ПРЕДИСЛОВИЕ
В геометрии известна замечательная теорема венгерского математика Фаркаша Ббльаи: если два многоугольника равновелики (т. е. имеют равные площади), то всегда возможно один из них расчленить на коночное число таких многоугольников, из которых может быть составлен второй.
Это значит, что если взять, например, квадрат, то без всякой потери площади его можно превратить в правильный пятиугольник или правильный шестиугольник, в один или несколько равносторонних треугольников и т. д.
Такое перекраивание квадрата в другую фигуру может быть осуществлено не единственным способом, но потребуется проявить большую находчивость и изобретательность, чтобы найти хотя бы один подходящий способ.
Допустим даже, что квадрат уже разрезан на необходимое число частей. Надо и теперь немало потрудиться, чтобы соответствующим переложением этих частей получить заданную фигуру.
Однако именно с этих упражнений полезно начать. Поэтому в первой главе мы предлагаем читателю несколько задач-головоломок на составление разнообразных фигур из частей квадрата (своего рода «геометрический конструктор»).
Мы предлагаем 12 квадратов, которые можно перерисовать, раскрасить в разные цвета, наклеить на плотный картон, разрезать по начерченным линиям, уложить в коробочку и на досуге развлекаться получившейся занимательной и полезной головоломкой.
Вторая глава — следующий шаг в развитии кон-структорской смекалки. В этой главе рассматриваются геометрические способы раскройки квадратов для головоломок первой главы, обоснование возможности превращения фигур и ряд задач для самостоятельного решения, но уже требующих от читателя более активной, творческой работы в перекройке фигур, так или иначе связанных с квадратом.
Привлекательность этих задач — в возможности различных решений. Одни из них, решённые ещё в глубокой древности, как увидит читатель, получили со временем лучшие решения, другие — до сих пор имеют «спортивный» интерес и нередко фигурируют на математических олимпиадах.
Упражнения в конструировании фигур из частей квадрата являются не только полезной геометрической забавой, но имеют и практический смысл: они могут помочь нашим читателям, будущим и настоящим новаторам производства, в рациональном раскрое материалов, в использовании так называемых «отходов» — обрезков кожи, ткани, дерева и т. п., для превращения их в полезные вещи. «Если закройщик на каждой паре обуви сэкономит хотя бы обрезок кожи площадью в 0,8 дм2, — один только цех одной обувной фабрики даст стране 100 тысяч пар обуви без дополнительных затрат сырья»,— говорил стахановец, закройщик московской фабрики «Парижская Коммуна» В. Матросов.
Известно много примеров огромной экономии, достигнутой стахановцами за счёт продуманного изменения раскроя промышленных материалов.
В третьей главе мы рассказываем о некоторых замечательных свойствах квадрата и неожиданных аналогиях, например об аналогии (ещё никогда не освещавшейся в нашей литературе) между задачей о делении прямоугольника на конечное число квадратов и правилами Кирхгофа для электрической цепи.
В частности, мы приводим пример деления квадрата на 26 не равных друг другу квадратов и тем самым рассеиваем сомнения, высказанные Г. Штейнгаузом в известной книжке «Математический калейдоскоп», что «неизвестно также, можно ли разбить квадрат на неповторяющиеся квадраты».
В небольшом послесловии мы знакомим читателя с одним остроумным геометрическим приёмом расчёта наиболее экономного раскроя листового материала, разработанным советскими учёными-математиками.
В конце каждой главы приведены решения задач, предложенных читателю.
Первая глава (головоломки) доступна всем. Содержание второй и третьей глав требует от читателя неболь-ших познаний в элементарной геометрии — примерно в объёме 7—8 классов средней школы — ив то же время способствует расширению его геометрических представлений. Читать эти главы следует, вооружившись карандашом и бумагой, проделывать вслед за текстом необходимые вычисления и выполнять решения задач. Каждая глаза самостоятельное целое; читатель, в зависимости от степени своего интереса, может ограничиться только первой главой или только третьей.
Полагаем, что тема книги интересна для школьных математических кружков.
Просим читателей сообщить нам свои критические замечания и пожелания по адресу: Москва, Орликов пер., 3, Государственное издательство технико-теоретической литературы.
Б. Кордемский, Н. Русалев
Глава 1
ПРЕВРАЩЕНИЯ КВАДРАТА
23 головоломки
В умелых руках любознательного человека самый ооыкновенный, хорошо всем знакомый квадрат становится удивительной геометрической фигурой.
Он может, например, весь без остатка превратиться в другую фигуру или в несколько других фигур правильной или неправильной формы. Но для каждого превращения квадрат предварительно должен быть разрезан на определённые части.
На страницах 10—25 этой главы вы найдёте 12 квадратов одинакового размера.
На квадратах начерчены линии для разреза, каждый квадрат имеет свой номер и изобраи ён в двух видах: один — большого размера, а другой (заштрихованный) — поменьше.
Прежде всего все 12 квадратов (больших!) перерисуйте на цветную бумагу разной окраски или на цветной картон.
При перечерчивании квадратов на бумагу все необходимые размеры снимайте аккуратно циркулем с наших рисунков. Можно использовать и копировальную бумагу. Если нет цветной бумаги, перерисуйте на белую (например, накладывая на рисунок бумагу, которая немного просвечивает). Важно только, чтобы вег линии, начерченные на квадратах, были скопированы как можно точнее.
