|
ПРЕДИСЛОВИЕ
Когда мы перелистываем страницы научно-популярного журнала, то вольно или невольно взгляд, скользнув по иллюстрациям, останавливается на занимательных задачах. Необычность ситуации, неочевидность ответа на поставленный вопрос заинтриговывает нас, и мы начинаем нелегкий поиск пути, ведущего к решению задачи.
Многие считают занимательные задачи средством для приятного времяпрепровождения, отдыха, но если вдуматься, то становится ясной их гораздо более важная роль. Несомненно, что именно занимательные задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Если человеку в течение жизни приходится, скажем, десяток раз оказаться в затруднительном положении, выход из которого можно найти с помощью логических рассуждений, то задачи предоставляют ему такую возможность сотни раз уже в детстве и юности, именно тогда, когда формируется его интеллект. Не зря люди передавали эти задачи устно и письменно из поколения в поколение.
Одной из таких эстафетных палочек является и книга, которую вы держите в руках. Автор собрал в ней несколько сотен задач, среди которых и совсем свежие, и такие, возраст которых исчисляется тысячелетиями. Множество иллюстраций делает книгу особенно привлекательной для школьников, которым она в первую очередь и адресована.
Автор книги Иоханнес Леман, главный редактор научно-популярного математического журнала ГДР «Альфа», считает, что наибольшую пользу занимательные задачи приносят детям 12—13 лет, поскольку до этого у них еще нет достаточного жизненного опыта и запаса знаний.
Представляя книгу И. Лемана, хочется отметить чрезвычайно широкую палитру задач, включенных в сборник: от «чисто
математических» до таких, которые, казалось бы, к математике не имеют прямого отношения, например: «Как выглядит с изнанки шнуровка тапочек, изображенных на рисунке?» Не менее широк и спектр трудности задач: от совсем легких, решаемых «в уме» первоклассниками, до таких, которые могут заставить надолго задуматься и специалиста с высшим образованием. Правда, нужно отметить, что для решения задач, как правило, достаточно знаний школьников 5—б-х классов. Задачи проверяют не знания, а умение логически рассуждать, они учат этому умению.
В заключение хочется отметить большое количество коротких занимательных историй на математические темы, умело вкрапленных автором в текст книги.
Желаю читателям получить максимум удовольствия в занятиях «интеллектуальной гимнастикой», возможность для которой предоставляет читателю эта книга.
А. П. Савин
Часть 1 ЗАДАЧИ
Голубыми цифрами набраны номера страниц, на которых начинаются главы с условиями задач в первой части книги, черными — номера страниц с решениями в конце книги.
9 Пестрые картинки из разных стран 148
17 Античные этюды 153
25 Школьные истории 160
32 Старое и новое из практики 166
39 Минуту на размышление 173
47 Арифметика с птичьего полета 180
55 Занимательная геометрия 189
63 Тренировка по современной мате-
матике 195
7! Математика на каждом шагу 204
79 Слово знаменитым математикам 213
86 Наша секция игр 220
94 Путь, время, скорость 222
101 Беседы на естественнонаучные темы 230
I08 Напряженное расписание 236
! J6 Вокруг циркуля и линейки 245
124 Игра с числами 253
132 Огонь математических олимпиад 256
139 По разным странам 263
Не знание, а изучение, не обладание, а приобретение, не существующее, а грядущее доставляет величайшее наслаждение.
Из письма К. Ф. Гаусса Яношу Бойяи.
ПЕСТРЫЕ КАРТИНКИ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН
Математика не принадлежит какому-нибудь одному народу, она поистине интернациональна. Нет ни одной страны, которая не поддерживала бы с математикой дружеских отношений, не приумножала ее сокровищ и славы.
А. И. Маркушевич
1. Франция. Во время летнего пикника четыре супружеские пары выпили 32 бутылки лимонада. Жены выпили: Жанна — 1 бутылку, Жаклин — 2 бутылки, Колетта — 3 бутылки и Анетта — 4 бутылки. Мужья не уступили женам: месье Пон выпил столько же, сколько его жена, месье Дюбуа — вдвое больше своей жены, месье Пейзан — втрое и месье Фонтен — вчетверо больше своих жен.
Как зовут мадам Пои, Дюбуа, Пейзан и Фонтен?
2. Вьетнам. Эта задача известна с давних времен. Во вьетнамских деревнях старики-рисоводы любят задавать ее молодежи. Так задача переходит от поколения к поколению.
Для кормления 100 буйволов заготовили 100 охапок сена.
Стоящий молодой буйвол съедает 5 охапок сена.
Лежащий молодой буйвол съедает 3 охапки сена.
Старые буйволы втроем съедают 1 охапку сена.
Сколько молодых буйволов стоят, сколько лежат и сколько буйволов старых?
