В царстве смекалки

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
      Книга Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки», написанная в начале нашего века, является одной из первых популярных книг по математике, изданных на русском языке. В ней содержится большое количество задач занимательного характера, имеющих различную степень трудности. Как правило, задачи решаются с привлечением минимальных сведений из арифметики и геометрии, но требуют сообразительности и умения логически мыслить.
      Книга рассчитана на очень широкую читательскую аудиторию. С удовольствием и пользой для себя прочтут ее школьники, как младших классов, так и старшеклассники. Родители найдут в ней интересные упражнения для развития смекалки у детей дошкольного возраста. Часть задач представляет интерес и для взрослых читателей. Внутри каждого раздела задачи расположены в порядке возрастания трудности. Может быть, взрослым некоторые из них покажутся знакомыми. Причина в том, что многие задачи из книги Е. И. Игнатьева попали в более поздние популярные издания и стали широко известны.
      За 70 лет, прошедших с момента выхода первого издания книги, совершились огромные изменения в общественном и социальном устройстве нашей страны. Условия многих задач, отражавшие реальные отношения прошлого века, сегодняшнему читателю показались бы непривычными. Мы переработали часть задач, стараясь придать им более современный вид или стилизуя под старинные истории и сказки. При этом всюду, где только было возможно, сохранялся образный язык автора. Опущены некоторые главы книги, на наш взгляд, не очень интересные современному читателю. Вместе с тем добавлено небольшое количество близких по тематике задач.
      По своей структуре настоящее издание существенно отличается от предыдущего (М., «Наука», 1978 г.). Учитывая просьбы читателей, мы выделили решения задач, советы и некоторые комментарии в самостоятельный раздел. Стремясь к тому, чтобы книга была понятна всем категориям читателей, мы и в новом издании сохранили интуитивно ясный всем термин «равные фигуры». Тем более, что в книге речь идет не о формальных математических конструкциях, рассматриваемые треугольники и квадраты как правило являются кусками обычной бумаги.
      1978, М. К. Потапов, Ю. В. Нестеренко
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ИЗДАНИЮ 1908 г
      Станет ли кто в наше время отрицать настоятельную необходимость самого широкого распространения и популяризации математических знаний? Первоначальные математические познания должны входить с самых ранних лет в наше образование и воспитание. Само собой разумеется при этом, что умственную самодеятельность, сообразительность и «смекалку» нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надежны лишь тогда, когда введение в область математических знаний совершается в легкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью. Пытаясь перенести читателя в «царство смекалки», мы, конечно, не обольщаем себя надеждой, что смогли показать ему это царство во всей его прелести и полноте. Для этого понадобилась бы не одна такая книга: так велика и обширна область только тех отделов математики, которые можно подвести под общее заглавие «математических игр и развлечений».
      Внимательный читатель заметит, что книга по возможности разбита на разделы, содержащие каждый однородные задачи в порядке возрастания их трудности. Нет, вообще говоря, никакой надобности читать и разбираться в такой книге подряд. Каждый может для начала взять тот раздел, который его наиболее заинтересует, и разобраться сначала в нем, затем перейти к любому другому и т.д. Нельзя, однако, поручиться, что принятая нами планировка материала удовлетворит всех. Слишком субъективное это дело: что одному дается трудно, то другому легко, и наоборот. Легко убедиться, что почти все предлагаемые в книге задачи можно видоизменять и делать предметом беседы даже с маленькими детьми. С другой стороны, мы надеемся, что данная книга может послужить неплохим пособием для математического саморазвития не одного только учащегося юношества, а для всех вообще чувствующих склонность к работе ума.
     
      ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА К ИЗДАНИЮ 1911 г. РОЛЬ ПАМЯТИ В МАТЕМАТИКЕ
      Относительно математики в нашем обществе еще до сих пор существуют самые странные предрассудки. Одни говорят, что заниматься математикой могут только исключительные, одаренные совсем особыми способностями умы, другие утверждают, что для этого необходима особая, так сказать, «математическая память» для запоминания формул и т. д.
      Нельзя, конечно, спорить против того, что существуют умы с резко выраженными склонностями к той или иной стороне умственной деятельности. Но точно так же никоим образом нельзя утверждать, что существуют хотя мало-мальски нормальные умы, которые совсем не способны к восприятию и полному усвоению необходимых математических знаний, хотя бы, скажем, в размерах курса средней школы.
      Будем справедливы и признаем, наконец, что выражение «неспособен к математике» есть прежде всего горький продукт нашего неумения, а, пожалуй, иногда и легкомысленного нежелания поставить в семье и школе преподавание математики на должную высоту.
      Еще менее можно говорить о необходимости для математики какой-то особой, специальной памяти для запоминания (зазубривания?) каких-то формул или правил, науку сознательной и последовательной логической мысли обращать в какой-то механический, бессознательный процесс. А между тем, как далеко может заходить дело в этом отношении, свидетельствует известный русский математик В. П. Ермаков. Вот что, между прочим, сообщал он в одном из своих докладов Киевскому физико-математическому обществу.
      «Когда мне пришлось студентам читать интегральное исчисление, то в первый же год произошел эпизод, который навсегда сохранится в моей памяти.
      Прочитавши часть теории, я для пояснения даю задачи. Я прошу студентов решать задачи в тетрадях. По мере решения я пишу полученные результаты на доске. Однажды для пояснения способов понижения биномиальных интегралов я написал на доске подходящую задачу. И вот вижу, что некоторые студенты вынимают из карманов какие-то тетрадки и смотрят в них.
      — Что это?
      — Общие формулы.
      — Зачем?
      — Нам прежний профессор советовал иметь список общих формул и по нему решать частные примеры. Ведь не станете же вы требовать, чтобы мы заучили на память все сорок общих формул.
      — Заучивать в математике никаких формул не следует. Но я нахожу также неуместным пользование справочными пособиями и нахождение интегралов по общим формулам подстановкою в них данных значений показателей. и коэффициентов. Ведь не с неба свалились к нам общие формулы; для вывода их вы употребили ряд рассуждений; применяйте те же рассуждения к частным примерам.
      Таким образом оказалось возможным находить всякие интегралы и без общих формул. Пришлось, впрочем, некоторые выкладки видоизменить так, чтобы они непосредственно могли быть приложены к частным примерам.
      Получилась еще и та выгода, что на каждом частном примере студенты повторяли все те же рассуждения, которые необходимы для вывода общей формулы. От частого повторения приобретался навык, и в результате — быстрота решения задач.
      Рассказанный эпизод заставил меня глубже вникнуть в сущность математики.
      В молодых летах и я обращал все внимание на конечные результаты. Разбирая какое-нибудь доказательство, я заботился только о том, чтобы убедиться в его строгости. Вот добрался до окончательного результата, и довольно! Дальше я старался помнить окончательные выводы, весь же процесс доказательства быстро испарялся. Но потом забывались и формулы, а часто эти формулы оказывались необходимыми при дальнейших занятиях. Что же оставалось делать? Собирать библиотеку из справочных книг? Но на это не хватало средств, да и не было помещения для библиотеки. Поневоле приходилось припоминать самый процесс, при помощи которого выводилась та или иная формула. Таким образом, вместо формул, мало-помалу я пришел к самим доказательствам. Оказалось, что легче припомнить процесс математического мышления, чем голые формулы. Да и нет надобности помнить целиком весь процесс мышления, достаточно наметить этапные пункты, по которым должна идти наша мысль. И вот уже несколько лет, как я своим слушателям твержу: в математике следует помнить не формулы, а процесс мышления.
      Прочитавши какой-нибудь отдел из аналитической геометрии, я излагаю студентам конспект, в котором без формул намечаю главные пункты мышления.
      Если выражен процесс математического мышления, то получение самих формул является уже делом чисто механическим. В механизме же алгебраических действий ученики должны приобрести навыки еще в средней школе.
      Я пришел к тому убеждению, что указанный мною принцип должен быть применен и в средней школе...»
      Продолжим мысль В. П. Ермакова и скажем: указанный принцип должен в особенности лечь в основание начального — как семейного, так и школьного — образования в области математических знаний. Не натаскивайте ни ребят, ни юношей на различных «табличках» сложения, вычитания, умножения, на механическом запоминании различных «правил» и формул, а прежде всего приучайте охотно и сознательно мыслить. Остальное приложится. Не мучьте никого длиннейшими скучнейшими и механическими вычислениями и упражнениями.
      Когда они понадобятся кому-либо в жизни, он их проделает сам, — да на это нынче есть всякие счетные машины, таблицы и иные приспособления.
     
