ФPAГMEHT КНИГИ
      Глава 4. В ПОИСКАХ АБСОЛЮТА
      Новые осложнения. Успехи, достигнутые в исследовании функций и линий при помощи теории множеств, сделали ее полноправным членом семьи математических наук. Это признание было зафиксировано па состоявшемся в 1897 г. Первом Международном конгрессе математиков, проходившем в швейцарском городе Цюрихе. В докладах виднейших специалистов по математическому анализу А. Гурвица 1 и Ж. Адамара 2 были показаны самые разнообразные применения множеств, вскрыта их связь с общей теорией так называемых аналитических функций. На проведенном через три года Втором Международном математическом конгрессе Давид Гильберт поставил среди 23 важнейших нерешенных проблем математики и вопросы, связанные с теорией множеств. Высоко оценил работы Кантора в своем выступлении на том же конгрессе Анри Пуанкаре. Говоря о роли интуиции и логики в математике, он сказал, что в теории множеств математика обрела совершенно прочный и надежный фундамент и теперь в математике остаются только натуральные числа и конечные или бесконечные системы таких чисел. По его мнению, математика стала полностью арифметпзированной и в ней, наконец, достигнута абсолютная строгость.
      При такой оценке теории множеств, данной ведущими учеными того времени, неудивительно, что на ее создателя Георга Кантора дождем посыпались академические награды — он был избран почетным членом Лондонского королевского общества, членом-корреспондентом Института науки, литературы и искусства в Венеции, почетным доктором математики университета в Христиании (ныне Осло) и т. д.
      Но английская пословица гласит, что «каждая семья имеет свой скелет в шкафу» (то есть свои тайны, до поры до времени неизвестные окружающим). Таким скелетом, вываливающимся из шкафа в самые неподходящие моменты, была на протяжении многих тысячелетий развития математики противоречивость самого понятия бесконечности. С тех пор, как эта противоречивость была осознана Зеноном, делались неоднократные попытки снова привести все в норму, причем каждый раз шкаф пытались сделать псе прочнее и надежнее. После первой их них, сделанной Евдоксом и Евклидом, прошло два тысячелетия, прежде чем Вейерштрассу и Кантору пришлось предпринимать вторую попытку. И, как мы видели, самые лучшие математики той эпохи считали, что достигнут полный успех. Однако «скелет» оказался на этот раз весьма беспокойным и вновь вывалился из шкафа уже через два с небольшим десятилетия. Как писал по этому поводу Давид Гильберт, «произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений; поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а потом все более серьезные... На учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ее умозаключения оказались под угрозой и применение их запрещалось».
      Первым сигналом о неблагополучии в самих основах теории множеств оказался парадокс, открытый впервые самим Кантором в 1895 г. и опубликованный два года спустя итальянским математиком Бурали-Форти 3. Речь шла о множестве, составленном из всех трансфинитных чисел. По своему определению оно было не хуже, чем любое иное множество, так как являлось многим мыслимым как единое. Но у этого множества оказался существеннейший недостаток. Оно само вполне упорядочено и потому должно выражаться каким-то трансфпнптпым числом ?2. Но тогда ?2 должно было оказаться больше всех трансфинитных чисел, а потому и больше самого себя, что, очевидно, невозможно.
      Как выяснилось позднее, столь же противоречиво и множество, составленное из всех мпожеств. Ведь этому множеству должны принадлежать все его подмножества, что невозможно, так как множество всех подмножеств любого множества имеет большую мощность, чем само это множество (см. с. 79).
      Еще один удивительный пример противоречиво определенного множества опубликовал в 1903 г. Бертран Рассел 4. Как правило, множества не являются своими собственными элементами (например, множество всех натуральных чисел не является натуральным числом, множество всех треугольников не является треугольником и т. д.).
      Однако бывают и такие множества, которые содержат себя в качестве одного из своих элементов. Скажем, множество абстрактных понятий само является абстрактным понятием (не правда ли?). Так как такие множества рассматриваются редко, назовем их экстраординарными, а все остальные множества — ординарными.
      Образуем теперь множество А, элементами которого являются все ординарные множества. На первый взгляд кажется, что в этом определении нет ничего плохого; не видно, почему фраза «множество всех ординарных множеств» хуже, чем фраза «множество всех треугольников». Но на самом деле здесь возникает серьезное логическое противоречие. Попробуем выяснить, каким же является само полученное множество А — ординарным или экстраординарным. Если опо ординарно, то оно входит в себя как один из элементов (мы ведь собрали вместе все ординарные множества). Но тогда, по определению, оно явля ется экстраординарным. Если же множество А экстраординарно, то по определению экстраординарности оно должно быть своим собственным элементом, а среди элементов множества А есть лишь ординарные множества, экстраординарных множеств мы не брали
      Получилось логическое противоречие — множество А не может быть ни ординарным, ни экстраординарным, впрочем, такие логические противоречия возникают и в гораздо более простых случаях. Например, одному солдату приказали брить тех и только тех солдат его взвода, которые не бреются сами. Возник вопрос, как ему поступать с самим собой. Если он будет брить себя, то его следует отнести к числу солдат, которые бреются сами, а брить таких солдат он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то его придется отнести к числу солдат, которые сами не бреются, а тогда по приказу он должен себя брить.
      Известны и другие примеры, когда множество, на первый взгляд вполне определенное, оказывается определенным очень плохо, а лучше сказать — совсем неопределенным. Например, пусть множество А состоит из всех рациональных чисел, которые можно определить при помощи не более чем двухсот русских слов (включая сюда и слова «нуль», «один», «два» и т. д.).
      Так как множество всех русских слов конечно (для простоты будем считать, что берутся лишь слова из словаря Ожегова и их грамматические формы), то и множество таких чисел конечно. Пусть это будут числа
      ...
      С этим парадоксом тесно связан следующий.
      Каково то наименьшее целое число, которое нельзя определить при помощи фразы, имеющей менее ста русских слов?
      Такое число существует, поскольку число слов в русском языке конечно, а значит, есть числа, которые нельзя определить фразой, имеющей менее ста слов. Но тогда среди этих чисел есть наименьшее.
      С другой стороны, такого числа не существует, ибо оно определяется фразой из менее чем ста слов, напечатанной
      выше курсивом, а по смыслу этой фразы оно не может быть определено подобным образом.
      А вот более сложный пример конечного множества, относительно которого оказывается невозможным сказать, содержит ли оно данный элемент. Разделим все прилагательные в русском языке на два класса. К первому классу отнесем все прилагательные, для которых выражающее их слово само обладает свойством, описываемым этим прилагательным, а ко второму — все остальные прилагательные. Например, прилагательное «русское» отнесем к первому классу, так как слово «русское» принадлежит к словарному запасу русского языка. К тому же классу отнесем и прилагательное «пятисложное», так как в слове «пятисложное» именно пять слогов. А прилагательное «немецкое» отнесем во второй класс, так как слово «немецкое» входит в словарный состав русского, а не немецкого языка. Во второй класс попадет и слово «односложное», так как в этом слове не один, а пять слогов. Туда же попадет и слово «синее», так как это слово само цветом ие обладает, а только выражает некоторый цвет.