3. Югославия. Расставьте числа (в рамке слева) и знаки арифметических действий (в рамке справа) так, чтобы в каждой строке получились правильно решенные арифметические примеры.
4. СССР. На обочине шоссе стоят километровые столбы. Шоссе ведет из пункта А в пункт В. На каждом столбе указано расстояние в километрах как от пункта А, так и от пункта В. Расстояние от Л до В составляет 999 км.
На скольких километровых столбах обе надписи используют только 2 различные цифры?
5. Австрия. «Подальше положишь — поближе возьмешь». Перед нами хитрый крот. Между своей спальней А и выходом Е он проложил хитроумную систему ходов и камер. Каждое утро крот следует из £ в Л и по дороге проходит через свою запасную кладовую. Интересно, что отыскивает он ее по определенному правилу. Если крот достигает выхода Е, миновав 3, 5, 7, 9 или 11 промежуточных остановок (обозначенных на плане кружками), то кладовая остается в стороне. Если же крот добирается до выхода Е после четного числа промежуточных остановок, то по дороге он непременно наталкивается на запасную кладовую.
Между какими двумя камерами расположена запасная кладовая хитрого крота?
6. Болгария. Отец по имени Николай с сыном и отец по имени Петр с сыном отправились удить рыбу. Число рыб, пойманных Николаем, оканчивается на 2, а число рыб, пойманных его сыном, — на 3, число рыб, пойманных Петром, также оканчивается на 3, а число рыб, пойманных его сыном,— на 4. Число рыб, пойманных нашими рыболовами вместе, совпадает с квадратом некоторого натурального числа.
Как зовут сына Николая?
7. Дания. Рыбаки Адам, Бауэр, Кристиансен и Дазе (сокращенно А, В, С п D — по первым латинским буквам их имен), взвесив свой улов, установили следующее:
(1) D поймал больше, чем С.
(2) А и В вместе поймали столько же, сколько С и D (вместе).
(3) А и D вместе поймали меньше, чем В м С (вместе).
Расположите результаты взвешиваний уловов а, Ь, с и d рыбаков А, В, С и D по величине.
Математик или футболист?
Однажды братья — физик Нильс Бор и математик Гаральд Бор — вместе с приятелем отправились на прогулку по улицам Копенгагена. К удивлению приятеля, прохожие довольно часто здоровались с Гаральдом, Нильса же никто не приветствовал. «По-видимому, математики в Копенгагене котируются высоко»,— заметил приятель. Нильс Бор возразил ему: «Не математики, а Гаральд. Ведь он любимый футболист нашего города!»
8. Венгрия. Учитель начертил на классной доске четырехугольник. Янош утверждал, что это квадрат. Имре считал, что четырехугольник — трапеция. Мария думала, что на доске изображен ромб. Эва назвала четырехугольник параллелограммом. Выслушав каждого и обстоятельно изучив свойства четырехугольника, учитель установил, что ровно 3 из 4 утверждений истинны и ровно 1 утверждение ложно.
Какой четырехугольник начертил учитель на классной доске?
9. Греция. Четырежды пять — двадцать: составьте из любых четырех фигур пентамино прямоугольник со сторонами 4X5.
Сколько решений допускает эта задача? (Сторона клетки считается равной единице. Каждая фигура пентамино состоит из 5 квадратов.)
10. США. Джон Гаррис из г. Санта-Барбара изобрел новую игру. «Путешествие перекатывающейся игральной кости».
Для того чтобы нам легче было следить за маршрутом игральной кости, выкрасим одну из ее граней в какой-нибудь цвет. С одного поля шахматной доски на соседнее игральная кость «путешествует», перекатываясь через ребро, совмещенное с общей стороной этих двух полей.
А теперь решим задачу.
Поставьте игральную кость на левое верхнее поле шахматной доски цветной гранью вверх. Можете ли вы указать маршрут, «путешествуя» по которому, игральная кость побывает по одному разу на всех полях шахматной доски и окажется в правом верхнем углу цветной гранью вверх? Во время путешествия из угла в угол цветная грань игральной кости (так гласят правила игры) нигде, кроме начального и конечного поля, не должна быть обращена вверх.
11. ФРГ. На рисунке вы видите различные предметы (бокалы, чашки, бутылки и кувшины), уравновешенные на чашах настольных равноплечих весов.
Сколько бокалов, чашек и бутылок понадобится, чтобы уравновесить 3 кувшина?
12. Бельгия. Найти трехзначные числа вида abc, цифры которых удовлетворяют уравнению а2 — b2 — с2=а — Ь — с (все 3 цифры числа должны быть различны).
13. Италия. Разделить заданный треугольник с помощью зигзагообразной ломаной на 5 равновеликих частей.
