Из путешествия читатель возвратится обогащенным понятиями и методами теории вероятностей, знанием областей ее применения. Брошюра будет полезна всем, кто интересуется миром случайного.
РАССУЖДЕНИЯ, НА ОСНОВЕ КОТОРЫХ ЧИТАТЕЛЬ РЕШАЕТ, СТОИТ ЛИ ЧИТАТЬ ДАЛЬШЕ
В «Литературной газете» стало традиционным оценивать научно-популярные книги, приводя мнения видных ученых, выступающих в роли экспертов. Вот какие оценки может получить та или иная книга: «следует прочитать обязательно», «следует прочитать», «можно не читать», «читать не стоит».
Попытаюсь оценить по этой системе предлагаемую вниманию читателей книгу.
Немногим более двух веков прошло с момента возникновения теории вероятностей как науки. С тех пор, и особенно в последние десятилетия, она интенсивно и успешно развивается. Естественно, что появился ряд книг по теории вероятностей и по различным областям знаний, само возникновение которых без этой теории и ее методов было бы попросту невозможным. Это и теория массового обслуживания, и теория надежности, и теория управления запасами, и демография, и статистика, и многие, многие другие.
Среди книг по теории вероятностей можно назвать «Письма о вероятности» А. Реньи, «Беседы о надежности» Г. Сорина и А. Лебедева, «Беседы о массовом обслуживании» Б. Гнеденко, «Этот случайный, случайный, случайный мир» Л. Растригина, «Случай» Э. Бо-реля и др. Одни из них служат введением в круг вопросов теории, другие в популярной форме знакомят с ее достижениями, приложениями, третьи доступны только хорошо подготовленному читателю.
В предлагаемой книге автору удалось решить одновременно две задачи. Во-первых, ввести читателя в круг вопросов (неизбежно неполный) теории вероятностей, ознакомить с такими основными ее понятиями, как статистическая вероятность, независимые события, полная группа событий, закон распределения, математическое ожидание и др.; с такими основными правилами, как сложение и умножение вероятностей; с законом больших чисел. Во-вторых, совершить вместе с читателем краткие экскурсы в теорию надежности и демографию, теорию статистических решений и языкознание, затронуть вопросы передачи данных.
Читатель, желающий получить представление о некоторых приложениях теории вероятностей, не нашедших должного освещения в научно-популярной литературе, будет удовлетворен. Причем структура брошюры позволяет, без ущерба для понимания, опустить места, где автор делает своего рода отступления, чтобы объяснить читателю то или иное положение из теории вероятностей.
Другой читатель, цель которого прикоснуться к царству вероятности, войти в мир случайного, получит достаточный багаж для дальнейшего проникновения в этот мир.
Удовлетворен будет, наконец, и более требовательный читатель, который захочет одновременно ознакомиться с основными положениями теории вероятностей и заглянуть в некоторые ее прикладные области.
И к какой бы из этих категорий ни относился читатель, для понимания книги ему не надо специальной математической подготовки. Большинство приводимых формул, расчетов предполагает знания только школьного курса математики, и потому брошюра доступна весьма широкому кругу читателей.
Можно ли было совсем обойтись без математики? Здесь уместен ответ словами Дж. Пирса: «Меньше математики — это можно, а вот совсем исключить математику нельзя». И это справедливо, ведь теория вероятностей — теория математическая. Автор, пожалуй, следует совету Пирса — не нагромождает формулы, но и не обходит их там, где это невозможно.
Брошюра построена в форме живой беседы с читателем, которого автор призывает то в собеседники, то в помощники, предостерегая от ошибок.
Чтобы не утомить читателя, и в то же время не отвлекать от основной задачи, автор вплетает в текст интересные аналогии, забавные истории, позаимствованные из художественной литературы. Это криптограмма из «Золотого жука» Э. По и задачи о гонце, сказка о весне и история о восьминогом зайце, отрывки из «Двенадцати стульев» и «Братьев Карамазовых».