Квадраты, перерисованные на белую бумагу, раскрасьте цветными карандашами или красками (очень ровным слоем), каждый в свой цвет, подобрав для этого 12 различных оттенков.
Примерная раскраска всех двенадцати квадратов показана на последней странице обложки этой книжки, но, разумеется, не является обязательной; можно выбрать и другие цвета. Только последний квадрат (№ 12) должен быть непременно чёрным. Каждый цветной квадрат наклейте на тонкий картон. Закрасьте тем же цветом и оборотную сторону картона (нам могут понадобиться обе стороны), затем вырежьте квадрат и разрежьте на части по начерченным линиям.
Резать следует очень аккуратно и не ножницами, а острым ножичком или бритвой, пользуясь чертёжной линейкой.
Чтобы не растерять части, сделайте для квадратов коробочку по такой выкройке:
В составлении любой фигуры (за исключением особо сговоренных случаев) должны участвовать все части одного цвета.
Из частей одноцветных квадратов вы можете составлять также и новые фигуры, не указанные в головоломках этой главы.
Предупреждаем, что некоторые из наших квадратов своенравны: из них не легко составить новые фигуры или, наоборот, составленную фигуру превратить обратно в квадрат и уложить в коробочку.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
ЛИТЕРАТУРА
В заключение укажем несколько математических работ, дополняющих нашу книгу; мы вынуждены при этом отметить, что из известных нам книг почти все пригодны лишь для читателя, математически хорошо подготовленного.
1) В. Ф. Каган, О преобразовании многогранников.Изд. второе, Гостехиздат, 1933.
Доказательство теоремы Ф. Больаи, раскрытию содержания которой на примере квадрата посвящены две трети пашей книги, данное самим Больаи, очень громоздко и в настоящее время интереса не представляет. Годом позже германский офицер Гервин дал доказательство теоремы Больаи более простым и изящным методом, но, занимаясь математикой только-как любитель, он, естественно, не смог изложить его чётко и доходчиво.
Советский геометр, лауреат Сталинской премии, профессор В. Ф. Каган обработал мемуар Гервина и с большим педагогическим мастерством довёл доказательство теоремы Больаи до предельной ясности и простоты. В этой части его книга «О преобразовании многогранников» доступна не только учителям и студентам-матема-тикам, для которых она написана, но и ученикам старших классов средней школы.
Значительно более трудным является вопрос об аналогичном преобразовании многогранников. Оказалось, что преобразование многогранника в другой, равновеликий ему, путём перегруппировки частей возможно только в редких случаях и при особых условиях. Доказательство и этого предложения долгое время было доступно лишь узкому кругу математиков-спепиалистов.
В. Ф. Каган в своей книге на основе принципов, до него никем не использованных, дал очень простое доказательство этого предложения.
2) Д. И. Перепёлкин, Курс элементарной геометрии, ч. 1, Гостехиздат, 1948.
Книга предназначена для студентов-математиков и учителей. Пригодна также и длч сильных учеников старших классов средней школы. Имеется достаточно подробная теория равиовелпкости и равносоставленности многоугольников, в частности—доказательство теоремы Ф. Больаи (в книге теорема не названа именем Больаи).
3) Н. М. Бескин, Методика геометрии. Учпедгиз, 1947.
Книга написана для учителей и студентов педагогических институтов. Охарактеризована сущность теории площадей; имеются дополнительные сведения о равносоставленности и доказательство теоремы Больаи.
4) Янош Больан, Аппендикс. Гостехиздат, 1951.
Книга написана для знающих неевклидову геометрию, но имеющийся в книге очерк о жизни и деятельности Фаркаша Больаи изложен популярно.
5) М. Е. Ващенко-Захарченко, История математики, т. 1, 1883 (имеется в Госуд. библиотеке им. В. И. Ленина, Москва).
В книге можно найти, в частности, сведения об Абул Вефе и его работах. Изложение популярное.
6) Я. И. Перельман, Занимательная геометрия. Под редакцией и с дополнениями Б. А. Кордемского. Гостехиздат, 1951.
Популярно изложен вопрос о фигурах с наибольшей площадью при данном периметре или с наименьшим периметром при данной площади.
7) The Dissection of Rectangles into squares (Duke Mathematical Journal), декабрь 1940.
В большой статье, написанной для специатистов-математиков, подробно рассматривается одно из возможных решений проблемы деления прямоугольника и квадрата на неповторяющиеся квадраты.
8) П. Л. Чебышев, О кройке одежды. Успехи математических наук, т. 1, вып. 2.
Для хорошо знающих высшую математику.
9) В. Е. Прудников, П. Л. Чебышев — ученый и педагог. Учпедгиз, 1950.
Книга знакомит с жизнью и деятельностью П. JI. Чебышева, гениального русского математика.
10) Л. В. Канторович и В. А. За лгал л ер, Расчёт рационального раскроя промышленных материалов. Ленинградское газетно-журнальное и книжное изд-во, 1951.
Книга для мастеров, инженеров и плановиков, подробно знакомящая читателей с разработанной авторами теорией и практикой решения задач о рациональном раскрое материалов.
|