      I. ЗАДАЧИ-ШУТКИ, ЗАДАЧИ-ЗАГАДКИ И ШУТОЧНЫЕ ИСТОРИИ
     
      1. Дележ
      Разделить 5 яблок между пятью лицами так, чтобы каждый получил по яблоку и одно яблоко осталось в корзине.
     
      2. Сколько кошек?
      В комнате четыре угла. В каждом углу сидит кошка. Напротив каждой кошки по три кошки. На хвосте каждой кошки по одной кошке. Сколько же всего кошек в комнате?
     
      3. Портной
      Портной имеет кусок сукна в 16 метров, от которого он отрезает ежедневно по 2 метра. По истечении скольких дней он отрежет последний кусок?
     
      4. Число 666
      Число 666 увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий.
     
      5. Дробь
      Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?
     
      6. Разрубить подкову
      Двумя ударами топора разрубить подкову на шесть частей, не перемещая частей после удара.
     
      7. Что сказал старик?
      Два молодых казака, оба лихие наездники, часто бились между собою об заклад, кто кого перегонит. Не раз то тот, то другой был победителем, наконец, это им надоело.
      — Вот что, — сказал Григорий, — давай спорить наоборот. Пусть заклад достанется тому, чей конь придет в назначенное место вторым, а не первым.
      — Ладно! — ответил Михаил.
      Казаки выехали на своих конях в степь. Зрителей собралось множество: всем хотелось посмотреть на такую диковинку. Один старый казак начал считать, хлопая в ладоши:
      — Раз!.. Два!.. Три!..
      Спорщики, конечно, ни с места. Зрители стали смеяться, судить да рядить и порешили, что такой спор невозможен и что спорщики простоят на месте, как говорится, до скончания века. Тут к толпе подошел седой старик, видавший на своем веку разные виды.
      — В чем дело? — спрашивает он.
      Ему сказали.
      — Эге ж! — говорит старик, — вот я им сейчас шепну такое слово, что поскачут, как ошпаренные...
      И действительно... подошел старик к казакам, сказал им что-то, и через полминуты казаки уже неслись по степи во всю прыть, стараясь непременно обогнать друг друга, но заклад все же выиграл тот, чья лошадь приходила второй.
      Что сказал старик?
     
      II. УПРАЖНЕНИЯ СО СПИЧКАМИ
     
      Запаситесь коробкой спичек. С их помощью вы всегда можете придумать ряд забавных и остроумных задач, развивающих сообразительность и смышленость. Вот для примера некоторые простейшие из них.
     
      8. Сто
      Приложить к четырем спичкам (рис. 1) пять спичек так, чтобы получилось сто.
      Решение задачи показано на рис. 2. Попробуйте найти еще одно решение.
     
      9. Три
      Положено пять спичек (рис. 3). Прибавить к ним еще пять спичек так, чтобы получилось три.
     
      10. Дом
      Из спичек построен дом (рис. 4). Переложить две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.
     
      11. Рак
      Спичечный рак ползет вверх (рис. 5). Переложить три спички так, чтобы он пополз вниз.
     
      12. Весы
      Весы составлены из девяти спичек и не находятся в состоянии равновесия (рис. 6). Требуется переложить в них пять спичек так, чтобы весы были в равновесии.
     
      13. Две рюмки
      Две рюмки составлены из десяти спичек (рис. 7). Переложить шесть спичек так, чтобы получился дом.
     
      14. Храм
      Этот греческий храм (рис. 8) построен из одиннадцати спичек. Требуется переложить четыре спички так, чтобы получилось пятнадцать квадратов.
     
