самой значительной и в то же время самой роковой из «вечных задач» стала проблема пятого постулата Эвклида.
      Что же представляет собой пятый постулат? Почему Фаркаш Бойаи гак страстно заклинал сына оставить даже попытку разрешить эту задачу? Почему он называл теорию параллельных «бездонной пропастью»?
      Что же такое теория параллельных линий, если от высокой патетики устрашающих образов Бойаи перейги к сдержанному и точному языку математики?
      Рядом с драматическими, полными трагизма судьбами людей, столкнувшихся с загадкой пятого постулата, чисто математическая сторона задачи на первый взгляд может показаться сухой и даже неинтересной.
      Однако именно здесь, в дебрях сложных геометрических построений и еле уловимых логических тонкостей, скрывалось зернышко, из которого впоследствии выросло удивительное, прямо фантастическое открытие
      кое, что без него были бы просто немыслимы многие замечательные завоевания и современной математики и современной физики.
      Основой теории параллельных, ее фундаментом служит пятый постулат Эвклида. Суть его состоит в утверждении, что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести только одну прямую линию, ей параллельную. В формулировке самого Эвклида этот постулат сложнее, чем другие его постулаты. Ему прежде всего недостает их наглядности.
      Что это значит?
      Напомним истинное геометрическое содержание слова «постулат». Для этого, вероятно, лучше прежде всего посмотреть, как строится сама геометрия — эта царица логических, «выводных» наук. В геометрии, как мы помним со школы, все строго и точно доказывается, выводится одно из другого, более сложное из более простого. Эти доказываемые положения называются теоремами. Так повелось у математиков всех веков и народов — давно, от Аристотеля. Но мудрые греки понимали, что, желая доказать абсолютно все, они не будут в состоянии доказать ничего. Цепочка выводов не может быть бесконечной, она должна где-то начинаться. Эти начальные звенья, самые простые, которые уже нельзя было ни из чего вывести и ничем доказать — но правильность которых неизменно подтверждалась всем опытом человечества — назвали аксиомами и определениями.
      Анри Пуанкаре, один из крупнейших математиков конца прошлого и начала нынешнего века, писал: «В логике из ничего нельзя и вывести ничего: в каждом доказательстве заключение предполагает известные посылки. Поэтому математические науки должны опираться на известное число положений, не могущих быть доказанными. Может идти речь о том, давать ли этим положениям название аксиом, гипотез или постулатов... но самое существование их несомненно».
      Слово «аксиома» греческого происхождения, оно означает «достойный», то есть достойный доверия. Из аксиом и определений и выводится вся построенная по законам логики наука, в частности, геометрия. А постулаты? По своему смыслу постулаты — то же самое, что и аксиомы. Недаром в некоторых изданиях Эвклида пятый постулат называется одиннадцатой аксиомой. Вообще слова эти взаимозаменяемы, и многие математики не видят в них никакого различия. Но, пожалуй, более правильна та точка зрения, что аксиомы Эвклид относил к любым величинам, а постулаты — лишь к геометрическим.
      «Постулат» означает «треоование». Иными словами, постулаты — это основные требования, или исходные, первоначальные допущения, на которых строится вся геометрия.
      Эвклид так и пишет:
      «Нужно потребовать:
      1. Чтобы от каждой точки к каждой точке можно было провести прямую линию.
      2. И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжить по прямой.
      3. И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.
      4. И чтобы все прямые углы были друг другу равны.
      5. И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы, составляющие вместе меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых».
      Сразу бросается в глаза, и это не могло не поразить математиков всех столетий, насколько пятый постулат отличается от первых четырех. Он гораздо сложнее их он скорее похож на теорему, которая нуждается в доказательстве, — и он лишен их наглядности, потому что речь здесь идет о неограниченном продолжении прямых.
      Вот, скажем, первый постулат. Он утверждает, что через две точки, близко ли, далеко ли отстоят они друг от друга, всегда можно провести прямую. Это так наглядно, что не вызывает сомнений.
      Другое дело — параллельные линии. Как бы далеко ни были прочерчены две параллельные прямые, никогда нельзя проверить, как они себя поведут при бесконечном продолжении. Останутся ли они параллельными? Или, может быть, сойдутся? Или, наоборот, разойдутся? Интуитивно все положения теории параллельных тоже кажутся бесспорными, но интуиция позволяет нам представить лишь ограниченную часть пространства, перед бесконечностью она бессильна. И опыт тоже.
      Вероятно, Эвклид понимал, что пятый постулат занимает особое место среди его аксиом. Иначе почему изложение материала в своих книгах он резко разбил на две части? Сначала он рассматривает теоремы, которые можно доказать, не прибегая к помощи* пятого постулата. Эта часть теперь носит название абсолютной геометрии. Затем сгруппированы все теоремы, которые доказываются только на основе пятого постулата. Эту часть и называют собственно эвклидовой геометрией.
      Почти с полной достоверностью можно утверждать, что сам Эвклид сначала сформулировал пятый постулат в виде теоремы и долго искал ее доказательство. И лишь неудача, которую он потерпел, заставила его включить непокорную теорему в число постулатов.
      Так Эвклид разрубил гордиев узел.
      Математики последующих веков не примирились с этим решением Эвклида. Уже одна его формулировка пятого постулата, такая сложная, так напоминающая теорему, заставила их насторожиться.
      «Это положение, — писал в V веке нашей эры византийский философ Прокл, — должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это теорема, вызывающая много сомнений... Но, может быть, некоторые, вследствие ошибочных воззрений, подумают, что это положение действительно следовало поместить среди постулатов; само по себе оно вызывает доверие... Но у творцов науки мы научились не относиться в* геометрических рассуждениях с полным доверием к наглядным представлениям нашего воображения... Конечно, совершенно необходимо признать, что прямые линии наклоняются одна к другой, если прямые углы заменяются острыми. Однако что эти наклонные при продолжении сойдутся, это остается не достоверным, а лишь вероятным, до тех пор, пока этому не будет дано логическое доказательство: ибо существуют бесконечные наклонные линии, которые никогда не сходятся. Что же, в случае прямых линий не может иметь место то, что бывает в случаях других линий? — глубоко проникая в самую суть затруднения, спрашивает Прокл, — До тех пор, пока мы этого не обнаружим путем доказательства, свойства, которые могут проявиться при неограниченном продолжении других линий, тяготеют над нашим воображением».
      Какой же выход предлагает Прокл? Доказать, непременно доказать как теорему то, что Эвклид принял за постулат. В том, что это может быть достигнуто, Прокл уверен твердо. Таким образом, Прокл не сомневается в надежности и крепости одного из краеугольных камней эвклидовой геометрии, не отвергает ее основы основ. Он только требует строгого доказательства.
      Прошло еще тринадцать столетий, а задача так и не была разрешена.
      В конце восемнадцатого века немецкий математик Клюгель, воспитанник знаменитого Геттингенского университета, выступает с диссертацией «Обзор важнейших попыток доказательства теоремы о параллельных линиях».
      «Среди истин, которые прилежно изучали выдающиеся умы, — пишет Клюгель, — не последнее место занимает теорема элементарной геометрии о параллельных линиях. Все науки хранят в себе загадочные вещи: не удивительно, что наш ум, заключенный в определенные пределы, многого не постигает, не в состоянии раскрыть источники и причины многих фактов. При всем том я не знаю, больше ли в слабости нашего ума или в характере самых истин коренится вина того, что в пределах геометрии существуют препятствия, которые не дают возможности овладеть подступами к ней в такой степени, как это было бы желательно. Немногочисленны истины, которые в геометрии могут быть доказаны без помощи теоремы о параллельных линиях; но еще малочисленнее те истины, которые можно использовать для ее доказательства. Вследствие этого, не располагая отчетливыми сведениями о прямых и кривых линиях, мы не можем выполнить это доказательство на основе их определения. При этих условиях нельзя по* ставить геометрии в вину, если она вносит в основные свои положения такое предложение, истинность которого не устанавливается отчетливым рассуждением, а усматривается непосредственно благодаря нашим наглядным представлениям о прямой линии. Таков пятый постулат Эвклида...»
      Значит, принять без доказательства, считать постулатом. Вот к чему, в противоположность Проклу, приходит Клюгель через тысячу триста лет. Но это решение вынужденное. Клюгель и не скрывает, что его привело к такому выводу:
      «Многие, опытные в геометрических доказательствах, пытались устранить эту истину из числа аксиом, но все доказательства, которыми они старались эту истину строго установить, оказались порочными. Другие предлагали заменить ее иными аксиомами, которые, однако, не могут считаться более ясными, нежели постулат Эвклида».
      Разобрав около тридцати лучших, на его взгляд, но равно безнадежных способов доказательства пятого постулата, сочувственным взором окинув этот парад отчаяния, Клюгель в конце концов оправдывает позицию Эвклида:
      «Таким образом, если обозреть все попытки, то окажется совершенно правильным, что Эвклид поместил это предложение среди аксиом».
      А еще пятьдесят лет спустя об этом же пишет и Гаусс. Он не соглашается с Клюгелем. Но и не опровергает его. Он только бесстрастно подводит печальный итог:
      «В области математики найдется мало вещей, о которых было бы написано так много, как о пробеле в начале геометрии при обосновании теории параллельных линий. Редко проходит год, в течение которого не появилась бы новая попытка восполнить этот пробел. И все же, если мы хотим говорить честно и открыто, то нужно сказать, что, по существу, за 2000 лет мы не ушли в этом вопросе дальше, чем Эвклид.
      Такое откровенное и открытое признание, на наш взгляд, более соответствует достоинству науки, чем тщетные попытки скрыть этот пробел, восполнить который мы не в состоянии бессодержательным сплетением призрачных доказательств».
      Да, две тысячи лет! В продолжение двух тысячелетий геометры безуспешно пытались найти то, чего не смог найти сам Эвклид...
      Трагические слова Фаркаша Бойаи имели достаточно оснований. Стоит только вспомнить, сколько крупнейших талантливых математиков и просто дилетантов, сколько юношей и стариков отдали все время, а иные и
      Бсю жизнь бесплодным попыткам доказать постулат о параллельных! Сколько даровитых геометров бесцельно растратили свои силы, сколько из них впали в отчаяние и потеряли рассудок из-за неудавшихся попыток «очистить Эвклида от этого пятна», как выразился итальянский математик семнадцатого века, монах-франциска-нец Иероним Саккери!
      Стремление доказать пятый постулат можно сравнить только с исступленным желанием найти «философский камень» в средние века или с бесчисленными попытками создать «вечный двигатель».
      Конечно, выражение «доказать постулат» содержит в себе внутреннюю бессмыслицу. Потому что по самому своему смыслу и содержанию постулат — это утверждение или требование, которое не требует доказательства, не нуждается в нем и не может его иметь. Доказывать можно лишь теоремы. Это отлично знали все те математики, которые тем не менее искали такое доказательство. То, что они пытались его все-таки найти, говорит лишь об одном — они, осознанно или бессознательно, считали пятый постулат не аксиомой, а теоремой — по-ложеиием, нуждающимся в доказательстве.
      Таким образом, все они действовали обратно тому, как действовал Эвклид. Вероятно, Эвклид сделал эго «не от хорошей жизни». Но оказывается, как мы теперь знаем, его решение было единственно правильным — решение поместить этот камень преткновения геометрии среди постулатов, а не теорем. Действовала ли тут гениальная интуиция? Вряд ли. Все, что известно, говорит за то, что Эвклид поступил так просто потому, что ему не удалось поступить иначе. Его собственные попытки доказать свойство параллельных линий не пересекаться при их продолжении тоже, естественно, потерпели неудачу.
      В поисках доказательств пятого постулата математики различных стран и эпох нашли для него ряд новых выражений. Появилось много формулировок постулата, на первый взгляд совершенно различных, а по существу означающих одно и то же, но сказанное каждый раз иными словами. Первая принадлежит самому Эвк-лиду. Другую, простейшую из них, мы тоже уже приводили. Третья гласит, что сумма углов любого плоского треугольника равна двум прямым углам, или 180°. Четвертая состоит в утверждении, что существуют подобные фигуры. Примеры формулировок можно продолжить.
      Авторам этих выражений казалось, что в таком, ими найденном виде постулат о параллельных, может быть, удастся победить. Увы!
      Каждый раз в любом доказательстве обнаруживалась какая-нибудь, иногда очень тонкая, почти неуловимая ошибка; или же оказывалось, что в рассуждении негласно присутствует предположение, которое есть не что иное, как другая форма того же постулата. То, что изгонялось через дверь, лезло в окно; то, что требовалось доказать, в замаскированном виде бралось за исходное. Самые разнообразные доказательства проваливались одно за другим.
      Наиболее зрелые геометры понимали, что если любую из формулировок принять за исходную — за постулат, все остальные немедленно доказываются как теоремы. Так, из утверждения, что сумма углов треугольника равна 180°, следует и то, что через точку вне прямой можно провести единственную параллельную ей прямую, и то, что существуют подобные фигуры...
      Суть задачи, столетия занимавшей умы математиков, состояла в том, что надо было доказать одну из этих теорем, не прибегая ни прямо, ни косвенно к помощи пятого постулата. Тогда был бы доказан и сам пятый постулат; ведь мы только что говорили, что все эти теоремы представляют собой лишь различные его формулировки.
      Многие математики в разные века пытались доказать без помощи теории параллельных, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам (180°). При этом они обычно пользовались весьма употребительным в логике методом доказательства от противного — или приведения к абсурду: сначала выдвигается положение, обратное тому, которое требуется доказать, а потом цепью рассуждений приходят к противоречию;, и тогда становится ясным, что выдвинутое положение было ложным, а истинно — обратное ему.
      Таким путем пошел и Иероним Саккери. Он хотел опровергнуть оба возможных предположения: и то, что сумма углов треугольника больше 180° («гипотеза тупого угла»), и то, что она меньше 180° («гипотеза острого угла»). Сравнительно легко и быстро ему удалось сделать это для «гипотезы тупого угла»; она действительно привела к абсурду — к противоречию со всеми остальными постулатами Эвклида. Но долгие месяцы провел Саккери взаперти в своей келье, безуспешно пытаясь найти опровержение «гипотезы острого угла». В своем сочинении «Эвклид, очищенный от всякого пятна, или опыт, устанавливающий самые первые принципы универсальной геометрии» Саккери развил цепь безупречных и тонких рассуждений. Но внезапно в одной из теорем он просто заявил, что гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо она противоречит природе прямых линий. Саккери сам почувствовал, что такое произвольное утверждение не есть доказательство. В примечании к этой теореме он написал: «На этом я мог бы спокойно остановиться, но я не хочу отказаться от попытки доказать, чго эта упрямая гипотеза острого угла, которую я уже вырвал с корнем, противоречит самой себе». И он снова и снова, все так же безуспешно, принимался за разрешение неразрешимой задачи.
      Потерпел неудачу и Фаркаш Бойаи со своей «Геттингенской теорией параллельных линий», о замысле которой еще юношей он рассказал Гауссу. Он допустил в доказательстве одну элементарную ошибку, которую его великий друг незамедлительно обнаружил.
      «Я не был удовлетворен моими попытками доказать аксиому о параллельных, — писал Фаркаш. — И хотя я до конца исследовал все возможности, после многих лет труда я все-таки не нашел покоя. И тогда огонь моей любви к математике погас, и я занялся поэзией».
      Огонь любви погас, но осталась «вечная рана», и он говорил сыну, как надломила его эта неудача:
      — Если бы мне тогда посчастливилось, я был бы совсем другим человеком!.. Если человек счастлив, то ему легче сделать других счастливыми. Что может дать источник, в котором нет влаги? Не трать на это ни часа. Ты не получишь никакой награды, но загубишь всю жизнь. Сотни великих математиков в продолжение столетий ломали себе голову над этим. Я думаю, что все мыслимые идеи уже использованы... Если бы Гаусс, — призывал Фаркаш на помощь непоколебимый авторитет геттингенца, — тоже посвятил свое время бесплодным мыслям об этой аксиоме, то его учение о многогранниках и все его другие работы не появились бы на свет. Я могу засвидетельствовать, что он едва не свихнулся на теории параллельных. Он заявлял устно и письменно, что долгие годы бесплодно размышлял об этом.
      Но заклинания отца не сдержали Якоша.
      — Это настойчивое и энергичное предупреждение, которое должно было лишить меня мужества, не напугало меня. Оно только повысило мой интерес к задаче, усилило мою энергию и желание насколько возможно овладеть предметом. Любой ценой захотел я вторгнуться в загадку параллельных и разрешить ее! — говорил Янош.
     
      Янош Бойаи выбирает свой путь
      Мышление и творчество гениев развиваются по особым, наверное, и им самим неведомым путям; поток творческой энергии таких людей часто не могут задержать никакие внешние препятствия, никакие перипетии жизненной судьбы.
      Янош Бойаи начал с того же сгарта, что и многие другие математики, — с попыток доказать пятый постулат от противного. Нам неизвестно, как долго отдавал он дань этим усилиям и когда запали ему в голову семена новых идей. Может быть, еще в Вене появились у него сомнения в самой возможности доказательства постулата параллельных, хотя тогда он еще никому об этом не говорил.
      По окончании академии Янош должен был служить в гарнизоне крепости близ Темешвара. Осенью 1823 года младший лейтенант Бойаи отправился к месту службы. По дороге он остановился в Марошзашархее, чтобы повидаться с отцом. Встреча была короткой и нежной — первая их встреча после смерти матери. Оба словно сговорились не упоминать ни о чем, что могло бы вызвать споры и размолвки, и старались сдерживать свои неуравновешенные характеры.
      Когда Янош уехал, отец восторженно рассказывал одному своему другу:
      — Мой сын — высокий, сильный, красивый юноша, в котором храбрость солдата сочетается с застенчивостью невинности. Он не картежник, не пьет ни вина, ни водки, ни кофе, не курит и не нюхает табака. Совсем мальчик — он еще не бреется, у пего только пробивается пушок. Однако, поверь, он уже выдающийся математик, истинный гений и блестящий скрипач...
      Фаркашу даже казалось, что сын его стал выдержаннее и спокойнее. Но отец ошибался. Вспыльчивость Яноша оставалась по-прежнему неукротимой и часто приводила к ссорам с окружающими. Может быть, причины этих ссор крылись в том обостренном чувстве справедливости и правды, которое, как мы уже знаем, с детских лет не позволяло ему терпеть ни лжи, ни лицемерия, ни насилия. А жизнь все чаще сталкивала его со всем этим.
      Однажды в Темешваре он получил в один и тот же день тринадцать вызовов на дуэль. Все вызовы он принял, но поставил условие: после каждых двух дуэлей ему предоставлялось право отдохнуть, играя на скрипке... Конечно, он играл своего любимого Паганини — все его каприччио, одно за другим! Страстная и тонкая музыка Паганини звучала в унисон с чувствами молодого Бойаи, а ее фантастическая виртуозность не только не утомляла руку Яноша, а казалось, лишь усиливала гибкость этой руки, сменявшей смычок на рапиру.
      Он победил в тот день всех противников.
      В Темешваре Янош начал особенно серьезно и много заниматься теорией параллельных.
      «Милый, хороший отец! Мне так много надо рассказать о моем новом открытии... — писал он в ноябре 1823 года в Марошвашархей. — У меня теперь есть твердое намерение издать сочинение о параллельных линиях, если только мне удастся довести исследование до конца. Главное мною еще не найдено, однако путь, которым я иду, почти наверняка обещает достижение цели, если это вообще возможно. Пока цель еще не достигнута, но я уже обнаружил такие выдающиеся вещи, что сам поражен. Пришлось бы вечно сожалеть, если бы эти открытия оказались утраченными. Когда, дорогой отец, Вы увидите мою работу, Вы должны будете это признать. Сейчас я не прибавлю больше ни слова — скажу только, что из ничего я создал новый особенный мир. Все наброски, которые я посылал Вам до
      сих пор, в сравнении с этим — не более чем карточный домик рядом с каменной башней...»
      Читая это взволнованное, торопливое письмо, представляешь скульптора, еще не создавшего статуи, нэ уже ощущаюшего линии прекрасного тела, притаившегося в мраморе. Их еще не видит никто. Но тверда рука, держащая резец, она не ошибется; уверенны глаза, потрясенные внутренним видением совершенства... «Путь, которым я иду, почти наверняка обещает достижение цели... из ничего я создал новый мир».
      Янош не мог больше оставаться наедине со своим открытием. Конечно, только отец сможет сразу все понять: у него старые счеты с неприступным постулатом И потом он ведь с такой надеждой следил за развитием математических дарований сына.
      А может быть, к этим размышлениям Яноша примешивался еще и вызов, который иногда, пусть бессознательно, любит бросать молодость: смотри, отец, ты заклинал меня оставить это занятие, тебя сломили бесплодные поиски, увели от счастья, лишили покоя, а теперь параллельные линии побеждены мною! Я еще не построил законченного здания, но, видишь — уже уверен в успехе.
      Странно, однако, что письмо сына оставило спокойным так легко загорающегося Фаркаша. Он не стал особенно любопытствовать относительно существа открытия. Он только пообещал Яношу присоединить его будущую работу к своему обширному учебнику — «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики», или сокращенно «Тентамен»*, который Фаркаш писал уже около двадцати лет.
      * Tentamen — опыт (лат.).
      Кроме того, он давал Яношу несколько практических советов:
      «...если действительно удалось кое-что доказать, то полезно поспешить с опубликованием: во-первых, потому, что идеи легко переходят от одного лица к другому и кто-нибудь может сообщить о них в печати первым; во-вторых, потому — и в этом есть известная доля истины, — что для некоторых вещей существуют эпохи, когда они появляются одновременно во многих местах, совершенно как фиалки, которые ранней весной выходят на свет отовсюду».
      Если бы на этом и остановился измученный неудачами отец! Но дальше шли слова несправедливые, опасные, которых не надо было писать.
      «...И так как всякое научное соревнование представляет собой лишь большую войну, — продолжал Фаркаш Бойаи, — за которой неизвестно когда последует мир, то надо, если возможно, быть победителем, потому что преимущество достается первому».
      Большой войны не было. Можно только пожалеть, что те, кто, по мнению Фаркаша, стали бы неизбежными противниками, никогда не встретились... Но слова Бойаи о фиалках оказались пророческими.
     