«Следует прочитать обязательно» — такую оценку хочется дать этой книге.
Д. Гранин назвал философов людьми, которые знают все ни о чем, в отличие от узких специалистов, которые знают ничего обо всем. Это, конечно, шутка. Но если уподобиться философам Д. Гранина и захотеть получить представление, пусть не полное, не всегда глубокое, но о широком круге вопросов из мира, где властвует случайность, прочтите эту книжку.
В. Д. Белоусов, член-корреспондент АПН СССР, доктор физико-математических наук.
Вместо введения
Нас окружает большой и сложный, противоречивый и интересный мир. От того времени, когда запас знаний наших далеких предков ограничивался несколькими словами и умением считать до двух, когда Архимед, купаясь в ванне, заметил, что тело его, погруженное в воду, I уменьшается в весе, выскочил из ванны и голый бежал по Сиракузам с криком «Эврика!» — «нашел!», нас отделяют великие открытия физики и астрономии, кибернетики и математики, биологии и медицины, атомные электростанции и космические корабли. Такие грандиозные успехи обусловлены исключительной любознательностью человеческого ума, его стремлением проникнуть в самую суть окружающих явлений.
Мир случайностей, мир вероятностей. Сюда человеческий ум проник сравнительно недавно. Это понятно и оправдано и с исторической точки зрения — привычнее были неслучайные явления, труднее было привыкнуть к мысли, что за случайным кроется постоянство объективных закономерностей.
Правда, еще в древности в языческих храмах воля бортов предсказывалась с помощью игральной ко'сти. Каждая кость имела шесть граней, но из них только четыре ; были достаточно плоскими, чтобы кость могла на них лежать. Естественно, такие кости давали богам большую возможность вмешательства. В могилах фараонов тоже : находили два вида игральных костей: одни — «честные», другие — с умышленно смещенным центром тяжести, чтобы они неодинаково часто падали на разные грани.
Но зарождение исчисления вероятностей относится к XVII веку. Первые работы французов Паскаля и Ферма и голландца Гюйгенса появились в середине века и посвящены подсчетам в азартных играх. Сочинение Гюйгенса, например, так и называлось: «О расчетах в азартных играх». Однако, как писал автор, «читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории».
Теория вероятностей в своем развитии прошла четыре этапа. И немаловажную, а порой и первостепенную роль играли в этом русские, а впоследствии и советские ученые. П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов, А. А. Марков, М. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Е. Е. Слуцкий, В. И. Романовский — список имен можно продолжить.
Особенно бурно развивается теория вероятностей сегодня, проникая в различные области науки и техники.
(Проблемы надежности... Телевизоры и радиоприемники, холодильники и магнитофоны прочно вошли в наш быт. Но они не проработали бы и дня, если бы о их надежной, а значит долгой и иоправной работе не позаботились их создатели. А вычислительные машины, системы запуска космических кораблей, сложность которых становится колоссальной?
В апреле 1958 года Брюссель готовился к торжественному открытию Всемирной выставки. Все было готово в столице Бельгии для приема многочисленных гостей, туристов, бизнесменов. На помощь была призвана и вычислительная машина, в памяти которой хранились адреса гостиниц со свободными номерами. Все шло хорошо, но стоило выйти из строя нескольким узлам машины, как она начала давать неправильные ответы, и к вечеру в городе поднялась паника. Правда, к утру неполадки были устранены, но .пятьдесят тысяч гостей всю ночь слонялись по улицам города в поисках ночлега.
Недостаточная надежность современной сложнейшей техники стала важной проблемой научно-технической революции, разрешить которую удается с помощью теории надежности, впитавшей в себя главные достижения теории вероятностей.
Задачи массового обслуживания... Кто из вас, отправляясь из московского аэропорта, не обратил внимания на систему автоматической продажи и резервирования авиабилетов «Сирена»? С ее помощью можно получить ответ на запрос о наличии свободных мест, забронировать или купить билет. Но мало кто задумывался над тем комплексом вопросов, которые возникают при проектировании таких систем, над огромной ролью теории вероятностей в их создании.