14. ГДР. Во время перемены в классе оставались Ангелика, Бернд, Вольфганг и Мануэла. Кто-то из них разбил стекло. Учитель опросил ребят и получил от каждого по три ответа.
Ангелика: 1. Окно разбила не я.
2. Я сидела в классе и читала.
3. Мануэла знает, кто разбил окно.
Бернд: 1. Это сделал не я.
2. С Мануэлой я уже давно не разговариваю.
3. Окно разбил Вольфганг.
Вольфганг: 1. Я не виноват.
2. Окно разбила Мануэла.
3. Бернд лжет, когда утверждает, будто окно разбил я.
Мануэла: 1. Окно разбила не я.
2. Ангелика разбила окно.
3. Бернд знает, что я не виновата, ведь на перемене мы с ним играли вместе.
Кроме того, каждый из них признался, что из трех ответов два истинных и один ложный.
Кто разбил окно?
АНТИЧНЫЕ ЭТЮДЫ
Когда радость особенно велика?
Когда удается достичь желаемого.
Фалес Милетский
1. Фу Ши (около 3000 г. до н. э.). В обозначениях Фу Ши
знак ~ — : означал 6,
знак — — означал 1
и знак ЕЕ: означал 3.
а) Что означал знак ЕЕЕ__ЕЕ?
б) Сколько и каких знаков можно составить из трех сплошных или состоящих из двух разделенных промежутком отрезков линий?
2. Из Древнего Вавилона (около 2000 г. до н. э.). Длина и /4 ширины вместе составляют 7 ладоней, а длина и ширина вместе — 10 ладоней. Сколько ладоней составляют длина и ширина в отдельности?
3. Из древнеиндийской математики (около 2000 г. до н. э.). В Древней Индии математика распространялась как своего рода спорт. Для решения сложных задач устраивались состязания в присутствии многочисленных зрителей. Некоторые индийские руководства
математики были написаны как учебные пособия по проведению подобных состязаний —
для повышения мастерства любителей умственного спорта. Автор одного из таких учебников писал: «Следуя приведенным здесь правилам, можно придумать тысячи других задач. Подобно тому, как солнце затмевает своим сиянием звезды, слава ученого человека, поставившего и решившего алгебраическую задачу, затмевает славу других ученых в многолюдном собрании». Весь учебник этого автора написан в стихах. Приведем лишь одну из задач, но не в стихотворном, а в прозаическом варианте.
«Пчелы числом, равным квадратному корню из полного числа их во всем рое, сели на куст жасмина, 8/» пчел полетели назад к рою. И только одна пчела из того же роя кружилась над цветком лотоса, привлеченная жужжанием подруги, неосторожно угодившей в ловушку сладко благоухающего цветка.
Сколько всего пчел было в рое?»
4. Арифметика древних китайцев (2000 г. до и. э.). В центре квадратного пруда шириной 10 шагов растет камыш, возвышающийся на 1 шаг над поверхностью воды. Если, стоя на берегу водоема, притянуть камыш к середине любой из сторон, то он как раз касается края пруда.
Какова глубина пруда?
5. Пифагор Самосский (около 580—501 гг. до н. э.). Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. «Охотно скажу тебе, о Поликрат»,— отвечал Пифагор.— «Половина моих учеников
изучает прекрасную математику, четверть исследует тайны вечной природы, седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины».
Сколько учеников было у Пифагора?
7. Евклид (около 300 г. до и. э.). Однажды мула и осла нагрузили зерном. По дороге мул сказал ослу: «Если бы ты уступил мне одну меру своего груза, то я нес бы вдвое больше зерна, чем ты. А если бы я уступил тебе одну меру своего груза, то мы оба несли бы зерна поровну».
Сколько мер зерна нес мул и сколько осел?
8. Из папируса Ринда (около 1700 г. до
и. э.). Этот папирус, найденный в конце прошлого века англичанином Риндом, представляет собой фрагмент другого более древнего египетского труда по математике, относящегося, по-видимому, к 111 тыс. до н. э. Приведем две задачи из папируса Ринда.
а) Некий математик насчитал на выгоне
древние греки чертили такой крест на хлебах, считая его символом 70 коров. «Какую долю от всего стада составляют эти коровы?» — спросил математик у пастуха. «Я выгнал пастись две трети от трети всего стада»,— отвечал пастух.
Сколько голов скота насчитывается во всем стаде?
Встречаются в древнем папирусе и чисто формальные задачи, например следующая:
б) Найдите х из уравнения
9. Гиппократ Хиосский (около 440 г. до
и. э.). Гиппократ начертил квадрированные им лунки и установил: сумма площадей двух луночек Mi и М2 (заполнены точками) равна площади треугольника ABC.