      НОВЫЙ МИР
     
      11 февраля 1826 года
      Янош Бойаи только еще строил свой «новый мир», когда на другом конце Европы, в глубинной России, з полуевропейской, полуазиатской Казани, молодой профессор университета Николай Иванович Лобачевский уже готовился сообщить о созданной им новой геометрии. Построенная на отрицании пятого постулата Эв-клида, она расходилась со всеми привычными представлениями о пространстве.
      Заседание Совета университета было назначено на 11 февраля. День выдался вьюжный, сумрачный. В зале пришлось зажечь свечи.
      Лобачевский стремительно взошел на кафедру, поправил густые, вечно спутанные волосы и уже хотел было произнести первое слово, как вдруг остановился и задумался. В эту минуту отчетливо, как никогда прежде, представил он себе, что собирается сказать своим слушателям... Словно бомба была у него в руках, и он должен был вот-вот бросить ее в этот тихий, сонный зал.
      Ну что ж, он бросит!
      И надо поскорее высказать самое главное — показать, где зарыт корень зла и почему пришел он к необходимости взорвать то, что всем представлялось незыблемым.
      — Господа, — произнес, наконец, Лобачевский, — кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе, так же, как она возрастает в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями. Вот почему трудности в геометрии...
      Лобачевский посмотрел в зал. Все слушали внимательно. Это было то сосредоточенное и заинтересованное внимание, какое он всегда чувствовал на своих лекциях. Тогда он сделал первый решительный шаг к цели.
      — Эвклидовы начала, несмотря на все блистательные успехи наши в математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки. В самом деле, — повысил он голос, — кто не согласится, что никакая математическая наука не должна начинаться с таких темных пятен, с каких, повторяя Эвклида, начинаем мы геометрию, и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий? Правда, что против ложных заключений от неясности первых и общих понятий в геометрии предостерегает нас представление самих предметов в нашем воображении, а в справедливости принятых истин без доказательств убеждаемся простотою их и опытом, например астрономическими наблюдениями; однако ж все это нисколько не можег удовлетворить ум, приученный к строгому суждению... Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в геометрии. Изложение всех моих исследований в надлежащей связи потребовало бы слишком много места и представления совершенно в новом виде всей науки.
      Последние слова Лобачевский произнес раздельно, и все разом насторожились.
      В зале началось движение. Видно, слушатели ждали, что после краткого вступления профессор возьмет в руки мел и начнет писать формулы, а он произносит странные, почти крамольные речи. Лобачевский почувствовал, что настало время перейти к самой сути дела. Вот теперь он им скажет, теперь он бросит бомбу!
      * — Два только предположения возможны: или сумма трех углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам — это предположение составляет обыкновенную геометрию; или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название «воображаемой геометрии».
      Лобачевский резко вскикул голову и оглядел аудиторию. Симонов, еще университетский однокашник его, многолетний коллега, по общему мнению, даже близкий друг, переглянулся с Никольским и едва заметно пожал плечами. Потом на его тонких губах появилась обычная неопределенная улыбка, а маленькие серые глаза бесстрастно устремились в потолок. Профессор Никольский, сложив толстые пальцы на круглом животе, тяжело дышал. Дунаев, как всегда под хмельком, перегнулся через спинку стула и что-то шептал сидевшему впереди Куп-феру.
      Лобачевский почему-то вспомнил, как Иван Иванович Дунаев обычно открывал курс своих лекций по химии:
      — Алхимия, господа, есть мать химии. Дочь не виновата, что мать ее глуповата...
      В этом грубоватом изречении таилась глубокая мысль: во всякой науке дети должны быть умней и сильней своих родителей, иначе как могла бы наука двигаться вперед?
      Вот и сейчас происходит рождение новой науки. Но мать ее не глупая и невежественная алхимия, а мудрая и сильная геометрия, давно покорившая весь мир, царствующая в нем более двух тысячелетий. И все-таки «воображаемая геометрия» дерзает встать рядом со своей матерью, а завтра, может быть, скажет, что и переросла ее.
      ...На кафедре — создатель этой новой геометрии, тридцатитрехлетний профессор. Он предчувствует будущее молодой науки, ее трудный путь — борьбу с предубеждениями, непризнание, и только потом, наверное еще не скоро, победу и триумф. А видят ли, понимают ли это сидящие перед ним люди — математики, физики, астрономы?
      Аудитория чувствует себя неловко. Николай Иванович Лобачевский, серьезный ученый, строгий, требовательный профессор, говорит сейчас вещи просто нелепые.
      Что это за новая, «воображаемая геометрия», когда в мире существует только одна-единственная геометрия, веками дающая неизменно верные результаты и вполне удовлетворяющая человечество?
      Пятый постулат? Это действительно темное пятно.
      Но ведь должен будет рано или поздно найтись математик, который разрешит проклятую задачу! И почему бы именно на это не употребить Лобачевскому свое время и талант, вместо того чтобы заниматься изобретением противных человеческому разуму «воображаемых геометрий»?
      Как может сумма углов прямолинейного треугольника быть меньше двух прямых углов! Ведь треугольники, большие и малые, измерялись сотни тысяч раз — транспортирами, угломерами, точнейшими инструмента-МИ) — и всегда оказывалось, что сумма их углов в точности равна 180°.
      А Лобачевский, словно намеренно, поражал зал все новыми и новыми парадоксами. Да, в этой «воображаемой геометрии» была своя логика; одна ересь неуклонно влекла за собой другую.
      Сумма углов треугольника, оказывается, не только меньше двух прямых, она даже и не постоянна — она зависит от длины сторон треугольника. Чем больше стороны, тем меньше сумма углов. В пределе, при бесконечном возрастании всех трех сторон, сумма углов будет стремиться к нулю. И раз углы зависят от длины сторон, значит, никаких подобных треугольников, как и вообще подобных фигур, существовать не может!
      Между углом и длиной стороны треугольника обнаруживается незыблемая связь. И Лобачевский, быстро оглядев аудиторию, написал уравнение. В этом уравнении, связывающем каждый отрезок в пространстве с одним, вполне определенным углом, была сконцентрирована вся суть, весь смысл новой геометрии. Ученый видел, что его уравнение, четко написанное посредине доски, вызывает уже не только молчаливое недоумение — в зале улыбались...
      Он понимал причину этих улыбок. Длина отрезка — величина линейная, ее можно измерять сантиметрами, вершками, дюймами — любой линейной мерой. А угол? Угол — величина отвлеченная, не имеющая размерности, он всегда измеряется отношением части окружности — дуги — ко всей окружности в целом. Значит, зависимость между углом и отрезком противоестественна; она противоречит принципу однородности, требующему, чтобы обе части уравнения, правая и левая, всегда были величинами или одинаковой размерности, или отвлеченными.
      Но так ли это? Разве нет в природе подобных, внешне разнородных связей? И Лобачевский попробовал убедить слушателей в справедливости этой своей главной идеи.
      — Но ведь нельзя же сомневаться, — воскликнул он, — что силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится в тесной связи. И там есть прямая зависимость. Величина притягательной силы, например, выражается массой, разделенной на квадрат расстояния. Теперь спрашивается: как же расстояние производит эту силу? Как эта связь между двумя столь разнородными предметами существует в природе? Этого, вероятно, мы никогда не постигнем. Но когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть в зависимости с углами. По крайней мере разнородность одинакова з обоих случаях...
      В эту минуту Лобачевский почувствовал, что дальше продолжать не надо. Не надо и не к чему. Глухая, непробиваемая стека стояла между ним и людьми, сидящими в сумрачном зале. Его окружали пустота и холод одиночества.
      Заседание Совета окончилось в глубоком молчании. Все прятали глаза, боясь встретиться взглядом с Лобачевским. Но до его слуха с разных сторон доносилось ироническое перешептывание.
      ...Так завершился тот день 11 февраля 1826 года — день рождения новой науки, который, как праздник человеческого ума, как одну из значительнейших вех на пути познания природы, отмечали все последующие поколения ученых. К сожалению, только последующие.
      Современники Лобачевского, даже те, кому судьба подарила счастье услышать изложение основ новой великой науки из уст ее первооткрывателя, — даже эти люди не только ровно ничего не поняли, они не сделали попытки что-либо понять. Слова о необычайном и сложном, почти фантастическом строении мира, эти слова, сказанные впервые на земле, были обращены к глухим. Да, к глухим, потому что и слабого волнения ума не вызвали они у слушателей. Мысль их спала непробудным сном. Где уж там было искать смелости мышления, полета фантазии! Отсутствовало даже элементарное любопытство. И всего удивительнее, что не нашлось в аудитории человека, которому пришла бы в голову простая мысль: Лобачевский — высокоталантливый математик, это всем известно и всеми признано, это убедительно показала его предшествующая деятельность; так, может быть, и то, что он сейчас говорит звонким от волнения, но таким уверенным голосом, вовсе не является просто бредом? Может быть, здесь есть какой-то ими еще не понятый смысл и об этом стоит подумать?
      Нет, никому это не пришло на ум.
      Те смелые и даровитые математики и физики, которые преподавали в Казанском университете в студенческие годы Лобачевского, которые помогали юноше выработать истинно научное мировоззрение и способствовали развитию его математического таланта, к 1826 году уже ушли из университета, изгнанные режимом мракобеса Магницкого. Рядом остались люди небольшого таланта и неширокого научного кругозора.
      Легко представить, что чувствовал Лобачевский, возвращаясь с Совета домой.
      Один. Совсем один.
      Сегодня он перешел рубеж. Половина жизни уже позади. Наверное, лучшая половина: детство, пусть трудное, юность, тоже нелегкая, но до краев наполненная мечтаниями и великими замыслами...
      Где они теперь, учителя его юности? Где вольнодумец Карташевский, который привез из Московского университета заветы Ломоносова и идеи энциклопедистов, любовь к науке и чуткое внимание к запросам молодости? Где Бартельс, с такой горячностью поощрявший в нем стремление к самостоятельному творчеству и так часто спасавший его буйную головушку от гнева начальства и тяжелой кары?
      Никольский... Разве можно обращаться к Никольскому, когда он давно уже предал науку! «Гипотенуза, милостью божьей» — так окрестили его на кафедре: выслуживаясь перед Магницким, подобными словами начинал он каждую лекцию. Да и остальные члены Совета постарались забыть, что существует в мире настоящая, дерзновенная наука. Он, Лобачевский, среди них одинок.
      Трудно...
      Но он не позволит себе пасть духом. Что ж, не поняли эти люди, поймут другие.
      Комиссия из членов Совета должна была дать заключение о труде Лобачевского. Несколько лет она уклонялась от порученного ей дела. Лобачевский, став ректором, скорее всего посчитал неудобным оказывать какое-то давление на членов комиссии, торопить их. А они, вероятно, доброжелательно относясь к самому Лобачевскому, не пожелали заявить публично, что все услышанное ими И февраля 1826 года — абсолютная чепуха. Но постараться вникнуть в содержание новой геометрии, отрешившись от привычных представлений, попробовать разобраться в ней — так далеко доброжелательность комиссии не зашла. Потом, кажется, какой-то отзыв был написан, но он так и не увидел света. Больше того: члены комиссии не позаботились даже о сохранении самого доклада Лобачевского — первого в мире документа неэвклидовой геометрии.
      Через три года, в 1829 — 1830 годах, Лобачевский напечатал в «Казанском вестнике» подробную работу о новой геометрии, начало которой повторяло его доклад. Потом снова и снова на разных языках писал и публиковал он свои труды, обращаясь к математикам всего мира — к современникам и потомкам. Геометрия Лобачевского, появившаяся на свет 11 февраля 1826 года, продолжала жить и развиваться.
      Сто сорок лет прошло с того дня.
      А в 1856 году Казанский университет хоронил своего любимого профессора, своего лучшего ректора, своего строителя в самом точном и широком смысле этого слова. Много прочувствованных речей прозвучало над могилой, много было пролито слез. Но из любви и уважения к памяти покойного все умолчали о его «чудачестве» — о том, что тридцать лет подряд он упорно занимался никому не понятной, ни с чем не сообразной, какой-то «воображаемой геометрией», которая была, очевидно, не чем иным, как плодом больного воображения. При жизни неудобно было препятствовать публикации работ уважаемого профессора и ректора, но зачем же теперь чернить его память!
      Когда над гробом покойного говорят хорошие, заслуженно хорошие и добрые слова, всегда думаешь: как обидно и несправедливо, что эти слова, эти признания не довелось ему услышать при жизни.
      Подобное, но еще более горькое чувство испытываешь, вспоминая о великих ученых, сошедших в могилу, так и не дождавшись признания своих идей. И может, обиднее всего за Лобачевского.
      Почему?
      Вероятно, среди математиков, а может и вообще всех ученых мира, не было человека, так беспредельно верного одной-единственной своей идее, отдавшего ей всю свою жизнь и весь свой талант.
      Конечно, ему не пришлось идти на костер — не то было время. Но унижений и горечи он испытал предостаточно.
      Сто лет назад умер гениальный математик, так и не увидев ни торжества, ни даже простого публичного признания своих идей.
      Постараемся же проникнуть в мир геометрии Лобачевского. Пусть это трудно — а это и в самом деле трудно! — но теперь мы уже твердо знаем, что неэвклидова геометрия не плод фантазии, а одно из замечательнейших завоеваний человеческого гения.
      Лобачевский прорубает окно в мир «непредставляемого»
      В этой повести хотелось бы лишь наметить контуры идей, совершивших переворот в научном мышлении и восприятии мира, идей, вокруг которых так сложно и трагически переплелись судьбы трех гениальных ученых.
      Неверно, что человек ограничен в своей способности воспринимать и представлять явления природы, отличные от тех, что кажутся «очевидными и не вызывающими сомнения».
      Наглядное представление непредставляемого в значительной степени зависит от тренировки нашего мышления.
      Множество поколений людей было убеждено, что Земля плоская. Если она шар, то, значит, наши антиподы ходят «вниз головой»? Это казалось нелепицей даже после того, как Колумб открыл Америку, а каравеллы Магеллана совершили первое кругосветное плавание. Кругосветными путешествиями уже давно никого не удивишь. И представление о шарообразности Земли с самого детства укореняется в нашем сознании.
      Солнце ходит вокруг покоящейся в центре мироздания неподвижной Земли — это учение веками было освящено религией. Джордано Бруно долго пытала и сожгла на костре инквизиция «святой церкви» за непоколебимо отстаиваемое убеждение, что Земля вместе с другими планетами обращается вокруг Солнца, а само Солнце — всего лишь одна из бесчисленных звезд Вселенной, которая «не имеет предела и края, но безмерна и бесконечна». Ныне гелиоцентрическая теория — азбучная истина. И теперь, глядя на Солнце, мы очень легко представляем себе его огромным шаром, вокруг которого движется по замкнутой орбите маленькая Земля.
      Таким образом, расширение наших знаний и весь коллективный опыт человечества постоянно заставляют нас по-новому видеть окружающий мир.
      Как трудно дается науке постижение явлений в микрокосмосе, с одной стороны, и во всей необъятной Вселенной — с другой! Ученые мобилизуют на это весь арсенал современной физики: теорию и тончайшие эксперименты. Прямое наблюдение как единственный способ изучения окружающей природы давно уже отошло в прошлое. Ведь явления в микромире вообще непосредственно не наблюдаемы. Вирусы — вот самые малые объекты, различимые в электронный микроскоп. Тайны Вселенной тоже раскрываются не только при прямом наблюдении небесных светил. И хотя наиболее мощные из телескопов помогают ученым проникнуть в глубины галактик уже на расстояние около десяти миллиардов световых лет, детали строения мы пока можем разглядеть только у ближайших к нам планет Солнечной системы.
      А между тем в этих двух мирах — в микрокосмосе и космосе — происходят вещи, совершенно непривычные для нас и, казалось бы, абсолютно непредставимые.
      Лобачевский открыл нам удивительный, «непред-ставляемый» мир. Им был начат новый этап тренировки научного мышления человека. Он подготовил почву для последующих всходов науки и сам посеял первые зерна. Когда появилась теория относительности с ее небыва-
      лыми воззрениями на пространство и время, она смогла быть понята и быстро заслужить признание в значительной мере потому, что Лобачевский уже более чем за три четверти века до того сказал, что геометрия нашего пространства может отличаться от эвклидовой.
      Лобачевский первый перевернул и разрушил незыблемые представления о пространстве. Развивая идеи неэвклидовой геометрии, математики постепенно приучали научное мышление к тому, что можно и нужно представлять себе пространства различного строения. Они шаг за шагом создавали строгий математический аппарат для описания таких пространств и явлений, в них происходящих. Лобачевский в своей «воображаемой геометрии» первым начал ковать математическое оружие для нашей современной физики.
      Безграничны возможности человеческого познания. Природа постепенно раскрывает перед нами все более сложные, тонкие и часто совершенно неожиданные свои закономерности.
      И так же безгранична способность человеческого мозга не только понимать и воспринимать, но и представлять себе интуитивно эти новые, прежде неведомые реальности.
      Вот одно из самых странных и неожиданных открытий физики XX века — открытие двойственной природы квантов света и элементарных частиц. Они ведут себя одновременно я как волны и как частицы. Еще сравнительно недавно это казалось невероятным и уж, конечно, совершенно непредставимым. А теперь физик запросто обращается с фотонами, электронами, протонами, нейтронами, словно реально представляет себе их в виде волн-частиц. И можно утверждать, что исследователи сегодня в самом деле «видят» их своим особым, постепенно сформировавшимся в долгом опыте «внутренним зрением».
      Вся квантовая механика, теория относительности, физика атомного ядра и элементарных частиц основаны на таких «непредставимых» физических явлениях.
      Каждому, кто впервые знакомится с этими явлениями, они кажутся невероятными, дикими, недоступными пониманию, часто ошеломляющими. Наши наглядные представления, наше пространственное воображение, которые обычно очень помогают нам в постижении неизведанного, тут не только отказываются служить, но даже восстают против насилия над ними. И ученым приходится понимать новое как бы вопреки собственной интуиции, вопреки, казалось бы, незыблемо укоренившимся представлениям. Однако это не мешает работе исследователей, скажем — работе физиков, которая уже привела не только к представляемым, но и к совершенно осязаемым результатам — к тому великому и ужасному, что принесло человечеству овладение атомной энергией.
      Лобачевский был пионером такого вйдения невидимого, представления непредставляемого, такого активного вторжения в огромный чудесный мир сущности явлений.
     
      Геометрия Эвклида и геометрия Лобачевского
      Основные теоремы геометрии Лобачевского настолько противоречат нашим врожденным и воспитанным в нас представлениям о пространстве, что вначале их трудно принять даже как условную гипотезу. Недаром те математики, которые, подобно Саккери, близко подошли к идеям неэвклидовой геометрии, боялись поверить в них до конца.
      Проследим тот логический путь, которым шла мысль Лобачевского.
      Пятый постулат пытались вывести как теорему из остальных постулатов геометрии. Но и самые изощренные математики или допускали ошибку в доказательствах, или приходили к мысли о невыполнимости задачи. Так, может быть, пятый постулат действительно недоказуем? Если это так, то, значит, он совершенно независим от остальных постулатов — от основ абсолютной геометрии.
      Итак, нельзя доказать, что через точку, лежащую вне прямой, проходит на плоскости только одна параллельная прямая, а все прочие при своем продолжении данную прямую пересекут. Но если нельзя доказать, что верно это, то можно предположить, что верно обратное: на плоскости через точку, лежащую вне прямой, проходит не одна, а две, десять, сто или вообще бесчисленное
      множество прямых, «нигде не встречающих данную прямую...
      Такое допущение и сделал Лобачевский.
      Значит, спросит читатель, вместо одной параллельной прямой, проходящей через данную точку, на плоскости Лобачевского их появилось бесконечное множество?
      Прежде чем ответить, объясним возникновение нового геометрического образа — «плоскость Лобачевского». Выдвинув вместо пятого постулата Эвклида свое допущение, Лобачевский сразу расстался с привычным пространством эвклидовой геометрии, в рамках которой такому допущению просто не было места. Отвергнув обязательность пятого постулата, Лобачевский тем самым открыл существование пространства с особыми свойствами, совершенно не похожего на то привычное нам пространство, в котором протекает вся наша жизнь. О замечательных свойствах этого пространства и глубоком смысле геометрии Лобачевского пойдет речь впереди. Пространство Лобачевского, подобно пространству Эвклида, населяют различные геометрические образы. Так вот, плоскость, «живущая» в неэвклидовом пространстве и поэтому, естественно, подчиняющаяся законам новой геометрии, и называется «плоскостью Лобачевского».
      Теперь вернемся к параллельным. Вспомним прежде всего определение параллельных прямых, смысл этого слова.
      Параллельными, говорит Эвклид, называются две прямые, расположенные в одной плоскости и не встречающиеся.
      Начертим обычную прямую и точку над ней, а из точки проведем веер прямых, расходящихся в разные стороны. Мы знаем, что на обычной — эвклидовой — плоскости только одна прямая из этого пучка будет параллельна исходной прямой, а остальные пересекутся с ней.
      Перенесем мысленно наш чертеж на плоскость Лобачевского. Это можно сделать только мысленно. В том земном мире, где мы живем, нас непосредственно окружает пространство Эвклида, и всякое перенесение в него линий и других геометрических фигур неэвклидова пространства будет условным. Действительно, если на эвклидовой плоскости изобразить уже знакомый нам чертеж — прямую и над ней пучок проходящих через одну точку прямых, — не на этот раз принадлежащий плоскости Лобачевского, то получится одно из двух: или множество проведенных через одну точку прямых, которые, согласно геометрии Лобачевского, не должны пересечь исходную прямую, пересекут ее на наших глазах, или, чтобы этого не случилось, прямые придется изображать в виде искривленных линий.
      Если глубоко вдуматься, то во всем этом нет ничего удивительного; действительно, человек может вообразить или изобразить, вообще говоря, только то, что он наблюдает в природе. Ведь в конце концов и вся фантастика — это комбинация, пусть совершенно неожиданная, того, что нам уже известно. Далее богов человечество изображало подобными себе или окружающей природе. Образное познание мира ограниченно. Но, к счастью, наука есть не только образное, зрительное познание.
      Итак, зрительный образ прямых пространства Лобачевского чрезвычайно условен. Приготовьтесь к этому — вы отчалили от привычной вам земли и пускаетесь в плаванье по неизведанному.
      Забегая вперед, расшифруем, о каком «неизведанном» здесь идет речь. Океан, по которому мы поплывем, — это безграничные просторы Вселенной, это огромные пространства, по сравнению с которыми мала не только Солнечная система, но и наша Галактика — Млечный Путь с его мириадами звезд. Обостренной интуицией, инстинктом гения Лобачевский почувствовал, что пространство такой гигантской протяженности может быть не похоже на эвклидово пространство относительно небольшого мира, в котором мы живем и который пока доступен нашим наблюдениям. Вера в возможность существования пространства более сложного строения и позволила Лобачевскому бесстрашно отвергнуть незыблемый пятый постулат и взамен него предложить иную картину геометрии мира.
      Теперь ясно, что Лобачевский ни одной минуты не утверждал, что вот эти прямые, мелом начерченные им на доске и наклоненные под разными углами к исходной прямой, не пересекут ее. Он сам подчеркивал, что его чертеж целиком условен. И объяснил, почему:
      все дело тут в масштабах, в протяженности рассматриваемых расстояний.
      Если рассматривать кусок плоскости Лобачевского в масштабах бумаги, доски, комнаты, даже какого-нибудь гигантского чертежа размером с нашу Землю или с Солнечную систему, то те прямые пучка, которые не пересекут исходную прямую, пойдут так, что мы их не отличим от единственной параллельной эвклидовой плоскости, хотя в действительности они все же отстоят от нее, и тем дальше, чем больше мы станем увеличивать размер нашего чертежа. При каких же расстояниях это расхождение станет заметным? Чем вообще определяются такие расстояния? Иньши словами, когда вступает в свои права геометрия Лобачевского?
      Об этом речь пойдет позднее, а пока вернемся к поведению прямых в плоскости Лобачевского.
      Итак, мы условились, что наш чертеж находится как бы на плоскости Лобачевского, что прямые там и остаются прямыми и ведут себя так, как им положено вести себя в неэвклидовом пространстве. Тогда только часть прямых пучка, проведенного через одну точку, пересечет исходную прямую, остальные с ней никогда не встретятся, как далеко мы их ни станем продолжать. И тех и других будет бесконечное множество.
      Но равноправны ли все те прямые пучка, которые не встречаются с исходной прямой? Мы знаем, что те, которые ее пересекают, равноправны в том смысле, что все они ей не параллельны. А не пересекающие?
      Чтобы на этот вопрос ответить, надо знать определение, смысл слова «параллельные» в неэвклидовом пространстве Лобачевского. Ведь естественно ожидать, что в пространстве с другими свойствами содержание геометрических понятий будет иным.
      Так вот, прямые, лежащие в нашем веере, на границе между множеством пересекающих и множеством не пересекающих прямых, иными словами, первые прямые, не встречающиеся с исходной прямой, Лобачевский и называет параллельными ей.
      Очевидно, что при таком определении из каждой точки плоскости можно провести только две прямые, параллельные данной. Они располагаются по обе стороны от перпендикуляра, опущенного из этой точки на исходную прямую, и лежат симметрично относительно него.
      Таким образом, Лобачевский постулировал, что через каждую точку на плоскости в его новом пространстве проходят две прямые, параллельные данной прямой. Заменив своим постулатом роковой пятый постулат Эвклида, но сохранив в неприкосновенности все остальные, Лобачевский на этой основе построил новую геометрию-геометрию открытого им пространства, совершенно безупречную во всех своих частях, не содержащую никаких противоречий.
      В эвклидовой плоскости угол между перпендикуляром и параллелью всегда, как известно, равен 90°. На плоскости Лобачевского угол между перпендикуляром и каждой из двух параллелей к прямой всегда будет меньше 90°. Более того, величина этого «угла параллельности», как называет его Лобачевский, непостоянна: она меняется в зависимости от длины перпендикуляра, опущенного из точки на первоначальную прямую. Когда длина перпендикуляра, уменьшаясь, стремится к нулю, угол параллельности, возрастая, стремится к 90°, а когда перпендикуляр растет до бесконечности, этот угол становится равным нулю.
      Поймем эту особенность новой геометрии, и нам останется сделать последний шаг, чтобы прийти к основному, фундаментальному свойству пространства Лобачевского — к основному закону его геометрии.
      С этим-то законом труднее всего было примириться даже крупнейшим математикам прошлого.
      Речь идет о связи между углом и стороной треугольника, точнее, о знаменитом соотношении между углом параллельности и длиной перпендикуляра, о той формуле которой Лобачевский закончил 11 февраля 1826 года свой доклад на Совете.
      Прежде чем продолжать путешествие по миру Лобачевского, вглядимся еще раз в окружающий нас привычный мир.
      Как мы представляем себе пространство?
      Вот оно, безбрежное, простирается безгранично во всей Вселенной, всюду одинаковое, неизменное, однородное. В любом уголке Вселенной, в любой части этого пространства мы можем строить совершенно одинаковые геометрические фигуры. Мы можем пропорционально уменьшать или увеличивать их, то есть строить тысячи подобных фигур. Так, нам нетрудно вообразить крошечный треугольник со сторонами, не превышающими долей миллиметра, и множество других, подобных ему, стоооны которых придется измерять сотнями, тысячами, миллионами километров. Но угол, заключенный между двумя сторонами маленького треугольника, будет в точности равен соответствующему углу в треугольнике-гиганте. А это значит, что между величиной угла и длиной его сторон нет решительно никакой связи. И, как частный случай этого общего закона, угол между двумя взаимоперпендикулярными сторонами, другими словами, между перпендикуляром и параллелью к прямой, какой бы длины они ни были, всегда равен 90°.
      Все это так просто, так естественно и понятно... Еще со школьных лет все это стало привычным для нас... Здесь все как быть должно! Наши чувства, наша интуиция говорят: все правильно! Все правильно, говорит и геометрия Эвклида, геометрия привычного нам мира.
      Но может быть и иначе, — возражает ей геометрия Лобачевского. — То, что в вашем мире существует независимо друг от друга, в моем тесно связано между собой.
      Длина перпендикуляра мала — угол параллельности велик.
      Перпендикуляр растет — угол уменьшается.
      Вспомним иронические улыбки первых слушателей Лобачевского: ведь если все это верно, то нарушается «принцип однородности». На первый взгляд кажется, что это действительно так. Но если бы слушатели уже тогда, отрешившись от предвзятости, дали себе труд внимательней приглядеться к основному уравнению Лобачевского, они увидели бы, что на самом деле такого нарушения в нем нет. В этом уравнении угол определяется не просто длиной перпендикуляра, то есть не просто отрезком прямой, а отношением этого отрезка к некоторому другому постоянному отрезку, значит — тоже отвлеченной величиной. Следовательно, и слева и справа в этом уравнении стоят величины однородные.
      Итак, трудность сама собой устранилась. Сама собой? Нет! Она исчезла ценой появления новой, гораздо
      более серьезной трудности: появился некий постоянный отрезок, единственный для данного пространства!
      Как это понять?
      Что же это за отрезок?
      Вот здесь-то и скрыта сама сущность геометрии Лобачевского — то зерно, из которого выросло потом раскидистое и мощное дерево современных представлений о строении пространства Вселенной.
      Предположение, что сумма углов треугольника может быть и меньше 180°, не казалось таким уж абсурдным наиболее смелым из математиков. Его допускал и Саккери. А позже Лежандр и другие. Они готовы были примириться и с некоторыми следствиями, вытекающими из этого допущения. Но как только цепь рассуждений с неизбежностью приводила к существованию однозначной зависимости между углом и отрезком, так ум их возмущался, восставал, и они сразу выносили приговор геометрии, построенной на таких основаниях: нет, она существовать не может, она ложна.
      То, что на пути других математиков вставало непреодолимым барьером, Лобачевскому послужило трамплином для смелого прыжка в новый мир.
      — Нет, эта геометрия не ложна! — сказал он. — Пусть она сложнее эвклидовой, но зато она гораздо шире ее: геометрия Эвклида есть только частный — предельный — случай этой новой геометрии.
      Ее сложность отражает сложное строение нашего мира, который мы пока познали и рассматриваем лишь в первом — грубом — приближении. А при дальнейшем развитии науки и наших представлений о пространстве, о Вселенной, несомненно, возникнут новые геометрические системы; они должны будут соответствовать этому новому, более высокому уровню знаний, и с их помощью ученые смогут описывать более тонкие особенности строения мира — те особенности, что сегодня еще ускользают от нас.
      Так думал Лобачевский.
      Его необычайно широкий взгляд на вещи помог ему проникнуть в глубину, в суть явлений. Лобачевский подходил к геометрии не только как к чисто логической науке, что было твердым правилом у всех мате-матиков. Он тесно связывал ее с физикой и астроно-
      мией. По тем временам это был невиданно смелый подход к одной из самых отвлеченных наук. Он рассматривал геометрию нашего пространства как геометрию реального многообразного мира движущейся материи в этом величайшая заслуга и величайшая победа Лобачевского.
      Вдумайтесь в знаменательные слова, сказанные на Совете: «Но в том, однако ж, нельзя сомневаться, что силы всё производят одни: движение, скорость, время, массу, даже расстояния и углы. С силами все находится
      в тесной связи».
      Самый гениальный ум, забежав на столетие вперед, не может все точно предвидеть и конкретно объяснить. Лобачевский сумел предсказать существование связей между, казалось бы, совершенно разнородными, чуждыми друг другу величинами. И поразительно, как уверенно, без тени колебаний говорил он о таких связях.
      Путешествие в пространство Лобачевского
      Каким представлялся наш мир ученым во времена Лобачевского, да и значительно позже? Что было фундаментом, основой всех естественнонаучных взглядов.
      Абсолютное, везде одинаковое, ни с чем не связанное, ни от чего не зависящее время. Абсолютное, всюду однородное пространство с абсолютной, везде одинаковой и тоже ни от чего не зависящей геометрией. В таком абсолютном пространстве и таком абсолютном времени существует, подчиняясь физическим законам, вся материя. Вот, например, закон всемирного тяготения. Он определяет зависимость силы взаимного притяжения тел от величины их масс и расстояния между ними И, конечно, все ученые были убеждены, что ни массы, ни силы, ни связывающие их законы от времени и пространства не зависят, так же как время и прост ранство не зависят ни от чего. Никому и в голову не могло прийти, что природа вещей может быть инои.
      — Нет, — возражал Лобачевский. С силами, с массами тесно связано само время, от них зависит и строение пространства, то есть его геометрия.
      Почти через столетие такую зависимость подтвердит, найдет для нее физическое объяснение и математически выразит ее величайший физик XX века Альберт Эйнштейн.
      Созданная им общая теория относительности и есть описание таких связей, царящих в природе. Они, эти связи, лежат не на виду, не на поверхности явлений, а спрятаны очень глубоко. Потому-то существование их даже наиболее смелые и проницательные умы могли сначала только предсказать, да и то в самой общей форме. И лишь впоследствии, когда наука раздвинула горизонты наблюдаемой части Вселенной, когда она создала разнообразную тончайшую аппаратуру для исследования космоса, глубочайшие эти связи были действительно обнаружены и подтверждены на опыте.
      Именно об этом и писал Лобачевский:
      «Когда верно, что силы зависят от расстояния, то линии могут быть также в зависимости с углами... Различие не заключается, собственно, в понятии, но только в том, что мы познаем одну зависимость из опытов, а другую при недостатке наблюдений должны предполагать умственно, либо за пределами видимого мира, либо в тесной сфере молекулярных притяжений».
      Здесь все — предсказание будущего, предсказание, сбывающееся в наши дни...
      Теперь мы можем ответить на вопрос, что же означает зависимость геометрии от сил или от масс.
      Она означает, что пространство не является абсолютным и однородным, что геометрия его будет определяться величиной и распределением масс. Другими словами, наше реальное физическое пространство оказывается вовсе не эвклидовым.
      Какое же главное, «зримое» геометрическое свойство будет отличать его от пространства Эвклида? Вспомним: чтобы параллельные Лобачевского действительно могли существовать, нам надо было покинуть обычную эвклидову плоскость и перейти на плоскость с новыми свойствами. Эту плоскость Лобачевского, оказывается, можно вполне зримо представить себе. Можно, как говорят математики, построить для нее модель.
      Если взять особую, кривую поверхность, которую называют псевдосферой и которая очень похожа на колпак с загнутыми краями, то линии кратчайших расстояний на ней (то есть прямые) будут подчиняться законам Лобачевского, а не Эвклида: стороны треугольников будут зависеть от углов, пятый постулат будет неверен, параллельных будет у данной прямой не одна, а две... Словом, плоскость Лобачевского вовсе не плоская. У нее есть кривизна. Ну, а раз так, то и пространство Лобачевского должно обладать кривизной!
      Если бы существовало физическое пространство четырех измерений и мы из него заглянули бы в трехмерное пространство Лобачевского, то сразу увидели бы, ощутили бы эту кривизну. А взглянув из такого четы-оехмерного мира на обычное пространство Эвклида, мы так же ясно увидели бы, что у него нет никакой кривизны. Оно «плоское».
      Искривление пространства прямо следует из основного уравнения Лобачевского. Снова вспомним: в этом уравнении угол определяется не просто длиной стороны треугольника, а отношением ее к длине некоторого единственного неизменного отрезка. Это постоянная величина в уравнении Лобачевского. Каков ее физический или геометрический смысл?
      Этот отрезок — не что иное, как радиус кривизны пространства Лобачевского.
      Сразу же возникает вопрос об истинной величине радиуса кривизны. Лобачевский показывает, что теоретически этот радиус можег иметь любые значения и каждому из них будет соответствовать свое искривленное пространство.
      Но ясно, что вопрос о степени искривления реального пространства Вселенной лежит уже вне геометрии, его могут решить только физика и астрономия.
      Ответив на этот вопрос, определив эту кривизну, физика, астрономия, космология — наука о строении Вселенной — ответят экспериментально, а не только теоретически, и на другой важнейший вопрос: какая же геометрия истинна и царит в нашем мире — эвклидова или неэвклидова? Во времена Лобачевского наука была бессильна пролить хоть какой-нибудь свет в этой области. В наши дни она уже кое-что может сказать. Но об этом — в конце книги.
      А теперь переселимся в пространство Лобачевского.
      Пространство, обладающее кривизной!..
      Представить себе разнообразные искривленные поверхности нам очень легко: в жизни мы наблюдаем их на каждом шагу. Но часто не догадываемся или не задумываемся над тем, что многие из этих поверхностей целиком характеризуются одной константой, одной «собственной» постоянной величиной (или несколькими). Вот поверхность шара. Нам достаточно задать только радиус шара, как все в нем — его размеры, объем, кривизна его поверхности — все будет однозначно определено.
      Поверхности более сложного типа тоже определяются радиусом кривизны, но уже «е постоянным.
      Этот радиус меняется от точки к точке, иногда от участка к участку. Но для всех поверхностей существует общий закон: если радиус кривизны будет все больше возрастать, то поверхность все сильнее будет приближаться к плоскости. Детский воздушный шарик справедливо кажется нам более «круто» искривленным, чем настоящий громадный воздушный шар. А радиус земного шара так велик, что даже самые наблюдательные из людей древности считали Землю плоской.
      Кривизна и радиус кривизны не одно и то же. Это величины обратные: радиус мал — кривизна велика, радиус велик — мала кривизна. Кривизна плоскости, естественно, равна нулю, а это значит, что плоскость — как бы шар с бесконечным радиусом.
      Так обстоит дело с кривыми поверхностями и плоскостью в пространстве Эвклида — в пространстве с нулевой кривизной.
      Подобные же соотношения царят и в пространстве Лобачевского. Но, кроме того, пространство Лобачевского само искривлено и, повторяем, постоянная величина, входящая в основное уравнение Лобачевского, как раз и есть радиус кривизны его пространства. Теперь мы легко поймем, что в частном — предельном — случае, когда эта постоянная становится равной бесконечности, пространство Лобачевского переходит в пространство нулевой кривизны — в «плоское» пространство Эвклида. С другой стороны, в любой области пространства, размер которой мал по сравнению с радиусом кривизны, различие между обеими геометриями оказывается исчезающе малым.
      Начерченные на бумаге параллельные Лобачевского имеют, как мы уже установили, чисто условный вид. Или, если мы их изображаем в виде обычных, эвклидовых, прямых, то они ведут себя не так, как повели бы в плоскости Лобачевского. Раньше или позже они пересекутся. Или их надо начертить такими, чтобы пересечение исключалось. Но тогда, глядя на чертеж, вы снова подумаете, что прямые линии не могут иметь такой формы, что это не прямые, а кривые и весь чертеж неправильный.
      Но растяните мысленно этот листок на квадрильоны километров, на миллионы и миллиарды световых лет... Поручитесь ли вы, что он не приобретает «по дороге» кривизны? Ведь, не покидая двора своего дома, человек никогда не смог бы доказать, что Земля — шар... Или сожмите космос до величины листка бумаги. Вы сможете это сделать?!
      Лобачевский сумел, он как раз это и сделал! И в этом сила его гения.
      Мощью своего ума, инстинкта, своей фантазией и мечтой Лобачевский покорил для себя пространство и время — он словно предчувствовал свойства безграничных просторов Вселенной; так вырвался он из плена современных ему представлений и перешагнул через свой девятнадцатый век.
      ...Рассказывая о грядущих космических рейсах, Артур Кларк замечает:
      «Наша цивилизация — не что иное, как сумма всех мечтаний, нашедших с веками свое реальное воплощение. И если люди перестанут мечтать, если они повернутся спиной к чуду Вселенной, то это будет верным признаком упадка человечества.
      Но такова уж природа человека — как только его первый межпланетный корабль приблизится к Плутону и начнет описывать круги над его ледяными пустынями, выбирая место для посадки, он в мечтах своих будет преодолевать новые пространства, те, которые отделяют его от звезд».
      Лобачевский сумел заглянуть в такие беспредельные дали, куда, вероятно, никогда не долетит ни один космический корабль. И у него не закружилась голова. Все, что он там увидел, он подчинил разуму, облек в строгие формулы математики. Вчитываясь в сочинения Лобачевского, чувствуешь, какой безграничный полет фантазии скрывается за его уравнениями, за сухими, тщательно отобранными словами.
      Мир геометрии Лобачевского — это действительно совершенно особенный, не похожий ни на что нам известное мир. Его населяют образы до того странные, что наша интуиция, наше воображение, веками жившие в мире эвклидовой геометрии, воспитанные на ней, отказываются принять этот новый мир.
      Если интуиция говорит нам, что в нашем земном пространстве нельзя построить геометрии, в которой параллельные линии сходятся и в которой не существует подобных фигур, то она, конечно, праза. Это истина, установленная человеческой практикой за много тысячелетий, установленная всем опытом человечества. В чем же тут дело? Дело в том, что мы живем в мире, размеры которого малы по сравнению с этим возможным радиусом кривизны, то есть где кривизна пространства практически равна нулю в мире геометрии Эвклида. Лобачевский сам говорил, что его геометрия может быть только геометрией огромных пространств, гигантских межзвездных расстояний, геометрией Вселенной.
      Чтобы доступно объяснить, каким расширением наших представлений стала неэвклидова геометрия, венгерский математик Имре Тот приводит любопытную аналогию.
      Вообразим себе, говорит он, что некая планета населена одними млекопитающими. Никаких других живых существ на ней нет и не было. Ясно, что для людей, населяющих эту планету, понятие «живые существа» совершенно слилось с понятием «млекопитающие».
      Теперь предположим, что нашелся на этой планете молодой ученый, биолог, который путем анализа, путем чисто теоретических рассуждений пришел к мысли, что понятие «живые существа» значительно шире, чем понятие «млекопитающие». Он сказал, что, по его теории, могут существовать живые существа и другого типа, такие, которые размножаются не рождением живых детенышей, а иным образом. Он пошел и много дальше: тщательно исследовав различные особенности живого организма, он теоретически описал целый ряд свойств, которые должны быть характерны для живых существ, отличных от млекопитающих.
      Можно себе представить, какое возмущение вызвало это новое биологическое учение в среде консервативных биологов. Наш проницательный ученый, конечно, не мог им показать ни одного экземпляра «придуманных» им удивительных существ. Его коллеги издевательски говорили, что он хочет заселить зоологический сад их планеты чудовищами своей собственной фантазии... Они не поняли, что как раз в способности представить себе такой разнообразный мир живых существ и проявился гений молодого биолога.
      В таком же положении оказался молодой геометр Николай Иванович Лобачевский, когда он рассказывал современникам — математикам и физикам — о свойствах открытого им нового мира геометрических образов.
      Если бы биологи вымышленной планеты попали на нашу Землю, они своими глазами увидели бы, как велик и многообразен мир живых существ, среди которых млекопитающие составляют только один класс.
      Для того чтобы попасть в мир геометрии Лобачевского, сегодня не надо отправляться в космическое путешествие. Наши знания и научное мышление человека уже так развились, что мы можем, не покидая своей планеты, овладеть не только этими представлениями, но еще и значительно более сложными.
      ...При жизни Лобачевский ни от одного человека не услышал: «Я понимаю тебя». Тридцать лет развивал он и объяснял свои идеи, оставаясь как ученый в абсолютном одиночестве.
     