      Казалось бы, все в полном порядке и каждое прилагательное нашло свое место. Но, для того чтобы отличить полученные два класса друг от друга, введем еще два прилагательных. Назовем все прилагательные первого класса автологичными (от греческих слов авто — сам и логос — смысл, закон), а прилагательные второго класса гетерологичными (гетерос — другой). Слова автологич-ный и гетерологичный являются прилагательными, и их надо разместить по нашим классам. Со словом автологич-ный трудностей не возникает — его надо отправить в первый класс, и тогда оно будет обладать именно тем свойством, которое само выражает, — ведь в первом классе собраны именно автологичные слова. А вот слово гетеро-логичный доставляет те же трудности, что и взводный парикмахер.
      Это слово нельзя отнести в класс автологичных слов, так как тогда слово гетерологичный должно было бы само обладать выражаемым им свойством, а оно заключается в том, что этому слову надлежит быть не в первом, а во втором классе. Нельзя отнести слово гетерологичный и во второй класс, так как тогда оно должно было бы не обладать выражаемым им свойством гетерологичности, а потому быть автологичным, в то время как второй класс не содержит автологичных слов.
      Эти и аналогичные им парадоксы восходят к древнему парадоксу «Лжец», который приписывают греческому философу Евбулиду из Милета. Он состоит в том, что человек, говорящий «я лгу», не может быть ни говорящим правду, ни лжецом: если, произнося эти слова, он говорит правду, то он лжет, а если он, произнося эти слова, лжет, то он говорит правду.
      Конечно, проще всего было бы сказать, что в теории множеств не рассматриваются столь причудливые множества. Однако, если не дать точного определения, какие же множества следует рассматривать, а какие отбросить, можно оказаться в положении человека, который, беседуя с длинноносым собеседником, сказал, «говоря о носах, я не имею в виду столь несуразно длинные». Это далеко не лучший способ избежать щекотливой темы.
      Одна задача почему-то не выходит. Открытие парадоксов теории множеств произвело глубочайшее впечатление па математиков. Если, например, Пуанкаре до этого положительно относился к теории Кантора, то после опубликования теоретико-множественных парадоксов он стал насмешливо отзываться о ней, заявляя, что актуальной бесконечности не существует. Фреге, получив от Рассела письмо, содержавшее его парадокс, оказался вынужден сделать к выходившей уже из печати книге замечание, по сути дела зачеркивающее все ее содержание. Особенно тяжело отразилось открытие парадоксов на самом Канторе — он погрузился в размышления о том, как их устранить и, не достигнув в этом успеха, тяжело заболел и прекратил научную деятельность за много лет до смерти. Гильберт восклицал: «Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике — этом образце достоверности и истинности, — образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?»
      Но на фоне триумфальных успехов математического анализа, основанных на теоретико-множественных концепциях, у большинства математиков выявленные парадоксы теории Кантора не вызывали вначале никакой тревоги, кроме разве что некоторого беспокойства за самые окраинные области математики.
      Значительно большей неприятностью оказалось возникновение в теории множеств проблем, не получавших разрешения на протяжении длительного времени. Многие из них были связаны с казавшейся уже навсегда преодоленной пропастью между дискретным и непрерывным, арифметикой и геометрией. Из двух главных видов мощностей, изученных Кантором, — счетной и континуальной — первая шла от арифметики, от понятия натурального числа, а вторая — от понятия континуума, от непрерывности. И, естественно, возник вопрос о взаимоотношении этих мощностей.
      Наиболее естественным было предположение, что мощность континуума непосредственно следует за счетной, то есть что не может быть несчетного множества, мощность которого меньше континуальной. Если бы эта гипотеза оказалась верной, мощность континуума заняла бы свое место и на шкале трансфинитных чисел, она выражалась бы первым трансфинитным числом, идущим за всеми трансфинитными числами счетного типа. Мощность всех счетных трансфинитных чисел получила название алеф первый, и вопрос состоял в том, равна ли этому алефу мощность континуума. Этот вопрос получил название проблемы или гипотезы континуума, и над ним долгие годы думал Георг Кантор. Много раз ему казалось, что проблема решена, однако все попытки в конце концов оказались безуспешными.
      Не большего успеха добились и другие ученые, пытавшиеся доказать или опровергнуть гипотезу континуума, и она по праву занимала первое место в списке проблем Гильберта. В течение долгих лет думал о ней Н. Н. Лузин, но и от него решение ускользало, как мираж в пустыне.
      Однажды к Лузину привели пятнадцатилетнего мальчика Льва Шнирельмана б, обладавшего исключительными математическими способностями. Чтобы проверить способности юного математика, Н. Н. Лузин предложил ему тридцать труднейших задач. Решения 29 задач он знал, а одной была... проблема континуума. Но, увы, через неделю молодой математик пришел к Лузину и грустно сказал: «Одна задача почему-то не выходит».
      Отчаявшись в решении этой проблемы, Лузин говорил своим ближайшим ученикам, что не знает, почему континуум должен обязательно совпадать с алефом первым. «Кто знает, — грустно шутил он, — может быть континуум вообще окажется алефом семнадцатым».
      Позднее обнаружились другие проблемы} которые никак не удавалось решить в рамках обычной теории множеств. Среди них были и различные обобщения гипотезы континуума, а также различные ее видоизменения, были и иные предположения, которые также не удавалось ни доказать, ни опровергнуть.
      Непонятная аксиома. Неудача, постигавшая всех ученых, думавших над проблемой континуума, привела к тому, что возник вопрос, а можно ли вообще вполне упорядочить множество точек отрезка, есть ли у континуума вообще место на шкале трансфинитных чисел. Кантор с 1883 г. был убежден в том, что ответ на этот вопрос положителен. По его мнению, любое множество, а не только континуум можно было вполне упорядочить. Однако и здесь ему никак не удавалось найти подходы к проблеме.
      Неожиданно простое и короткое решение опубликовал в 1904 г. Цермело 6, которому удалось доказать возможность полного упорядочивания любого множества. Однако не все математики согласились с ним. И дело было не в том, что Цермело допустил где-то ошибку в рассуждениях. Он рассуждал совершенно логично и даже подчеркнул, что в ходе доказательства было использовано одно утверждение, которым математики широко пользовались и до того, хотя и не высказывали в явной форме. Это утверждение, названное впоследствии аксиомой выбора или аксиомой Цермело, заключается в следующем.
      Представьте себе, что перед вами лежат несколько кучек яблок. Ясно, что можно выбрать по одному яблоку из каждой кучки и сложить их в новую кучку. Казалось бы, то же самое можно сделать и в случае, когда каждая кучка содержит бесконечно много яблок, а самих кучек тоже бесконечно много. В этом и состоит аксиома выбора: Если дано бесконечное множество бесконечных множеств, то из каждого множества можно выбрать по одному элементу, не указывая заранее закона выбора.
      Вот в этих-то последних словах все дело — аксиома выбора приводит к совершенно неконструктивным доказательствам: удается, например, доказать, что не может быть, чтобы множество нельзя было вполне упорядочить, но никакого конкретного способа упорядочения из этого доказательства не извлекается. Долгие годы математики пользовались аксиомой выбора, считая ее совершенно очевидной. Но когда над ней стали глубже задумываться, она стала казаться все более и более загадочной. Многие из теорем, доказанных с ее помощью, совершенно противоре-
      чили наглядности. Поэтому Бертран Рассел так высказался о ней. «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься в нее, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы: под конец же перестаешь понимать, что же она означает».
      А Лузин признавался: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело. Если бы только кто-нибудь знал, что это за вещь»
      Здесь поневоле вспоминаются слова Мефистофеля из «Фауста» Гете:
      Понять ее пытаться — труд напрасный,
      Глупец и умный с толку будет сбит Противоречий массою ужасной.