Докажите это утверждение.
10. Шен Кан (ум. в 152 г. до н. э.). Три снопа хорошего урожая, 2 снопа среднего урожая и 1 сноп плохого дают 39 доу (старинная китайская мера) зерна. Два снопа хорошего урожая, 3 снопа среднего и 1 сноп плохого дают 34 доу зерна. Один сноп хорошего, 2 снопа среднего и 3 снопа плохого урожая дают 36 доу зерна.
Спрашивается: сколько доу зерна дает 1 сноп хорошего, 1 сноп среднего и 1 сноп плохого урожая?
11. Архимед (287—212 гг. до н. э.). Существует общая формула для вычисления площади двух «арбелосов», или «сапожных ножей»,
покрытых на рисунке точками. Эту формулу вывел Архимед. Вот она:
где t — длина отрезка АВ.
Выведите формулу Архимеда.
12. Герои Александрийский (I в. до н. э.).
Из-под земли бьют четыре источника. Первый заполняет бассейн за 1 день, второй — за 2 дня, третий — за 3 дня и четвертый — за 4 дня.
За сколько времени наполнят бассейн все 4 источника вместе?
13. Римский математик (около I в. до н. э.).
Адвокаты в Древнем Риме имели обыкновение задавать друг другу задачи. Одна из таких задач гласит:
«Некая вдова должна разделить оставшееся после смерти мужа наследство в размере 3500 динариев с еще не родившимся ребенком. По римским законам, если родится сын, то мать получает половину причитающейся ему доли, а в случае рождения дочери мать
получает вдвое больше нее. У вдовы родились близнецы — сын и дочь.
Как разделить наследство, чтобы все требования закона были соблюдены?»
14. Диофант Александрийский (III в. н. э.).
По двум данным числам 200 и 5 найти третье число, которое, если его умножить на одно из них, дает полный квадрат, а если его умножить на другое число, дает квадратный корень из этого квадрата.
15. Великолепную задачку мы находим в собранных много веков назад арабских сказках «1001 ночь» (ночь 458-я):
«Стая голубей подлетела к высокому дереву. Часть голубей села на ветвях, а другая расположилась под деревом. Сидевшие на ветвях голуби говорят расположившимся внизу: «Если бы один из вас взлетел к нам, то вас стало бы втрое меньше, чем нас всех вместе, а если бы один из нас слетел к вам, то нас с вами стало бы поровну».
Сколько голубей сидело на ветвях и сколько под деревом?
16. В старинной персидской легенде «История Морадбальса», также вошедшей в сборник «1001 ночь», мудрец задает юной деве следующую задачу.
«Одна женщина отправилась в сад собрать яблоки. Чтобы выйти из сада, ей нужно было пройти через 4 двери, у каждой из которой стоял стражник. Стражнику у первых дверей женщина отдала половину сорванных ею яблок. Дойдя до второго стражника, женщина отдала ему половину оставшихся яблок. Так же она поступила и с третьим стражником; а когда она поделилась яблоками со стражником у четвертых дверей, то у нее осталось лишь 10 яблок.
Сколько яблок она собрала в саду?»
Ученик спросил у Евклида: «Какая выгода от того, что изучу все это?» Евклид позвал своего раба и приказал, указывая на юношу: «Дай ему 3 обола! Несчастный должен непременно получать выгоду от того, что он изучает!»
ШКОЛЬНЫЕ ИСТОРИИ
Умение решать задачи — такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения.
Дьердь Пойа
1. Учащиеся одного класса написали кон1-трольную по математике. Треть из них неверно решила по 1 задаче, четвертая часть класса неверно решила по 2 задачи, ‘/б — по 3 задачи и */в — неверно решила все 4 задачи.
Сколько учеников правильно решили все задачи, если в классе не более 30 человек?
2. Лучшего математика из 5 «А» класса попросили отгадать натуральное число, о котором его друзья высказали следующие утверждения.
Вольфганг: Это, число простое.
Карин: Это число 9.
Петер: Это число четное.
Росвита: Это число 15.
Известно, что Вольфганг и Карин вместе высказали ровно одно истинное утверждение (так же, как Петер и Росвита).
Что это за число?
3. Для школьной мастерской купили 29 деталей на 29 марок. Детали были трех сортов: по 10 марок, по 3 марки и по 50 пфеннигов за штуку. Каждого сорта куплено не менее 1 детали. Деталей других сортов среди купленных не было.
Сколько деталей каждого из трех сортов куплено?
4. Для нумерации страниц учебника, по словам учителя, потребовалось 6869 цифр. Его хитроумные ученики тотчас же сообразили, сколько страниц в книге.
Как они подсчитали, сколько страниц в учебнике?
KOHEЦ ФPAГMEHTA
|