      «Аппендикс»
      В то время когда Лобачевский докладывал на Совете университета о созданной им новой геометрии, Янош Бойаи гостил в Марошвашархее.
      Едва переступив порог родного дома, он тотчас увлек отца в его кабинет и сразу начал возбужденно рассказывать о своем замысле. Он создаст великое учение — абсолютное учение о пространстве! План будущего «нового мира» в общих чертах у него уже готов!
      Фаркаш слушал рассеянно, и Янош видел, что его слова оставляют отца равнодушным, будто проходят мимо сознания.
      — Ты хочешь помериться силами с творцом Вселен-
      ной? — вдругс легкой улыбкой произнес отец. Потом заговорил с жаром: — Я снова предостерегаю тебя. Я вижу, моя несчастная жизнь повторяется в тебе. Я вижу тебя в ужасный шторм среди опасных подводных камней, где, что ни час, происходят кораблекрушения.
      Лицо Яноша потемнело, пальцы нервно выбивали дробь по столу. Он хорошо знал, как это с ним бывает: гнев зарождался где-то в глубине, он сжимал сердце так, что не хватало воздуха и трудно становилось дышать, потом сразу комок подкатывался к горлу и начинал душить. Тогда уже ничто не могло остановить Яноша.
      Сейчас он едва сдерживал этот закипающий гнев. От первой радости встречи Не осталось и следа.
      — Это все равно, что горящий факел погрузить в море, — продолжал ничего не замечающий Фаркаш. — Это настоящая болезнь, род помешательства, тирййиче-ская идея. Это то же, что квадратура круга, Превращение металлов в золото, кладоискательство...
      — Довольно! — с бешенством прервал его Янош. — Хватит! Ты мой отец... А что ты делаешь? Всеми мыслимыми способами ты стараешься принизить мою работу! Со всей горячностью, на какую способен, ты декламируешь против моей попытки найти причину бессилия стольких умов, против попытки проникнуть в самое существо вещей!..
      Ссора произошла — ничто в характерах отца и сына уже не могло ее предотвратить.
      Но, несмотря на размолвку, отец сдержал давнее обещание: снова предложил Яношу подготовить его работу к изданию в виде приложения к «Тентамену». Правда, он вынужден был поставить довольно суровое условие: все расходы по печатанию и изданию своего труда Янош возьмет на себя. Как всегда, Фаркаш переживал в ту пору большие материальные затруднения. Но, кто знает, может быть, тут сыграло свою роль и его неверие в работу сына.
      Чтобы понять, каким тяжелым оказалось это условие для офицера с нищенским жалованьем, достаточно взглянуть на таблицу с чертежами в изданной брошюре Яноша Бойаи.
      На одном листе плотно, почти касаясь друг друга, изображены все 23 чертежа. Некоторые из них пред-
      ставляют собою даже целые комплексы чертежей, служащих для доказательства различных теорем. Больше того — чертежи не всегда идут последовательно, по порядку номеров: они размещены так, чтобы не пропало даром ни кусочка бумаги.
      Удивительная сжатость и экономность текста в работе Яноша тоже в немалой степени объясняются стремлением всячески сократить расходы на печатание и бумагу. Конечно, долго и тщательно продумывая свое сочинение, Янош старался удалить из него все лишнее и сделать его возможно более стройным, изящным и немногословным.
      Более пяти лет писал Янош свой труд. Наконец, в 1832 году, спустя три года после опубликования в «Казанском вестнике» мемуара Лобачевского «О началах геометрии», вышел в свет толстый том «Тентамена» Фаркаша Бойаи с сочинением сына в виде приложения. Янош так и назвал его: «Приложение, содержащее абсолютно истинное учение о пространстве», или сокращенно «Appendix». Под этим латинским именем творение Яноша и вошло в историю науки.
      «...Кто же будет первым читателем, первым судьей моей работы, так и не понятой отцом? — думал Янош. — Конечно, Гаусс!»
      И, простив давнишнюю обиду, после молчания, которое длилось пятнадцать лет, Фаркаш по воле сына взялся за перо.
      «Достопочтенный Гаусс! Прости, что я тебя тревожу в твоем путешествии; сделай маленькую остановку и подари минуту дружбе».
      Фаркаш издали следил за жизнью друга, через общих знакомых узнавал о его делах, радовался его успехам и гордился его славой. Письмо догоняло уехавшего на летние вакации профессора Геттингенского университета.
      Коротко сообщив о своих делах и занятиях сына, Бойаи продолжал: «По просьбе Яноша я посылаю тебе его маленькое сочинение; будь добр, посмотри на него своими острыми, проницательными глазами и произнеси без пощады высокий приговор, которого я страстно жду... Мой сын ставит на твое суждение больше, чем на
      суждение всей Европы», — писал Фаркаш, вспоминая свой горячий спор с Яношем и его убежденные слова, что Геттингенский Колосс все поймет.
      Колосс не только понял. Его «острые, проницательные глаза» сразу увидели все. Едва прочитав «Аппендикс», он тут же написал письмо своему ученику и другу Герлингу, жившему в Марбурге:
      «На днях я получил небольшое сочинение из Венгрии о неэвклидовой геометрии, в котором я нашел все мои собственные идеи и результаты, развитые с большим изяществом, хотя, вследствие сжатости изложения, в форме, трудно доступной тому, кому чужда эта область. Исследователь — очень молодой австрийский офицер, сын моего друга юности, с которым в 1798 году я часто беседовал об этом предмете, хотя тогда мои идеи были гораздо дальше от завершения и зрелости, чем идеи, заключенные в самостоятельных размышлениях этого юноши. Я считаю, что этот юный геометр Бойаи — гений первой величины».
      Письмо Гаусса — свидетельство нескрываемого восхищения гениальностью молодого ученого и удивления перед силой его мысли. В нем признание в истинных чувствах.
      Но, странное дело, великий математик почему-то решил сдержать эти чувства, когда подумал об отце и сыне Бойаи, об их ожиданиях и надеждах, связанных с его «высоким приговором». Он не поторопился обрадовать их письмом, не поздравил старого друга, не воодушевил его сына на дальнейший труд. Напротив, Гаусс долго и осторожно отбирал слова, готовя свой ответ.
      В Марошвашархей письмо со штемпелем Геттингена пришло только через месяц.
      ...Держа в руках еще не распечатанный конверт, отец торжественно направился в кабинет и позвал с собою Яноша. На темных стенах, окрашенных в густой коричневый цвет, висели три портрета: Шекспира — «сына
      природы», Шиллера — «внука природы» (так называл их Фаркаш, старый приверженец Руссо), и, конечно, Гаусса.
      Усевшись в кресло, Фаркаш еще помедлил, прежде чем дрожащими руками надорвать конверт. Потом вынул письмо и стал читать вслух.
      Но что это? Почему его старый друг сначала так
      подробно и пространно сообщает о своих делах и событиях последних лет, почему он сперва справляется о нем, Фаркаше, и только затем так непостижимо небрежно переходит к главному?
      «Теперь кое-что о работе твоего сына. Если я начну с того, что я ее не должен хвалить, то на мгновение ты поразишься, но я не могу поступить иначе: хвалить ее значило бы хвалить самого себя, ибо все содержание этой работы, путь, по которому твой сын пошел, и результаты, которые он получил, — почти сплошь совпадают с моими, которые я частично получил уже 30 — 35 лет тому назад. Я действительно этим крайне поражен.
      Я имел намерение о своей собственной работе, кое-что из которой я теперь нанес на бумагу, при жизни ничего не публиковать. У большинства людей совершенно отсутствует правильное понятие о том, о чем здесь идет речь; я встречал только очень немногих, кто с особенным интересом относился к тому, что я им об этом сообщал. Чтобы быть в состоянии это понять, надо сначала живо ощутить то, чего, собственно, здесь недостает, а это большинству людей совершенно неясно. Но я имел намерение со временем нанести на бумагу все, чтобы эти мысли по крайней мере не погибли со мной.
      Я поэтому чрезвычайно поражен случившимся — оно освобождает меня от этой необходимости; и меня очень радует, что именно сын моего старого друга таким удивительным образом меня предвосхитил».
      Янош все ниже и ниже опускал голову. Отец молча отложил письмо и подошел к секретеру. Несколько минут он так же молча рылся в старых бумагах. Потом, не произнося ни слова, протянул сыну сложенный вчетверо лист. Янош развернул пожелтевшее от времени письмо и быстро пробежал его глазами:
      «...У меня теперь столько других занятий, что я совершенно не могу в настоящее время об этом думать, и поверь мне, я буду сердечно рад, если ты меня в этом предупредишь и тебе удастся преодолеть все препятствия. Тогда я с искренней радостью сделаю все, что в моих силах, чтобы осветить твои заслуги и раскрыть их истинное значение...»
      Янош взглянул на дату. Там стояло: Гельмштадт, 16 декабря 1799 года.
      — А через пять лет он снова писал мне, что будет искренне рад, если я сумею преодолеть все трудности теории параллельных, — проследив за взглядом Яноша, тихо добавил отец. — Но ведь Гаусс, — вдруг спохватился он, — считает, что твое сочинение прекрасно, что оно принесет нашему отечеству и нашей науке славу! — договорил он уже с обычным жаром.
      — Славу?! — взорвался Янош. — Славу он присваивает себе! Или, может быть, это ты все рассказал ему — выдал все мои идеи?! А этот жадный Колосс их присвоил?! А если не так, то все, что он пишет, неправда!..
      Но это была правда. Гаусс действительно уже много лет раздумывал над возможностью создания геометрической системы, отличной от эвклидовой, и многие идеи такой геометрии были ему ясны. Об этом свидетельствует его переписка, которой Янош, конечно, не знал...
      А эта переписка замечательна со многих точек зрения. Кроме всего прочего, она объясняет характер и психологию Геттингенского Колосса. Читая письма Гаусса, видишь, что совсем не случайно был так сдержан его ответ Фаркашу Бойаи. При всем своем доброжелательном отношении к другим ученым, Гаусс неуклонно, всю жизнь, держался одной последовательной линии.
     
      Гаусс и другие
      В Харьковском университете с 1812 по 1816 год преподавал право профессор Швейкарт. Но главной его страстью издавна была теория параллельных. Еще в 1807 году он опубликовал свой вариант доказательства пятого постулата. И хотя он скоро сам нашел ошибку в этом доказательстве, неудача только удвоила его интерес к вечной проблеме. В Харькове Швейкарт особенно много занимался теорией параллельных, отдавая ей весь свой досуг. И в конце концов им начало овладевать убеждение в возможности существования не только эвклидовой геометрии — «геометрии в узком смысле слова», но и другой — «звездной», или «астральной», геометрии, как он ее называл.
      В 1817 году Швейкарт переехал в Германию. Там вскоре встретился он и подружился с профессором Герлингом. Мы уже упоминали, что Герлинг был другом И учеником Гаусса и находился в постоянной переписке со своим учителем. Однажды Герлинг рассказал Швей-карту, что Гаусс интересуется проблемой параллельных линий. Обрадованный Швейкарт решил переслать королю математики свою небольшую заметку об «астральной геометрии». Герлинг помог ему сделать это.
      Гаусс тотчас откликнулся. «Заметка профессора Швейкарта доставила мне необычайно много удовольствия, — написал он Герлингу, — и я прошу сказать ему по этому поводу от меня много хорошего. Все это как будто выписано из моей собственной души».
      Дальше Гаусс привел некоторые начальные положения неэвклидовой геометрии, которых Швейкарт, видимо, не мог вывести из-за недостаточно глубокого знания математики. Однако Гаусс отнюдь не поощрил Швейкарта в его исканиях и даже не заговорил об опубликовании его заметки. Почему? Ответ на этот вопрос дает другое письмо геттингенца Герлингу.
      Последний, перерабатывая учебник математики, хотел сделать такое примечание к пятому постулату:
      «Доказательства этого предложения до сих пор найти не удалось, поэтому необходимо принять сие предложение за аксиому, пока кто-либо не найдет его доказательства или не обнаружит его неправильности».
      Герлинг спрашивал у Гаусса, верно ли будет, по его мнению, подобное примечание.
      «Я очень рад, — ответил ему учитель, — что Вы имеете мужество высказаться так, как будто Вы признаете возможным, что наша теория параллельных линий, а следовательно, и вся наша геометрия ложны. Но осы, гнездо которых Вы разрушаете, подымутся над Вашей головой».
      Не в этом ли было все дело?! Гаусс не решался выступить во всеуслышание против привычных представлений: он боялся «разрушить гнездо ос». Вот почему писал он Фаркашу Бойаи, что при жизни не намерен опубликовать ни слова из своих заметок по неэвклидовой геометрии. Об этом же говорил он в 1829 году известному математику Бесселю:
      — Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои пространные исследования по этому вопросу, чтобы их
      можно было опубликовать. Возможно даже, что я не решусь на это во всю свою жизнь, потому что боюсь крика беотийцев*, который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком.
      * Беотия — область в Древней Греции, жители которой славились своей глупостью. Слово «беотийцы» стало у греков нарицательным так же, как у нас, например, «пошехонцы».
      Так обстояло дело. Из всего этого Янош Бойаи знал только то, что Гаусс писал его отцу. Но молодому, прямодушному ученому, в котором жила «храбрость солдата», и этих признаний Гаусса было достаточно, чтобы со всем жаром отвергнуть его позицию и высказать свое собственное, противоположное, жизненное кредо.
      — По моему мнению, — говорил Янош, — и, как я твердо уверен, по мнению всякого непредубежденного человека, все доводы, приводимые Гауссом в объяснение того, почему он при жизни не желает ничего опубликовать из своих собственных работ, относящихся к этому вопросу, совершенно бессильны и ничтожны. Ведь в науке, как и в повседневной жизни, цель состоит именно в том, чтобы всемерно выяснить и ярко осветить необходимые общеполезные вещи, в особенности еще не вполне ясные, и вместе с тем пробудить еще дремлющее сознание истины; это именно нужно укрепить и развивать. Понимание математики, к общему вреду и неблагополучию, присуще, к сожалению, лишь очень немногим; и ведь на таком основании и под таким предлогом Гаусс столь же последовательно мог бы сохранить в тайне значительную часть своих превосходных работ. То обстоятельство, что, к сожалению, среди математиков, и даже среди знаменитых, имеется еще много поверхностных людей, конечно, не может служить основанием для того, чтобы и в дальнейшем заниматься только поверхностным и посредственным и оставлять науку в летаргии, в состоянии, унаследованном ею от прошлого. Такого рода умонастроение справедливо было бы назвать противоестественным и совершенно бессмысленным. Поэтому производит крайне неприятное впечатление, что вместо прямого, честного, искреннего признания высокой ценности «Аппендикса» и всего «Тентамена», вместо того чтобы выразить свою радость, свое участие и подумать о тех средствах, которые проложили бы хорошему делу широкий путь, — вместо всего этого Гаусс старается избежать прямого пути и спешит излиться в благочестивых пожеланиях, в выражениях сожаления по поводу недостаточного образования людей. Не в этом, конечно, заключается жизнь, деятельность и заслуга...
      Рассказывая о взаимоотношениях Яноша Бойаи и Гаусса, нельзя не вспомнить здесь, кроме истории Фердинанда Швейкарта, печальную историю его племянника Тауринуса.
      ...Тауринус, как и Швейкарт, был юристом и сначала не чувствовал никакого интереса к математике. Однако уже сложившимся человеком, в тридцатилетием возрасте, он «заразился» от своего дяди опасным увлечением.
      Доказывая пятый постулат, Тауринус предположил, что сумма углов треугольника меньше 180° и вывел отсюда ряд важных теорем. Свою работу Тауринус в 1824 году послал Гауссу. Прежде всего Гауссу...
      Ответ был весьма характерен. Гаусс заранее решительно противился любой попытке сообщить в печати что бы то ни было о существовании геометрической ереси.
      Но письмо это интересно еще и тем, что Гаусс со свойственной ему ясностью мысли четко и стройно излагает в нем суть неэвклидовой геометрии и ее философское значение:
      «Допущение, что сумма трех углов треугольника меньше 180°, — пишет он, — приводит к своеобразной, полностью отличной от нашей (эвклидовой), геометрии; эта геометрия совершенно последовательна, и я развил ее для себя абсолютно удовлетворительно: я имею возможность решить в этой геометрии любую задачу, за исключением определения некоторой постоянной, значение которой a priori установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе мы подойдем к эвклидовой геометрии, а бесконечно большое ее значение приведет обе системы к совпадению. Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными, но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, например, все три угла треугольника можно сделать сколь угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить, даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой неэвклидовой геометрии противоречия или непоследовательность остались бесплодными, и единственно, что в этой системе противится нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная (хотя нам и неизвестная) линейная величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизиков, знаем очень мало или даже ничего не знаем о сущности пространства; мы не можем смешивать того, что нам представляется неестественным, с абсолютно невозможным. Если бы неэвклидова геометрия была истинной и упомянутая выше постоянная находилась в определенном отношении к таким величинам, которые доступны нашему измерению на небе или на земле, то ее можно было бы определить a posteriori (из опыта). Я поэтому иногда в шутку высказывал желание, чтобы эвклидова геометрия не была истинной, потому что мы тогда имели бы a priori абсолютную меру длины».
      Какой легкий и изящный штриховой набросок некоторых глубоких идей неэвклидовой геометрии! Появись он в печати за подписью I аусса, «первого математика мира», он вызвал бы переворот в умах ученых и философов. Да, осы поднялись бы над головой почтенного профессора. Но зато молодые силы талантливых геометров, получив такую мощную поддержку, смело объединились бы, и новая наука пошла бы вперед семимильными шагами...
      К несчастью, Гаусс остался верен себе:
      «Относительно человека, который обнаружил глубокий математический ум, я не опасаюсь, что он дурно поймет изложенное выше, но во всяком случае Вы должны смотреть на это, как на частное сообщение, которое отнюдь не должно быть опубликовано», — писал он в заключение Тауринусу.
      Ооодренный пониманием Гаусса, Тауринус напечатал две брошюры, посвященные решению нескольких задач из области неэвклидовой геометрии. Однако он далеко не в полной мере сознавал, что соприкоснулся с величайшим открытием.
      Тауринус твердо помнил запрет Гаусса и поэтому в предисловии к одной из своих брошюр лишь очень осторожно дал понять, что было бы интересно увидеть какую-нибудь публикацию крупнейшего математика Европы по этим вопросам.
      Получив брошюру, Колосс разгневался. Создается впечатление, что он в самом деле испугался, как бы эти весьма завуалированные, предельно осторожные слова не послужили поводом для обвинения его в математической ереси. Он прекратил с Тауринусом переписку, не захотел даже выслушать его.
      Потеряв поддержку ученого, которому он безгранично верил, Тауринус от потрясения заболел тяжелым нервным расстройством. Во время жестокого приступа болезни он сжег все экземпляры своих брошюр... Можно представить, как велико было отчаяние этого человека, еще недавно полного сил и надежд, если он собственными руками уничтожил свое детище!
     
      Жизнь, честь и заслуга ученого
      Испытанию, похожему на то, которое не выдержал Гаусс, почти в те же годы пришлось подвергнуться другому гениальному ученому. История как бы повторилась.
      Речь идет о Чарлзе Дарвине и его эволюционной теории, — по выражению Маркса, грандиозной попытке «доказать историческое развитие в природе».
      Изучая животный и растительный мир различных континентов, Дарвин собрал обширный материал, позволивший ему раскрыть секрет происхождения и эволюционного развития всех видов живых существ на земле. В 1839 году в знаменитом «Дневнике изысканий», опубликованном через три года после возвращения из плавания на «Бигле», он впервые письменно изложил свои «еретические» взгляды. Спустя пять лет, когда его наблюдения были еще более тщательно обработаны и оформлены, когда выводы были точно сформулированы и подтверждены целым «Монбланом фактов», Дарвин познакомил со своим трудом двух крупных уче-
      ных, руководителей Линнеевского общества Джозефа Гукера и Чарлза Лайелля. На этих первых читателей Дарвина его работа произвела очень большое впечатление, и оба они в течение многих лет уговаривали автора опубликовать ее.
      Но Дарвин не спешил с обнародованием своего труда. Он продолжал работать над ним. В этом он был схож с Гауссом. Гаусс тоже очень долго и тщательно шлифовал сочинения, предназначенные для печати. Может быть, отчетливо сознавая смелость и новизну созданной им теории, Дарвин боялся какой-нибудь недоделкой или неточностью скомпрометировать великую идею эволюции в природе и хотел довести свою работу до совершенства, прежде чем выпустить ее в свет. Во всяком случае, здесь не было ничего похожего на боязнь заслужить репутацию ниспровергателя основ. «Крика беотийцев» Дарвин не страшился — об этом ясно говорит все его дальнейшее поведение.
      Прошло еще четырнадцать лет непрерывной работы над эволюционным учением, и вот однажды Дарвин получил от своего друга Альфреда Уоллеса очерк, в котором нашел краткое изложение некоторых собственных взглядов. Уоллес просил Дарвина, если тот сочтет очерк достаточно новым и интересным, передать его Чарлзу Лайеллю.
      Как же поступает Дарвин?
      Он не пишет Уоллесу, что не видит в его работе ничего нового, потому что давно владеет основными идеями эволюции животных, хотя в действительности владел гораздо большим — он был уже автором капитального труда по эволюции и естественному отбору. Он не тре-оует от Уоллеса, чтобы тот молчал в печати о новых взглядах, угрожая порвать с ним отношения, хотя эти взгляды оыли покушением на овятая святых в «царстве ос».
      Нет, ничего этого он не делает. Он немедленно препровождает очерк Лайеллю с самой высокой оценкой. И больше того — с предложением возможно скорее опубликовать его!
      Лайелль и Гукер оценили этот акт скромности и великодушия, но они не захотели идти против истины. Они добились от Дарвина разрешения представить в Линне-евское общество вместе с очерком Уоллеса и его обшир-
      ный мемуар. «Мы объяснили мистеру Дарвину, — пишет Лайелль, — что руководствуемся не только желанием установить относительные права на приоритет его и его друга, но и общими интересами науки, ибо мы признаем весьма желательным, чтобы взгляды, основанные на широких выводах и фактах и проверенные годами зрелого размышления, могли тотчас послужить точкой отправления для других исследователей».
      Так Дарвин стал не только всеми признанным творцом эволюционного учения, но и основателем новой науки, называемой по праву дарвинизмом. А его благородный поступок в отношении Уоллеса делает только еше более привлекательным нравственный облик великого ученого...
      Янош Бойаи был прав, когда говорил, что в науке, как и в повседневной жизни, задача заключается в том, чтобы всемерно выяснить и ярко осветить необходимые, общеполезные вещи, в особенности еще не вполне ясные, и пробудить в людях еще дремлющее сознание истины. Именно так понимал и Дарвин смысл деятельности и заслуг ученого — смысл всей своей жизни.
      Избежал ли Дарвин того, что так страшило Гаусса? Нет, конечно! Он явился одним из величайших революционеров науки всех веков. И это не могло быть ему прощено.
      В Париже дважды выдвигали кандидатуру великого англичанина для избрания в почетные члены французской академии, и оба раза «бессмертные» проваливали ее.
      В Германии «ученые осы» тоже сделали свое дело: там выбили свинцовую медаль, на которой Дарвин был изображен в карикатурном виде.
      А на родине Дарвина всячески поносила церковь. И даже его учитель, профессор Седжвик, отказался принять в подарок от Дарвина книгу, заявив, что он оскорблен содержащимися в ней идеями.
      Но Дарвин продолжал последовательно разрабатывать эволюционную теорию. И нет сомнения: знай он заранее, что дорога его не будет усыпана розами, он все равно не променял бы ее ни на какую другую!
     
      Пути скрестились: Лобачевский и Гаусс
      Шли годы. В Казани Николай Иванович Лобачевский писал и пуоликовал одно за другим сочинения по неэвклидовои — «воображаемой» — геометрии. (...)
      Да, действительно, каждый новый шаг, каждый вывод подтверждал: тут противоречий нет, неэвклидова геометрия свободна от противоречий. А Лобачевскому нужно было сделать такой шаг, найти такой ход, после которого он мог бы сказать: в неэвклидовой геометрии не только нет, но и не может быть противоречий.
      Такого хода он не нашел до конца жизни. Не смог найти его и Бойаи, хотя, может быть, искал его еще настойчивей, чем Лобачевский. И Гаусс его не нашел; вероятно, даже и не искал.
      Решающий шаг в доказательстве непротиворечивости неэвклидовой геометрии был сделан около полувека спустя немецким математиком Гильбертом. А до него итальянский геометр Бельтрами дал первое убедительное доказательство логической правильности геометрии Лобачевского, построив ее на псевдосфере.
      ...Из всех сочинений Лобачевского наиболее доступной для восприятия явилась его небольшая работа «Геометрические исследования по теории параллельных линий», написанная по-немецки. Лобачевский стремился сделать неэвклидову геометрию достоянием математиков всего мира и потому писал некоторые свои труды на французском и немецком языках.
      Изданные в Берлине «Геометрические исследования» Лобачевского попались на глаза Гауссу. Так скрестились их пути. Так Геттингенский Колосс опять встретил человека, восставшего против всех авторитетов.
      Опытный глаз великого математика тотчас разглядел, что на этот раз перед ним не юноша, с трепетом ждущий его одобрения и поддержки, а зрелый исследователь, гигант математической мысли, уверенный в своей правоте и в жизненной силе созданной им науки. И благожелательное равнодушие Гаусса уступило место глубокой заинтересованности.
      " Гаусс занимался русским языком и раньше, но теперь удвоил свои усилия: он стремился поскорее познакомиться в оригинале с другими сочинениями Лобачевского.
      «Я начинаю читать по-русски с некоторой беглостью и извлекаю из этого большое удовольствие, — писал он в феврале 1841 года своему ученику, астроному Энке — Кнорре прислал мне маленькую, написанную на русском языке работу Лобачевского (в Казани), и благодаря ей, так же как и небольшому сочинению на немецком языке о параллельных линиях, мною овладело желание прочесть побольше сочинений этого остроумного математика. Как сказал мне Кнорре, «Труды Казанского университета», написанные на русском языке, содержат массу его сочинений».
      И позже, в сорок шестом году, своему другу — тоже астроному — Шумахеру:
      «Недавно я имел случай вновь просмотреть книжку Лобачевского («Геометрические исследования»). Она содержит основы той геометрии, которая должна была бы иметь место и была бы строго последовательной, если бы эвклидова геометрия не была бы истинной. Некто Швейкарт назвал такую геометрию звездной. Лобачевский называет ее воображаемой геометрией. Вы знаете, что я уже 54 года (с 1792 г.) имею те же убеждения (с некоторым позднейшим расширением, на котором не хочу здесь останавливаться); по материалу я, таким образом, в сочинении Лобачевского не нашел ничего для себя нового; но в его развитии автор следует другому пути, отличному от того, которым шел я сам; оно выполнено Лобачевским с мастерством, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанньш обратить Ваше внимание на эту книгу, которая, бесспорно, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение».
      Что же написал Гаусс самому Лобачевскому?
      Ничего. Ни единого слова, Это, очевидно, объяснялось тем, что в отличие от Бойаи, Швейкарта, Тауринуса, которым, как мы видели, Гаусс писал, Лобачевский сам не обращался к нему ни за одобрением, ни за советом, ни за помощью.
      И все-таки на этот раз Гаусс не до конца остался верен своему обыкновению. Он публично отметил высокие заслуги Лобачевского. Да, публично, а не только в частной переписке: он предложил избрать Лобачевского, «как одного из превосходнейших математиков русского государства», в члены-корреспонденты Геттингенского ученого королевского общества, где Гаусс состоял директором. Это было бесспорное признание.
      И однако... как сложна была психология геттингенца!
      Он постарался надежно замаскировать истинные мотивы избрания Лобачевского. Ни одного слова о главном открытии Лобачевского, о великом деле всей его жизни не было сказано Гауссом на заседании общества. Лобачевский был ректором и профессором одного из старейших русских университетов, автором различных математических трудов, — для коллег Гаусса этого было достаточно, чтобы они с готовностью приняли нового кандидата в свое сообщество.
      В дипломе было сказано, что ученое содружество «...мужа ученейшего Н. Лобачевского выбирает своим другом и сочленом в научном общении, надеясь, что этим выражением своей оценки и своего благоволения оно достигнет того, что он будет усердно заниматься общей работой и, уважая пример Общества, его авторитет, честь и достоинство, будет делиться с ним своими открытиями, наблюдениями и мыслями...»
      Хочется думать, что Лобачевский все-таки понял, чему он обязан своим избранием; что событие это несколько смягчило остроту ударов. Но вместе с тем сопутствующие обстоятельства или, вернее, отсутствие их — тот странный факт, что избрание не сопровождалось ни письмом с вопросами о неэвклидовой геометрии, ни научной дискуссией, — вероятно, вызвало у Лобачевского недоумение.
      В самом деле, попробуем поставить себя на место Лобачевского и представить, что он мог чувствовать и думать в те дни.
      Прежде всего, надо полагать, Лобачевскому и в голову не могло прийти, что есть или вообще возможны какие-нибудь причины, которые не позволяют Гауссу обсудить интересную для него математическую проблему. Что он, «король математики», может чего-нибудь или кого-нибудь испугаться. Что он промолчит именно тогда, когда ему особенно захочется объясниться. Он, Гаусс — непререкаемый авторитет, первый математик мира...
      Нет, можно ручаться, что подобные мысли никоим образом не могли возникнуть у Лобачевского — при его благородстве, честности, прямоте и абсолютной преданности науке.
      Так, может быть, Гауссу все это давным-давно известно? Может, он сам точно таким же образом «расправился» с пятым постулатом и построил неэвклидову геометрию на тех же, что и Лобачевский, основаниях?"
      И это маловероятно. Ведь Лобачевский был знаком с математической литературой Запада. И ему не попадалось ничего подобного — ни среди сочинений Гаусса, ни у кого-нибудь другого. А главное — едва ли российские математики осмелились бы так пренебрежительно отнестись к творчеству Лобачевского, знай они, что Гаусс разделяет его взгляды.
      Так может, Гаусс просто не придал значения его работам, не посчитал их достаточно интересными, заслуживающими внимания?
      Все в Лобачевском должно было противиться такому объяснению. Загадка пятого постулата была уж таким болезненным нарывом на теле математики, в течение столетий так беспокоила, так мучила геометров, что тот, кто вскрыл нарыв, освободил науку от этой боли, не мог не заслужить признательности первого из математиков. Нет, Гаусс просто не мог счесть работу Лобачевского не заслуживающей самого пристального и благодарного внимания.
      А может, он ее просто не читал, не знал?
      И это как будто бы отпадает. Ведь избрание Лобачевского последовало за опубликованием в Берлине «Геометрических исследований». Странно, в высшей степени странно, если это лишь случайное совпадение...
      Может, Гаусс нашел ошибки, неточности в его работе?
      Тогда почему он не написал об этом самому Лобачевскому?
      Ни одно из возможных объяснений не могло показаться Лобачевскому убедительным. А истинной причины он не знал. И может быть, так же, как мы гадаем теперь о том, что мог подумать Лобачевский, он сам гадал — чем же все-таки объяснить столь необъяснимое поведение Гаусса?
      Почему же Лобачевский сам не написал Гауссу, не попросил его высказаться о своей работе? Что тут сыграло главную роль? Гордость, нежелание быть навязчивым?.. Кто знает...
      Вся история эта — нелегкая психологическая загадка, которая, вероятно, уже никогда не будет разгадана.
      Так или иначе, по в согласии со стилем диплома Лобачевский в своем послании в Геттинген тоже не обмолвился ни словом о неэвклидовой геометрии. Поблагодарив Общество за избрание, он написал Гауссу: «я... выражаю желание, чтобы каждая из моих работ в научной области была бы достойна быть на одном уровне с превосходными трудами Общества; я во всяком случае направлю на то все мои усилия».
      Так Лобачевский стал членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества. Но это ничего не изменило в его судьбе.
      Между тем, сделай Гаусс решительный шаг, откажись он от вечной своей осторожности, и Лобачевский был бы избавлен от грубых и унизительных нападок невежественных реакционных писак и закосневших академических авторитетов. Открытая поддержка такого ученого остановила бы не одну злую руку...
      Но Гаусс не сделал этого шага, по-прежнему озабоченный сохранением собственного спокойствия. А потом случилось так, что вместо того, чтобы содействовать объединению усилий двух создателей нового мира — Лобачевского и Бойаи, Гаусс связал их судьбы в трагический для Яноша узел.
     