      15. Флюгер
      Флюгер (рис. 9) составлен из десяти спичек. Переложить четыре спички так, чтобы получился дом.
     
      16. Фонарь
      Переложив шесть спичек, требуется фонарь (рис. 10) превратить в четыре равных треугольника.
     
      17. Топор
      Переложив четыре спички, превратить топор (рис. 11) в три равных треугольника.
     
      18. Лампа
      В лампе, составленной из двенадцати спичек (рис. 12), переложить три спички так, чтобы получилось пять равных треугольников.
     
      19. Ключ
      Из десяти спичек сделан ключ (рис. 13). Переложить в нем четыре спички так, чтобы получилось три квадрата.
     
      20. Три квадрата
      Построена фигура, показанная на рис. 14. Переложить в ней пять спичек так, чтобы получилось три квадрата.
     
      21. Пять квадратов
      Спички расположены, как показано на рис. 15. Переложить две спички так, чтобы получилось пять равных квадратов.
     
      22. Три квадрата
      В фигуре, изображенной на рис. 16,снять три спички так, чтобы получилось три равных квадрата.
     
      23. Два квадрата
      В фигуре, изображенной на рис. 17,переложить пять спичек так, чтобы получилось всего два квадрата.
     
      24. Три квадрата
      В спичечной фигуре на рис. 18 переложить три спички так, чтобы получилось три равных квадрата.
     
      25. Четыре квадрата
      Из спичек сложена фигура, представленная на рис. 19. Переложить семь спичек так, чтобы получилось четыре квадрата.
     
      26. Квадраты
      В фигуре на рис. 20 снять восемь спичек так, чтобы: 1) осталось только два квадрата; 2) осталось четыре равных квадрата.
     
      27. Четыре треугольника
      Из шести спичек, расположив их без перекрытий, составить четыре равных равносторонних треугольника.
      Сложите 16 спичек так, чтобы все сооружение можно было поднять, держась только за одну спичку.
     
      III. КАК СОСЧИТАТЬ?
     
      29. Движение пальца
      Один малыш жаловался, что ему трудно запомнить таблицу умножения первых десяти чисел на 9. Отец его нашел очень легкий способ помочь памяти с помощью пальцев рук. Вот этот способ.
      Положите обе руки рядом на стол и вытяните пальцы. Пусть каждый палец по порядку означает соответствующее число: первый слева 1, второй за ним 2, третий 3, четвертый 4 и т. д. до десятого, который означает 10. Требуется теперь умножить любое из первых десяти чисел на 9. Для этого вам стоит только, не сдвигая рук со стола, приподнять вверх тот палец, который обозначает мйожимое. Тогда остальные пальцы, лежащие налево от поднятого пальца, дадут в сумме число десятков, а пальцы направо — число единиц.
      Пусть надо умножить 7 на 9. Кладите обе руки на стол и поднимите седьмой палец, налево от поднятого пальца лежит 6 пальцев, а направо — 3. Значит, результат умножения 7 на 9 равен 63.
      Это удивительное на первый взгляд механическое умножение тотчас же станет понятным, если рассмотреть таблицу умножения первых десяти последовательных чисел на 9:
      1 X 9 = 09 6 X 9 = 54
      2 X 9 = 18 7 X 9 = 63
      3 X 9 = 27 8 X 9 = 72
      4 X 9 = 36 9 X 9 = 81
      5 X 9 = 45 10 X 9 = 90
      Здесь цифры десятков в произведениях идут, последовательно увеличиваясь на единицу: 0, 1, 2, 3, 4, ..., 8, 9; а цифры единиц идут, наоборот, уменьшаясь на единицу: 9, 8, 7, ..., 1, 0. Сумма же цифр единиц и десятков всюду равна 9. Простым поднятием соответствующего пальца мы отмечаем это и... умножаем. Человеческая рука есть одна из первых счетных машин.
     
      30. Рейс через океан
      Каждый день в полдень отправляется пароход из Гавра через Атлантический океан в Нью-Йорк и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно за 7 дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк?
     