Теория информации, связь и в этой области теория вероятностей позволила создать работоспособные системы связи. Вы поднимаете телефонную трубку и соединяетесь с абонентом в любом конце страны. Как было рассчитано нужное количество линий, чтобы не заставлять вас долго ждать и в то же время не сделать ваш разговор дорогостоящим? Задумывались ли вы над этим?
Чуть ли не каждый день мы сталкиваемся с составлением прогнозов на будущее. Это и прогнозы погоды, и суточные графики нагрузки на электростанциях, и прогнозы развития отраслей и всего народного хозяйства в целом.
Демография и статистика, вероятностная логика и страхование жизни, биология и антропология — вот далеко не полный перечень областей, где теория вероятностей играет огромную роль.
Многие ли из вас задумывались над такими случайностями, как падение яблока на голову Ньютона и открытие в связи с этим известного сейчас каждому, школьнику закона; засвечивание фотопластинки и открытие радиоактивности; поломка угольного электрода и открытие электрической дуги? Случай натолкнул ученого и на идею висячих мостов — на лицо его попала паутина и он сообразил, что принцип перебрасывания паутины через ветви деревьев может быть применен и к постройке мостов. Тот же случай помог австрийскому ботанику Рейницеру обнаружить, что некоторые жидкости при определенных условиях имеют свойства кристаллов — так называемые жидкие кристаллы.
Кто из вас не сталкивался с такими случайностями, как поломка телевизора перед интереснейшим хоккейным или футбольным матчем? Сколько раз вы стояли на троллейбусной остановке и задавали себе вопрос, троллейбус какого маршрута подойдет раньше? И разве не случай помогал вам не опоздать на самолет, на свидание, в кино?
Все предусмотреть, естественно, нельзя, и практически невозможно проследить все незначительные причины многочисленных событий. Мы не хотим уподобиться наполеоновскому солдату, носившему в своем ранце маршальский жезл, или героям старой истории, в которой «из-за нехватки гвоздя было потеряно королевство». Но тем не менее знание объективных закономерностей, а таковыми являются и основные положения теории вероятностей, современному человеку весьма и весьма желательно.
Случай господствует в различных областях знаний. «Исчисление вероятностей, — по словам крупнейшего математика-исследователя, популяризатора теории вероятностей Э. Бореля, — одна из наиболее увлекательных и вместе с тем доходчивых отраслей математики. Только из соображений традиции, чтобы не сказать рутины, основы этой дисциплины не вошли в программу средней школы...»
В этом смысле мы ставили своей целью пробудить у читателей мысли, направить их любознательность в сторону вероятностного мышления и снабдить инструментом, с помощью которого каждый желающий найдет в окружающих явлениях пищу для размышлений. Приведенные примеры дают представление о том, как складывать и умножать вероятности, об основных положениях теории вероятностей и сферах ее применения. «Предостережения» будут остерегать вас от типичных ошибок при подсчетах.
Теперь, зная, о чем эта книга, и имея в запасе познания на уровне элементарного курса математики средней школы (а в большинстве случаев — и без этих познаний), наберитесь терпения и прочтите ее. Пусть не все будет ясно с первого раза — прочтите еще раз.
И каждый раз, совершая мысленное действие, в котором достигается сознательная цель, когда испытываешь волнение от того, чтсг*найдено правильное решение, возникает радостное чувство уверенности и торжества, а может и возглас, как у Архимеда: «Эврика!»
Если же у молодого читателя, стоящего на пороге выбора профессии, возникнет желание связать свою жизнь с теорией вероятностей или одной из областей ее применения, то мы тем более будем считать свою задачу выполненной.