      Скрестились пути трех
      Однажды летом 1844 года в венгерской газете появилась заметка математика Ментовича. Он писал о своей встрече и беседе с Гауссом. Геттингенский профессор расспрашивал о старом друге Бойаи, о его сыне, а потом дал Ментовичу «Геометрические исследования» Лобачевского и сказал, имея в виду Яноша:
      — Эта работа должна иметь для венгерского математика двоякий интерес: во-первых, по удивительному сходству взглядов Лобачевского с идеями молодого Бойаи, а во-вторых, потому, что и другие работы Лобачевского, написанные на русском языке, должны быть венгру доступны (Гаусс ошибочно полагал, чго венгерский язык принадлежит к славянской группе).
      Лишь спустя четыре года отец и сын Бойаи случайно увидели эту газету. Чтобы узнать об упоминавшихся в заметке Ментовича сочинениях неведомого русского математика, Фаркаш пообещал сразу же написать Гауссу.
      Но, оставшись в кабинете наедине с самим собой — только портрет старого друга перед глазами, только воспоминания о нем в сердце, — семидесятидвухлетний
      Бойаи задумался о былом, и мысли его на время отвлеклись от просьбы Яноша. Они потекли по другому руслу...
      Жизненный путь завершался, приближался конец, и все чаще и настойчивее вставал вопрос, как прожита жизнь, на что потрачены долгие годы? Нелегко было у Фаркаша на душе, и невозможно было не заговорить об этом с Гауссом. С этого и начал старик свое письмо.
      «Кончился день. Ты получил достойную плагу за свои труды. Моя плата — только внутренний покои, без всякой награды за то, что в борьбе с судьбой я стоял под знаменем правды.
      Если бы я только не должен был краснеть за многие лучшие годы, когда бездонная теория параллельных линий с тысячью своих превратностей заставила меня совсем упасть духом и лишила мужества... Ах, если бы после такого бурного дня вечер не был бы пасмурен! Или пусть скорее опустится ночь!
      Для нас обоих наступил последний акт нашей пьесы. Но тебе, когда упадет занавес, будет рукоплескать Вечность; я буду доволен. И после того как отзвонит колокол — верный спутник нашей судьбы, обо мне больше не заговорит ни один камень...»
      Потом пришел ответ из Геттингена. Тоже безрадостный. Старый Гаусс вторил Фаркашу. Он признавался, что письмо «дорогого старого друга» было для него, «как голос духа далекого, отзвучавшего времени».
      «Это верно, — продолжал он, — в моей жизни было много драгоценного, что в этом мире вызывает зависть. Но поверь мне, дорогой Бойаи, суровые стороны жизни, по крайней мере моей, которые протянулись через нее красными нитями и против которых в пожилом возрасте становишься все более беззащитным, даже в сотой доле не могут уравновеситься радостью».
      Такие признания могут показаться странными в устах короля математики. Но мы еще увидим, что в жизни Гаусса дало ему право на эти сетования.
      ...Наконец, перед Яношем лежала книга, где другой человек на другом языке излагал, казалось, его собственные идеи.
      Янош был потрясен. Такое событие могло взбудоражить и менее страстного, менее неуравновешенного человека. Напор нахлынувших чувств был так силен и так
      неодолимо сознание одиночества, что хоть на бумагу надо было излить свои мысли и свое волнение. Под рукой оказались листки давнишней ненужной военной переписки. На их обороте запечатлелось все, что передумал и перечувствовал Янош в те дни...
      «Если даже в этом замечательном произведении часто выбираются другие пути, — записывал он, — то дух и результаты настолько совпадают с моим «Аппендиксом», выпущенным в 1832 году, что этому нельзя не удивляться.. Уже Гаусс, по его словам, был в высшей степени поражен замечательным совпадением работ мадьярского и московитского математиков. Воистину я этим поражен не меньше!
      Конечно, сущность чистой истины как в Марошва-шархее, так и на Камчатке, и даже на Луне, короче говоря, — на всем свете должна быть одна и та же. Что открывает одно разумное существо, то может открыть и другое — это не лишено вероятия. К тому же произведения ума, как и продукты природы, — по ходу развития человечества — имеют свое время, когда они появляются, как это, например, имело место в случае дифференциального и интегрального исчисления. Наконец, и самый предмет теории параллельных не особенно труден и не так уж скрыт. Но если все же подумать, как мало было даже среди лучших глубокомысленных математиков таких, которые пришли к осознанию этого пробела в геометрии и стремились к его восполнению; если подумать, что со времен Эвклида на протяжении всего существования человечества, несмотря на многие прекрасные глубокие исследования в этой области, ничего значительного не появилось, по крайней мере в печати; если все это принять во внимание, то вряд ли можно считать вероятным, что два или даже три человека, ничего друг о друге не зная, почти в одно и то же время, хотя и различными путями, почти полностью исчерпали вопрос...»
      Тут Янош внезапно остановился. Возбужденное воображение подсказало ему странное подозрение: он подумал, а не мог ли Лобачевский получить экземпляр «Тентамена» и, оценив значительность изложенных в «Аппендиксе» идей, развить их собственным путем?.. Но Янош сразу опомнился: ведь в предисловии у Лобачевского сказано, что первая работа, где изложена «вооб-
      ражаемая геометрия», напечатана в 1829 голу. Напечатана! Значит, его, Яноша, сочинение было опубликовано лишь спустя три года после выхода «Начал» Лобачевского! Версия плагиата развеялась. Но возбуждение не прошло. И Янош обратил свой гнев и подозрения на того, кто однажды уже нанес ему тяжелую рану: «Но еще вероятнее, что Гаусс — Колосс, и без того владеющий такими сокровищами, — не мог примириться с тем, чго кто-то в этом вопросе его предвосхитил; и так как он уже не был в состоянии этому воспрепятствовать, то он сам обработал теорию и выпустил в свет под именем Лобачевского...»
      Тяжело думать о той драме, которую переживал в те дни Янош.
      А Лобачевский, конечно, даже не подозревал, какое большое, хотя и невольное участие принимал он в этой драме.
      Янош много раз перечитывал сочинение Лобачевского, всесторонне, внимательно и придирчиво изучал каждую его фразу. Он все больше и больше убеждался, что перед ним лежит оригинальное, глубокое и уж, конечно, совершенно самостоятельное творение. Вслед за первым подозрением исчезло второе. С облегчением отбросил он их. Надо было примириться с новым ударом судьбы. И не только примириться...
      Все свои мысли и чувства тех дней Янош Бойаи запечатлел в пространных записях, которые назвал «Замечаниями по поводу «Геометрических исследований» Николая Лобачевского». Остроумные соображения истинно гениального математика перемежаются с проявлениями душевной боли человека, который, переживая свое непризнание, вдруг увидел, что вовсе и не он первооткрыватель новой геометрии. Но весь склад души непримиримо честного Яноша Бойаи, его бескорыстная любовь к науке и правде заставили замолкнуть чувства обиды и разочарования. С открытым сердцем и глубокой искренностью говорит он в своих записках о Лобачевском:
      «Я особенно радуюсь тому, что этой проблемой заинтересовались и другие люди, и пусть даже они пошли несколько иным путем, я с братским чувством протягиваю руку автору, с которым я ощущаю духовную связь, и потому я прошу простить мне то, хотя совсем незна-
      чительное, но необоснованное и ложное подозрение, которое я питал.
      ...И особенно я желаю счастья стране, которая произвела столь выдающийся талант, стране, в которой, как и вообще повсюду, предписывается, сколько будет дважды два, и где передовым и свободным идеям немедленно подрезают крылья, заковывают их в цепи или ставят им ловушки, так что они не могут даже шевельнуться; стране, в которой путь с самого начала предначертан и проложен, и ‘гений под страхом смертной казни не имеет права даже на волос уклониться от него».
      Конечно, такие слова не могли увидеть свет, не могли перейти границы и попасть в далекую Казань, к тому человеку, для которого они писались. Записи Яноша были найдены только через много лет после смерти обоих математиков.
     
      РАЗНЫМИ ДОРОГАМИ
     
      Три человека. Три жизни. Три судьбы...
      Как различны, даже контрастны были эти люди во всехм: и в отношении к науке, к своим открытиям, и в понимании смысла самой жизни!.. Все трое были гениальны. И Лобачевский. И Бойаи. И Гаусс.
      Но чем измерить степень гениальности?
      Есть много определений этой духовной способности, — говорил Лобачевский, — но они по большей части неудовлетворительны, потому что сами писавшие об этом не были гениями. Гений, утверждает Бюффон, есть терпение: только непрерывным трудом человек достигает, по его мнению, желаемых результатов. Но это неверно. Со своей стороны, я нахожу более удовлетворительным определение Лапласа. Он сказал: «Гений — это инстинкт».
      Таким инстинктом обладали все трое. Это были три великих математика. Им был дан бесценный дар нового видения мира. И с широко раскрытыми глазами, не убоявшись новизны, вступили они в область, дотоле никому не ведомую. Обширные невозделанные поля раскинулись перед их взорами. Им предстояло совершить титаническую работу. А судьба щедро наделила их силами. Но как по-разному распорядились они своей судьбой!
      Карл Фридрих Гаусс
      Гаусс. Карл Фридрих Гаусс.
      Это имя многое говорит каждому математику, астроному, физику. Уже в те давние годы конца восемнадцатого века, когда зарождалась дружба между Гауссом
      и Фаркашем Бойаи, студент из Брауншвейга был почти сформировавшимся ученым, полным замыслов, планов, идей. Его восторженный друг сразу увидел, как богато и многогранно содержание «этой молчаливой книги без титула» — так Фаркаш называл Карла. Да, Бойаи не ошибся, предсказывая матери Гаусса, что сын ее станет первым математиком Европы!
      Но мать и сама могла бы многое порассказать Фар-кашу о своем Карле... Однажды, после починки водопровода в одном из бюргерских домов Брауншвейга отец Гаусса, мастер-водопроводчик, рассчитывался с подсобными рабочими. Рядом вертелся трехлетний Карл. Вдруг он заявил, что отец ошибся. Все заулыбались, а мальчик, нахмурив брови, с минуту напряженно думал, а потом сказал, сколько у него получилось. Окружающие продолжали посмеиваться, но Карл настаивал на своем. Тогда отец произвел весь расчет сначала. И, ко всеобщему удивлению, оказалось, что прав маленький Гаусс. Соседи долго толковали об этом случае...
      А мальчик рос, мужал, читал книги, учился думать. И позже, едва став студентом университета, он уже как зрелый математик бесстрашно вступил в тот крут нерешенных проблем, которыми природа окружила естествоиспытателей.
      ...В одной из первых глав этой книги рассказано о некоторых «вечных задачах» геометрии древних греков, для решения которых можно было пользоваться только циркулем и линейкой. Была еще одна такая «вечная задача»: деление круга на равные части, или, иными словами, построение правильных многоугольников, вписанных в круг. Древние нашли формулу для числа сторон таких многоугольников и полагали, что их формула полностью исчерпывает все возможности. Столетиями математики придерживались этого мнения.
      Но вот в июне 1796 года в Иене вышел очередной номер «Литературной газеты». Мало кто в тот день обратил внимание на заметку «Новое открытие», подписанную К. Ф. Гауссом из Брауншвейга, студентом Геттингенского университета. А открытие действительно было новое и замечательное.
      «Всякому начинающему геометру известно, — писал Гаусс, — что можно геометрически (то есть циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники,
      а именно треугольник, пятиугольник, пятнадцатиуголь-ник и те, которые получаются из каждого из них путем последовательного удвоения сторон. Это было известно еще со времен Эвклида, и, как кажется, с тех пор господствовало убеждение, что область элементарной геометрии дальше не распространяется. По крайней мере я не знаю удачной попытки распространить ее в эту сторону. Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие, что, кроме этих правильных многоугольников, может быть геометрически построено еще множество других, например семнадцатиугольник. Это открытие является собственно лишь следствием одной еще не совсем законченной большой теории. Как только она получит законченность, она будет предложена публике».
      Спустя пять лет все математики увидели, на что способен этот юноша: двадцатичетырехлетний Гаусс выпустил в свет фундаментальный труд «Арифметические исследования», последний раздел которого составляла теперь уже широко разработанная теория деления круга.
      Сам Гаусс всю жизнь считал эту теорию своим большим достижением. То юношеское исследование оставалось любимейшей его работой. На надгробном памятнике великого математика выгравирован вписанный в круг правильный семнадцатиугольник: такова была воля Гаусса.
      Словно волшебный сосуд, был он до краев наполнен бесценным содержанием: замыслы одних открытий, свершения других, предчувствия третьих... И, как в сказке, не иссякал этот волшебный сосуд, хотя щедро отдавал заключенные в нем богатства. Гаусс всю жизнь творил без отдыха, без пауз. Куда бы ни обращал он свой вздор, он видел то, чего не видели до него другие. Что бы ни приковывало его внимание, всегда и во всем умел он сказать новое значительное слово.
      А внимание его останавливалось на нерешенных вопросах едва ли не из всех областей точных наук.
      В творческой жизни Гаусса получалось так, что начинал он почти всегда с разрешения частных практических задач. Но всякий раз частное решение вырастало у него в глубокое, всеобъемлющее исследование.
      ...Наступившему девятнадцатому веку наука сделала хороший подарок. В первую ночь 1801 года итальянский
      астроном Пиацци открыл между орбитами Марса и Юпитера маленькую планету. Он назвал ее Церерой в честь мифической богини плодородия и земледелия. Астрономы с интересом стали наблюдать за движением новоявленного члена солнечной семьи. Но вскоре Церера приблизилась к Солнцу, и яркие лучи скрыли ее.
      Спустя некоторое время новая планета опять должна была появиться на небосводе. Однако тщетны были все поиски астрономов: Церера исчезла, словно ее прогнали соседи — могучий Юпитер и грозный Марс.
      Тогда этим странным событием заинтересовался Гаусс. Он внимательно изучил все наблюдения Пиацци за движением планеты. И увидел, что трех надежных наблюдений совершенно достаточно для правильного расчета любой орбиты. Гаусс рассчитал путь Цереры и указал астрономам ее точное местоположение. Маленькая планета была вновь открыта.
      Эта работа впервые принесла молодому математику всемирную славу.
      Вскоре, в 1802 году, немецкий астроном Ольберс, близкий друг Гаусса, открыл еще одну малую планету Палладу. (Сейчас таких небесных тел — астероидов — известно уже несколько тысяч, а всего их в нашей Солнечной системе, по расчетам астрономов, тысяч около пятидесяти). Орбита Паллады тоже была вычислена Гауссом по его методу трех наблюдений, с тех пор получившему широкое применение. Но движение Паллады оказалось более сложным, чем думалось сначала, потому что она испытывала сильное возмущающее действие больших планет. Разумеется, новая проблема сразу же привлекла внимание Гаусса: несколько лет изучал он эти возмущения.
      Двадцать лет отдал Гаусс астрономии. Попутно он разрешил много чисто математических задач, которые вставали перед ним при астрономических исследованиях и расчетах.
      Потом на смену астрономии пришла геодезия. Ганноверскому королю понадобилась подробная карта его владений. Гауссу ничего не оставалось, как принять предложение возглавить геодезическую партию. Но таков уж был склад ума Гаусса, его способность к широкому научному мышлению, что и эта сугубо практическая, изнурительная работа, отнимающая массу времени и сил, принесла блестящие плоды для науки.
      Гаусс создал высшую геодезию — дисциплину, до тех пор не существовавшую. Он глубоко разработал теорию поверхностей, на столетие предопределив развитие этой важнейшей отрасли математики. И снова попутно он придумал и разработал ряд методов, которые потом стали широко использоваться математиками.
      Простой пересказ всего, что сделал Гаусс, потребовал бы многих страниц. Он строил электромагнитный телеграф, изучал явления земного магнетизма и в результате выпустил две важные работы: сочинение по теории потенциала и- «Общую теорию земного магнетизма». Он раздумывал над основными проблемами механики. И на свет появился принцип Гаусса, или, как он его назвал, «принцип наименьшего принуждения», выражающий одну из главных закономерностей движения системы материальных тел. Все эго были основополагающие проблемы для науки того времени.
      Уже современники Гаусса поражались его разносторонности, глубине его математического мышления, способности не только идти в ногу с веком, но и опережать свое время, ставить перед наукой все новые и новые вопросы.
      Еще больше изумлены были последующие поколения, когда в посмертно опубликованных дневниках, записях и переписке Гаусса открылся неисчерпаемый запас идей, ждавших дальнейшей разработки, и замыслов, готовых к воплощению. Многие прежде неизвестные исследования оказались доведенными почти до конца, другие существовали только в набросках. Да, недаром уже при жизни Гаусса его называли первым математиком мира и королем математики. Титул, унаследованный, а не заслуженный, как показывает история, чаще всего достается людям слабым и ничтожным. Титул, подобный тому, каким почтили ученые Гаусса, свидетельствует о великих заслугах, об уважении и признательности человечества.
      И когда мы говорим, что Гаусс заключал в себе волшебный сосуд, из которого мировая наука десятилетиями черпала соки для своего роста, в этом нет ни малейшего преувеличения. Но нет преувеличения и в том, что через всю жизнь Гаусс нес этот сосуд своего твор-
      чества с превеликой осторожностью, избегая малейших толчков и сотрясений из страха расплескать хоть каплю драгоценной влаги.
      А время было не просто неспокойное — время было бурное, грозовое. Не слабые толчки, а мощные землетрясения колебали почву старой Европы. За громовыми раскатами французской революции началась многолетняя драматическая эпопея наполеоновских походов, когда трещала по швам многократно перекраиваемая карта Европы: разрушались и вновь создавались большие и малые государства — королевства, княжества, республики... А потом на горизонте появились всполохи грядущих революций. Как две взрывные волны, прокатились по континенту революционные события сначала тридцатого, затем сорок восьмого годов...
      И трудно было спрятаться от этих исторических бурь тем, кто жаждал тишины и покоя, бессмысленно было затыкать уши ватой в надежде заглушить раскаты грома. В самом центре Европы крепостные стены несметного множества германских государств не могли защитить своих бюргеров от великих потрясений. Стены эти рушились и рассыпались — где им было устоять против таких натисков!
      И правда, вспомнить только, что представляла собой Германия на рубеже двух веков: без малого триста государств-княжеств... И всюду свои законы, свой деспот-властитель, своя система жесточайшего феодального и всяческого угнетения. Как говорил Лассаль, такие мелкие участки земли не мог продуть сквозной ветер истории. Наполеон, разгромив Австрию, ликвидировал целых сто двенадцать мелких государств! Но и после этого их осталось еще предостаточно; Германия продолжала пребывать в раздробленном и разобщенном состоянии. И подданный каждого из этих маленьких самостоятельных государств, будь он крупнейшим ученым, музыкантом, писателем, художником, будь он гением и славой человечества, — все равно продолжал оставаться вассалом своего господина. Он зависел материально от королевского двора; он был не свободен в своих поступках — даже в передвижении по стране; его всегда могли унизить и снисходительно превращали в забаву и украшение двора.
      «Трудно найти в мировой истории класс, который был бы так беден духом и силой и так чрезмерно богат человеческими низостями, как класс немецких князей с пятнадцатого и до восемнадцатого столетия», — писал Франц Меринг. Князья и короли девятнадцатого века были немногим лучше. И каждый из них еще стремился стать по меньшей мере королем-солнцем. Но истинное сияние исходило не от них. Получалось так, что в этих карликовых дворах словно царствовала геоцентрическая система Птолемея: вокруг маленькой, мнимо великой, блистающей отраженным светом планеты вращалось огромное светило, щедро озаряющее своими лучами все вокруг. Таким светилом был Бетховен в Вене, Гёте — в Веймаре, Гаусс — при ганноверском короле...
      Трагической была жизнь Бетховена. Но его мощный дух бунтовал, жаждал свободы. Бетховен мог бросить князю Лихновскому гордые слова:
      — Князь, тем, чем вы являетесь, вы обязаны случайности рождения. Тем, чем я являюсь, я обязан самому себе. Князей тысячи, Бетховен только один.
      Дух Гаусса был робок и слаб. Гаусс тоже мечтал о свободе, прежде всего о свободе творчества, но, как птица, выросшая в неволе, он в глубине души страшился возможной свободы, боялся остаться без покровителя, без привычной опеки.
      В каждой из трех судеб — и Гаусса, и Лобачевского, и Бойаи — была своя трагедия. Трагедия Гаусса заключалась в том, что он, человек высокого полета и высшей смелости мысли, мирился с унизительной, почти рабской зависимостью от полуграмотного, чванливого властителя, подданным которого состоял. Ему были даны орлиные крылья, а он всю жизнь боялся их расправить, опасаясь обломать их о прутья тесной клетки. Вырваться вон из клетки на вольный воздух он не решался: надо было оставить позади привычное тепло, расстаться, хотя бы на время, с устойчивым, не подверженным случайностям существованием. Для этого он не находил в себе сил.
      Трагедия Гаусса, вероятно, и им самим не осознаваемая до конца, была не только в скрытом конфликте с невежественным деспотизмом и в несостоявшихся столкновениях с ним; она таилась в душе самого Гаусса, в его отношении к окружающему миру. В нем самом было заложено глубочайшее противоречие между смелым научным мышлением и сковывающим волю робким общественным темпераментом, между гениальным умом и лишенным мужества сердцем. И если Гаусс-ученый, Гаусс-мыслитель был детищем революционных бурь своего века и достоянием всемирной культуры, то Гаусс-человек оказался крепко запутанным в сетях мещанского консерватизма своей противоречивой эпохи. Гаусс боялся «крика беотийцев», боялся «ос, которые поднимутся над головой». Забота о себе, тревога за свое спокойное существование, без бурь и потрясений, не покидали Гаусса всю жизнь. Достаточно прочитать его откровенные письма к Фуссу, российскому академику, чтобы понять характер короля математики.
      В 1801 году Гаусс состоял приват-доцентом Брауншвейгского университета с месячным окладом в 8 талеров. Эта сумма была явно недостаточна для безбедного существования. Академик Фусс, с которым Гаусс находился в переписке, предложил ему переехать в Петербург и пообещал в этом случае избрание в действительные члены императорской академии. Гаусс с удовольствием принял приглашение, но, как человек в высокой степени добросовестный, сказал, что сперва изучит русский язык, и тотчас начал усиленно им заниматься.
      Прошел год. Фусс повторил приглашение. Оно было уже совсем принято, когда об этом случайно узнал эрцгерцог Брауншвейгский. Из своей королевской шкатулки он положил Гауссу годовое жалованье в 400 талеров, чем поставил ученого в затруднительное положение. Возникшая арифметическая задача оказалась совсем не простой.
      Раздираемый сомнениями, Гаусс спрашивал совета у своего бременского друга, астронома Ольберса:
      «Академия наук в Петербурге недавно предложила мне место астронома и директора обсерватории с квартирой, жалованьем в 1000 рублей и обещанием в дальнейшем улучшить условия. Я еще не решил окончательно, приму ли я это приглашение. С одной стороны, практическая астрономия доставляет мне много удовольствия, а то, что в Петербурге недостаточно хороший климат, само собой приведет к тому, что мне не придется много заниматься наблюдениями, значит останется до-
      Статочно времени для теоретической работы. Там у меня будет гораздо больше возможностей для работы в различных областях и для глубоких исследований, которые не найдут издателя в Германии. У меня мало надежды достичь в Германии соответствующего моим желаниям приличного положения, потому что к преподавательской деятельности у меня нет ни малейшей склонности. С другой стороны, мне очень не хочется покидать Германию, а все возрастающая дороговизна в Петербурге заставляет меня опасаться, что 1000 рублей будет стоить там не больше, чем 400 талеров в Брауншвейге. Я также не знаю, даст ли мне согласие наш герцог, от которого я полностью завишу. Мне очень хотелось бы услышать Ваш ответ. Прежде всего прошу, чтобы это сообщение осталось полностью между нами».
      Ольберс не рискнул дать Гауссу никакого определенного совета. 20 октября 1802 года Гаусс сел, наконец, за ответ Фуссу.
      «Многоуважаемый господин статский советник! — начал он. — Ваше почтенное письмо от 5 сентября, полученное мною 6 октября, обязывает меня начать мой ответ с изъявления самой сердечной и горячей благодарности за оказанное мне Императорской Академией Наук доверие, так же как и за благосклонное и лестное мнение, которое Вы высказали по отношению ко мне и которому я обязан этим доверием...»
      Гаусс отложил перо в сторону и вздохнул:
      — Allein aber ich bin nicht ganz frei... — произнес он вслух и тут же написал эту фразу:
      «Однако я не вполне свободен. У меня есть обязанности, большие обязанности — но отношению к моему отечеству и по отношению к нашему благородному государю. Его великодушие создало мне удовлетворительное положение, при котором я могу предаваться моим склонностям. Если сравнить сумму с суммой, то, во всяком случае, те условия, которые мне предлагает Академия, значительно превосходят мое обеспечение здесь. Впрочем, при большой дороговизне в С.-Петербурге и при ценах, несравненно более высоких, чем здесь, эти условия будут весьма мало превосходить мое здешнее обеспечение.
      Я предоставляю Вам самому, милостивый государь, решить, не подвергну ли я себя упреку в неблагодарности и равнодушии к своему отечеству, если я откажусь от выгод, предоставленных мне столь великодушно и вполне добровольно нашим государем, не улучшив при этом значительно своего положения».
      Гаусс задумался на минуту, потом для большей убедительности подчеркнул последние слова.
      «При таких обстоятельствах, — продолжал он, — я вынужден предоставить Императорской Академии решить, может ли она улучшить эти предлагаемые ею условия и тем самым обеспечить мне такое положение, при котором я мог бы считать себя вознагражденным за пожертвование отечеством, его нежным небом, преимуществами, которыми я здесь пользуюсь, и всем, что мне в нем дорого...
      Карл Фридрих Гаусс».
      Читая это письмо, невольно вспоминаешь слова, сказанные Энгельсом о другом великом человеке, соотечественнике Гауссе — о Гёте:
      «...в нем постоянно происходит борьба между гениальным поэтом, которому убожество окружающей его среды внушало отвращение, и осмотрительным сыном франкфуртского патриция, достопочтенным веймарским тайным советником, который видит себя вынужденным заключить с этим убожеством перемирие и приспосабливаться к нему. Так, Гёте то колоссально велик, то мелок; то это непокорный, насмешливый, презирающий мир гений, то осторожный, всем довольный, узкий филистер».
      ...Прошло еще четыре года. Войска Наполеона почти беспрепятственно занимали одно немецкое государство за другим, и Гаусс вспомнил о старом предложении. Он первым написал Фуссу:
      «Эта роковая война сразу изменила положение вещей. Кто только может предвидеть, как далеко распространятся ее последствия, и не предстоят ли всякие перемены также в нашей до сих пор столь благословенной стране...»
      Ответа на это письмо Гаусс почему-то не получил.
      Противоречивая натура Гаусса сказалась и в его научной жизни. Это удивительно любопытный характер. С одной стороны, боязнь даже намека на публичную огласку его смелых идей. С другой стороны, постоянное подчеркивание в письмах своего приоритета.
      Так было не только с Яношем Бойаи, Швейкартом, Тауринусом. Точно так же вел себя Гаусс и по отношению к Абелю — выдающемуся норвежскому математику, автору теории эллиптических функций, как и младший Бойаи мало оцененному при жизни. Какое поразительное сходство существует между письмами Гасса по поводу открытия неэвклидовой геометрии и по поводу открытия Абеля!
      «Другие занятия помешали мне обработать эти исследования, — писал он во Францию. — Абель предвосхитил почти треть моих результатов. Он пошел по пути, которому я следовал уже с 1798 г. Я не удивляюсь поэтому, что он достиг большей части тех же результатов. Так как, однако, в своей дедукции он проявил столько таланта и изящества, то я освобожден от необходимости обрабатывать собственные результаты».
      Это письмо возмутило французских математиков.
      Наконец, Лежандр решил внести ясность в вопрос о том, кого же следует считать действительным автором каждого нового завоевания в науке.
      «Не существует открытия, — писал Лежандр, — которое нельзя было бы приписать себе, сказав, что те же вещи были найдены на несколько лет раньше; но если не дать тому доказательства, состоящего в указании места, где они опубликованы, это утверждение становится беспредметным и представляет собой только обиду для истинного автора открытия.
      В математике случается очень часто, что находят те же самые вещи, которые уже были открыты другими и которые уже «известны; подобное случалось со мной много раз; но я никогда не упоминал о них и никогда не называл «нашим принципом» принцип, который другой опубликовал ранее меня».
      Гаусс словно чувствовал себя живущим одновременно и в настоящем и в будущем.
      Сегодня, сейчас, пусть будет спокойствие, слава, ничем не поколебленная репутация первого математика мира, короля, далекого, упаси боже, от революционных идей даже в науке...
      «Про Юпитера, которого Фидий изобразил сидящим на Олимпе, говорили, что если бы он вдруг встал, то проломил бы свод храма. Таким же было положение Гёте в Веймаре: если бы, желая выйти из своего сидячего спокойствия, он вдруг выпрямился во весь рост, то продавил бы крышу государства или, что еще вероятнее, разбил бы себе при этом голову. Немецкий Юпитер поо-должал спокойно сидеть и спокойно позволял поклоняться себе и курить фимиам».
      Это сказал Гейне.
      «Точно так же и Юпитер-математик предпочитал спокойно сидеть на стуле и не стремился разрушить старую крышу науки с риском расшибить себе голову» — сказал о Гауссе математик Имре Тот.
      Как тут не вспомнить стихи Петефи:
      На дряхлый дом наш мир похож —
      Стропила оседают низко...
      Друг, слишком гордо ты идешь.
      Согнись! Тогда не будет риска!
      Не смогут голову пробить
      Ветшающие перекрытья...
      «Готов я голову сломить...
      Но горбясь не хочу ходить я!»
      Под такими строками подписался бы Янош Бойаи, современник и единомышленник Петефи. Янош Бойаи но не Гаусс.
      Так жил Гаусс в настоящем. А в будущем? Грядущая слава провозвестника смелых идей — а он верил в торжество этих идей, иначе не был бы всякий раз столь настойчив в утверждении своего первенства — тоже должна принадлежать ему! К этому он стремился.
      Естественно возникаетвопрос: действительно ли Гаусс создал неэвклидову геометрию, и притом, как неоднократно говорил он, значительно раньше, чем Лобачевский и Бойаи?
      Мы помним его замечательное письмо к Тауринусу: оно показывает что Гаусс владел существенными идея: ми неэвклидовой геометрии. Но то были лишь отрывочные заметки и наброски, хотя и очень содержательные. И вовсе не сразу и не без оглядки вступил Гаусс на новую землю.
      Сомнения в самой возможности существования геометрии, отличной от эвклидовой, одолевали Гаусса не один десяток лет.
      В конце 1804 года в письме к Фаркашу он еще обсуждал пути доказательства пятого постулата, еще ве-рил, что его можно доказать:
      «Твой метод меня тоже не удовлетворяет, писал Гаусс. — Я хочу со всей возможной ясностью представить себе тот камень преткновения, который нахожу в нем (и котооый принадлежит к той же группе подводных камней/на коих терпят крушение и мои попытки). Однако я продолжаю надеяться, что некогда, и еще до моего конца, эти подводные камни позволят перебраться через них».
      И позже — через два, через четыре года, через восемь и четырнадцать лет — он вновь и вновь повторяет: «В теории параллельных линий мы до сих пор не опередили Эвклида».
      «Мы не продвинулись дальше того места, где был Эвклид 2000 лет тому назад».
      Значит, уверенности в том, что допустима неэвклидова геометрия, у Гаусса тогда еще не было.
      Потом такая уверенность у него появилась, колеоа-ния исчезли, но до настоящей математической разработки новых идей Гаусс не дошел ни к 1826 году, когда Лобачевский уже читал свой доклад на Совете Казанского университета, ни к 1832 году, когда Янош Бойаи издал свой «Аппендикс», ни позже этих исторических дат. В 1829 году Гаусс, как мы помним, писал Бесселю: «Вероятно, я еще не скоро смогу обработать свои простоанные исследования по этому вопросу, чтобы их можно было опубликовать». «Пространные исследования» продолжали оставаться заметками, наоросками, размышлениями от случая к случаю.
      А в это время в «Казанском вестнике» уже печатался первый мемуар Лобачевского «О началах геометрии».
      В мае 1831 года в письме к своему другу астроному Шумахеоу Гаусс рассказал, что приступает, наконец, к работе над сочинением по неэвклидовой геометрии: «Вот уже несколько недель, как я начал излагать письменно некоторые результаты моих собственных размышлений об этом предмете, занимавших меня сорок лет тому назад и никогда мною не записанных, вследствие чего я должен был три или четыре раза возобновлять весь тред в моей голове. Мне не хотелось бы, однако, чтобы это погибло вместе со мной».
      Перед глазами Гаусса был план и общий вид того, что нужно было построить. Представлял он и то, как отдельные камни, отдельные части будут сочетаться друг с другом в будущем здании, но строить его он так и не стал.
      То, что оставил Гаусс, оказалось лишь наметкой основных идей новой науки. Сделанное им в этой области просто нельзя ставить в один ряд с работой Бойаи, который написал капитальный труд, тщательно построенный, со строгой системой доказательств, труд, .содержащий элементарную неэвклидову геометрию и тригонометрию.
      И уж, конечно, сделанное Гауссом невозможно даже сравнить с творением Лобачевского, который не только заложил фундамент, но и воздвиг на нем многоэтажное здание: он присоединил к элементарной геометрии неэвклидова пространства аналитическую и дифференциальную неэвклидовы геометрии.
      Когда новая великая идея не только возникла, но и получила строгое, убедительное оформление, и больше того — мировое признание, всегда интересно найти и проследить генезис ее, выяснить, как исторически складывалось дело. Лишь для того, чтобы это узнать, а вовсе не для умаления чьих-то заслуг, скрупулезно роешься в документах, свидетельствах, сопоставляешь даты... Чтобы узнать, как, какими дорогами и тропинками шло развитие человеческого духа.
      Тут-то и обнаруживается, как много есть мудрых и проницательных людей. А может, весь секрет в том, что фиалки, как говорил Фаркаш Бойаи, расцветают повсюду, когда наступает их срок.
      — Я совершенно не понимаю, почему меня превозносят как создателя теории относительности, — часто повторял Эйнштейн своим друзьям. — Не будь меня, через год это сделал бы Пуанкаре, через два года сделал бы Минковский, в конце концов больше половины в этом деле принадлежит Лоренцу. Мои заслуги здесь преувеличены. Что же касается теории тяготения, то я почти уверен, что если бы не я, то до сих пор ее никто бы не открыл.
      Глава московских физиков академик Мандельштам, вместе со своим другом академиком Ландсбергом открывший комбинационное рассеяние света одновременно с индийским физиком Раманом, говорил.
      — Не важно, кто сделал дело, важно, что дело сделано и человечеству не безразлично, кто сделал. Потому что великие люди, так же, как и великие деяния, и есДь то, что в большой степени наполняет содержанием, со-ставляет историю человечества.
      Может быть, это очень отчетливо понимал Гаусс. Он не слишком искал прижизненной славы. В жизни он больше ценил спокойствие. Но зато немалые ег0 были направлены на то, чтобы в пантеоне бессмертных обеспечить себе побольше места.
      Часто бывает, что идея зарождается в одном великом уме, неясная еще, не оформленная. Потом от человека к человеку она зреет, мужает, обрастает плотью и, наконец в чьих-то руках получает наиболее совершенное вы ражение. И с этим именем она связана уже навсегда в истооии человечества. Так теория относительности всегда будет теооией Эйнштейна, а эволюционное учение — учением Дарвина. И это происходит не только в науке Многие писали о легендарном докторе фаУсте. Фауста навсегда связано с Гёте а история Гамлета, принца датского с Шекспиром. Тут дело не в приоритете в мелком понимании этого слова.
      Не в этом дело и сейчас, когда рассматривается история возникновения неэвклидовой геометрии. Не вызывает ни малейшего сомнения абсолютная самостоятельность и самобытность мышления каждого из этих великих ученых — «гениев первой величины». И их контакт, к сожалению, не состоявшийся, только обогатил бы нау-ку, ускорил ее поступательное движение.
      Гаусса становится даже жаль, — ученому невозможно таить про себя открытие и оставлять его лишь на суд потомкам. Так важно сразу услышать живои октик Но тогда остается только писать письма верным дазьям И не забывать предостерегать их: об этом ни слова вслух.
      Конечно хочется, чтобы великий ученый был и великим человеком. Мы часто закрываем г за сознательно или бессознательно, на маленькие или большие слао ?та гения0 Но слабость Гаусса не лежала, к сожалению, в стороне от главного, что составляло его жизнь. Поэтому умолчать о ней было бы просто нечестно.
      «Я пожертвовал многим, но не отвагою знания», — писал Герцен. Гаусс, один из вернейших жрецов в храме науки, однажды согрешил: побоявшись пожертвовать покоем, пожертвовал «отвагою знания».
      Гаусс ревниво оберегал свою грядущую посмертную славу. И памятники ему воздвигнуты по праву. Но Гаусс пытался при жизни заготовить мраморные плиты еще для одного памятника, которого не заслужил, — для памятника себе как творцу неэвклидовой геометрии. Он никогда не будет ему поставлен. Потому что честь эта принадлежит другим.
      И прежде всего человеку, который первым возвестил о новой науке, а потом тридцать лет развивал и совершенствовал ее, не помышляя о славе, который возвысил математику, никогда «и единым словом не пытаясь возвысить самого себя, — Николаю Лобачевскому.
     