      Правда, к противоречиям эта аксиома не приводила, но непонятных следствий из нее можно было получить сколько угодно.
      Из одного яблока — два. Расскажем об одном из самых удивительных следствий аксиомы выбора. Вам, вероятно, приходилось наблюдать, как работает на эстраде ловкий фокусник. Вот он показал зрителям пустой мешочек, потом опустил туда шарик, а вынул... два; опустив два шарика, он вынимает четыре, опустив четыре, вынимает восемь. Конечно, все понимают, что здесь нет никаких чудес, а только, как говорится, ловкость рук. Но в теории множеств такие чудеса бывают.
      Возьмем самое обычное яблоко и разрежем его любым образом на четыре части. Кажется ясным, что если взять только две из этих частей, то из них нельзя составить целое яблоко (точно так же, как, съев половину апельсина, нельзя составить из оставшихся долек целый апельсин).
      Однако математикам удалось так разбить шар на четыре равные части, что из двух частей можно составить целый шар того же радиуса, ничего к ним не прибавив, а только двигая их, как твердые тела. Из двух других частей можно составить второй точно такой же шар. Таким образом, из одного шара получилось два равных ему шара.
      Разумеется, это утверждение имеет чисто теоретическое значение, и надеяться сделать с его помощью из одного яблока два, а потом из двух — четыре и т. д. было бы по меньшей мере наивно. Ведь это противоречило бы закону сохранения материи. Но математика изучает не непосредственно материальный мир, а лишь его математические модели. Поэтому если получаются результаты,
      противоречащие физической интуиции, то ответственность за это несет не математическая наука, а неудачный выбор модели.
      Поэтому наш странный результат, как и некоторые другие парадоксальные выводы из аксиомы выбора, показывает лишь, что к ней надо относиться с известной осторожностью. Некоторые математики стараются четко отделять утверждения, при выводе которых была использована эта аксиома, от остальных. Но, как это ни печально, некоторые фундаментальные утверждения математического анализа нельзя доказать без ссылки на эту злополучную аксиому.
      Квинтет демонов. Одной из причин, по которой виднейшие математики отказались поверить в возможность полного упорядочивания континуума, было именно отсутствие какой-либо обозримой конструкции для такого упорядочивания. В связи с этим возникло оживленное обсуждение вопроса, что же значит в математике слово «существует». Означает ли это выражение, что соответствующий математический объект допускает определенную конструкцию или можно рассматривать и множества, существующие лишь в силу аксиомы выбора? Какой смысл имеет понятие множества всех подмножеств континуума, если мы не можем описать конструктивно большую часть этих подмножеств? После некоторого «инкубационного периода» болезнь вышла наружу и в 1905 г. известнейшие французские математики (Адамар, Борель, Бэр 7, Лебег) опубликовали свою переписку о том, что такое бесконечность и какие бесконечные множества следует считать существующими. Этими же вопросами усиленно занимались Гильберт ц молодой голландский математик Брауэр.
      Каждый из споривших давал свой ответ на возникшие вопросы, не соглашаясь с мнением других. Споры шли весьма оживленно, поскольку, по словам Гильберта, с давних пор никакой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном: бесконечное действовало на разум столь побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея; однако ни одно понятие не нуждалось, по мнению Гильберта, так сильно в разъяснении, как бесконечность.
      Спор между математиками становился временами очень острым — ведь спорили сами боги математического Олимпа. Чтобы дать читателю представление о точках зрения разных ученых, приведем яркую цитату из книги Н. Н. Лузина «Современное состояние теории функций действительного переменного», где он использовал введенный когда-то Максвеллом образ «демона», который открывает п закрывает перед молекулами отверстия и этим путем отделяет быстрые молекулы от медленных, нагревая газ в одной части сосуда и охлаждая его в другой. Лузин писал: «Если анализировать взгляды творцов современной теории функций, легко подметить, что каждый из них в процессе своей работы исходит из определенной концепции возможного и допустимого, за пределами которого кончается область математики и начинается область, лежащая, по выражению Бореля, вне математики... Если, следуя примеру Максвелла, приписать область возможного и исполнимого того или иного автора соответствующему воображаемому существу, то получится следующая схема:
      1. «Демон» Брауэра. Его область есть область целого конечного и притом ограниченного путем указания верхнего конечного предела. За этой областью все лежит «вне математики».
      2. «Демон» Бэра. Его область есть просто область целого конечного без указания верхней конечной границы. Бесконечное — это лишь fagon de parler и находится «вне математики».
      3. «Демон» Бореля. Его область есть область счетной бесконечности. Всякое несчетное множество — «вне математики».
      4. «Демон» Лебега. Его область есть область мощности континуума: всякая операция, требующая континуум
      простых шагов, доступна этому «демону»...
      5. «Демон» Цермело. Его поле операций — всякие мощности; в частности, всякое множество «демон» Цермело может сделать вполне упорядоченным».
      Разница в силе «демонов» Бореля и Лебега видна из следующего примера. Пусть надо узнать, выполняется ли для всех элементов множества X неравенство х.а. Если множество X счетно, то с решением проблемы справится «демон» Бореля, так как придется рассмотреть вопрос о выполнении счетного множества неравенств хка, а это ему по силам. Если же X несчетно, то «демон» Бореля не сумеет ответить на поставленный вопрос, а для «демона» Лебега задача окажется доступной — ведь он может выполнить и континуум операций.
      Точка зрения самого Лузина по дискутируемым проблемам не была однозначной. Чаще всего он стоял на позициях Бореля, указывая, что «понятие несчетной бесконечности является чисто отрицательным понятием, не имеющим никакой объективной реальности; это понятие, вызванное лишь человеческой способностью создавать доказательства «от противного», не соответствует никакой достижимой реальности...». Однако иногда он склонялся больше к точке зрения Бэра, утверждая, что мы не имеем достаточно ясной концепции актуальной бесконечности, хотя это понятие и может быть определено в терминах абстрактной логики. Польскому же математику Куратов-скому 8 он писал: «Несмотря ни на что, я не могу рассматривать как данное множество целых положительных чисел, потому что самая идея актуальной бесконечности мне кажется мало естественной, чтобы рассматривать ее в себе». И далее: «Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной. Кажется, что она почти объективна и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле». Он считал, однако, что еще преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных числах, недостижимых, если отправляться от 1.
      Прямой противоположностью взглядам Лузина на сущность математических проблем является точка зрения Николя Бурбаки 9. Он утверждает существование всего непротиворечивого и потому стоит на позициях Цермело, допуская любые мощности, признавая без ограничений аксиому выбора и все ее следствия, включая парадокс о разбиении сферы и утверждение о полной упорядочивае-мости континуума. Вопрос же, приложима ли такая математика к познанию реального мира, его, кажется, совсем не интересует.
      Всегда допускал работу с множествами произвольно высокой мощности и П. С. Александров. Например, он обобщил понятие размерности на очень широкий класс пространств, не удовлетворяющих никаким условиям счетности, развил в таких пространствах геометрию и т. д.
      Таким образом, «демон» Цермело позволяет, с одной стороны, получать чрезвычайно красивые результаты, а с другой — ведет к утверждениям, наглядный смысл которых невозможно понять.
      Выбор «демона» из описанного выше квинтета осложняется парадоксом, который заключается в том, что все «неприятности», возникающие для множеств сколь угодно высокой мощности, можно смоделировать уже для счетных множеств. Получается, что за осложнения в математике несет ответственность не применение множеств слишком высокой мощности, а сама идея актуальной бесконечности.