Остап Бендер и ... Лаплас
В ожесточенной схватке Ипполита Матвеевича Во-робьянинова с отцом Федором от орехового стула из гостиного гарнитура гамбсовской работы остались рожки да ножки, но брильянтов не было. В гостином гарнитуре из 12 стульев, в обшивке одного из которых были спрятаны брильянты мадам Петуховой, осталось только 11 стульев. С одним из них вернулся Остап Бендер в гостиницу «Сорбонна» от мадам Грицацуевой.
— Готово, — сказал Остап тихо.
Он приподнял покровы и обеими руками стал шарить между пружинами. На лбу у него обозначилась венозная ижица.
— Ну? — повторял Ипполит Матвеевич на разные лады. — Ну? Ну?
— Ну и ну, — отвечал Остап раздраженно, — один шанс против одиннадцати. И этот шанс...
Он хорошенько порылся в стуле и закончил:
— И этот шанс пока не наш.
Он поднялся во весь рост и принялся чистить коленки. Ипполит Матвеевич кинулся к стулу.
Брильянтов не было. У Ипполита Матвеевича обвисли руки. Но Остап был по-прежнему бодр.
— Теперь наши шансы увеличились».
При чем здесь великий комбинатор из романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев», да и что у него может быть общего с известным математиком Лапласом? — опросит читатель.
Давайте разберемся.
Обсуждая случайное явление, мы часто говорим, что наши шансы «один из десяти», «два из пяти» и т. п. Так, пассажир, стоящий на остановке, к которой подходят троллейбусы трех маршрутов — № 6, 7 и 10, ожидая троллейбус шестого маршрута, расценивает свои шансы как «один из трех».
«Один из .трех», «один из десяти», «два из пяти» — эти понятия численно характеризуют, насколько вероят-
но наступление случайного события. «Один из трех» есть нечто отличное от «один из десяти» или «два из десяти», как понятие «три дерева» есть нечто отличное от понятия «два дерева».
Понятия отвлеченных чисел, свободные от объектов, с которыми они связаны, есть создания мыслящего разума, описывающие реальности нашего мира. Числа не существуют в природе сами по себе, как вещи или процессы — это средство для овладения природой, и пользоваться ими надо умело. Субъективное чувство времени позволяет нам упорядочить наши впечатления, установить, что одно событие предшествует другому. Но связать каждый момент времени с числом — это результат умения.
Чтобы пришло умение, нужны усилия и практика. Точно так же умение сопоставить случайному явлению некоторое число, характеризующее вероятность его наступления, потребовало усилий и практики.
И только в XVII веке развитие алгебры позволило сделать случай объектом серьезного математического изучения, и он стал частью мира науки. В работах Паскаля, Ферма и Гюйгенса в зачаточном виде появилось понятие вероятности случайного события. Поводом для установления основ исчисления вероятностей послужили задачи, возникшие в азартных играх, в частности в игре в кости.
Кости, карты, домино, игра в орла и решку — в старину эти азартные игры были наиболее распространены. Все они основаны на равенстве некоторых вероятностей: различные грани кости имеют одинаковую вероятность появления при бросании; различные карты колоды имеют одинаковые шансы попасть к любому из игроков, когда колода хорошо перетасована; одинаковы шансы выпасть орлу или решке при бросании монеты и т. д.
Зти рассуждения наталкивают нас на мысль, что вероятность какого-то события (в нашем случае выпадание определенной грани игральной кости, орла или решки, определенной карты и т. п.) может быть представлена дробью, числитель которой есть число случаев, благоприятствующих явлению, вероятность которого отыскивается, а знаменатель — число всех возможных и равновозможных случаев. Таким образом, вероятности случайного события ставится в соответствие некоторое число.
Поскольку монета может выпасть только орлом либо решкой, то возможных случаев — два. Пусть нас интересует вероятность выпадания, например, орла. Случаев, благоприятствующих явлению, вероятность которого нас интересует (выпадание орла), будет один. Тогда вероятность этого явления составит 1/2. В случае игры в кости вероятность выпадания определенной грани, например «шестерки», составит 1/6 (всего граней, на которые может упасть кость, шесть). Вероятность вытащить одну определенную карту, например, туза пик, из колоды в 52 карты будет 1/52, вероятность же вытащить любого туза из той же колоды — 4/52, так как благоприятствующих случаев уже четыре (в колоде четыре туза).