      Янош Бойаи
      Как непохожа трудная судьба Яноша Бойаи на спокойное течение жизни геттингенского олимпийца! Впрочем, Янош и сам никогда не искал покоя. Мятежный, он искал бури: жаждал революционных гроз, которые очистили бы затхлый воздух Австро-Венгерской монархии.
      Необычайная жизнь и незаурядный характер Яноша Бойаи привлекли к нему внимание и современников и потомков. Но как долго был искажен его образ!
      ...Дуэлянт и скандалист, на каждом шагу бросающий вызов общественному мнению; мрачный мизантроп, у которого нет никаких привязанностей, для которого нет ничего святого; сумасшедший математик, изобретающий фантастические теории, в которых не может разобраться даже уважаемый профессор, его отец, — таким представлялся Янош Бойаи большинству современников. Й эта репутация пережила его: она сохранялась за ним в течение многих десятилетий и после его смерти.
      Неэвклидова геометрия уже начала завоевывать мир; на родине Бойаи уже поняли, какой крупный ученый их соотечественник; но вымыслы и легенды, порочащие его имя, все не уступали место действительному изучению трудов и жизни гениального математика. А был он не только выдающимся ученым, но и борцом за свободу, за всеобщее счастье. Таким был подлинный Янош Бойаи со всей его болью, с его горячим и чистым сердцем, с его преданной любовью к людям.
      Мысли и чаяния Яноша, которые он в глубоком одиночестве мог поверять только бумаге, были тщательно запрятаны и похоронены в тайниках архивов, чтобы, не дай бог, кто-нибудь не напал на их следы. Этому можно не удивляться. Его огненные слова звучали, как набат.
      Он сам сознавал это. И верил, быть может, несколько наивно, что если слова его будут услышаны, то «все тираны побледнеют и почувствуют, как зашатался их трон, и это испугает их больше, чем весть об армии могучей державы, приближающейся к их границам. Эти слова будут для тиранов так вески и так пугающи, что коронованные властители с совестью, отягощенной злобой и грехом, тут же лишатся мужества и покроются мертвенной бледностью, как при трубном гласе страшного суда».
      Только в наши дни математикам Венгрии и Румынии — частью последней стала теперь Трансильвания, родина Бойаи, — удалось с большим трудом разыскать многочисленные неопубликованные сочинения и записи Яноша. Так впервые зазвучали в полную силу его слова любви к простым людям и его гневные обличения всяческой тирании.
      — Аристократия, бюрократия, камарилья, реакция идут к своей гибели, и больше ничто не в состоянии предотвратить их уничтожение! — пророчески говорил Бойаи в канун революции сорок восьмого года.
      «Аристократия, слава богу, выходит из моды, исчезает, как туманная картина в волшебном фонаре, — писал он позже. — Но некоторые говорят, что денежная аристократия никогда не выйдет из моды. А я утверждаю, что мы можем питать большую надежду на то, что исчезнет и денежная аристократия, то есть прежде всего злоупотребление властью денег, преклонение перед золотом».
      Янош Бойаи думал так не только наедине с самим собой. В общении с сильными мира сего он был дерзок и смел, как и в науке. Его острословие приводило в ярость богатых бездельников.
      — Бык останется быком, даже если его и привезут в Вену! — саркастически бросал он, глядя на молодых аристократов, отправлявшихся в европейские столицы за образованием и лоском.
      — Ведь до сих пор культура не жила подле полных сундуков богачей, — говорил он тем, кто прикрывал свой страх перед народом фразами о защите культуры.
      Да, у высшего общества Марошвашархея были серьезные основания ненавидеть Яноша Бойаи. Аристократы крови и аристократы денег объявили его сумасшедшим. Глухой стеной вражды и молчания окружили они Яноша. Упорно, но безуспешно пытались они лишить его возможности заниматься наукой. Это не удалось. Но зато вполне успешно они лишили Яноша средств к существованию. Даже на покупку чернил и перьев у него часто не бывало денег. Он писал гусиными перьями, а чернила делал сам — из травы. За долгие годы Янош Бойаи не смог скопить необходимой суммы, чтобы военное начальство разрешило ему жениться, — а такое разрешение требовалось законами того времени, — и он должен был страдать из-за судьбы своих детей, рожденных вне освященного церковью брака.
      ...Он влачил одинокие дни в Домальде, где когда-то так счастливо началась его жизнь. Живая прелесть природы больше не успокаивала его измученную душу. Начались припадки меланхолии — дала себя знать тяжелая наследственность, усугубленная тяготами существования.
      Временами Янош переселялся в Марошвашархей, где по-прежнему жил старый Фаркаш. Но и встречи с отцом радости не доставляли. Им было трудно друг с другом, они часто ссорились, и однажды дело чуть не дошло до дуэли. Кончилось тем, что, живя в одном городе, отец и сын перестали встречаться. Только изредка переписывались они, обсуждая в письмах исключительно вопросы математики.
      Янош никогда не мог простить отцу, что тот не захотел разобраться в его геометрии, не понял и не поддержал его идей.
      Так не хотелось бы тревожить добрую память старого профессора, но нельзя не сказать, что поведение Фаркаша Бойаи вызывает глубокое и горькое недоумение.
      Почему он, после того как его старый друг подтвердил истинность открытий Яноша, не постарался сам вникнуть в их существо? Кто, как не он знал всегдашнюю сдержанность Гаусса! Значит, мог бы он понять из Гауссова письма, что открытие его сына — действительно переворот в науке, что Янош нашел, наконец, выход из того омута, в котором некогда захлебнулся он сам, Фаркаш! Старый Бойаи был талантливым и образованным математиком, а Гаусс был для него непререкаемым авторитетом. Как же мог он не задуматься серьезно над тем, что произошло? Он, который «прошел этот страшный путь до конца и изведал мрак ночи...» Почему Фаркаш остался бесстрастным посредником в отношениях между сыном и Гауссом, хотя видел, как сильно ранило Яноша поведение Гаусса?
      Фаркаш все простил Гауссу и преданно любил его до конца своих дней. Может быть, он любил в нем свою молодость, былые юношеские надежды... Но ведь и сын был для него всем в жизни — его гордостью и надеждой! Почему же не слил он своих усилий с усилиями Яноша? Если он не мог соединить своих способностей с гением сына, то почему не стал для него хотя бы надежной опорой?
      Где искать ответа на все эти вопросы?
      Вспомним слова Фаркаша:
      — Огонь моей любви к математике погас...
      Представьте себе человека, целиком отдающегося одной страсти; если на долгом жизненном пути он сталкивается в своих устремлениях только с горьким разочарованием, неудачи и удары судьбы постепенно иссушают его душу, и когда, наконец, приходит страстно желаемое, чего жаждал он всю жизнь, в душе его царят уже пустота и холод.
      От прежней любви к математике остался один пепел... Не потому ли Фаркаш не сделал даже попытки понять сына? Открытие Яноша пришло слишком поздно. И, может быть, правильнее всего только пожалеть старого Фаркаша.
      Была, вероятно, и еще одна причина его безучастности. Потратив столько лет на безрезультатные поиски доказательства рокового постулата, старый Бойаи в глубине души еще верил, такое доказательство все-таки должно существовать. Поэтому путь отрицания пятого постулата был для него попросту неприемлем! И ничто — ни преклонение перед Гауссом, ни любовь к сыну — не могло поколебать этой его внутренней фанатической убежденности, в которой, быть может, он не признавался даже самому себе.
      Всю долгую жизнь Фаркаш метался от одного занятия к другому, растрачивая свои богатые и разносторонние способности. С горечью и болью Яноьн как-то сказал:
      — Он мало сделал для человечества. Он бесцельно прожил свою жизнь.
      Бросить подобный упрек самому себе Янош не мог, хотя нашлись люди, которые и про него осмелились сказать те же слова.
      Вынужденный жить отшельником, он в глубоком уединении мечтал о счастье народа и неустанно искал пути к достижению этой цели. Он не остановился бы и перед самопожертвованием. «Если бы я имел больше, чем одну жизнь, то для всеобщего блага я с радостным сердцем отдал бы все жизни, сколько бы их у меня ни было, одну за другой», — так в разгар революции сорок восьмого года писал Янош в докладной записке народному депутату Шандору Добои.
      Революция возродила силы и надежды Яноша Бойаи. То, что столько лет лежало под спудом, казалось, могло теперь выйти наружу. Его жизнь могла, наконец, влиться в общий поток революционного движения. И Янош рвался к действию.
      ...Трансильвания — чего только не пришлось ей испытать!
      Страна лежала распластанная и придавленная обычной для тех времен и поистине страшной пирамидой угнетения. Венчал пирамиду австрийский император, одновременно занимавший и королевский престол Венгрии. Пониже, в Колошваре, сидел местный трансильванский князь со своими приближенными. Для удовлетворения их ненасытных потребностей из последних сил трудилась вся провинция. От австрийцев старались не отставать венгерские крупные феодалы и мелкопоместные дворяне. Никто не уставал выжимать соки из нищего народа!
      — Как они не стыдятся, не стесняются, почему не краснеют до ушей, почему они так толстокожи, наши молодые господа с белой кожей и их изящные дамы, почему не испытывают они угрызений совести и чувства унижения от того, что ведут жизнь бездельников!.. Жить за счет других, чтобы другие для тебя проливали пот, это стыд, позор и больший грех, чем воровство! — возмущался Янош, называя противоестественной бессмыслицей и несправедливостью «право» богатых присваивать себе плоды труда других людей.
      А у подножия пирамиды, в массе простого народа, не было ни единства, ни согласия.
      Среди крестьян и ремесленников бедность была совсем не одинакова. Эта пестрота имущественного положения вызывала раздоры — делала врагами тех, кто должен был бы выступать как союзники.
      Но и это еще не все. Между венграми и румынами, населяющими Трансильванию, шла жестокая, часто кровавая борьба; габсбургская Вена неусыпно следила за тем, чтобы не ослабевали национальные распри.
      В глазах австрийцев венгры были низшей расой, варварами, дикарями. Но зато венграм разрешалось точно так же смотреть на румын.
      Бойаи с жаром восставал против всякого национализма. Он защищал и румын и венгров.
      — Что касается нашей славной и дорогой нации, — говорил он, — это верно, — что она лишь недавно прооу-дила‘сь и начала серьезно развивать науку; но именно это обстоятельство дает нам надежду, что в руках венгерского народа, который обладает талантливостью и большой самобытностью, лучшие семена не пропадут, а пустят корни и вырастет сильное жизнеспосооное дере во... Дерево, — добавлял он, вспоминая давние слова отца, — с каждым годом усиливающееся на одно кольцо!
      А в разгар вражды между венграми и румынами, спровоцированной императорской камарильей, Янош говорил:
      — Никто более меня не любит и не поддерживает румынский народ. По-человечески я люблю румын так же сильно, как и венгров, и с радостным удивлением
      вижу, что, несмотря на то, что их долго угнетали, они не утратили ни своей жизненной силы, ни способности сопротивляться, ни оптимизма.
      В жесточайший разгул шовинистических настроений нужно было обладать широким и щедрым сердцем, чтобы так чувствовать. И быть смелым, чтобы так говорить.
      Но Янош мечтал о счастье не только своей страны. «Невозможно жить спокойно и быть счастливым, пока на земле еще живет хотя бы один несчастный... Цель жизни — благоденствие и счастье всего человечества», — писал он. И дальше: «Наука — сильнейшее средство для достижения этого».
      Янош верил в силу просвещения, в действенность науки для народа — науки, которая объяснит мир и поможет его перестроить. И он сам взялся за создание такой науки.
      Еще в молодости Янош уверял, что «чувствует в себе силы обучить весь род человеческий». Так представляя себе свою миссию, он приступил к созданию «Allheil-lehre» — «Учения о всеобщем благе». Реформа человеческого общества, свято верил Янош, в течение нескольких лет уничтожит все страдания на земле и приведет ко всеобщему счастью. Пусть только человечество ему поверит и пойдет за ним!
      «Allheillehre» Яноша Бойаи — это утопия просветителя. Однако рядом с утопическими замыслами в ней встречаются идеи и научного социализма.
      Пусть все принадлежит всем — вот зерно учения Бойаи: земля — землепашцам, шахты и соляные копи — горнякам, леса — дровосекам... Каждый получает равную долю общего богатства и имеет равные права. Но, пишет Бойаи, «самое лучшее, если бы не делили земли, а вся Земля, со всеми своими водами, со всей атмосферой стала бы общей собственностью, так же как Солнце — источник жизни — общее благо всего человечества».
      В свои молодые годы Янош верил в спасительную силу убеждения. Мы видели уже, какое могущество приписывал он словам обличения тиранов. Но, конечно, он не был слеп. Он хорошо понимал, как жадно и цепко, мертвой хваткой, держатся большие и маленькие властители за свои привилегии. И со временем он ясно осо-
      знал, что ничего из того, чем они владеют, не уступят они добровольно. Он говорил:
      — История не идет путем кротости. Еще потребуется много революций и насилия.
      Как и Петефи, Янош Бойаи мечтал о времени:
      Когда невольники-народы Терпеть не пожелают боле Постыдного ярма неволи И выступят па поле брани Под красным знаменем восстанья,
      И гневом запылают лица,
      И на знаменах загорится Святой девиз: «Свобода мировая!»
      И революция пришла.
      Вслед за февральским восстанием в Париже началась и в Венгрии мартовская буря сорок восьмого года: поднялся революционный Пешт, а за ним и вся страна.
      Окрыленный Янош верил, что революция принесет народу освобождение и от габсбургской империи и от отечественных угнетателей — феодалов и буржуа. Прежде всего необходимо немедленно создать революционную народную армию — эта мысль сразу захватила его. И з первый раз он благодарил судьбу за то, что получил военное образование. Однако тяжелая болезнь, гораздо более тяжелая, чем он думал, накрепко приковала его к постели в этот долгожданный час.
      «Я совершенно неспособен принять участие в военном походе, — с горечью написал он своим соратникам, — но я буду стремиться к тому, чтобы личным служением способствовать делу всеобщего блага. Я мог бы дать целесообразные предложения для разрешения еще неясных отношений барщины, денежного и налогового вопросов, трудового устройства, регулирования оплаты труда, торговли, системы воспитания и образования и других предметов такого же большого значения».
      24 августа 1848 года в журнале «Контролер» появилось открытое письмо одного из участников революции, Даниэля Доша, адресованное «соотечественнику инжене-ру-капитану Яношу Бойаи».
      «Бросьте, господин капитан, математику, повесьте на гвоздь вашу скрипку. А саблю, висящую на гвозде, возьмите в руку и выходите на поле битвы. Ваше место в военном министерстве или во главе войск, а не в том углу, где я всегда с сердечной болью видел вас, такого выдающегося человека».
      Доша не знал, что в то время Янош, проклиная очередной удар судьбы, лежал совершенно беспомощный, без движения, и мучился от жесточайших болей в почти парализованных ногах.
      В октябре 1848 года революционная армия, одерживая победы, готовилась к разгрому австрийских войск подполковника Урбана, расположившихся в городе Сас-регене. Для проведения этой операции было созвано тайное созещание, в котором принял участие и Янош, немного оправившийся от болезни. Трансильванский историограф Фаркаш Деак описал это совещание в своем дневнике.
      «Бойаи представил ясный, четкий план не только упомянутой уже экспедиции в Сасреген, но и очищения Се-бена, Фехервара и всей Трансильвании. Автор плана требовал полной самостоятельности и независимости, абсолютного повиновения и самой строгой дисциплины с правом расстрела за каждую кражу или поджог; при этом он обещал передать к новому году всю Трансильва-нию в руки Венгерского правительства. Этот план не был принят, потому что присутствующие сказали, что Бойаи для них малознакомый человек; на самом деле причина была в том, что военные руководители и начальники не захотели выпустить из своих рук командования, стать под начало Бойаи, а кроме того, Дрошнер был реакционером, а Жомбори колеблющимся, и эти два военных специалиста постарались провалить самый лучший из возможных планов. Бойаи вернулся в свое уединение, из которого вышел только на один момент».
      ...Венгерская революция 1848 года была наиболее мощной и длительной из всех революций того бурного времени, но и она развивалась с переменным успехом. В январе сорок девятого года австрийские войска захватили Пешт, и центр восстания был перенесен в Тран-сильванию. Янош Бойаи обратился к восставшим через народного депутата Шандора Добои. Эту докладную записку Яноша мы уже вспоминали раньше. (...)
      ...Мрачная пора наступала снова. При Темешваре, городе-крепости, где начал свою службу Янош Бойаи народные войска понесли поражение, котооое оказалось поражением всей революции.
      На полях битв рядом с молодыми венграми полегли румынские повстанцы, польские легионеры генерала Ьема, рабочие и студенты из австрийского легиона Всем им земля Трансильвании стала общей братской могилой.
      Янош Бойаи писал: «Вечная память этим патриотам со светлым разумом, с великой и благородной душой которые отдали жизнь за святое дело нашей родины а значит, и за святое дело человечества. Вечная память нашим братьям — людям различных языков, особенно героям немцам из Вены и героям полякам, которые присоединились к нашему делу и протянули нам оуку помощи».
      В стране наступила тяжелейшая пора реакции. Депрессия и глубочайший мрак воцарились и в душе Яноша Бойаи: теперь он ни в чем не видел просвета, ни в чем не мог найти покоя и утешения; в психике его начали проявляться болезненные явления.
      Даже в собственном доме он стал чужим. Жена была оесконечно далека от всего, чем жил и что выстрадал Янош. Их совместная жизнь стала невозможной, и очи расстались. И в детях не зажглось даже искры, даже отсвета отцовского пламени.
      Медленно и трудно угасала жизнь великого человека. и, наверное, его помраченное сознание не поедвиде-ло, что пройдет время и он станет славой и гордостью своей страны, любимого им венгерского народа...
      К концу жизненного пути Янош остался совсем один, жил как погребенный», — вспоминал очевидец.
      Погребение его походило на ритуал забвения. Лишь три человека проводили останки к безымянной общей могиле а «записи в реформаторской церкви кто-то написал: «Его жизнь прошла безо всякой пользы»...
     