      Изгнание бесконечности. Смелую и чрезвычайно глубокую попытку справиться с трудностями теории бесконечных множеств предпринял Давид Гильберт. Расставаться с достижениями этой теории ои никак не хотел, заявляя, что никто не выгонит математиков из рая, который создал для них Георг Кантор. В своей работе «О бесконечном» Гильберт отметил, что, хотя бесконечно малые и бесконечно большие величины были удалены из математического анализа, бесконечное все же пробралось в него в виде бесконечных последовательностей, с помощью которых определяют действительные числа, а затем в виде понятия системы действительных чисел, воспринимаемой как готовая и законченная совокупность.
      Вейерштрасс сводил понятия о бесконечно малых и бесконечно больших к неравенствам, связывающим конечные величины. Подобно этому Гильберт хотел изгнать из математики бесконечные множества. Он считал, что в тех случаях, когда они встречаются в математических рассуждениях, их следует понимать как оборот речи, позволяющий коротко говорить о сложных свойствах конечных множеств. По его мнению, бесконечного нет в природе и потому оно недопустимо как основа разумного мышления. В этом Гильберт усматривал замечательную гармонию между бытием и мышлением. Оперирование с бесконечным могло, по его мнению, стать надежным лишь через конечное.
      Эту точку зрения называют финитарной. Для строгого ее проведения Гильберт дал четко ограниченный список допустимых символов. А для того чтобы помешать проникновению в математику каких-либо представлений о бесконечном, связанных с наглядностью, с использованием интуиции, он разработал специальную теорию формальных доказательств. В этой теории символы, выражающие логические утверждения, преобразуются по точно сформулированным правилам, подобно тому как в обычной алгебре преобразуются алгебраические выражения.
      Первой целью нового исчисления было объявлено формальное доказательство непротиворечивости арифметики натуральных чисел. Более двух десятилетий Гильберт и его ученики неустанно искали пути для решения этой задачи. Хотя они добились многих успехов, окончательный успех никак не приходил.
      В 1931 г. появилась статья Курта Гёделя 10, которая прозвучала как гром с ясного неба. Тончайшим образом усовершенствовав и формализовав аргументы, восходившие по сути дела к древнему парадоксу «Лжец», он доказал удивительный результат: в любой формальной системе, содержащей арифметику натуральных чисел, можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. В то же время если принять существование всего бесконечного множества натуральных чисел, то это утверждение должно быть либо истинным, либо ложным, а потому «демон» Бореля, способный сделать счетное множество проверок, смог бы узнать, какой из этих двух случаев имеет место.
      Открытие Гёделя было одним из крупнейших достижений логики за двухтысячелетний период ее существования — оно вскрыло пропасть между истинным и доказуемым. Правда, однажды Гёделю довелось услышать на одной из конференций по логике доклад, в котором утверждалось, что со времен Аристотеля никаких достижений в этой науке не было.
      Мы не будем углубляться в круг вопросов, связанных с открытием Гёделя, и отошлем читателя к прекрасной книге Ю. И. Манина «Доказуемое и недоказуемое», вышедшей в 1979 г. в издательстве «Советское радио».
      Хотя после работы Гёделя стало ясно, что намеченная Гильбертом программа невыполнима, его усилия не пропали даром — в ходе исследований возникла новая ветвь математики, касавшаяся теории доказательств и получившая название метаматематики. Это привело к невиданному углублению идей и развитию методов математической логики, что оказалось потом полезным при разработке алгоритмических языков для быстродействующих вычислительных машин.
      Аксиоматизация бесконечности. Иной путь преодоле-
      ния трудностей теории бесконечных множеств выбрали математики, начавшие строить для нее систему аксиом. Одна из этих систем была предложена в 1908 г. Цермело и усовершенствована потом А. Френкелем. В аксиоматике Цермело — Френкеля описываются свойства отношения принадлежности х ? у, с помощью которого определяются отношения включения хау для множеств и понятие равенства множеств. Формулируются акспомы, утверждающие, что два множества, содержащие одни и те же элементы, равны, а равные множества содержатся в одних и тех же множествах. Далее идут акспомы, кодифицирующие правила составления множеств — образование пары множеств и объединения любой совокупности множеств. Кроме того, вводится аксиома о существовании множества, составленного из всех подмножеств данного множества. Наконец, к той же группе аксиом относится правило, позволяющее выделять из данного множества его подмножество, зная некоторые свойства его элементов. Эта аксиома отсекает парадоксальные множества, предложенные Кантором, Бурали-Форти и Расселом, — все они задавались свойствами своих элементов, но не были подмножествами какого-то «законного» множества.
      Из указанных выше аксиом можно получить существование пустого множества, а также из каждого множества х получить новое множество х, единственным элементом которого является х. В систему аксиом Цермело — Френкеля входит, разумеется, аксиома выбора. Кроме того, в этой системе содержится аксиома о том, что образ множества при некотором отображении является множеством. Наконец, в этой системе есть аксиома бесконечности, которая по сути дела утверждает, что существует бесконечное множество натуральных чисел (хотя в ее формулировку это понятие и не входит).
      Для любой системы аксиом критическими являются два вопроса: нельзя ли вывести из нее два противоречащих друг другу утверждения и можно ли с ее помощью доказать или опровергнуть любое утверждение, формулируемое в относящихся к ней терминах? Сторонники системы аксиом Цермело — Френкеля усматривают доказательство ее непротиворечивости в том, что до сих пор из нее не удалось вывести противоречивых утверждений (что, впрочем, не гарантирует того же в дальнейшем). В качестве же проверки силы этой системы аксиом был поставлен вопрос о возможности доказать или опровергнуть на ее основе континуум-гипотезу Кантора. Однако и в этом направлении исследования привели к совершенно удивительным результатам.
      Началось с того, что в 1939 г. тот же Курт Гёдель доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Присоединив к системе аксиом теории множеств утверждение Кантора, он получил непротиворечивую систему аксиом (разумеется, эта непротиворечивость имела относительный характер при условии, что все остальные аксиомы этой системы не противоречили друг другу).
      Но уже давно Лузин предвидел, что может возникнуть парадоксальная ситуация, когда аксиомам теории множеств не будут противоречить ни континуум-гипотеза, ни ее отрицание. В 1963 г. Поль Коэн 11 доказал, что дело обстоит именно так. Ему удалось доказать, что из системы аксиом Цермело — Френкеля нельзя вывести континуум-гипотезу. Кроме того, оказалось, что аксиома выбора не зависит от остальных аксиом Цермело — Френкеля подобно тому, как аксиома о параллельных не может быть ни доказана, ни опровергнута на основе остальных аксиом геометрии. При этом выяснилось, что к системе аксиом, полученной из системы Цермело — Френкеля заменой аксиомы выбора на ее отррщание, можно без противоречия присоединить и утверждение о невозможности полной упорядоченности континуума. Почти одновременно с Коэном близкие (и даже более сильные) результаты получил чешский математик П. Вопенка.