Так рассуждал и Остап Бендер, когда говорил об одном шансе из одиннадцати, так как из одиннадцати равновозможных случаев (а у нас нет оснований отдать предпочтение какому-либо одному из стульев) только один был благоприятствующим (за обшивкой только одного стула были спрятаны драгоценности). Оптимизм Бендера также оправдан: шансы концессионеров увеличивались с каждым стулом. И вероятность найти брильянты в стуле Эллочки Щукиной была уже равна 1/10, в стуле Эрнеста Павловича Щукина — 1/9 и т. д.
Итак, мы разобрались в том, какое отношение имеет Остап Бендер к исчислению вероятностей. Однако какая связь существует между героем романа «Двенадцать стульев» и известным математиком Лапласом?
Конечно, вряд ли Остап Бендер был знаком с работами Лапласа, тем не менее великий комбинатор в своих подсчетах наверняка исходил из принципа, который был сформулирован Лапласом и состоит в том, чтобы «свести все однородные события к известному числу равновозможных случаев, т, е. таких, существование которых для нас было бы одинаково неопределенно, и определить число случаев, благоприятствующих явлению, вероятность которого отыскивается. Отношение этого числа случаев к числу всех возможных случаев и есть мера этой вероятности, которая, таким образом, не что иное как дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев, знаменатель — число всех возможных случаев».
Советуем читателю внимательно прочесть этот принцип и запомнить его, так как мы переходим к подсчету вероятностей в некоторых задачах.
Считать вероятности — это просто...
Итак, читатель знает, что такое вероятность. Но прежде чем заняться непосредственно подсчетом вероятностей, вернемся к принципу Лапласа и уясним, что подсчет вероятностей состоит из трех отдельных этапов:
— во-первых, следует определить совокупность равновозможных случаев. Она должна включать все события, которые нас интересуют;
— во-вторых, предстоит установить, как велика эта совокупность; иными словами, определить, как велико число равновозможных случаев;
— в-третьих, надо ответить на вопрос, какова в этой совокупности доля благоприятствующих интересующему нас результату случаев.
Игра в орлянку. Петр и Павел договорились сыграть партию из трех последовательных бросаний монеты. Пусть выигрыш Павла определяется появлением герба при каждом бросании.
Что представляет собой совокупность равновозможных случаев? Если игра состоит из одной партии, то ее результатом может быть выпадание орла или решки — обозначим О или Р. Если рассматривать результаты двух последовательных бросаний, то либо первое бросание дает орла, а второе — орла или решку, либо первое бросание дает решку, а второе — орла или решку:
Третье бросание может дать орла или решку независимо от результатов первых двух бросаний
Итак, мы определили все равновозможные события, которые нас интересуют, т. е. установили совокупность равновозможных случаев при игре Петра и Павла в партии из трех бросаний. Эти равновозможные события представляют собой различные комбинации выпадания орла или решки при трех последовательных бросаниях. Заодно мы решили и вторую задачу подсчета вероятности — определили, как велика совокупность. В нашем случае она состоит из восьми равновозможных случаев.
Определим теперь долю благоприятствующих случаев в совокупности. Общий результат допускает четыре возможности для игрока: Петр может выиграть три, две, одну или ни одной партии. Но эти возможности (т. е. выигрыш 3, 2, 1 или 0 партий) не эквивалентны. Для Петра, если его выигрыш состоит в выпадании орла, есть только один способ выиграть три раза: выпадание трех орлов подряд в серии из трех бросаний — 000; есть три способа выиграть два раза: выпадание двух орлов в серии из трех последовательных бросаний — OOP, ОРО, РОО, так как можно проиграть при третьем, втором или первом бросания. Выиграть один раз есть три способа — ОРР, POP, РРО, не выиграть же ни разу имеется только одна возможность: РРР.