      Николай Лобачевский
      Так печально окончилась жизнь Яноша Бойаи, чье детство протекало в атмосфере любви и восторженного удивления перед ранним созреванием его таланта.
      Детство Лобачевского было суровым и трудным. Первые шаги и первые детские открытия Николая не встречали внимательных и восхищенных взглядов родителей: все силы семьи поглощала борьба с вечной изнурительной нуждой. Отец, уездный землемер, зарабатывал гроши. На жизнь всегда не хватало.
      В 1802 году Прасковья Александровна Лобачевская перевезла семью из Нижнего Новгорода в Казань. Она прослышала, что там вновь открылась гимназия, куда принимали детей не только дворян, но и разночинцев, и отважилась подать прошение о зачислении всех трех сыновей в эту Казанскую гимназию на казенное содержание. Мальчики, в отличие от дворянских отпрысков, отнюдь не проходившие дома усиленной подготовки с гувернерами и репетиторами, сумели успешно выдержать экзамены и ждали решения своей судьбы.
      Тот день во всех подробностях навсегда запомнился Николаю.
      Дверь отворилась, и в комнату быстрыми шагами вошла Прасковья Александровна. В высоко поднятой руке она держала большой конверт, запечатанный гербовой печатью. Мальчики окружили мать. Она оглядела их, полных ожидания, надежд и тревоги, и протянула конверт старшему.
      — Читай, Саша... — попросила она, и в голосе ее явственно слышались волнение и неуверенность, — вдруг отказ!
      Александр, волнуясь не меньше матери, стал распечатывать письмо и вытащил толстую, сложенную вчетверо бумагу.
      «Из протокола заседания Совета Казанской гимназии, — торжественно начал Саша, — 5 ноября 1802 года. Слушали* прошение коллежской регистраторши Прасковьи Александровой дочери, жены Лобачевского, о принятии трех сыновей: Александра одиннадцати, Николая девяти и Алексея семи лет, детей губернского регистратора Ивана Максимовича Лобачевского, в гимназию для обучения на казенное разночинское содержание, а когда нет вакансии, на собственное, со включением их в число кандидатов. Еще представляет сия просительница, что по бедности своей не может ничего взнести единовременно в пользу гимназии. Определено...»
      Тут Саша, потрясая бумагой, громко закричал:
      — Принять, принять!
      Прасковья Александровна шумно вздохнула. Глаза у нее покраснели. Она обняла за узкие плечи старшего сына, заглянула в серые глаза Николеньки, потом прижала к себе маленького Алешу. Мальчики не помнили мать такой счастливой и, как им казалось, красивой и молодой. Она всегда была серьезна и озабоченна.
      Теперь, наконец, в их доме наступил праздник. Говорили все сразу, возбужденно, перебивая друг друга.
      — Матушка, — воскликнул Алеша, — вы для нас куртки из папашиных мундиров перешивали, а нам в гимназии казенные мундиры сошьют! Из зеленого сукна, с малиновыми воротниками...
      — Вовсе не с малиновыми, — перебил всезнающий Николай, — с малиновыми дворяне носят, у нас будут зеленые воротники. Но это ничего...
      Ночью Николай долго лежал с открытыми глазами, загадывая, как пойдет у них будущая жизнь.
      Потянулись дни учения, долгие и похожие друг на друга.
      Братья Лобачевские, как и все гимназисты, помещенные на казенное содержание — казеннокоштные, как они назывались, — жили в гимназии, бывшем губернаторском доме. Красивое трехэтажное белое здание под ярко-зеленой крышей, с колоннами и куполом, стояло на самом гористом месте Воскресенской улицы, и из окон во все стороны был виден город.
      Лобачевские быстро втянулись в гимназическую жизнь и сдружились с товарищами. Все, что сначала приводило в удивление и заставляло размышлять, теперь стало привычным. Но сколько тяжелого оказалось в неласковой казарменной жизни!
      В гимназии царил дух солдатчины. Строем ходили ьа молитву, в классы. Надзиратели следили за каждым шагом гимназистов. Даже письма к родным воспитанники обязаны были отдавать незапечатанными; и хотя надзиратели редко пользовались своим правом читать
      (...)
      Уроки Карташевский вел очень интересно. Знание языков, широкое знакомство с историей предмета и современной литературой сильно помогали ему в этом. Он строил собственную программу и рассказывал много увлекательного: о великих открытиях прошлого и о том, что стояло на пороге завтрашнего дня; о судьбах знаменитых математических задач, много веков тревожащих умы ученых...
      На таких уроках перед мальчиками раскрывались неизведанные дали. Слушая учителя, Николай ничего не записывал, сидел не шевелясь, затаив дыхание.
      Развертывая перед учениками историю геометрии еще со времен Древнего Египта, Ассирии, Вавилона, Греции, Карташевский объяснял им, что в каждой науке наступает время, когда, чтобы двинуться дальше, надо собрать воедино все уже известное, из отдельных частей построить здание.
      Таким строителем, великим собирателем стал Эвклид. Поэтому он занимает совершенно особое и исключительное место в математике. Великий геометр поставил своей задачей найти законы, которым подчиняются все линии и тела в природе, и расположить эти законы в строгой системе. Исполинский труд его завершился созданием «Элементов» — основы основ всей геометрии.
      Эпоха царей Египта Птолемеев, в которую жил Эвклид, вообще была эпохой собирания и строительства. А местом действия, почвой, на которой начался новый расцвет науки, стала Александрия — город, заложенный еще Александром Македонским на берегу Средиземного моря, у устья Нила.
      Карташевский описывал Александрию времен Птолемеев так, словно и не прошло с той поры более двадцати веков, словно он сам лишь вчера побывал в этом городе, и ощущение близости, достоверности передавалось его ученикам. Они видели ровные широкие улицы, стройные здания строгого греческого стиля с высокими фронтонами, с колоннами, а рядом с ними — дворцы восточной пышности.
      Город окружали гавани, которые служили стоянками для огромного флота Птолемеев. Александрия торговала чуть не со всем миром.
      Но самое важное — туда переместился центр греческой, или, как ее теперь стали называть, эллинской культуры. Начало этого научного расцвета совпало с созданием знаменитого Александрийского музея, или Мусейона, — храма муз. Мусейон был расположен в царском квартале Брухейоне, где для него отвели часть дворцовых построек. Здесь были залы для совместных занятий, большая библиотека, ботанический и зоологический сады, анатомический кабинет, астрономическая башня. Кроме того, все ученые располагали комнатами для уединенной работы.
      В Мусейон стекались математики, астрономы, историки, поэты, и Александрия стала мировым центром науки и литературы.
      Рассказ Карташевского не на шутку завладел воображением Николая. Много дней и ночей мальчик находился под впечатлением услышанного. Богатая фантазия подсказывала ему сцены из жизни далекого города, дополняя их новыми и новыми подробностями.
      Он представлял себе Эвклида и других ученых: как они ходят в длинных белых хитонах, как пишут на папирусах каламами — заостренными тростинками из камыша, как с помощью циркуля и линейки чертят фигуры и доказывают друг другу теоремы.
      Но чаще всего рисовалась ему одна и та же картина: широкие улицы Александрии, так не похожие на улицы и переулки Казани, — извилистые, то карабкающиеся в гору, то круто спускающиеся под уклон, — а по ним мимо дворцов, мимо густых пышных парков бродит смуглый человек с высоким лбом и курчавой бородой, обдумывая и создавая великое творение.
      Николаю казалось, что в закрытой комнате, в тиши Мусейона, Эвклид не смог бы осуществить свой замысел. Он должен был много ходить по прямым улицам, всматриваться в геометрию зданий, видеть просторы моря с далеким горизонтом.
      Каждый день, когда солнце переходило через зенит, а тени от кипарисов заметно удлинялись, Эвклид отправлялся на прогулку к Фаросу. Он любил этот изрезанный бухтами остров, где возводились большие постройки, где бурно кипела жизнь. Ученый медленно проходил по септастадиону — высокому молу, соединяющему Фарос с городом, и направлялся к северной оконечности острова. Здесь несколько лет назад был заложен фаросский маяк. По замыслу великого архитектора Со-страта маяк, увенчанный фигурой бога моря Посейдона, должен был стать самым высоким зданием в мире.
      Четырехугольный нижний этаж башни был уже наполовину построен. От основания маяка в обе стороны тянулась высокая стена с башенками и воротами.
      Эвклид подолгу смотрел, как рабы, судорожно напрягая мышцы, поднимают огромные глыбы известняка, как укладывают их правильными рядами, оставляя отверстия для окон.
      Контуры маяка были точны, строги, и в этом недостроенном здании так ясно чувствовалось устремление ввысь, что казалось, будущие очертания становятся зримыми и вся грандиозная башня стоит перед глазами.
      «Вот таким же высоким, строгим и абсолютно правильным должен я построить здание геометрии, — думал Эвклид. — И воздвигнуто оно будет на таком же прочном фундаменте».
      Все, что было известно геометрам той эпохи, изучил Эвклид. Но это были только детали постройки. Для целого здания не хватало еще многого. «И потом, — размышлял Эвклид, не отрывая глаз от возносящегося вверх маяка, — камни должны подходить один к другому,* здание не терпит ни разрывов, ни пустот».
      Бессчетное число раз всходило и погружалось в море солнце, не однажды разливался Нил, затопляя поля, а Эвклид был еще далек от достижения цели...
      Нелегкий, даже непосильный труд предстоял ученому. Сегодня перед ним возникали контуры трактата, а назавтра уже найденное, казалось, решение снова ускользало.
      Вместе с Эвклидом Николай Лобачевский мучительно искал и открывал элементы геометрии. Он остро почувствовал, понял всем сердцем, что служение науке — это подвиг, трудный, суровый подвиг.
      Лобачевскому казалось, что был какой-то один особенный день, когда Эвклид, наконец, придумал, как и из чего он сумеет построить всю геометрию. Николай начал рисовать себе, как это произошло.
      ...В тот день Эвклид, как всегда, после полудня вышел из Мусейона. Двигался он медленно, погруженный в свои мысли. Он чувствовал, как в голове, наконец, возникают контуры его трактата.
      Миновав западные ворота, ученый направился к гавани.
      Николай видел берег, по которому бродил Эвклид. Широкая полоса песка была усеяна круглой галькой. То тут, то там встречались большие глыбы известняка. Эвклид часто нагибался, поднимал разные камешки, набирал в горсть песку, рассеянно пересыпая его из одной ладони в другую. Потом остановился, долго стоял и в задумчивости начал чертить на песке одно и то же слово «стойхейа» — сптета.
      Теперь он уже по-иному, с пристальным вниманием начал рассматривать все эти разнообразные камни, будто внезапно осознав, какой смысл открыл он в них для себя; теперь он, наконец, с благодарностью понял, почему его неизменно влекло сюда, на этот берег.
      Вдруг Эвклид выпрямился, минуту размышлял о чем-то и заторопился домой.
      «Стойхейа» — буквы, элементы. Вот материал, вот те камни, из которых он сможет построить здание геометрии. Так же, как из букв складываются слова, весь язык, вся литература, так же из элементов геометрии — основного, что входит в геометрические построения, теоремы и доказательства, он построит всю геометрию.
      Солнце уже садилось, но воздух был по-прежнему насыщен зноем. Эвклид с наслаждением вошел в прохладные сады Мусейона.
      Очутившись в своей комнате, Эвклид взял чистый свиток, развернул его и сверху написал опять то же слово: «Стойхейа».
      Теперь начиналась главная работа. Надо найти и собрать все элементы, надо решить, какие понятия, аксиомы, определения будут главными, исходными элементами и на них воздвигнуть всю геометрию. Тысячи рабов много лет строят Фаросский маяк. Здесь будет строить один человек, один ученый. Сколько же лет уйдет у него на это?
      И Николай сделал для себя еще одно открытие. Он понял, что жизнь ученого — это труд, тяжелый, всепоглощающий труд, когда нет счета ни часам работы, ни дням...
      В титаническом труде великого геометра, в нем самом была заключена награда, о которой Эвклид, наверное, никогда не думал и которую уж, конечно, не мог предвидеть... Фаросский маяк, который древние называли седьмым чудом света, простоял до четырнадцатого века, так прочно он был построен. А другой памятник той эпохи, «Элементы», — сперва пергаментный свиток, потом рукопись, переписанная писцом, наконец напечатанная книга — живут и здравствуют по сей день, удивляя и покоряя умы стройностью, широтой и ясностью.
      От века к веку возрастало преклонение перед творением Эвклида. Средневековый итальянский математик Кардано писал об «Элементах»:
      «Неоспоримая крепость их догматов и их совершенства настолько абсолютны, что никакое другое сочинение, по справедливости, нельзя с ним сравнивать. В них отражается такой свет истины, что, по-видимому, только тот способен отличить в сложных вопросах геометрии истинное от ложного, кто усвоил Эвклида».
      Несколько иначе, но не менее высоко оценил труд Эвклида и Альберт Эйнштейн. Он сказал:
      — Мы почитаем древнюю Грецию как колыбель западной науки. Там была впервые создана геометрия Эвклида — это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого, что ни один из них не был подвергнут какому-либо сомнению. Это удивительнейшее произведение мысли дало человеческому разуму ту уверенность в себе, которая была необходима для его последующей деятельности. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением.
      И Лобачевский восхищался в молодости Эвклидом. Но вот пришла творческая зрелость, и он, сполна посвятивший себя геометрии, скоро понял, что «Элементы» Эвклида не отличаются абсолютным совершенством, что они не безупречны. Два порока таили в себе «Элементы». Оба лежали в самом фундаменте здания. Один заключался в пятом постулате. Но был и другой. «Начала» открывались определениями простейших элементов геометрии — точки, линии, поверхности. Между тем их никак нельзя определить, потому что как раз они сами и есть исходные, самые первоначальные понятия геометрии. Именно с их помощью определяют все остальные элементы геометрии. А еще более простых вещей, которыми можно было бы определить точку, линию, поверхность, в природе не существует.
      Недаром потом, в начале своего знаменитого доклада, Лобачевский скажет, что «никакая математическая наука не должна начинаться с таких темных пятен, с каких, повторяя Эвклида, начинаем мы геометрию, и что нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены были допустить в теории параллельных линий».
      Карташевский пробудил в совсем еще маленьком Николае жгучий интерес, любовь к науке и не по-детски серьезное, ответственное отношение к ней. И он же заронил в Лобачевском стремление всегда во всем разобраться самому, не принимать на веру ничего, каким бы высоким авторитетом это ни было освящено, каким бы несомненным ни казалось.
      Посеянные Карташевским семена попали на благодатную почву, взошли и пустили крепкие корни.
      Позднее, когда пятнадцатилетний мальчик поступил в университет, его учителями стали профессора Бартельс, Броннер, Литтров. Эти люди сумели создать в Казани передовую физико-математическую школу и работали, не жалея сил и знаний.
      В университете Лобачевский не только продолжал жадно и страстно изучать науки — всего усерднее точные, но уже и пытался искать собственные пути решения сложных задач. Профессора единодушно называли юношу лучшим студентом, гордостью университета.
      Но, занимаясь много, взахлеб, и поражая профессоров той легкостью, с какой на ходу схватывал он сущность труднейших предметов, студент Лобачевский приводил в негодование начальство непрестанными озорными выходками. То на гимназическом дворе он запустил ракету, «разорвавшуюся с большим треском», как записали в «шнуровой книге»; то, поспорив с веселой компанией товарищей, перепрыгнул через грузного профессора Никольского, с одышкой спускавшегося по лестнице; то, на удивление и потеху всему народу, проехал по городскому скверу верхом на корове, как рулем, правя рогами. А то по университету начинали гулять его едкие шутки и эпиграммы, вызывая хохот всей молодежи.
      Неуемная энергия студента требовала выхода. Его свободолюбивый, веселый нрав не могли сдержать запреты монашеской дисциплины. Однако Николаю Лобачевскому приписывались грехи и похуже.
      В «шнуровой книге» записано, что он «в значительной степени явил признаки безбожия». Это было чревато уже весьма серьезными последствиями. Позже сын Лобачевского писал в своих воспоминаниях, что в те годы его отец «на волосок был от солдатской шинели». Вопрос о поведении непокорного юноши встал на Совете университета. Его спасло только заступничество профессоров.
      ...Но пора юности кончилась, и очень рано пришла ей на смену пора творческой зрелости.
      Эпохи реакции всегда вызывают протест в лучшей части общества. И общество рождает людей, сознательно или бессознательно выражающих этот протест в своей деятельности, как бы ни была она на первый взгляд далека от политики, от социальной борьбы в стране. Так зародилось искусство Возрождения в мрачную пору средневековья. Так еретические идеи Галилея засверкали сквозь темный дым костров инквизиции. Так прогрессивная общественная мысль, протестующая против самодержавного гнета, вскормила гений Пушкина и Лермонтова.
      Лобачевский, их современник, создал неэвклидову геометрию. Трудно вообразить себе что-нибудь более далекое от общественных интересов той поры. Однако это было не только одно из величайших творений человеческого ума, но тем самым и символ свободы мышления, свободы духа, акт своеобразного ниспровержения «незыблемых устоев». Это так точно понял, так ярко изобразил Янош Бойаи — в своих записях, в том длинном монологе о Лобачевском и его труде.
      Лобачевский создал основы своей геометрии в течение трех лет — с 1823 по 1826 год.
      Что это было за время?
      Для Казанского университета то были последние годы семилетнего правления черной памяти Магницкого — «истинного сына церкви и отечества», по верноподданическому выражению профессора Никольского.
      Для России то был конец царствования Александра I. «Нет явления печальнее, бесплоднее и нелепее русской реакции во вторую половину царствования Александра. Она превратилась в печальный обскурантизм и преследование мысли, слова и науки. Едва начинающееся слабое развитие общественное было приостановлено надолго», — писал историограф Казанского университета профессор Н. Н. Булич.
      Для всей Европы то было время разгула «священного союза».
      Александр I стремился превзойти в фанатизме и жестокостях даже Меттерниха, идейного вождя «священного союза». Общеевропейская реакция приняла в России наиболее страшные и уродливые формы.
      Магницкий, верный холуй царя, не знал пределов в своем угодническом рвении. Он рекомендовал августейшему монарху для начала разгромить университет в Казани, ибо последний «причиняет общественный вред... Акт об уничтожении Казанского университета тем естественнее покажется ныне, что, без всякого сомнения, все правительства обратят особенное внимание на общую систему их учебного просвещения, которое, сбросив скромное покрывало философии, стоит уже посреди Европы с поднятым кинжалом».
      Университет уничтожению не подвергся, но для его «исправления» попечителем Казанского учебного округа был назначен Магницкий.
      «Истинный сын церкви и отечества», учредив систему наушничества и доносов, насадив мракобесие, ханжество, лицемерие и заодно уволив десять профессоров, быстро привел Казанский университет в соответствие со своими идеалами. В конце 1825 года, окидывая взором содеянное, он с восторгом говорил:
      — Университет Казанский за златою оградой высочайше данных ему инструкций чужд повсеместной заразы, верен общей матери нашей, церкви православной, питает юность, пылающую живой верой, чистым медом ее небесного учения...
      В такой атмосфере создавал Лобачевский свою крамольную науку и готовился возвестить о ней. Это становилось актом и научной и гражданской смелости.
      Гаусс, опасавшийся «беотийцев», быть может, не раз в минуты колебаний повторял про себя слова Лютера: «Что два и пять равно семи, это ты понимаешь своим рассудком; но если власть предержащие говорят, что два и пять равно восьми, ты должен этому верить, наперекор рассудку...»
      Под влиянием Меттерниха правительства всех немецких государств издали постановление об учебных заведениях, в котором предлагалось немедленно предавать суду или удалять профессоров и преподавателей, если они будут «морочить юношей мечтательными и призрачными теориями». Недаром петербургский академик Фусс, о котором мы уже упоминали, отвергая рукопись курса «Геометрии», подготовленную Лобачевским к печати в 1823 году, среди прочего писал:
      «Странно, что сочинитель принимает французский метр за единицу при измерении прямых линий и сотую часть четверти круга, под именем градуса, за единицу при измерении круга. Известно, что сие разделение выдумано было во времена французской революции, когда бешенство нации уничтожать все прежде бывшее распространилось даже до календаря и деления круга».
      В той рукописи Лобачевского не было еще ни слова о неэвклидовой геометрии. Он еще только начинал создавать ее. В заключении академика Фусса он, может быть, и услышал предостерегающий голос. Но, помимо простой человеческой смелости, в Лобачевском жил еще неукротимый дух ученого-гиганта, которого ничто не могло ни сломить, ни заставить свернуть с избоанного пути.
      В январе 1826 года Лобачевский завершил новую свою рукопись — первую в истории математики законченную работу по неэвклидовой геометрии. Теперь надо было отдать ее на суд университетских коллег.
      Наступил февраль. Однажды вечером Николай Иванович долго сидел, запершись в своем кабинете. В глубокой задумчивости смотрел он на большой лист бумаги, лежащий перед ним. Потом, наконец, взял перо и мелким, четким почерком решительно написал:
      «В отделение физико-математических наук. Препровождаю сочинение мое под названием «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях».
      Желаю знать мнение о нем ученых моих сотоварищей...»
      И подписался: «Проф. Н. Лобачевский, Казань, 1826, февраль».
      В жизни Казанского университета тем временем назревало важное событие. Ровно через два дня после представления физико-математическому отделению сочинения Лобачевского началась ревизия деятельности Магницкого.
      Ловкий и хитрый, наделенный необычайным чутьем карьериста, Магницкий всегда очень умело находил себе в высших сферах нового покровителя, каждый раз «вовремя» покидая и предавая предшествующего, чья звезда начинала закатываться. Но достигнув совершенства в этом искусстве, прожженный политик однажды допустил просчет — и какой! После смерти Александра I Магницкий видел уже на престоле царевича Константина. И он послал ему приветствие, исполненное льстивых слов, одновременно не забыв отправить докладную записку, где пренебрежительрю отзывался о его брате Николае. Судьба зло подшутила над прыткостью Магницкого. Докладная записка попала в руки ставшего императором Николая I. Все обвинения, все жалобы на попечителя, в обилии накопившиеся за страшные годы его правления, теперь получили ход.
      Был дан приказ произвести ревизию деятельности Магницкого и того состояния, в которое привел он Казанский учебный округ и, в частности, университет. Выводы ревизии нетрудно было предугадать. Магницкого ждала опала.
      В этот-то момент, переломный в истории Казанского университета, через два дня после начала ревизии, 11 февраля 1826 года, Лобачевский докладывал о созданной им новой геометрии. Мы уже знаем, как было встречено его сообщение. Никто, ни один человек, кроме самого докладчика, не понял, что в эти часы происходит крутой перелом и в истории математики.
      День 11 февраля оказался переломным и в судьбе Лобачевского. Отныне жизнь его пошла по двум разным руслам. До этого он чувствовал себя только ученым, теперь он понял, что становится еще и борцом за новую науку, за ее развитие, за ее признание.
      Лобачевский как-то сказал об усилиях французского математика Лежандра разрешить проблему пятого постулата:
      Нахожу, что Лежандр несколько раз попадал на ту дорогу, которую выбрал я так удачно; но, вероятно предубеждение в пользу принятого всеми положения заставляло, его на каждом шагу спешить с заключениями...
      Поэтому, объясняет Лобачевский, Лежандр и сбился с верного пути.
      Путь, выбранный Лобачевским «так удачно» оказался тернистым.
      Этот путь революционера в естествознании Лобачевский проделал совершенно один. Тридцать лет в полном одиночестве исследовал он открывшийся ему мио новых представлений. У него не было спутников в трудном и долгом путешествии. В лучшем случае он встречал непонимание, а чаще всего — грубыенасмешки безграмотных писак и тупое пренебрежение косных академических кругов.
      Так, в 1834 году журнал «Сын отечества», издававшийся небезызвестными доносчиками Булгариным и речем, напечатал пасквилянтскую статью о Лобачевском.
      «...Даже трудно было бы понять и то, каким образом г. Лобачевский из самой легкой, самой ясной в математике науки, какова геометрия, мог сделать такое тяжелое, такое темное и непроницаемое учение, если бы он сам отчасти не надоумил нас, сказав, что его Геометрия отлична от у п о т р е б и т е л ь н о й, которой все мы учились и которой, вероятно, уже разучиться не можем, и есть только воображаемая. Да, теперь все очень понятно. Чего не может представить вообоажение особливо живое и вместе уродливое? Почему не вооб разить, например, черное белым, круглое четырехугольным, с мму всех углов в прямолинейном треугольнике меньше двух прямых? Очень, очень можно, хотя для разума все это и непонятно.
      ...Как можно подумать, чтобы г. Лобачевский, ординарный профессор математики, написал с какой-нибудь серьезной целью книгу, которая немного принесла бы чести и последнему приходскому учителю?»
      В конце анонимный автор издевательски вопрошал: «Почему бы вместо заглавия «О началах геометрии» не написать, например, Сатира на геометрию, Карикатура на геометрию и что-нибудь подобное?»
      «Осы», гнездо которых растревожил Лобачевский, поднялись над головой ученого и злобно жалили его.
      Редакция «Сына отечества» не пожелала поместить в журнале ответ Лобачевского на оскорбляющую его статью, хотя таков был приказ министра народного просвещения, защищавшего, разумеется, не новые идеи казанского профессора математики, а честь мундира ректора университета. Но Булгарин и Греч, издававшие свой журнал на средства Третьего отделения, могли позволить себе безнаказанно издеваться над крамольно мыслящим ученым, так же, как они издевались над Пушкиным и всей передовой русской литературой.
      Все же Лобачевский опубликовал свой ответ — сдержанный, полный внутреннего достоинства. Поместил он его в «Ученых записках Казанского университета» в 1835 году вместе с мемуаром «Воображаемая геометрия». Он написал:
      « В № 41 журнала «Сын Отечества» 1834 года напечатана критика, весьма оскорбительная для меня, и, надеюсь, совершенно несправедливая. Рецензент основал свой отзыв на том только, что он моей Теории не понял и почитает ее ошибочной, потому что в примерах встречает один нелепый интеграл. Впрочем такого интеграла не нахожу я в моем сочинении. В ноябре месяце прошедшего года послал я к Издателю ответ, который однакож, не знаю почему, до сих пор, в продолжение пяти месяцев, еще не напечатан».
      Едва ли те, кто издевался над ученым или игнорировал его труд, удосужились обратить внимание на этот ответ.
      Как ни горько говорить об этом, но немногим лучше повела себя и Петербургская академия наук и, что всего прискорбнее, выдающийся математик того времени, академик Остроградский. С издевательской небрежностью отнесся он к присланной ему на отзыв работе Лобачевского. Бывший студент Казанского университета Михайлов вспоминал, как однажды позволил себе сострить этот ученый, чье имя пользовалось заслуженной известностью далеко за пределами России:
      — Лобачевский — недурной математик, но если надобно показать ухо, то он покажет его сзади, а не спереди...
      Только один из современников Лобачевского нашел в себе смелость однажды выступить против всеобщего пренебрежения к новой геометрии. 31 мая 1842 года профессор Петр Иванович Котельников, декан физико-математического факультета Казанского университета, произнес актовую речь со знаменательным названием: «О предубеждении против математики».
      Не могу умолчать о том, — сказал Котельников, — что тысячелетние тщетные попытки доказать со всею математическою строгостью одну из основных теорем геометрии, равенство суммы углов в прямолинейном треугольнике двум прямым, побудили достопочтенного заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд построить целую науку, геометрию, на новом предположении: сумма углов в прямолинейном треугольнике менее двух прямых — труд, который рано или поздно найдет своих ценителей.
      Очень хотелось бы узнать, разобрался ли Котельников в те годы или, быть может, позже в существе неэвклидовой геометрии. Ведь для Лобачевского было бы большим счастьем, если бы пробилась брешь в той глухой стене непонимания и издевательств, которая окружала его до самой смерти; если бы рядом с ним оказался единомышленник; если бы этим единомышленником стал такой образованный и одаренный математик, как Петр Иванович Котельников.
      Что же нам известно об истинном отношении Котельникова к геометрии Лобачевского? К сожалению, очень мало. Его актовая речь не только прозвучала вызовом общественному мнению — мы не можем не оценить то мужество, с которым он публично выступил против всех авторитетов, — в ней содержались признание и вера в высокое значение новых идей. Чутье талантливого математика подсказало Котельникову, что «геометрии на но-вом предположении» предстоит большое будущее.
      И ‘известен еще случай, когда Котельников высказался о геометрии Лобачевского. Его ученик Суворов вспоминает, как Котельников однажды сказал, что геометрические идеи Лобачевского остаются непонятными только по недостатку ясности изложения. Но Суворов поступил учиться в Казанский университет в 1863 году, через семь лет после смерти Лобачевского, а в семидесятых годах идеи неэвклидовой геометрии получили уже широкое признание и сам Суворов был пионером их дальнейшей разработки. Очень вероятно, что к тому времени и Котельников уяснил себе не только значение, но и содержание новой геометрии, если только он не разобрался в нем раньше.
      Знаменательно, что сын Петра Ивановича — Александр Петрович Котельников в течение всей своей долгой жизни занимался развитием и приложением идей Лобачевского. Избрав специальностью механику, Александр Котельников связал эту науку с неэвклидовой геометрией, как бы ввел в неэвклидово пространство огромный мир механических движений. В дальнейшем он помогает раскрыть глубокую внутреннюю связь между величайшими открытиями двух научных эпох — между геометрией Лобачевского и теорией относительности Эйнштейна, — сам являя собой как бы живую связь между этими эпохами.
      Александр Петрович Котельников родился спустя 11 лет после смерти Лобачевского и в четырнадцать лет потерял отца. Так что едва ли можно говорить о непосредственном влиянии Петра Ивановича на зарождение у его сына интереса к столь сложному предмету. Да и среди учителей Александра Котельникова были Суворов и другой выдающийся математик, Васильев, занимавшиеся неэвклидовой геометрией уже с семидесятых-восьмидесятых годов. Однако не может быть, чтобы отец не рассказывал мальчцку о великой и трудной жизни Лобачевского, — ведь Лобачевский неизменно возбуждал глубокий интерес у окружающих, а обаяние его ума и таланта действовало на всех, кто с ним соприкасался. Несомненно, воображением мальчика должны были завладеть и образ замечательного ученого, так близко общавшегося с его отцом, и образы созданного им необыкновенного мира.
      Александр Петрович Котельников дожил до 79 лет (он умер совсем недавно, в 1944 году). Он пронес живую эстафету от Лобачевского до наших дней. И что нам особенно дорого, он был сыном Петра Котельникова, единственного человека, от которого Лобачевский услышал голос привета на своем долгом тернистом пути создателя новой науки.
      Второй путь Лобачевского — путь педагога, руководителя университета и его строителя — оказался более благодарным. В этой роли Лобачевский еще при жизни пользовался огромным уважением и авторитетом среди коллег, на этом поприще он быстро заслужил любовь и признательность воспитанников.
      Создавая свою геометрию, Лобачевский не бежал от страшной действительности режима Магницкого в чистую науку. Без науки он просто не мог жить. Так же не спасался он, не понятый в науке, бегством в практическую деятельность. Такой деятельности требовала его активная натура.
      Сперва декан физико-математического факультета, а с 1827 года ректор Казанского университета, Лобачевский отдавал всю свойственную ему огромную, неуемную энергию, благородство души, любовь к юношеству и науке делу создания первоклассного учебного заведения и воспитания в нем высокообразованных молодых людей, честных, преданных просвещению и готовых служить своей стране, своему народу.
      ...Через год с небольшим после избрания Лобачевского ректором, 5 июля 1828 года, в Казанском университете состоялось традиционное собрание, посвященное очередному выпуску студентов. В конце торжественного акта Лобачевский произнес речь «О важнейших предметах воспитания», ставшую впоследствии знаменитой.
      На этот раз он не уклонился от актовой речи, как поступил однажды при Магницком, вызвав гнев попечителя. Те стены, которые слышали из года в год лишь слова ханжеские, лицемерные, полные угодничества, смирения и отрешения от жизни, слоиа, развращающие и воспитанников и их воспитателей, теперь внимали речи новой, смелой, звучащей как откровение, речи, прославляющей жизнь и науку, ум и счастье, честь и достоинство человека.
      — Мы живем уже в такие времена, когда едва тень древней схоластики бродит по университету. Здесь, в это заведение вступивши, юношество не услышит пустых слов, без всякой мысли, одних звуков, без всякого значения. Здесь учат тому, что на самом деле существует, а не тому, что изобретено праздным умом... — говорил Лобачевский. — Одно образование умственное не довершает еще воспитания...
      Жить — значит чувствовать, наслаждаться жизнью, чувствовать непрестанно новое, которое бы напоминало, что мы живем. Единообразное движение мертво... Подобно реке, жизнь течет в излучистых берегах: то разливается в лучах радости, то омывает крутые утесы горестных размышлений. Ничто так не стесняет потока, как невежество; мертвою прямою дорогою провожает оно жизнь от колыбели к могиле.
      — Вы, — продолжал он гневно, — которых существование несправедливый случай обратил в тягостный налог другим; вы, которых ум отупел и чувство заглохло, вы не наслаждаетесь жизнью. Для вас мертва природа, чужды красоты поэзии, не занимательна история веков. Я утешаюсь мыслью, что из нашего университета не выйдут подобные произведения растительной природы...
      Срочное время поручено человеку хранить огонь жизни, хранить с тем, чтобы он передал его другим.
      Будем же дорожить жизнью, покуда она не теряет своего достоинства. Пусть примеры в истории, истинное понятие о чести, любовь к отечеству, пробуждаемые в юных летах, дадут заранее то благородное направление страстям и ту силу, которые позволят нам торжествовать над ужасом смерти.
      Расставаясь с вами, что скажу вам самого поучительного? Вы счастливее меня. Из истории народов видели вы, что великое государство переходит возрасты младенчества, возмужалости и старости. То же будет и с нашим любезным отечеством. Хранимое судьбою, медленно возвышается оно в своем величии и достигает высоты, на которую еще не восходило ни одно племя человеческое на земле. Века Петра, Екатерины, Александра были знамениты, но счастливейшие дни России еще впереди. Мы видели зарю, предвестницу их, на востоке; за нею показалось солнце...
      Гений ученого сочетался в Лобачевском с даром первоклассного педагога. Многочисленные ученики великого геометра вспоминали его блестящие лекции, его умение так излагать предмет, что он начинал сверкать новыми красками, его способность пробуждать и развивать в молодых людях самостоятельность мышления.
      Лучше всего говорят о Лобачевском воспоминания его бывших учеников и те рассказы, которые одно поколение учеников передавало другому.
      Николай Иванович, рассказывает уже знакомый нам Петр Иванович Котельников, владел удивительной способностью излагать ясно и увлекательно; часто во время лекции благодаря своим гениальным способностям он создавал экспромтом совершенно новые способы решения математических вопросов.
      В своих воспоминаниях Иван Иванович Михайлов пишет, что студенты чутьем узнавали в Лобачевском великого ученого и относились к нему с особым уважением: они чувствовали присутствие высшей силы.
      — Никогда я не слыхал ропота от студентов, чтоб Лобачевский поступил несправедливо, — говорит Михайлов. — Всякого обращающегося к нему с какой-нибудь просьбой он выслушивал со вниманием, — отвечал, приводил основания, если приходилось отказывать, подавал иному дружеский совет; другого журил, если тот был виновен в чем-нибудь предосудительном, — но без гнева, не выходя из себя.
      — Личность нашего ректора Лобачевского чаще всего была предметом наших вечерних бесед, — вспоминал чуть ли не столетним старцем казанский доктор Ворожцов. — Все студенты без исключения его уважали, а студенты-математики просто благоговели перед ним. Глубокий ум, обширные познания, широкое понимание жизни, несокрушимая логика и необыкновенная способность говорить просто, ясно и увлекательно, благородство характера, деликатное и внимательное отношение к молодежи, преданность науке и университету — все это давало ему возможность господствовать над окружающим и служило неистощимой пищей студенческих бесед. Даже все анекдоты, касающиеся его личности, говорили о нем как о человеке мысли. Рассказывали, например, что, увлеченный каким-нибудь математическим вопросом, он не замечал ничего вокруг. Если в таком состоянии он ходил по комнате и встречал стену, то останавливался перед нею и целые часы мог простоять неподвижно, упершись в нее лбом.
      Как бы ни был Николай Иванович занят, и наукой, и колоссальной разносторонней педагогической и административной работой, у него всегда находилось время выслушать студента, который к нему обращался с просьбой или за советом, внимательно разобраться в его деле и помочь ему. Его заботила и волновала судьба каждого юноши, и студенты знали и ценили это.
      Тот же Ворожцов рассказывает, как, явившись в Казань с двугривенным в кармане, сн в течение первых двух лет учился и зарабатывал на жизнь уроками, но в конце концов такой труд без отдыха етал ему невмоготу. Что было делать? Бросать учение? Или идти в казеннокоштные студенты? Ворожцов очень боялся поступать в «казенные», потому что потом приходилось шесть лет служить по указанию министерства. О его сомнениях и страхах узнал Лобачевский и вызвал Ворожцова для беседы.
      Лобачевский, выслушав меня, — говорил потом Ворожцов, — продолжал предлагать вопросы, делая возражения и на мои ответы; я отвечал, также возражая нашего замечания, но мало-помалу запас моих возражений истощился, и я почувствовал, что совершенно выбит из своей позиции и вынужден признать, что все мои страхи и сомнения ничем не обоснованы.
      Но Лобачевский не ограничился одной беседой. Помня свою казеннокоштную жизнь, подумал он и о том, что переход от полной свободы к строгому режиму довольно труден, и разрешил растянуть этот переход, чтобы Ворожцов постепенно привык к новой обстановке.
      Никто лучше Лобачевского не мог подействовать на студента, когда ему нужна была нравственная поддержка, когда нужно было поднять в нем падающий дух, произвести в нем нравственный перелом. Ворожцов рассказывает об одном случае.
      Вместе с ним учился студент Хлебников, очень даровитый, но большой охотник выпить. В пьяном виде он ничего не помнил и однажды бросился с ножом на своего товарища. Хлебникова всячески пытались отучить от пьянства, но ничего не помогало; уже поговаривали, что его придется сдать в солдаты. Оставалась последняя мера — Хлебникова позвали к Лобачевскому. Началась между ними продолжительная беседа. Хлебников после рассказывал:
      Он не укорял меня, не ругал, но во время разговора я был просто вне себя, раза три меня в пот кидало...
      Лобачевский был в течение девятнадцати лет бессменным кормчим университета, и эти годы стали временем расцвета одного из лучших учебных заведений России; он вел свой корабль сквозь многие бури и опасности, вел твердой и мужественной рукой. Под его началом было много различных людей с разными стремлениями, вкусами, убеждениями, но Лобачевский умело и уверенно управлял их деятельностью.
      Казанский университет, каким его выпестовал Лоба-чевский, явился школой для многих великих людей России.
      Здесь учился Лев Толстой. Сохранилось прошение Толстого на имя ректора с просьбой допустить его к вступительным экзаменам, а на этом прошении резолюция Лобачевского.
      Здесь учились знаменитые русские химики Бутлеров и Зинин.
      Отец Ленина, Илья Николаевич Ульянов, до конца своих дней с безграничным уважением и теплотой вспоминал Лобачевского: ректор чутко отнесся к молодому студенту, поверил в его способности. Он сам рекомендовал привлечь Ульянова к работе метеорологических станций — делу по тому времени сложному и ответственному.
      А потом студентом Казанского университета стал Владимир Ильич Ленин.
      Профессор Булич сказал о Лобачевском:
      — Его благородная жизнь есть живая летопись университета, его надежд и стремлений, его возрастания и развития.
      Лобачевский строил Казанский университет не только в переносном, но и в буквальном смысле слова. Он наметил и осуществлял широкую программу строительства новых зданий и лабораторий и возглавил строительный комитет. Не довольствуясь тем, что ему удалось привлечь к делу лучшего архитектора Поволжья, Лобачевский сам серьезно изучал архитектуру.
      За пять лет были созданы астрономические обсерватории, физический кабинет, химическая лаборатория, анатомический театр, клиника, библиотека и типография. «В стенах этих учреждений все дышит памятью Н. И. Лобачевского, все восстанавливает перед нами симпатичный облик великого ученого и неутомимого труженика-ректора», — писал историк Загоскин.
      Лобачевский обладал выдающемся организаторским талантом и твердой волей. Эти его качества, проявляясь повседневно, сослужили университету особую службу во время двух страшных событий, сохранившихся в памяти современников.
      ...В Казани вспыхнула эпидемия холеры. Началась паника. Все, кто мог, бежали из города, оставшиеся запасались продуктами и поплотнее запирали свои ворота. Но все равно смерть собирала обильную жатву.
      Лобачевский распорядился немедленно прекратить всякую связь между городом и университетской территорией, на которой, по его приказу, поселились все студенты, профессора и остальные служащие университета. Без разрешения ректора никто не мог выйти за ворота. Пища и вода подвергались дезинфекции и строгому контролю. Заболевшие, а их из пятисот шестидесяти человек оказалось всего двенадцать, сразу же изолировались от здоровых. Такой строжайший режим царил до конца эпидемии. Воля и распорядительность Лобачевского спасли университет.
      ...А в 1842 году ужасный пожар свирепствовал в Казани. Лучшие здания и лучшие кварталы города выгорели полностью. Беда нависла над университетом. Ректор не отлучался с места пожара и сам руководил всеми спасательными работами. Огонь грозил уничтожить библиотеку, которую Лобачевский в течение нескольких лет приводил в порядок. Все наиболее ценное студенты относили на окраину города. Рукописи и книги были спасены. Удалось отстоять от огня и загоревшееся здание библиотеки. Только астрономическая обсерватория и магнитная станция сгорели дотла, но из них тоже успели вынести ценнейшие инструменты. Главное здание университета осталось невредимым.
      Рассказывать о жизни и деятельности Лобачевского-ректора — это значит рассказывать о трудах и днях замечательного труженика русского просвещения, человека смелых суждений и независимого характера.
      Потом, как это постоянно бывало в истории, смелость суждений и независимый характер пришлись не по нраву новому начальству. Лобачевский, правда, со всевозможными почестями, оказался отстраненным от университетских дел. Он был назначен помощником попечителя Казанского учебного округа. Но разве могла одна лишь административная деятельность, да еще под началом малообразованного попечителя, заменить ему прежнюю жизнь, университетские заботы, преподавание, живое общение со студентами!
      Лобачевский сразу почувствовал себя больным и разбитым. Он как-то быстро, на глазах, начал стареть, стала прогрессировать слепота — последствие напряженнейших и долгих ночных занятий. Сначала ему удавалось скрывать свой недуг. Он старался по-прежнему выглядеть сильным, бодрым, уверенным в себе. Но скоро слепота перестала быть тайной для окружающих.
      Уход из университета словно открыл дорогу несчастьям. Простудившись, заболел скоротечной чахоткой и в короткий срок истаял, погиб его старший сын Алексей — самый любимый, так похожий на отца, так многообещающе одаренный. Другие дети были малоспособными или нездоровыми от рождения и приносили больше огорчений, чем радости. Смерть сына стала таким ударом, от которого Лобачевский оправиться уже не смог.
      Будто какой-то рок преследовал семью Лобачевских, отторгая от нее талантливых и лучших. А может, судьба посчитала, что подарив миру гения, которому удалось свершить предназначенное, род Лобачевских должен расплатиться за такое. Конечно, это мистика... Но печальная правда, что Лобачевскому пришлось пережить не одну страшную потерю.
      Еще в 1807 году утонул в реке Казанке его старший брат Александр. Откачать и спасти его не удалось. Потрясенный Николай заболевает тяжелым нервным расстройством. Выздоровев, он, пятнадцатилетний студент, принимает решение — отныне поприщем его будет не математика, а медицина, борьба со смертью. Только дружные усилия профессоров вернули Лобачевского той науке, для которой он был рожден.
      Мальчик Лобачевский сумел оправиться от потери, старику не достало сил превозмочь ее.
      Один только смысл существования остался у Лобачевского — его наука, его геометрия.
      Теперь, когда события его жизни с „ми далеким прошлым, а история верно оценила все — и великое и малое — и все поставила на свои места, теперь хотелось бы разобраться в судьбе Лобачевского и попытаться понять, какой же все-таки была эта жизнь — трагической или счастливой. Или, быть можег, вместе — и трагической и счастливой?
      Ответить на такой вопрос нелегко.
      Течение внутренней, интимной жизни Лобачевского было глубоко скрыто от его современников; скрыто оно и от нас. Сам он не оставил почти никаких намеков на то, что творилось у него в душе. Он не вел дневников, у него не было друзей настолько близких, чтобы он перед ними полностью раскрывался, и его письма не содержат почти ничего, что говорило бы о его чувствах и переживаниях. Во всяком случае, ничего, связанного с судьбой его непризнанного творения, с новой геометрией. А ведь как раз на этом пути ему достались самые тяжелые удары. Каждый, кто задумывался над судьбой Лобачевского, по-своему оценивал ее, исходя, естественно, из каких-то собственных представлений о характере великого геометра, о смысле его жизни и о смысле человеческой жизни вообще.
      Для одних Лобачевский — фигура исключительно трагическая; одинокий, никем не понятый и многими осмеянный, Манфред среди горных вершин науки.
      Другие, приводя в пример Лобачевского, говорили, что опасения Гаусса были беспочвенны и напрасны: ведь Лобачевскому его смелость ученого не помешала быть уважаемым профессором, руководителем университета. Его любили студенты, его награждали орденами, ему пожаловали дворянство. В общем, жизнь его внешне была вполне благополучной и счастливой.
      И те и другие правы только наполовину.
      По выражению его ученика Михайлова, «Лобачевский шел одиноко к цели, как гигант, опустив забрало, и стрелы, пускаемые в него лилипутами, по-видимому, его не уязвляли». Бесспорно, он сознавал, что им создан плацдарм для будущих завоеваний науки, для ее движения вперед. Он не сомневался в великом будущем «своей геометрии, иначе откуда он мог бы взять силы для ее непрерывного углубления и совершенствования?!
      Но правда ли, что «стрелы его не уязвляли»? Что он безболезненно переживал и издевательства, и непонимание, и одиночество в главном деле своей Жизни?
      Едва ли... Недаром его современники отмечают, как постепенно живой и открытый нрав Лобачевского Менялся, как все более замкнутым становился его характер. Вспоминают о его мрачном взгляде, о нахмуренных бровях, глубокой сосредоточенности и углубленности в себе. Все угадывали за этим постоянную напряженную работу мысли. Но нередко горькая усмешка пробегала по его губам; может, в такие минуты он думал о тех кто так и не захотел его понять. Все реже й реже случались с ним приступы прежней веселости, все реже сверкал его блестящий юмор.
      Да, внешнее благополучие жизни прикрывало внутреннюю ее драматичность. Счастливое понимание своей исторической миссии было для Лобачевского всегда омрачено ощущением безысходного одиночества.
      Больной, слепой, на пороге смерти он решил еще раз рассказать о созданной им геометрии, в последний раз привлечь к ней внимание математиков. Это последнее свое сочинение он написал по-французски и назвал его «Пангеометрия». «Пан» — потому, что развитое им учение о пространстве было по тому времени самым широким, всеобъемлющим. Оно заключало в себе его неэв-клидову геометрию и как частный, предельный ее случай — геометрию Эвклида.
      «Пангеометрия» написана уже не рукой Лобачевского: ослепший, он продиктовал ее своим ученикам .. Окончено было дело жизни, оканчивалась и сама жизнь.
      Лобачевского не стало 12 февраля 1856 года. Ровно через тридцать лет после того памятного февральского дня, когда родилась неэвклидова геометрия.
      Бывает мужество одного действия, одного акта, но если мужеством, подвигом становится вся жизнь, тонет меры, чтобы оценить такое служение человечеству и науке.
      «Подвиг мысли дороже нам всех других подвигов ибо только наука, мысль и знание суть основы благосостояния общественного», — сказал в надгробной речи профессор Булич.
      Почти в одно и то же время на трех кораблях три человека подплыли к неизвестной, окутанной густым туманом земле.
      — Не мираж ли впереди? — спросил себя каждый.
      Их предшественники, которым выпало на долю хоть сколько-нибудь приблизиться к этой земле, проходили мимо, убежденные, чго перед ними и в самом деле только мираж.
      Гаусс заглянул в этот мир, но мысль о жизненном подвиге, связанном с путешествием в глубь неизведанной земли, устрашила его.
      Лобачевский и Бойаи — оба принадлежали к той когорте, из которой выходят великие путешественники, первооткрыватели новых земель.
      Бойаи не только бесстрашно вступил на эту terra incognita, но и постарался, насколько хватило сил, изучить ее.
      Лобачевский поверил в великое будущее открытой им земли. До самой смерти он неутомимо возделывал и обрабатывал ее, и земля принесла замечательные плоды.
      Нащупать такое открытие, свершить его и отдать ему всю жизнь — величайшее счастье, о котором только может мечтать ученый!
      В истории науки есть немало драгоценных страниц. Но, кажется, история открытия и создания неэвклидовой геометрии не имеет себе подобных: здесь соединилось прошлое, настоящее и будущее многих наук; здесь сложно и трагически переплелись судьбы ученых разных стран, разных взглядов и убеждений, разных характеров и душевного склада. Героям этой истории пришлось решать (каждому по-своему!) и сложнейшую научную задачу, что требовало особой силы и смелости мышления, и задачу, потребовавшую великого человеческого мужества.
      История эта поразительно ярко, как, может быть, мало какая другая глава науки, показала, что подвиг мышления увенчивается победой только тогда, когда он сопряжен с великим подвигом духа, с неустрашимым человеческим мужеством, с неуклонным следованием цели.
      Вот почему нам захотелось рассказать эту историю.
     