      Положение в математике, создавшееся после работ Геделя, Коэна и Вопенки, отчасти напоминает ситуацию, сложившуюся в геометрии после работ Н. И. Лобачевского и Я. Больяи 12. Но евклидова и неевклидова геометрии были разными математическими моделями реального мира, и выбор между ними касался физики, а не математики — основы математики не были затронуты этими открытиями. Теперь же дело идет именно об этих основах — ведь оказалось, что математик может по своему произволу решать, какая теория множеств ему больше нравится — та, в которой верны аксиома выбора и гипотеза континуума, или та, в которой аксиома выбора отвергается, а континуум нельзя даже вполне упорядочить. Ему предоставляются и иные возможности, например принять аксиому выбора и отвергнуть гипотезу континуума, хотя в этом случае он и обязан считать, что континуум
      имеет свое место на шкале трапсфинитов, но где оно находится, неизвестно.
      А если принять во внимание, что теория множеств претендует на роль основы всей математической науки, то получается, что существует не одна математика, а много различных наук, носящих это имя, и выбор между ними — дело исследователя. Разумеется, каждая из математик дает свою математическую модель реального мира, но различие между ними слишком глубоко и затрагивает самые фундаментальные вопросы теории познания. Можно полагать, что если бы Гильберт дожил до работ Коэна, он взял бы назад свои гордые слова: «Математика есть наука, в которой отсутствует гипотеза. Для ее обоснования я не нуждаюсь ни, как Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре, в предположении об особой, построенной на принципе математической индукции, способности разума, ни, как Брауэр, в первоначальной интуиции, ни, наконец, как Рассел и Уайтхед 13, в аксиомах бесконечности, редукции и полноты, которые являются подлинными гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе неправдоподобными».
      Теперешнему математику ближе точка зрения, высказанная известным американским математиком и логиком Куайном 14:
      «С 1901 года появилось большое число теорий множеств, но ни одна из них не имела бесспорного преимущества перед другими. Даже вопрос о том, свободны ли они от собственных противоречий, является спорным в рамках такого рассмотрения, поскольку мы не можем больше доверять здравому смыслу при установлении правдоподобия тех или иных предложений. Теория множеств дискредитирована парадоксами, и в качестве основания математики она оказывается гораздо менее надежной, чем ее надстройка.
      Таким образом, теорию множеств, очевидно, не следует рассматривать как основание математики, надеясь на то, что она избавит нас от опасений за прочность классической математики. При разработке всевозможных систем мы пытаемся лишь найти схему, которая воспроизводила бы при соответствующей надстройке принятые законы классической математики. На данном этапе мы рассматриваем теорию множеств как удобный краткий словарь математических терминов, используемый для
      формулирования общей системы аксиом классической математики».
      Приведем еще мнение по этому вопросу академика А. Н. Колмогорова:
      «Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изучении бесконечных множеств законно абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным».
      Проигранное пари. Нам осталось рассказать об одной попытке вывести теорию множеств, а с нею и всю математическую науку из затянувшегося состояния кризиса. Ее предпринял в 1907 г. Брауэр, который в значительной степени опирался на мнения, неоднократно высказывавшиеся Кронекером и Пуанкаре. По мнению Брауэра и его последователей, начиная с XVII столетия в математическом анализе и геометрии совершенно игнорировался особый характер понятия бесконечности. Поэтому они считали, что слывшие строгими методы теории действительных чисел и математического анализа, введенные в математику учеными XIX в., не только не достигали поставленных перед ними целей, но привели к созданию разработанной системы, основанной на совершенно ошибочной тенденции обращаться с бесконечностью с помощью средств, выработанных для конечных совокупностей. Тем самым отвергалась в целом вся концепция математики, шедшая от Коши, Вейерштрасса и Кантора.
      Брауэр и его школа полагали, что эта концепция действительного числа и функции лишь маскирует опасности, таящиеся в понятии бесконечности, изобилует порочными кругами в рассуждениях и претендует на чрезмерную общность, что неизбежно приводит к противоречиям. Тем самым полностью отвергался прогресс в деле укрепления основ классической математики, достигнутый в XIX в., а канторовская теория множеств рассматривалась как «любопытный патологический казус» в истории математики, от которого грядущие поколения, вероятно, придут в ужас. Особенно интересно во всем этом то, что сам Брауэр имел значительные достижения в области теоретико-множественной математики.
      Чтобы поставить математику на правильный, по их мнению, путь, надо было опираться на интуицию — отсюда идет и название этого направления в науке — интуиционизм. Интуиционисты отказывались рассматривать континуум как множество, состоящее из точек, поскольку считали понятие континуума более первичным, чем понятие точки. Они говорили, что континуум — это среда свободного становления точек, а не множество точек.
      Придирчивой критике интуиционисты подвергли самую логику, которой пользовались все математики XIX в., да и предшествующих столетий. В частности, они категорически отвергли один из основных законов аристотелевой логики, а именно закон исключенного третьего, который состоит в том, что любое высказывание является либо истинным, либо ложным. По мнению интуиционистов, этот закон был выведен из наблюдений над конечными совокупностями предметов и имеет место лишь для утверждений, касающихся таких совокупностей. Например, чтобы убедиться в истинности высказывания: «Среди людей, проживавших на земном шаре 1 января 1983 г., не было двухсотлетних», достаточно проверить возраст каждого человека, жившего в этот день. Но такой метод проверки ие годится для выяснения свойств элементов бесконечных множеств — эти элементы не построишь в ряд и не устроишь поголовную проверку документов.
      Таким образом, из арсенала интуиционистов выпало столь сильное средство доказательства, как доказательство от противного. Они отвергали «чистые доказательства существования» и требовали каждый раз предъявления конкретного примера объекта, обладающего данным свойством. Иными словами, в качестве доказательства существования чего-либо они принимали лишь описание конструкции соответствующего объекта. Германн Вейль, примкнувший к движению интуиционистов, сравнивал конкретные утверждения с сокровищами, а теоремы существования — с бумагами, содержащими указания, где надо искать сокровища. Доведение теоремы существования до конструкции завершало поиск сокровища.
      Иными словами, интуиционисты требовали от утверждений вида «существуют четные числа» переходить к утверждениям «число 2 — четное».
      В одном из докладов об интуиционизме Брауэр привел в качестве примера утверждения, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, следующее: «В десятичном разложении числа я идут десять цифр 9 подряд». В те времена было известно лишь 707 десятичных знаков для я (да и то большая часть из них оказалась неверной). Сейчас с помощью ЭВМ найдено неизмеримо больше десятичных знаков для я, так что среди них уже есть, быть может,
      идущие подряд 10 девяток. Но если заменить число 10 на 10 100°, то можно быть уверенным, что задача вычисления необходимого для проверки нашей гипотезы количества десятичных знаков окажется неразрешимой для любых машин, которые когда-либо будут построены. А так как теоретически решить проблему тоже невозможно, то утверждение о наличии в десятичном разложении числа я 10 1000 идущих подряд девяток заведомо непроверяемо. Правда, один из математиков, присутствовавших па докладе Брауэра, сказал, что хотя мы и не знаем, верно это утверждение или нет, но господь-бог знает. «Я не имею прямой связи с богом», — сухо возразил Брауэр.
      Вся математика получила в руках интуиционистов иной вид. Например, в их анализе нет разрывных функций, а в их арифметике из равенства нулю произведения еще не следует обращение в нуль хотя бы одного из множителей. Вообще, почти каждое утверждение классической математики приходилось заменять весьма непривычно звучащим интуиционистским аналогом, а от многого надо было отказаться. «Я не считаю неприкосновенными все теоремы из обычных учебников», — заявил интуиционист Сколем.