Итак, случаев, благоприятствующих выигрышу три раза подряд, — один. Тогда доля благоприятствующих случаев или вероятность выиграть три раза подряд составит 1/8. Аналогично, вероятности выиграть два раза, один раз и ни разу составят 3/8; 3/8 и 1/8 соответственно.
Больше семи очков. Рассмотрим игру в «больше семи очков». Игра состоит в подбрасывании двух игральных костей с шестью гранями каждая, пронумерованных от единицы до шести. Для выигрыша необходимо, чтобы число выпавших на обеих костях очков превышало 7.
При бросании одной игральной кости есть шесть возможных исходов для каждого броска. Но если бросать две игральные кости, то число возможных исходов возрастает до 36, так как на каждый случай выпадания первой кости возможны шесть случаев выпадания второй кости.
Составим таблицу, куда занесем итоги очков, выпавших во всех 36 равновозможных случаях.
Как видим, совокупность равновозможных случаев есть различные комбинации, состоящие из суммы очков двух граней. Всего таких комбинаций (т. е. величина совокупности) — 36. Благоприятствующих случаев, таких, когда сумма очков двух граней больше 7, — пятнадцать (эти случаи взяты в квадратики). В таком случае вероятность выигрыша как доля благоприятствующих случаев составит 15/36=5/12.
Третий пример. Представим себе, что линия электропередачи между двумя пунктами, отстоящими друг от друга на расстояние 50 км, повреждена в неизвестном месте. Чему равна вероятность, что она повреждена не далее чем в 20 хм?
Разложим мысленно линию электропередачи на участки длиной в метр и, поскольку можно считать такие участки однородными, будем считать повреждение каждого метра линии равновозможным. Тогда численно совокупность представит собой 50 000 участков, благоприятствующих же исходов 20 000, т. е. интересующая нас вероятность равна 20 000/50 000 = 0,4.
Уже из рассмотрения этих простых примеров подсчета вероятностей можно сделать по крайней мере два вывода.
Во-первых, совокупность всех возможных исходов воображаемая, не реальная: мы сами ее создаем. Мы создаем совокупность, состоящую из всех возможных результатов. Например, мы могли предположить, что Петр и Павел играют партию из четырех последовательных бросаний, тогда и совокупность и число возможных исходов будут другими:
Во-вторых, подсчет числа равнововможных случаев не всегда .простая задача, а само их число — и мы это скоро увидим — может достигать астрономических чисел. Как вы думаете, сколько существует равновозможных случаев сдачи тринадцати карт из колоды в 52 игральные карты? Такая совокупность состоит примерно из 635 000 000 000 различных сочетаний из «притаившихся» в колоде карт!
Добавление только одного броска в игре Петра с Павлом увеличило число равновозможных случаев в два раза — с 8 до 16.
Но дело не только в астрономических числах, характеризующих величину совокупности. В третьем примере мы определили совокупность как число участков длиною в метр. Почему метр, а не сантиметр, микрон или ангстрем, наконец? Под совокупностью следовало, вообще говоря, понимать число точек линий электропередачи, то есть величина совокупности бесконечна.
Уже на первом этапе развития теории вероятностей стало ясно, что определение Лапласа, основанное на рассмотрении конечной группы равновозможных событий, непригодно, когда число случаев бесконечно. Оно было видоизменено и приспособлено и для таких случаев.
Пусть на плоскости имеется некоторая область А, в которой содержится область В. Предположим, что в область А наудачу бросается точка, и определим вероятность того, что точка попадает в область В. «Наудачу» понимается в том смысле, что точка может попасть в любую точку области А, а вероятность попа'сть в какую-либо часть области А пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы.
Рассмотрим несколько более сложных примеров.
KOHEЦ ФPAГMEHTA КНИГИ
|