     
     
      ПОСТИЖЕНИЕ МИРА
     
      Риман
     
      В преддверии
      Новая глава в истории неэвклидовой геометрии связана с именем Римана.
      Бернгард Риман родился в 1826 году, как раз в тот год, когда в Казани Лобачевский читал свой доклад.
      Ньютон родился в год, когда умер Галилей. А Эйнштейн — в тот год, когда умер Максвелл.
      Каждый раз, когда случаются подобные совмещение событий, трудно удержаться и не упомянуть о них.
      И невольно настраиваешь себя на то, что в науке ц культуре есть не только преемственность и непрерывность в развитии идей, но и некая как-то предопреде-ленная преемственность самих ученых, носителей идей, И что судьба мудра и не так уж безразлична к роду человеческому.
      И хотя ты понимаешь, что такие совпадения — не более, чем игра случая, все равно они не могут не трогать.
      Так или иначе, но Риман родился именно в 1826 году. Он был вторым ребенком в большой семье сельского пастора, имевшего приход в деревне Бреселенц, близ Донненбурга, в королевстве Ганновер.
      Семья жила бедно, постоянно нуждалась. Но главной целью родителей было, несмотря ни на что, дать серьезное образование детЯхМ. Сперва с ними занимался сам отец, а потом, когда Бернгарду исполнилось десять лет, в доме, появился учитель.
      Известно, что Гоген лишь к тридцати годам стал настоящим живописцем. До того он был и матросом и лоцманом на кораблях дальнего плавания, и банковским служащим. Только прожив половину жизни, он понял, в чем его истинное призвание.
      Примерно в том же возрасте Бородин, профессор-химик, знакомится с Балакиревым и вступает в его кружок, вошедший в историю под именем «Могучей кучки»; писать музыку Бородин начал, когда большая часть жизни осталась позади.
      Но сильное математическое дарование, если оно есть, наверное, чаще всего проявляется очень рано; так рано, когда ни о каком осознанном выборе пути, конечно, и речи быть не может. В те годы, когда мышление ребенка предельно конкретно и образно, когда мир воспринимается лишь в окружающих конкретностях, внезапно детскую голову неведомо как заполняют абстракции: цифры, геометрические фигуры. Пятилетний Янош Бойаи задумывается о бесконечности, трехлетний Гаусс находит ошибку в расчетах отца.
      Психологи и физиологи когда-нибудь разрешат эту тайну человеческого мозга, пока же факт остается фактом.
      Риман не был исключением среди своих гениальных собратьев. Очень рано самым большим его удовольствием было придумывать сложные математические задачи, над решением которых потом долго бились его сестры. Их домашний учитель вспоминал, как ему приходилось напрягаться, чтобы только лишь успевать следить за теми быстрыми и часто лучшими решениями задач, которые находил его ученик.
      В тринадцать лет Риман покинул родительский дом. Теперь он сможет возвращаться сюда лишь на недолгие каникулярные сроки. Но привязанность к семье, глубокая и нежная любовь к родным нисколько не ослабеет в нем ни с расстоянием, ни с годами. С отцом, братом, сестрами делится он планами, рассказывает им обо всех больших и малых событиях своей жизни.
      Для посторонних Риман будет сдержанным и замкнутым. Он никогда не сумеет до конца преодолеть застенчивость, некоторую робость в отношениях с окружающими. Существует даже мнение, что замкнутость сыграла добрую роль в судьбе Римана. В те одинокие часы, которых было больше чем достаточно в его жизни, и начался этот непрерывный, ничем не стесняемый, свободный от давления, от предвзятости процесс мышления, смелый полет мысли, который привел Римана к его замечательным открытиям. Может быть... Но сам Риман часто страдал от неумения сближаться с людьми. Потому что он никогда не ‘был к ним безразличен, а наоборот — полон интереса и доброжелательности.
      Итак, тринадцатилетний Риман попадает в Ганновер, где жила его бабушка, и начинает учиться в тамошнем лицее. А через два года переезжает в Люнебург и поступает в гимназию.
      Математическая одаренность мальчика и здесь сразу бросилась в глаза. Директор гимназии потом вспоминал:
      «В первый же год учения Бернгард попросил разрешить ему брать книги из моей библиотеки:
      — Мне это доставит большое удовольствие, если только они не будут слишком легкими, — добавил он.
      Я показал ему полку с книгами, и он выбрал «Теорию чисел» Лежандра. Я сказал:
      — Постарайся разобраться в ней, насколько сможешь.
      Это было в пятницу после обеда. Он вернул книгу в следующую среду.
      — Много ли ты прочел? — спросил я.
      — Все, — ответил он. — Это замечательная книга.
      На экзамене я нарочно дал ему задачу из «Теории чисел». И хотя Риман больше не брал книгу в руки, он решил задачу так, словно специально по ней готовился к экзамену. Теория чисел имела особую прелесть для него. Он прочел и «Геометрию» Лежандра и перерешал массу геометрических задач из книг моей библиотеки. К этому времени он уже настолько знал математику, что учителя чувствовали себя нищими по сравнению с ним.
      У него был просто невероятный дар отдаваться творческой фантазии и вместе с тем его отличала исключительная способность к абстрактным обобщениям».
      Оба эти свойства мышления Римана, столь рано и сильно проявившиеся, что уже в гимназии не могли не обратить на себя внимания вдумчивого педагога, внесли свой равный вклад в будущее творчество ученого. Оба, а точнее — комбинации их, хотя на поверхностный взгляд может показаться, что свойства эти мало совместимы, даже исключают друг друга. Но лишь на поверхностный взгляд. Стоит вспомнить хотя бы Эйнштейна, в котором тоже так неповторимо удачно сочетались научная фантазия редкой смелости и способность к самым абстрактным логическим конструкциям, к широким обобщениям. Вообще в характере мышления Римана н Эйнштейна было много общего, может поэтому творчество Римана стало таким близким и необходимым создателю теории относительности.
      Даже в изучении тех предметов, которые не давались Риману так же легко, как математика, сказывалось своеобразие его ума. Он испытывал трудности, когда писал сочинения, — и по немецкому языку и по латыни. Он никогда не мог быстро и сразу найги окончательный вариант. Напишет несколько строк, потом приходят новые мысли... Неудовлетворенный, он снова и снова начинает с начала...
      В 1846 году Риман оканчивает гимназию и становится студентом факультета филологии и теологии Геттингенского университета.
      Римаи — филолог и богослов? После того, что мы о нем узнали, такое кажется странным, даже противоестественным. Наверное, и сам Риман думал так же. Хотя поступок этот был добровольный, Риман, скрепя сердце, решился на него. Обремененная детьми семья по-прежнему бедствовала, а карьера ученого не сулила материальных благ. Надо было выбрать профессию, которая хоть в будущем даст возможность помогать родным.
      Но, конечно, этот странный филолог не мог отказать себе в том, чтобы сверх своих курсов слушать лекции по математике и физике. Скоро не только он сам, но и близкие убеждаются, насколько неодолимы его склонности, и отец освобождает сына от обещания стать пастором.
      Получив разрешение следовать своим путем, Риман снова совершает странный поступок. Он оставляет Геттинген и переезжает в Берлин.
      Фаркаш Бойаи мечтал, что сын его станет учеником Гаусса. Такая удача выпала Риману. Почему же он, решив посвятить себя математике, покинул Геттингенский университет, где кафедру математики занимал именно Гаусс?
      Причина проста: Гаусс читал лекции только по элементарным, большей частью прикладным вопросам математики. Знания Римана, его багаж после самостоятельных занятий в гимназии были куда богаче и обширней того, что ему давали в университете. А о своих собственных работах Гаусс и не помышлял сообщать студентам.
      Ученый и учитель — не тождественные понятия. Быть подлинным учителем — особый талант. Не всякому это дано — суметь собрать вокруг себя учеников, вырастить их, создать свою научную школу. Создание школы обязательно — и прежде всего — предполагает самый тесный контакт, самое глубокое общение.
      Но школы не возникает, если профессор отгорожен от студентов высокой стеной своего авторитета.
      В "немецких университетах того времени профессура, как и полагалось по существовавшим традициям, держалась замкнутой кастой. И Геттингенский университет не был исключением.
      Зато Берлинский университет в те годы был совсем иным. Два выдающихся математика, Якоби и Дирихле, обсуждали на лекциях не только уже решенные задачи, но и новейшие идеи, те, что занимали научный мир и были предметом их собственных поисков и открытий.
      Рассказы о стиле Берлинского университета, естественно, доходили до студентов других германских городов. Берлин становился притягательным центром.
      Как* ни странно, обычно застенчивый Риман сразу познакомился с Якоби и Дирихле и почувствовал себя свободно со своими новыми учителями — такова была атмосфера, созданная этими учеными. Он часто присутствовал при дискуссиях между ними; и многое указывает на то, что в эти годы стали зарождаться главные идеи и направления в творчестве Римана.
      Пролетели два счастливых и плодотворных года, и Риман, полный замыслов, возвращается в Геттинген.
      Наряду с собственной работой Риман еще слушает некоторые курсы, естественные и философские, с наибольшим интересом — лекции профессора Вебера по экспериментальной физике.
      ...В Геттингене стоит скульптура: Гаусс и Вильгельм Вебер создают электрический телеграф. Гаусс дарил доверием и откровенностью своего младшего собрата по науке. В свою очередь Вебер с глубокой заинтересованностью И любовыо относился к Риману. Он стал его другом и в дальнейшем многое сделал для популяризации его идей и открытий — Вебер пережил своего ученика.
      Этот человек интересен нам и потому, что на его глазах развивались отношения Гаусса и Римана и, пожалуй, только благодаря ему мы можем хотя бы немного узнать об истинной позиции Гаусса, хоть слегка заглянуть в мир его чувств.
      Риман еще продолжает учиться, кроме того, он делает первые шаги на педагогическом поприще как участник и ассистент физико-математического семинара, организованного Вебером, — читает для начинающих студентов отдельные лекции по физике, помогает в демонстрации опытов. Но больше всего и прежде всего занят он теперь исследовательской работой. Обдумай и пишется большой труд: «Основы общей теории функций комплексного переменного».
      Содержание этой работы здесь излагать не стоит даже самым кратким образом — все равно обо всем рассказать нельзя. Хотелось бы лишь напомнить одну вещь: функции, функциональные отношения и зависимости играют в науках огромную роль, причехМ в физике не меньшую, чем в математике. По существу все физические явления и процессы описываются с помощью функций. Теоретические исследования в физике — это главным об-разохМ розыски и анализ связей между явлениями, то есть исследование различных функциональных зависимостей. Поэтому все, что касается теории функций, в частности — различных способов математического их выражения (к примеру, запись функций в форме степенных рядов, что характерно для функций комплексного переменного), все это неизменно привлекало и привлекает интерес и внимание. Эта область хматематики и математической физики издавна считается одним из главных, магистральных направлений в науке. И работы Римана по теории функций принадлежат к числу основополагающих.
      К концу 1851 года Риман завершает свое исследование, и оно становится его докторской диссертацией. Преодолевает он и преследующий его страх перед публичностью, перед необходимостью готовить работу для печати.
      Труд Римана получил высокую опенку Гаусса. Гаусса поразили «глубокое проникновение в предмет исследования, полная оригинальность и необычайная прозрачность изложения». В разговоре с Риманом Гаусс между прочим заметил, что он сам в течение ряда лет готовил мемуар на эту же тему.
      «Я надеюсь, что теперь, благодаря окончанию диссертации, мое положение существенно улучшится, — сообщил Риман отцу, — я также надеюсь, что со временем научусь писать свободнее и быстрее, и тогда расширится круг моего общения и я получу возможность выступать с докладами».
      Риман по-прежнему встревожен трудным положением семьи. Он просит прощения за расходы, которые из-за него несет отец. Он винится, что не проявил достаточной настойчивости, чтобы занять вакантное место наблюдателя в обсерватории.
      Но дело было вовсе не в настойчивости Римана. Как потом рассказал Вебер, Гаусс, директор обсерватории, не захотел, чтобы Риман занял это место. Нет, не сомнения в способностях Римана были тому причиной. А опасение, как говорил Вебер, что «связанные с этой должностью трудоемкие и частично неупорядоченные обязанности затронут и его, Гаусса, поле деятельности». Гаусс ревниво оберегал свое «жизненное пространство» от вторжения.
      Так Риман опять остался без постоянной должности, а значит и без средств к существованию. Это тихое и медленное умирание с голоду, на которое Риман оказался обреченным, привело к неизлечимой чахотке. Отягощенная предельно напряженной умственной работой, болезнь оборвала его жизнь на сороковом году.
     