      Призыв к столь коренным преобразованиям нашел признание лишь у небольшой (хотя и весьма влиятельной) группы ученых. Яростным противником брауэровских реформ был Гильберт. Он говорил: «То, что делают Вейль и Брауэр, есть не что иное, как возрождение идей Кроне-кера Они стремятся спасти математику, выбрасывая за борт то, что вызывает беспокойство... Они крошат и рубят науку. Если бы мы приняли такую реформу, которую они предлагают, то подверглись бы риску потерять большую часть наших ценных сокровищ».
      Гильберт гневно утверждал, что отнять у математиков закон исключенного третьего все равно, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользоваться кулаками. Он писал, что запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки, а жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом результаты, которые были выработаны интуицио-нцстами, не могут идти ни в какое сравнение с могуществом современной математики. Горько сетовал Гильберт на то, что в среде математиков смогла иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила гипноза одного темпераментного и остроумного человека.
      Не оставались в долгу и интуиционисты, утверждая, что программа спасения математики, предложенная Гильбертом, ведет к тому, что из науки изгоняется смысл. Однако большинство математиков примкнуло в данном вопросе к точке зрения Гильберта, полагая, что само существование математики и обширность ее приложений в течение многих столетий свидетельствуют о том, что она не столь уж нелепа и бессодержательна, и для того, чтобы вылечить палец, незачем ампутировать ногу.
      Несмотря на то что большинство математиков отвергало идеи интуиционистов, те были уверены в своей грядущей победе. В 1918 г. Германн Вейль предложил своему другу известному венгерскому математику Дьердю Пойа 15 пари, что через 20 лет идеи интуиционизма восторжествуют. В качестве критерия он указал две теоремы классического анализа, которые можно найти в любом учебнике высшей математики, но которые не имеют смысла в математике интуиционистов. По его мнению, через двадцать лет эти теоремы должны были исчезнуть из общепризнанной математики. Однако по истечении этого срока Вейль признал, что пари проиграно (хотя и уговорил Пойя не публиковать соответствующего заявления, что предусматривалось условиями пари).
      Следует отметить, что за последние десятилетия интерес к интуиционизму снова возрастает, причем многие выдающиеся логики явно или неявно примыкают к этому течению математической мысли.
     
      ЗАКЛЮЧЕНИЕ
      Мы закончили наше путешествие по извилистым путям, которые прошла человеческая мысль, пытаясь овладеть противоречивейшим понятием бесконечности, «приручить» его и использовать для познания действительности. От древнейших мифов через первые научные искания Фалеса и Пифагора, Зенона и Аристотеля человечество пришло к столь впечатляющим достижениям, как современные космологические теории, сложнейшие построения математического анализа, теория бесконечномерных пространств.
      В некоторых из этих творений человеческого разума уже почти не чувствуется сложность заложенных в них концепций. Выполняя в ходе технических расчетов привычные операции дифференцирования и интегрирования функций, инженер не задумывается над тем, что когда-то эти операции казались почти непостижимыми. Как писал Ф. Энгельс, «когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, — тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического... ушло в прошлое; наступила эра разногласий...». Теперь эти слова кажутся почти пророческим предсказанием того состояния, в котором находятся современные исследования по глубинным проблемам теории бесконечных множеств.
      Вероятно, в процессе чтения книги читатель неоднократно задавал себе вопрос, каково же практическое значение описанных в ней исканий, могут ли применяться на практике мощности бесконечных множеств, трансфинитные числа, необычайные функции и линии из матема-
      Маркс Я., Энгельс Ф, Соч. 2-е изд., т. 20, с, 88 — 89, 152
      тической кунсткамеры и т. д. Этот вопрос является одним нз сложнейших в большинстве научных исследований. Недаром Майкл Фарадей на вопрос какого-то лорда, что дадут для практики исследования по электромагнетизму, ответил: «А что можно сказать о будущности новорожденного ребенка?» Обвинениям в отрыве от практики подвергались в свое время исследования по генетике, теории относительности, квантовой физике и т. д. Многим казались беспочвенными мечтания К. Э. Циолковского о межпланетных путешествиях.
      При решении вопроса о практической значимости теоретико-множественных исследований надо иметь в виду, что теория множеств имеет три существенно различных аспекта: изучение операций над множествами, мощностей бесконечных множеств и теоретико-множественный подход к математике в целом. Первый из них уходит корнями в глубокую древность, поскольку уже силлогизмы Аристотеля выражают по сути дела определенные отношения между множествами и операции над ними. Теоретикомножественные операции необходимы, например, для того, чтобы ЭВМ могли выполнять работу по сбору и переработке информации, и потому они предусматриваются в алгоритмических языках. Мы уже не говорим о том, что эти операции широко используются в современной математической литературе — безнадежной была бы попытка переписать без символов включения, объединения и пересечения множеств многие классические сочинения по математике XX в.
      Сложнее обстоит дело с практической значимостью теории бесконечных множеств. Ее роль более опосредована и состоит скорее в том, что теоретико-множественные понятия лежат в основе многих часто используемых математических теорем. Примерами могут служить теорема о неподвижной точке, лежащая в основе многих вычислительных процессов, теорема о компактности произведения компактных пространств и т. д. Одно из важнейших понятий современной математики — бесконечномерное гильбертово пространство — возникло в результате исследований Гильберта в области теории систем уравнений с бесконечным множеством неизвестных. При этом важнейшая модель таких пространств состоит из разрывных функций, интегрировать которые возможно лишь с помощью интеграла Лебега. В гильбертовом же пространстве лежит одно из самых удивительных образований — спираль Ви-
      пера, направления которой в любых двух ее точках перпендикулярны друг другу. Несмотря на свою причудливость, эта спираль является геометрическим образом важного для приложений понятия теории вероятностей — случайных процессов с независимыми приращениями.
      Не следует забывать при этом, что концепции математической логики, играющие столь важную роль в теории алгоритмических языков, были в значительной мере созданы в ходе осмысления парадоксов, которые возникли в теории бесконечных множеств. За последние годы приобретают практическое значение и иные аспекты этой теории. Известный американский специалист в области прикладной математики Р. Рихтмайер полагает, что в ближайшее время в обиход физики войдут концепции, которые будут заимствованы, в частности, и из теории множеств. Вообще, по его мнению, нет такого раздела математики, который не представлял бы потенциального интереса для физики.
      Наиболее спорным является третий аспект теории множеств — попытка построения всей математики на теоретико-множественной основе (так называемый «бурбакизм»). По этому вопросу мнения ученых бывают иногда противоположными. Одни ученые полагают, что эта попытка дает возможность трактовать с единой точки зрения различные математические проблемы и применять методы, созданные для решения одних вопросов, к изучению проблем, которые кажутся весьма далеко лежащими от этих вопросов. Другие математики (обычно более близко связанные с прикладными сторонами науки), обвиняют этот подход в излишнем формализме, несоответствии применяемых средств изучаемым проблемам. Корни этих разногласий лежат в несовпадении математического мировоззрения спорящих сторон, в различной оценке важности тех или иных проблем и достижений математической науки. Быть может, истинным окажется какой-то диалектический синтез точек зрения, которые сейчас представляются противоположными.
      Но независимо от исхода этих споров возникновение и развитие теории множеств явилось одним из важнейших этапов в истории математики, в процессе овладения человечеством понятием бесконечности. А этот процесс никогда не окончится, так как неисчерпаема сама идея бесконечности, в которой человеческий ум неизменно открывает все новые и новые стороны.
     
     
      К главе 1
      1 Фалес Милетский (ок. 625 — 547 до и. э.) — древнегреческий математик и астроном. Впервые ввел в математику понятие доказательства и доказал некоторые простейшие геометрические теоремы.