      «Пробная лекция»
      Не попав в обсерваторию, Риман спустя некоторое время делает еще одну попытку упрочить свое положение — он старается получить место приват-доцента. Это обязательная ступенька к профессуре. А кроме того, хоть какой-то выход из нищеты. Правда, жалкий выход. Жалованье приват-доцента складывалось из оплаты лекций теми студентами, которые слушали курс. А приват-доцентам редко удавалось читать курсы лекций, и
      число слушателей .не превышало числа пальцев на руке. Но Риман, доктор наук, больше не мог обременять отца дополнительными расходами. Он берется за конкурсную работу для получения должности.
      Осенью пятьдесят второго года в Геттинген из Берлина приехал на каникулы Дирихле — «второй после Гаусса из ныне живущих математиков», — как сообщает Риман отцу. — «Дирихле пробыл у меня утром около двух часов. Он сделал важные замечания к моей конкурсной работе. Они были настолько полными, что существенно облегчили ее написание. Он держался со мной так дружелюбно, что при огромной разнице *в нашем положении, я даже и ожидать не мог такого».
      Конкурсная работа была закончена через год «с небольшим. Теперь, по существующему статуту, соискателю предстояло прочесть перед членами коллегии факультета так называемую «пробную лекцию». Кандидат на должность предлагает для лекции три темы по своему усмотрению, коллегия выбирает одну из них.
      Как и требовалось, Риман назвал три темы. Первые две входили в круг основных проблем, которыми тогда занимались математики, третья лежала несколько в стороне. Первые две говорили о методах представления функций с помощью тригонометрических рядов, третья касалась основ геометрии. Наконец, первые две работы были у Римана почти готовы, в третьей лишь намечены основные идеи.
      Риман был уверен, что ему придется читать одну из двух первых. Гаусс выбрал третью.
      Почему? Обратимся снова к свидетельству Вебера: «Гаусс не без умысла выбрал именно данную тему из трех, предложенных Риманом. Он сам признавался, что ему страстно хотелось услышать, как такой молодой человек сумеет найти выход из столь трудной игры».
      Форма изложения лекции (о содержании ее речь впереди) и посейчас удивляет, даже интригует математиков. Лектор мог свободно обойтись без доски и мела. Вместо скрупулезных вычислений (лекция-то по математике!) даны лишь некоторые конечные результаты, да и суть, собственно, не в них. Суть — в идеях, предложенных автором, в ходе и развитии его мысли.
      По мнению одних, Риман построил свою лекцию так, чтобы сделать ее понятной всем членам коллегии, а не только математикам. Конечно, он сильно усложнил себе задачу; объяснить неспециалистам совершенно новые идеи, да еще без привычных, математических лесов, да еще не снижая уровня и строгости изложения — дело крайне нелегкое.
      Существует и совершенно противоположная точка зрения: Риман вовсе не думал о членах коллегии. Даже и обо всех математиках не думал. Лекция была прочитана только для Гаусса, рассчитана на него одного. А для Гаусса и не нужны были выкладки, главное — донести содержание, ход мысли.
      Какое из этих предположений более правильно? II то и другое достаточно психологически убедительны. А истины нам, вероятно, не суждено узнать.
      Уже говорилось, что Риман был замкнут, сдержан и застенчив с окружающими. Таким он остался до конца жизни. Только со своими родными бывал он откровенен, только перед ними обнажал свои чувства. Больше того, с ними, не имеющими никакого отношения к науке, делился Риман планами исследований, посвящал их в замыслы и результаты своих работ. Эти живые свидетельства, вероятно, интереснее всяких домыслов и предположений, даже самых правдоподобных. Обратимся к письмам, которые писал он в эти месяцы брату Вильгельму.
      23 декабря 1853 года Риман пишет как раз о темах для пробной лекции: «Две первые у меня были готовы, и я надеялся, что будет выбрана одна из них. Однако Гаусс выбрал третью, и теперь я снова в затруднительном положении, так как должен ее еще доработать. Мои другие исследования о связи между электричеством, магнетизмом, светом «и тяготением я стал продолжать сразу после окончания конкурсной работы и пошел уже так далеко, что смогу их скоро опубликовать. Для меня становится все более очевидно, что Гаусс уже много лет работает над тем же самым, и несколько друзей, среди которых Вебер, под строгим секретом посвящены в это. Тебе я могу писать, не опасаясь, что меня обвинят в дерзости и самомнении — я надеюсь, что мое время еще придет, и станет известно, что я все нашел совершенно сахмостоятельно».
      26 июня следующего года он пишет брату, что исследования по связи между основными физическими за-конами настолько захватили его, что он никак не мог приступить к работе над темой пробной лекции. Мешало ему и другое: «Усталость, умственное напряжение, отсутствие воздуха, старый недуг... Летом поправился. Четырнадцать дней после пасхи занимался другой работой, а потом взялся за пробную лекцию и к троице окончил ее... В последнее время здоровье Гаусса стало настолько плохим, что опасаются его смерти уже в этом году, и он сам чувствует себя слишком слабым, чтобы меня проэкзаменовать." Так как я должен начать читать лекции только со следующего семестра, он хочет, чтобы я подождал хотя бы до августа улучшения его самочувствия. Я уже примирился с этим. Но после моей повторной просьбы в пятницу днем на троицу, он внезапно решил, чтобы «с плеч долой», как он выразился, назначить коллегию на завтра иа половину одиннадцатого, и таким образом в субботу я был счастлив наконец с этим развязаться... Несколько слов о другой работе, которой я был занят на пасху. На пасхальные каникулы по приглашению Вебера к нему приехал Кольрауш, который сейчас профессор в Марбурге, чтобы вместе с ним провести экспериментальные исследования электричества. Я принимал участие в эксперименте и таким образом получил возможность познакомиться с Кольраушем. Кольрауш только недавно провел точные измерения электрического сопротивления лейденской банки; он опубликовал результаты, и я нашел им объяснение в своих общих исследованиях соотношений между электричеством, светом и магнетизмом. Я говорил об этом с Кольраушем, и он попросил меня разработать теорию явления и прислать ему. Я так и сделал. Кольрауш мне очень дружески ответил, предложил передать работу для опубликования в «Анналах физики и химии» и пригласил меня осенью посетить его, чтобы продолжить работу. Для меня это важно потому, что впервые оказалось возможным применить мою работу к явлениям, неизвестным раньше».
      Итак, может быть еще одно объяснение странной формы пробной лекции. Риман просто не ожидал и не думал, что будет выбрана именно эта тема. Поэтому он и не стал ее разрабатывать детально, с подробными математическими выкладками. А потом, когда выбор Гаусса пал именно на нее, может, у Римана не оставалось достаточно времени на детальную разраоотку. А ско-
      рее всего, он посчитал это просто ненужным. Гораздо важнее и значительней были сами идеи, йх точная формулировка и главное — раскрытие их сути, не «запрятанной» в математические выкладки. Так поставленную перед собой задачу — а хочется думать, что это было сознательным решением, — Риман выполнил блестяще.
      И если спектакль на самом деле разыгрывался для одного зрителя, то успех его был ошеломляющим. Правда, неизвестно, догадался ли об этом кто-нибудь, в том числе и сам Риман. Потому что не было рукоплесканий. И вслух не было сказано ни слова одобрения. Гаусс молча поднялся и тихо побрел к выходу.
      Какие чувства обуревали в тот день старого Гаусса, стало известно лишь много лет спустя, когда умер не только он, но и Риман. Вильгельм Вебер рассказал, что лекция превзошла все ожидания Гаусса. Она привела его «в состояние наивысшего изумления» и, возвращаясь с заседания факультета, он отозвался о ней с «высшей похвалой» и «с редчайшим для него воодушевлением» говорил Веберу о «глубине мысли Римана».
      Постараемся и мы, поверив авторитету Гаусса, если не оценить «глубину мысли Римана», то хотя бы составить себе представление о том, что ныне называют рима-новой геометрией.
     
      Миры римановой геометрии
      Риман назвал свою лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
      — Общеизвестно, — начал он, — что геометрия предполагает заданными заранее как понятие пространства, так и первые основные понятия, которые необходимы для выполнения пространственных построений. Она дает номинальные определения понятий, тогда как существенные свойства определяемых объектов входят в форме аксиом.
      Так в нескольких словах Риман напомнил принцип построения геометрии: «первые основные понятия» — мы привыкли называть их «определениями» — действительно задаются сразу, заранее; и самые существенные их свойства так же заранее определяются аксиомами.
      Это и вправду общеизвестно — в том числе, вероятно, было известно и членам коллегии философского факультета. Тогда, может, и начинать с этого не стоило?
      Но Риман вовсе не собирался вещать банальности. Он начал так лишь для того, чтобы высказать свое суждение о существующих основах геометрии.
      Как мы помним, надежность камней, положенных в фундамент геометрии, вызвала доверие далеко не у всех. А как можно быть спокойным за прочность здания, если ненадежен фундамент?
      — При этом, — подчеркивал и Риман, — взаимоотношения между этими предпосылками остаются невыясненными: не видно, является ли, и в какой степени, связь между ними необходимой; не видно так же a priori, возможна ли такая связь. Начиная от Эвклида и кончая Лежандром (я называю наиболее выдающегося из новейших исследователей основ геометрии), ни математиками, ни философами упомянутые неясности не были устранены.
      Здесь хочется снова прервать Римана и отметить две вещи.
      Во-первых, слова «кончая Лежандром» позволяют заключить, что Риман ничего не знал ни о Лобачевском, ни о Бойаи. Даже идеи живущего с ним бок о бок Гаусса оставались, по-видимому, скрытыми от него.
      Во-вторых, Римана, как и трех упомянутых математиков, как и некоторых их предшественников, также не удовлетворяют основания, на которых построена геометрия Эвклида. Но «формула обвинения» новая; у Римана свои претензии к основам ее, корень зла он видит в ином:
      — Причина этому обстоятельству, как я полагаю, заключается в том, что общая концепция многократно протяженных величин, к которым относятся пространст-венные величины, осталась совсем не разработанной.
      Отсюда естествен переход Римана к замыслу своей работы:
      — Я поставил перед собой задачу — исходя из общего понятия о величине, сконструировать понятие многократно протяженной величины. Мы придем к заключению, что в многократно протяженной величине возможны различные мероопределения, и что пространство есть не что иное, как частный случай трижды протяженной величины.
      В этом абзаце заключено очень большое содержание.
      Прежде всего ставится цель — сконструировать (иначе говоря, построить по законам математики и логики) на основании общего понятия о величине (то есть на очень широкой основе, потому что понятие величины много шире понятия пространственных величин — так, например, есть величина массы, величина силы, величина скорости, величина температуры, величина времени и многие другие типы величин, в том числе и чисто математического характера), классы так называемых «пространств» или многократно протяженных величин различного типа, таких, где единица измерения принадлежит к данному типу величин, а вовсе не есть непременно единица длины, как в обычном нашем пространстве.
      Поэтому в таких «сконструированных» пространствах возможны различные «мероопределения», то есть различные законы построения и измерения фигур, иными словами, возможна разная геометрия.
      И, наконец, слово «пространство» Риман оставляет только за нашим реальным пространством, в котором мы живем. Остальные же, построенные логически, он называет «многократно протяженные величины». Тем самым он четко отделил физическое рассмотрение окружающей нас природы от математического.
      В этой связи Риман сразу же отвечает и на один из главнейших вопросов философии естествознания: можно ли геометрию нашего реального пространства получить чисто логическим путем, пользуясь лишь способностями нашего разума?
      — Необходимым следствием отсюда является то, — говорит Риман, — что предложенная (то есть эвклидова) геометрия не выводится из общих свойств протяженных величин, и что, напротив, те свойства, которые выделяют пространство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть почерпнуты не иначе как из опыта.
      Итак, чистая математика никогда не сумеет сделать выбора и сказать, каково оно, истинное строение нашего пространства. Эту задачу в состоянии решить лишь физический эксперимент и расчеты, основанные на реальных, полученных из наблюдений характеристиках нашего мира.
      Гёте писал: «Как бы человек видел солнце, если бы глаз его не был так похож на солнце?»
      Хотя Гёте не только поэт, но и ученый, слова эти скорее поэтическая метафора. Но мозг человека, как показывает движение современной науки, действительно «видит» гораздо больше, чем видит глаз. Видит и невидимое, принципиально не поддающееся непосредственному наблюдению. Видит до опыта, предвосхищая эксперимент. Способен так видеть потому, что он, созданный миллионнолетним развитием природы, есть часть ее, едва ли не самая совершенная.
      В лекции Римана, как прежде в трудах Лобачев-ского и Бойаи, человечество выходило из рамок плоского трехмерного мира. Оно, пусть пока в математических символах, открывало для себя новые пространства — может, одно из них и окажется истинным пространством Вселенной. Мир науки, а значит и мир людей становился богаче и шире. В этом смысл и значение лекции Римана. В этом глубокая красота ее.
      Из слушателей этот смысл и красоту мог оценить один лишь Гаусс, а из всех людей на земле — вероятно, еще Лобачевский и Бойаи. Как бы отлично получилось, окажись они все в тот день в Геттингене. Но история не часто бывает хорошим режиссером...
      Тысячелетиями мир наш со всей его сложностью оставался словно спрятанным от человечества шапкой-невидимкой. Чтобы попасть в этот мир, надо было угадать мозгом, как сердцем угадал поэт, что и «невозможное возможно».
      Риман поверил в возможность разных пространств, снял с них шапку-«видимку»; тут сказочное сравнение уместно, потому что открытие его было тогда фантастично, как сказка.
      Риман рассказывал эту сказку одному слушателю, Гауссу, зачарованному ею. Теперь к ней, к этой мудрой сказке, должны приобщиться и мы. Но как трудно такое приобщение!
      Очень трудно этот сверхсложный мир сделать понятным для нас, потомственных жителей эвклидова мира. Правда, однажды мы с вами уже предприняли попытку вырваться из мира Эвклида и совершить путешествие в чуждый и таинственный мир Лобачевского. Нынешнее путешествие будет еще тяжелей. Но отважимся на него.
      Нам придется сразу же погрузиться в самую отвлеченную математику.
      Вспомним еще раз, что хотел сделать Риман для «исправления» геометрии, какой фундамент считал он необходимым и обязательным подвести под нее:
      Я поставил перед собой задачу, — сказал он, — исходя из общего понятия величины, сконструировать понятие многократно протяженной величины.
      Многократно протяженные величины — познакомимся с ними.
      Берем карандаш, ставим на лист бумаги. И проводим линию. Что мы получили? Линию, естественно. А по терминологии Римана — однократно протяженную величину.
      Теперь — это проделаем уже мысленно — возьмем в руки оба конца этой линии и потянем ее на себя. Последовательное и непрерывное перемещение линии образует поверхность. А по Риману — дважды протяженную величину.
      Теперь начнем перемещать уже эту поверхность, например, будем опускать ее вниз. Непрерывное и последовательное перемещение поверхности дает нам объем, то есть некую часть пространства. Риман сказал бы — трижды протяженную величину.
      К сожалению, мы не можем подобным же образом построить четырежды протяженную величину. А Риман свободно оперирует с ней, потому что она есть естественное обобщение предыдущих случаев. Поэтому нам лучше всего последовать за Риманом и посмотреть, как он будет «конструировать» свои многократно протяженные величины, как разрешит поставленную самому себе задачу.
      Некоторые считают, что идеи, которыми наполнена «пробная лекция», «носились в воздухе, ими была насыщена атмосфера Геттингена. Считают, что открытие уже созрело и лишь ждало кристаллизации. Отсюда удивление, что не Гаусс оказался его творцом. В этом смысле говорят, будто Риман отдал человечеству то что задолжал ему Гаусс.
      Однако никак нельзя сказать, что Риман стал душеприказчиком старого геттингенца. Наоборот, всем известно, что общались они крайне мало. И Риман никогда
      не был в числе тех немногих приближенных, с которыми король математики делился сокровенными мыслями. Может, до него доходили слухи о том, что Гаусс изме-рял углы какого-то треугольника. Может быть... В два-дцатых годах, когда Гаусс был занят геодезическом съемкой королевства Ганновер, он задумал проверить нельзя ли здесь, на Земле, опровергнуть пятый постулат. Для этой цели он измерил углы мысленно построенного им треугольника, вершины которого лежали на вершинах трех гор — Инзельсберг, Брокен и Хохер Хаген. Какова будет сумма углов, не окажется ли она меньше двух поямых? Вот что .волновало Гаусса.
      Конечно, результат получился отрицательный. 1е-перь мы знаем — наивно было думать, что для столь малых расстояний он окажется иным.
      Хотя измерение Гаусс производил в глубокой тайне, возможно, спустя тридцать лет Риман случайно узнал о нем, равно как и об отрицательном его результате. Но это не больше чем догадка. Скорее всего, из творчества Гаусса Риман знал лишь то, что было опубликовано.
      Когда Гаусс занимался геодезией, он создал одно из замечательных своих творений — теорию поверхностей и изложил ее в капитальном труде: «Общие исследования кривых поверхностей».
      Поверхности. Мы встречаемся с ними на каждом шагу. Можно построить или зрительно представить себе огромное их количество — самой различной формы.
      Простейшая — плоскость; знакомая нам с детства плоская поверхность пола, стола, шахматной доски.
      Вырежем квадрат, или треугольник, или круг. Положим их на стол и начнем поворачивать, крутить, передвигать с места на место. При всех этих манипуляциях ничего не пооизойдет; ни одна из этих фигур не изменит своей фоомы — не растянется и не сожмется, не согнется и не перекосится, и по-прежнему всеми своими частями будет прилегать к плоскости стола.
      Теперь попробуем те же квадрат, треугольник и круг даже просто любой листок бумаги наложить на другую, не менее знакомую нам с детства поверхность — на поверхность шара. Оказывается, все они оудут «сн деть» на шаре, как плохо сшитая одежда — топорщиться, отставать, собираться в складки.
      Причина отыскивается сразу: плоскость — плоская, и фигуры наши тоже плоские, а шар изогнутый, поверхность его имеет кривизну. Добавим, что кривизна таких выпуклых поверхностей считается положительной, имеет знак «плюс».
      Слово «кривизна» играет в геометрии очень большую роль. Для характеристики линий и поверхностей, для их описания понятие это в каком-то смысле решающее. Например, кривизна прямой во всех ее точках равна, естественно, нулю. То же будет и для плоскости.
      И окружность и шар имеют одинаковую в каждой точке, положительную кривизну. Однако, в отличие от нулевой кривизны, положительная кривизна может принимать разные значения. Чем оно больше, тем сильнее искривлена окружность или поверхность шара. Поэтому для описания окружности или сферы необходимо указать величину их кривизны.
      Правда, математики не говорят: «кривизна шара
      имеет такую-то .величину». Они скажут: «этот шар такого-то радиуса». Радиус шара и есть радиус кривизны его поверхности. А кривизна м радиус кривизны — величины обратные: чем больше радиус, тем меньше кривизна, и наоборот. У плоскости радиус кривизны становится бесконечным, а кривизна равна нулю.
      Л Кривизна — это внутреннее, присущее поверхности свбйство; можно было бы сказать: как человеку присущ его характер или цвет глаз. Но нет, так сказать нельзя. Кривизна — это основополагающее свойство поверхности. Именно с ней связаны, ею определяются законы геометрии, которая действует на данной поверхности. Уж если искать аналогию, то лучше сравнить кривизну со свойством человека быть человеком, homo sapiens, а не представителем другого вида млекопитающих. А вот уж численное значение кривизны или величины ей обратной — радиуса кривизны — можно сравнивать с характером человека. Если кривые и поверхности имеют сложную форму, то кривизна их может меняться от точки к точке. Поэтому, чтобы описывать такие кривые, надо или иметь величину радиуса кривизны в каждой точке, или знать закон, по которому эта величина меняется.
      Так как поверхности есть более сложные образования, чем кривые, — они имеют не одно, а два измерення то и понятие кривизны для них усложняется. Гаусс нашел, как описывать любую поверхность как произвольной форму. Существенную роль в описании играет, конечно, крйризна. Лучше всего для этой цели применять так называемую гауссову, или полную, КР визну. Не будем объяснять подробно и строго, что такое, постараемся дать о ней лишь некоторое пред-ставление.
      Если поверхность рассечь двумя взаимно перпенди-куляоными плоскостями, причем таким образом, что одна кривая пересечения плоскости с поверхностью будет иметь в точке пеоесечения наибольшую для этой точки кривизну, то окажется, что кривая пересечения, лежащая в перпендикулярной плоскости, автоматически будет иметь наименьшую кривизну. ... кпивизн — наибольшей и наименьшей — и называется полной, или гауссовой, кривизной. А радиусы кривизны этих двух кривых в точке их пересечения называются главными радиусами кривизны.
      После этого небольшого экскурса в теорию поверх ностей вернемся к известным нам объектам. Например, сечение плоскости плоскостями всегда дает прямые. Коивизна прямой всегда равна нулю Значит, кривизна плоскости тоже всегда равна нулю. И полная кривизна цилиндрической поверхности тоже равна нулю, хотя это может показаться странным на первый взгляд. Но если мы для определения ее поступим известным уже обр зо“ то увидим, что одно из взаимно перпендикулярных сечений даст нам окружность (сечение, мое образующей цилиндра), а второе — пр: ние по образующей). Кривизна первой будет тельной, а второй — нулевой. Ясно, что их произведе (...)
      У шара обе кривизны всегда положительны. Значи , будет положительной и полная кривизна.
      В этой книге мы познакомимся с целым классом поверхностей постоянной отрицательной кривизны — с чсевдосферическими поверхностями. Понятно и их название: «ложная сфера», «сфера наоборот», «антисфера» — так можно его перевести. Как и у шара, у пеев-досферических поверхностей постоянная кривизна. Только знак кривизны противоположный, «минус», а не «плюс». Это получается потому, что два главных радиуса всегда имеют противоположные знаки — один «плюс», а другой «минус». Естественно, что и произведение их всегда будет отрицательным.
      Одна из таких псевдосферических поверхностей похожа на седло. Здесь особенно наглядно видно, что если одна кривая сечения будет выпуклой, с положительной кривизной, то перпендикулярная ей кривизна окажется обязательно вогнутой — с отрицательной кривизной.
      Шар тоже можно «одеть» в ладно сидящую на нем одежду — сшитую из тех же треугольников, например. Точнее — из тех, да не совсем. Не из обычных «плоских» треугольников, а из так называемых сферических, выпуклых; они отличаются от плоских тем, что стороны их — отрезки дуги, а не прямой, и что сумма их углов больше 180°. Если кривизна поверхности такого треугольника будет та же, что и у шара, то он отлично уляжется на шаре, и с ним можно будет делать все, что угодно, — двигать, вращать — он по-прежнему будет соприкасаться с поверхностью шара всеми своими точками.
      Но зато на плоскости или даже на сферической поверхности другого радиуса такой треугольник почувствует себя неуютно; его придется деформировать или разрезать, чтобы наложить на «чужую» поверхность.
      Эти взаимоотношения сферических поверхностей с плоскостью давно уже были известны математикам. Неожиданным оказался характер псевдосфер. И не потому, что им не «подходят» ни плоские фигуры, ни сферические — чему тут удивляться. Удивительно было то, что им впору пришлась одежда, словно присланная из другого мира, одежда, скроенная из необычного материала — из кусков плоскости Лобачевского.
      Если вырезать кусок из гиперболической плоскости и наложить его на поверхность псевдосферы, получится полное прилегание. Этот кусок можно спокойно и безбоязненно вращать и передвигать — он будет всюду чувствовать себя на месте.
      Учение о поверхностях — большая заслуга Гаусса перед математикой. Особенно плодотворна главная его идея — изучать и описывать любую, сколь угодно сложную поверхность, опираясь на характеристики бесконечно малых ее элементов.
      Но в теории Гаусса, несмотря на ее широту и общность, содержались и ограничения.
      Какие?
      Прежде всего, Гауос рассматривает лишь поверхности, то есть области двух измерений. Конечно, Гауос и не ставил перед собой иной цели, ведь сочинение его так и называется — «Общие исследования кривых поверхностей», Так что, казалось бы, и спроса нет.
      Но как все-таки быть с трехмерным объектом, с пространством — или даже с пространствами? Можно ли тут употреблять множественное число? Можно ли говорить о кривизне? Гаусс не дает ответа.
      Бесспорно, это лежит йне темы сочинения Гаусса. Но разве это лежало вне круга его интересов? Мы-то знаем, что мысли о неэвклидовой геометрии занимали Гауоса постоянно. Значит, он понимал, что кривизна может быть присуща не только поверхности, но и пространству. И что пространство поэтому может быть не только эвклидовым — эвклидова кривизна равна нулю, — но и каким-то иным. То есть понимал, что логиче-, ски возможно существование не одного, а двух, даже нескольких пространств...
      Таково первое ограничение. Но есть и второе. Гаусс рассматривает поверхности как находящиеся в трехмерном эвклидовом пространстве, или, по словам Эйнштейна, как вложенные в эвклидово пространство. Действительно, все известные нам поверхности — двумерные образования — существуют в нашем обычном мире, но ведь на каждой из поверхностей царит своя геометрия (к примеру, еще древним были известны законы геометрии поверхности шара), и именно это определяет характер поверхности, а совсем не то, что она находится в пространстве Эвклида. «Связывание» поверхности с эвклидовым пространством есть некоторое ограничение, и поэтому — нарушение общности подхода к задаче.
      Было ли сочинение Гаусса о поверхностях трамплином для теории Римана? Вне сомнения, было. Но для того и трамплин, чтобы прыгнуть как можно дальше.
      Свою всеобъемлющую, по существу, геометрию Риман развил из двух генеральных идей. Со временем математики разглядели, что генеральные идеи были гениальными идеями.
      Прежде всего Риман отбросил ограничения при описании геометрических объектов — в этом суть первой из его идей. Тем самым он сумел достичь высокой степени общности в истолковании принципов и законов геометрии.
      Начнем с того места, где остановился Гаусс. Что нового вносит Риман в понятие поверхности — «дважды протяженной величины» по его терминологии? В самом наименовании в какой-то степени содержится ответ.
      Мы видели, какими разными бывают поверхности — от простейшей плоскости, до самых сложных, и внешний вид и геометрия которых меняется от точки к точке. Общее у них только одно: все они «дважды протяженные величины».
      Тогда разве не правильней рассматривать эти образования двух измерений сами по себе, исходя из их внутренних свойств, из присущей им геометрии? Разве обязательно, как это делает Гауос, связывать их с пространством Эвклида?
      Конечно, огромное их количество может быть построено, как говорят математики — осуществлено в виде поверхностей, находящихся в эвклидовом пространстве; их вполне описывает теория Гаусса.
      Но ведь есть и такие, которые целиком в эвклидовом пространстве не осуществляются. Мы теперь знаем, что в нем, например, нельзя построить — всю целиком — бесконечную плоскость Лобачевского. На псевдосфери-ческих поверхностях, принадлежащих пространству Эвклида, можно «уложить» лишь куски плоскости Лобачевского.
      Значит, надо вырваться из эвклидова мира хотя бы для того, чтобы не упустить возможности встретить эти новые для науки творения... Чего? Природы, человечесКОЙ мысли? К этому вопросу вопросов мы возвратимся не раз.
      Во все времена настоящего ученого никогда не покидает одно ощущение: как бы ни были сложны и неожиданны открывшиеся ему тайны мироздания, то, что сокрыто — или пока сокрыто — неожиданней и сложнее еще во сто крат. И это постоянное ожидание чего-то совершенно нового, готовность к встрече с ним есть истинная движущая сила науки.
      Так всегда было и будет.
      Природа часто не спешит раскрыть свои секреты и подтвердить догадку человеческого ума. Но раньше или позже сдается и она. Неожиданное, «противоестественное» становится бытом науки, сложное — простым и доступным даже рядовым служителям ее.
      На многовековом своем пути, долгом и непрерывном, наука претерпевает и резкие скачки. Они связаны с фундаментальными открытиями и с переворотами в мышлении, в миропонимании.
      Одним из таких скачков было создание неэвклидовой геометрии.
      Общенаучное и философское значение этого откры-тия — в расширении поля зрения человечества, в возможности доопытного и внеопыгного постижения мира — одной лишь силой мысли.
      Конечно, тут не было ничего похожего на отрицание опытного познания природы вещей. Лобачевский верил в опыт, он знал, что придет время, и опыт скажет свое решающее слово. Но пока, могущественный в одном, опыт бессилен во многом другом, и здесь лидерство переходит к теории, к чистому мышлению.
      У Римана сила абстрактной мысли была еще больше, мышление — еще шире и свободней, раскованней. Но за этим тоже стояла глубокая вера в опыт науки, опыт людей, в необходимость и неизбежность слияния этих двух форм познания.
      Риман, конечно, предвидел и предчувствовал всю еще не раскрытую сложность нашего реального мира. И, может быть, именно это послужило подспудной причиной стремления его освободиться от сковывающих законов пространства Эвклида.
      Риман хотел освободиться от ограничении и при решении частной задачи — при исследовании поверхностей.
      Вот почему даже поверхности, находящиеся в эвклидовом пространстве, он предложил описывать, исходя исключительно из присущих им особенностей, из внутреннего их строения. Он как бы «изымал» их на время из знакомого обиталища и исследовал самих по себе.
      Вдумаемся в слова «дважды протяженная величина»; уже сам только этот термин обещает расширение и обогащение геометрии.
      Человечество давно, задолго до Римана, обжило наше пространство — трижды протяженную величину.
      Но как существует множество поверхностей, так могут существовать, по крайней мере логически, и разные пространства, разные трижды протяженные величины — и это уже открытие Римана. Могут существовать и четырежды протяженные величины, вообще — многократно протяженные. Вспомним слова: «Я поставил перед собой задачу сконструировать понятие многократно протяженной величины».
      Такая постановка задачи раскрыла богатые возможности для обобщения геометрии: в ней самой уже были заключены оба направления, на которых Риман стал строить свою геометрию.
      Первое направление можно было, перефразируя Гаусса, назвать «общим исследованием кривых пространств»; здесь слово «пространство» означает трехмерное многообразие, или трижды протяженную величину. Тогда в эту семью попадает и наше родное плоское эвклидово пространство, и уже знакомое нам гиперболическое пространство, открытое Лобачевским, и разные другие. Одно из таких возможных пространств называет и сам Риман. Пройдет некоторое время, и наука с признательностью возьмет его в свой арсенал.
      На втором направлении растет число измерений протяженности — четыре, пять, сколько угодно — «п», как говорят математики. Однократно протяженная величина-линия; дважды протяженная — поверхность; трижды протяженная — пространство. Для большего числа измерений специальных названий нет. Поэтому говорят, что многократные протяженности образуют так называемые «гиперпространства», или «сверхпространства» различных степеней: четырехмерное, пятимерное... п-мерное — по числу своих измерений.
      Эти сверхпространства, в частности, подобно нашему эвклидову пространству, могут быть «плоскими», то есть иметь нулевую кривизну. Элементы теории плоских многомерных пространств разрабатывались геометрами и до Римана. Однако такие структуры никто не мог зрительно себе представить. Поэтому они не вызвали доверия у матехматиков. Их посчитали всего лишь условностями, совершенно нереальными.
      Риман построил теорию n-кратно протяженных многообразий в виде естественного обобщения теории трехмерного пространства, точно так же, как во все века математики привыкли законы построения фигур в плоскости обобщать на пространство: круг в плоскости соответствует шару в пространстве; треугольник в плоскости может «развиваться» и в конус и в пирамиду, квадрат — в куб и цилиндр. Это самые простые примеры. Но и для сложных принцип остается тот же.
      В отличие от своих предшественников, Риман не ограничивается «плоским случаем». Ведь как и поверхности, многократно протяженные величины вообще-то могут иметь какую угодно кривизну.
      Так происходит смыкание обоих направлений, синтез их. Однако, как мы увидим вскоре, и это еще не финал того развития и расширения геометрии, которым она обязана Риману.
      А пока постараемся сообразить, что же это такое — протяженная величина многих измерений, да еще некой, отличной от нуля кривизны?
      Представить ее себе очень трудно. Вероятно, это опять абстракция, продукт чистой математики? Да, казалось бы, это все-таки лишь логически сконструированное пространство; таких нет и не может быть в реальной жизни, в реальной Вселенной.
      Но вот появляется Минковский со своим четырехмерным миром пространства-времени: а затем Эйнштейн рассматривает этот четырехмерный мир, уже населенный материей, а потому не эвклидовый, не плоский, а обладающий кривизной...
      Впрочем, мы забежали вперед на полвека. Вернемся пока в Геттинген, в июнь 1854 года.
      Когда мы «примеряли одежду» различным поверхностям — плоской, сферическим, псевдосферическИхМ, — тo убедились, что подходит лишь та, которая скр ена из фигур, подчиняющихся непременному условию: визна их должна совпадать с кривизной поверхн сти Тогда одежда будет сидеть ладно, не топорщась, бе? складок, прилегая к поверхности всеми частями. такой материал можно любым образом прикладывать к поверхности, перемещать по ней, он всюду будет на месте. Наконец, из него можно выкроить мерки, этаЛ0НЫ и с их помощью производить различные измерен 3 и построения на данной поверхности: строить фигУРы равные данным, большие, меньшие и их измерять.
      Но, оказывается, существует и другой вид отношений в геометрии. Таких, когда плоской фигуре, например, разрешено находиться на шаре. Чтобы ей было удобнее сидеть на «чужой» поверхности, она может Растянуться или собраться в складки. Единственное, что ей запрещено, это разорвать поверхность шара и оказаться, хотя бы частично, на внутренней его стороне Или самой разорваться и склеиться каким-то дрУгим образом.
      Этот новый вид геометрических отношений опрелеляется взаимным расположением фигур, а значит, словами «внутри», «вне», «между» и им подобными.
      KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