      2 Анаксимандр Милетский (ок. 585 — 525 до н. э.) — древнегреческий философ, ученик Фалеса. Впервые высказал догадку о бесконечности миров и Вселенной.
      3 Вейль Герман (1885 — 1955) — немецкий математик, автор выдающихся работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, алгебре и теории чисел. Много занимался философией математики, является одним из создателей интуиционизма.
      4 Апория — кажущееся трудно разрешимым, непреодолимым логическое затруднение.
      5 Левкипп (предположительно 500 — 440 до н. э.) — древнегреческий философ, атомист.
      6 Эпикур (ок. 341 — 271 до н. э.) — древнегреческий философ, атомист.
      7 Зенон Элейский (ок. 490 — 430 до н. э.) — древнегреческий философ, автор апорий, направленных против множественности, бесконечности, движения и наивного представления о континууме.
      8 Диоген Самосский (ок. 414 — 323 до н. а.) — древнегреческий философ.
      9 Френкель Абрагам (1891 — 1965) немецкий математик, автор работ по математической логике.
      10 Наан Густав Иоганович (р. 1919) — советский философ, занимающийся философскими проблемами естествознания.
      11 Антифонт (2-я половина V в. до н. э.) — древнегреческий философ-софист.
      12 Евдокс Книдский (ок. 408 — ок. 355 до н. э.) — древнегреческий математик и астроном, создатель теории несоизмеримых величин и «метода исчерпывания» для доказательства теорем о площадях и объемах.
      13 Гипатия из Александрии (370 — 415) — философ, математик и астроном. По наущению архиепископа Кирилла зверски растерзана толпой христианских фанатиков.
      14 Альберт Великий (ок. 1193 — 1280) — немецкий философ, естествоиспытатель, богослов и логик. Пытался в теологических целях использовать учение Аристотеля.
      15 Брадвардин Томас (1300 — 1349) — английский математик, автор «Трактата о континууме», впервые применил в математическом смысле слово «иррациональный».
      16 Баконтроп Джон — английский схоласт XIV в.
      Ч Николай Кузанский (1401-1464) = немецкий философ и теолог.
      ocv6;iH osd;3 нъ caie PRESS HEESON
      Его работы подготовили ренессансный пантеизм и создали предпосылки для обоснования бесконечности Вселенной.
      18 Кавальери Бонавентура (1598 — 1647) — итальянский математик, ученик Галилея, создатель метода неделимых для отыскания площадей и объемов.
      19 Фонтенель Бернар (1657 — 1757) — французский литератор и популяризатор науки, один из пионеров просветительской философии.
      20 Д’Аламбер Жан (1717 — 1783) — фрапцузский математик, механик и философ, один из создателей математической физики.
      21 Абель Нильс (1802 — 1829 ) — норвежский математик, доказал невозможность решения уравнений 5-й степени в радикалах, один из создателей современных критериев строгости рассуждений в математическом анализе.
      22 Коши Огюстен (1789 — 1857) — французский математик, создатель теории функций комплексного переменного. Построил математический анализ на основе понятия предела.
      23 Гаусс Карл (1777 — 1855) — крупнейший немецкий математик XIX столетия. Получил ряд результатов фундаментального значения в алгебре, геометрии, теории чисел, математическом анализе.
      24 Шумахер Генрих (1780 — 1850) — немецкий астроном.
      25 Ряман Бернгард (1826 — 1866) — немецкий математик, получил ряд замечательных результатов в теории функций комплексного переменного, геометрии и других областях математики. Один из создателей общего понятия многомерного пространства (ри-манова геометрия).
      26 Лобачевский Николай Иванович (1792 — 1856) — русский математик, творец неевклидовой геометрии. Является также одним из создателей современного определения функции.
      27 Фридман Александр Александрович (1888 — 1925) — советский физик и космолог.
      28 Леметр Жорж (1894 — 1966) — бельгийский астроном и астрофизик, автор теории расширяющейся Вселенной.
      29 Ситтер де, Виллем (1872 — 1934) — голландский астроном, один из пионеров применения теории относительности к космологии.
      30 Слейфер Весто (1875 — 1969) — американский астроном, впервые измеривший лучевые скорости туманностей.
      31 Хаббл Эдвин (1889 — 1953) — американский астроном, установил, что туманности являются звездными системами.
      32 Дорошкевич Андрей Георгиевич (р. 1937) — советский физик и космолог.
      33 Новиков Игорь Дмитриевич (р. 1935) — советский астрофизик и космолог.
      34 Бриллгоэн Леон (1889 — 1969) — французский физик, автор работ по квантовой механике, теории информации, философии науки.
      35 Зельманов Абрам Леонидович (р. 1913) — советский космолог.
      К главе 2
      1 Кантор Георг (1845 — 1918) — немецкий математик, создатель тецрии множеств.
      2 Лузин Николай Николаевич (1883 — 1950) — советский математик, один из основателей Московской математической школы, автор ряда выдающихся работ по теории множеств и теории функций действительного переменного.
      3 Манин Юрий Иванович (р. 1937) — советский математик, автор работ по алгебре и приложениям математики к современной физике.
      4 Заде Лотфи (р. 1918) — американский математик, создатель теории нечетких множеств.
      6 Дирихле Л ежен (1805 — 1859) — немецкий математик, автор работ по теории чисел, математической физике, теории рядов.
      6 Дедекинд Рихард (1831 — 1916) — немецкий математик, один из создателей современной алгебры. В своих работах близко подошел к идеям теории множеств.
      2 Больцано Бернард (1781 — 1848) — чешский математик, философ и логик, автор ряда работ по основам математического анализа и теории бесконечных множеств.
      8 Бернштейн Феликс (1878 — 1956) — немецкий математик.
      9 Лиувилль Жозеф (1809 — 1882) — французский математик, автор работ по математическому анализу и теории чисел.
      10 Линдеман Карл (1852 — 1939) — немецкий математик, доказал трансцендентность числа л.
      11 Александров Павел Сергеевич (1896 — 1982) — советский математик, создатель советской топологической школы.
      12 Колмогоров Андрей Николаевич (р. 1903) — советский математик, автор ряда замечательных работ в области теории функций действительного переменного, теории вероятностей, топологии.
      К главе 3
      1 Декарт Рене (1596 — 1650) — французский математик и философ, создатель аналитической геометрии, ввел понятие переменной величины, изучал зависимости между величинами.
      2 Вейерштрасс Карл (1815 — 1897) — немецкий математик, один из создателей теории функций комплексного переменного. Построил арифметическую теорию действительных чисел и на ее основе перестроил изложение математического анализа.
      3 Мерэ Шарль (1835 — 1911) — французский математик, построил арифметическую теорию действительных чисел одновременно с Вейерштрассом.
      4 Фреге Готлоб (1848 — 1925) — немецкий математик и логик.
      3 Гильберт Давид (1862 — 1943) — крупнейший немецкий математик XX в. Автор замечательных работ в области теории инвариантов, теории алгебраических чисел, вариационного исчисления, оснований математики, функционального анализа. Ввел понятие бесконечномерного пространства.
      6 Кронекер Леопольд (1823 — 1891) — немецкий математик, работавший в области алгебры и теории чисел.
      3 Непер Джон (1550 — 1617) — шотландский математик, создатель теории логарифмов.
      8 Бернулли Иоганн (1667 — 1748) — швейцарский математик, один из создателей математического анализа, внес большой вклад в развитие понятия функции.
      9 Эйлер Леонард (1707 — 1783) — математик, физик, механик и астроном. Родился в Швейцарии, большую часть жизни прожил в России. Автор замечательных работ по математическому анализу, в которых он развил общие методы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, изучал функции комплексного переменного.
      Бернулли Даниил (1700 — 1782) — физик и математик, сын Иоган-
      на Бернулли. Автор ряда работ в области математической физики.
      11 Фурье Жозеф (1768 — 1830) — французский математик. Изучал уравнения математической физики, широко используя для их решения тригонометрические ряды.
      12 Пуанкаре Анри (1854 — 1912) — французский математик, физик, астроном и философ, один из крупнейших математиков XX в. Ему принадлежат выдающиеся работы почти во всех областях математической науки.
      13 Ван-дер-Варден Бартел (р. 1903) — голландский математик, работал в области алгебры, статистики, истории математики.
      14 Эрмнт Шарль (1822 — 1901) — французский математик, автор многочисленных исследований по математическому анализу, алгебре, теории чисел.
      Стилтьес Томас (1856 — 1894) — голландский математик, автор ряда работ по математическому анализу.
      16 Перрон Жан (1870 — 1942) — французский физик и физико-хи-мик, экспериментально изучал броуновское движение.
      Ч Винер Норберт (1894 — 1964) — американский ученый, «отец кибернетики». Ряд его работ посвящен функциональному анализу и изучению бесконечномерных пространств.
      18 Лагранж Жозеф (1736 — 1813) — французский математик и механик, один из создателей вариационного исчисления, автор ряда работ в области математического анализа и его приложений.
      19 Жордан Камилл (1838 — 1922) — французский математик, один из создателей теории групп.
      20 Пеано Джузеппе (1858 — 1932) — итальянский математик, занимался теорией дифференциальных уравнений и формальнологическим обоснованием математики.
      21 Борель Эмиль (1871 — 1956) — французский математик, автор работ по теории функций действительного переменного и многим областям математического анализа.
      22 Лебег Анри (1875 — 1941) — французский математик. Ввел обобщение понятия интеграла, широко пспользуемое в современной математике.
      23 Шварц Герман (1843 — 1921) — пемецкпй математик, автор работ в области математического анализа.
      24 Дарбу Гастон (1842 — 1917) — французский математик, автор работ по дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и другим областям математики.
      25 Остроградский Михаил Васильевич (1801 — 1862) — русский математик, один из основателей петербургской математической школы, автор выдающихся работ по уравнениям математической
      физики, математическому анализу, теоретической механике.
      26 Чебышев Пафнутин Львович (1821 — 1894) — русский математик и механик, основатель петербургской математической школы, автор замечательных работ по математическому анализу, теории чисел, теории вероятностей, теории механизмов.
      27 Марков Андрей Андреевич (1856 — 1922) — русский математик, автор выдающихся работ по теории чисел, математическому анализу, теории вероятностей.
      28 Ляпунов Александр Михайлович (1857 — 1918) — русский математик и механик, автор выдающихся работ в области теории потенциала, устойчивости движения, теории равновесия фигур вращающейся жидкости, теории вероятностей.
      29 Стеклов Владимир Андреевич (1864 — 1926) — русский и советский математик, автор выдающихся работ по математической физике.
      30 Коркин Александр Николаевич (1837 — 1908) — русский математик, автор работ по теории чисел и по уравнениям в частных производных.
      31 Жегалкнн Иван Иванович (1869 — 1947) — советский математик, автор работ по математической логике, основаниям математики, теории множеств.
      32 Егоров Дмитрий Федорович (1869 — 1931) — советский математик, автор работ по дифференциальной геометрии, теории интегральных уравнений и теории функций действительного переменного.
      33 Меньшов Дмитрий Евгеньевич (р. 1892) — советский математик, автор выдающихся работ по теории тригонометрических и ортогональных рядов.
      34 Бари Нина Карловна (1901 — 1961) — советский математик, автор работ по теории тригонометрических рядов.
      36 Суслин Михаил Яковлевич (1894 — 1919) — русский математик, один из создателей дескриптивной теории множеств.
      36 Новиков Петр Сергеевич (1901 — 1975) — советский математик, автор выдающихся работ по дескриптивной теории множеств и математической логике.
      37 Келдыш Людмила Всеволодовна (1904 — 1976) — советский математик, автор работ по дескриптивной теории множеств.
      38 Серпинскнй Вацлав (1882 — 1969) — польский математик, основатель польской математической школы. Автор работ по теории функций действительного переменного, топологии, теории чисел.
      39 Лаврентьев Михаил Алексеевич (1900 — 1980) — советский математик и механик, один из основателей Сибирского отделения АН СССР. Автор выдающихся работ в области теории функций, квазиконформных отображений, аэро- и гидродинамики.
      40 Брауэр Лёйтзен (1881 — 1966) — голландский математик, автор важных результатов в области топологии, функционального анализа, математической логики.
      41 Урысон Павел Самуилович (1898 — 1924) — советский математик, автор важных работ в области теоретико-множественной топологии, один из создателей общей теории размерности.
      К главе 4
      1 Гурвиц Адольф (1859 — 1919) — немецкий математик, автор работ в области математического анализа, теории функций, алгебры и теории чисел.
      2 Адамар Жак (1865 — 1963) — французский математик, автор выдающихся работ в области математической физики, теории функций, теории чисел.
      3 Бурали-Форти Чезаро (1861 — 1931) — итальянский математик.
      4 Рассел Бертран (1872 — 1970) — английский логик, философ, математик и общественный деятель. Основатель логического течения в обосновании математики, пытающийся свести математику к логике.
      5 Шнирельман Лев Генрихович (1905 — 1938) — советский математик, автор выдающихся работ по теории чисел, топологии, топологическим и качественным методам математического анализа.
      с Цермело Эрнест (1871 — 1953) — немецкий математик, автор работ
      по теории множеств, вариационному исчислению и теории вероятностей.
      ? Бэр Рене (1874 — 1932) — французский математик, работал в области теории функций действительного переменного.
      8 Куратовскип Казнмеж (1896 — 1980) — польский математик, автор работ в области топологии, теории функций действительного переменного, математической логики.
      9 Бурбаки Николя — коллективный псевдоним группы современных французских математиков, публикующих многотомный трактат «Элементы математики».
      10 Гёдель Курт (р. 1906) — австрийский математик и логик.
      11 Коэн Поль (р. 1934) — американский математик, получивший решение проблемы континуума.
      12 Больяи Янош (1802 — 1860) — венгерский математик. Независимо от Н. И. Лобачевского (но несколько позже) создал неевклидову геометрию.
      13 Уайтхед Альфред (1861 — 1947) — английский математик и логик. Совместно с Б. Расселом написал книгу «Принципы математики».
      14 Куайн Виллард (р. 1908) — американский математик, один из крупнейших специалистов в области математической логики и оснований математики.
      13 Пойа Дьердь (р. 1887) — венгерский математик, автор работ по функциональному анализу, математической статистике и комбинаторике.
     
      ОГЛАВЛЕНИЕ
      Предисловие 3
      Глава 1. Бесконечность н Вселенная 5
      Глава 2. Тайны бесконечных множеств... 41
      Глава 3. Удивительные функции и линии, или
      прогулки по математической кунсткамере.. 83
      Глава 4. В поисках абсолюта 131
      Заключение... 152
      Примечания... 155