      31. Продажа яблок
      Крестьянка принесла на рынок корзину яблок. Первому покупателю она продала половину всех своих яблок и еще пол-яблока, второму — половину остатка и еще пол-яблока, третьему — половину остатка да еще пол-яблока и т. д. Когда же пришел шестой покупатель и купил у нее половину оставшихся яблок и пол-яблока, то оказалось, что у него, как и у остальных покупателей, все яблоки целые и что крестьянка продала все свои яблоки. Сколько яблок она принесла на рынок?
     
      32. Гусеница
      В шесть часов утра в воскресенье гусеница начала подниматься по дереву. В течение дня, т. е. до 18 часов, она поднималась на высоту 5 м, а в течение ночи спускалась на 2 м. В какой день и час она поднимется на высоту 9 м?
     
      33. Велосипедисты и муха
      Два города, А и В, находятся на расстоянии 300 км друг от друга. Из этих городов одновременно выезжают друг другу навстречу два велосипедиста и мчатся, не останавливаясь, со скоростью 50 км/ч. Но вместе с первым велосипедистом из города А вылетает муха, пролетающая в час 100 км. Муха опережает первого велосипедиста, летит навстречу второму, выехавшему из В. Встретив его, она сразу поворачивает назад к велосипедисту А. Повстречав его, опять летит обратно навстречу велосипедисту В.
      Так продолжала она свои полеты вперед и назад до тех пор, пока велосипедисты не съехались. Тогда она успокоилась и села одному из велосипедистов на шапку. Сколько километров пролетела муха?
     
      34. Собака и два путешественника
      Два путешественника идут по одной и той же дороге в одном и том же направлении. Первый находится на 8 км впереди другого и идет со скоростью 4 км/ч, второй делает по 6 км в час. У одного из путешественников есть собака, которая именно в тот момент, когда мы начали наблюдать за ними, побежала от своего хозяина к другому путешественнику (ее скорость 15 км/ч). Затем она вернулась к хозяину и опять побежала к другому путешественнику. Так она бегала от одного к другому до тех пор, пока путешественники не встретились. Нужно узнать, какой путь пробежала собака.
     
      35. Быстрое возведение в квадрат
      Существует очень простой прием для устного быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, оканчивающихся на 5. Нужно цифру десятков умножить на ближайшее к этой цифре большее целое число и к произведению приписать 25.
      Например, 352 = 1225, 852 = 7225.
      Объясните, почему так получается.
     
      36. Интересное число
      Некоторое число оканчивается на 2. Если же эту его последнюю цифру переставить на первое место, то число удвоится. Найти это число.
     
      37. Найти число
      Найти число, которое, будучи разделено на 2, дает в остатке 1, при делении на 3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4, при делении на 6 дает в остатке 5, но на 7 это число делится нацело.
     
      38. Сумма последовательных чисел
      Для предлагаемой задачи можно пользоваться карточками, которые нетрудно нарезать из бумаги, и нарисовать на них карандашом, или чернилами черные кружочки. На первой — один кружочек, на второй - 2, на третьей — 3 и т. д. до десяти. Каждую карточку надо сделать в двух экземплярах. Теперь мы вполне подготовлены для практического решения следующей задачи:
      Взято десять сделанных нами карточек, от единицы до десятка. Вычислить, сколько всего очков будет в этих десяти карточках, не прибавляя последовательно очков первой карточки ко второй, результата этого сложения — к очкам третьей и т. д., т. е. не делая длинного ряда последовательных сложений.
      Дело сводится к тому, чтобы быстро, без последовательного сложения узнать сумму первых десяти чисел (от 1 до 10). Берем десять карточек от единицы до десятки и кладем их в ряд. Берем затем десять других карточек и подкладываем их под первым рядом, но только в обратном порядке:
      123456789 10
      10 987654321
      У нас получается два ряда по десяти карточек, или десять столбцов по две карточки. Если сосчитать, сколько очков в каждом столбце, окажется, что в каждом столбце по одиннадцати очков. А всего в десяти столбцах, или в двух рядах карточек, — десять раз по одиннадцати очков, или 110 очков. Но в обоих длинных рядах, очевидно, по одинаковому числу очков. Значит, сумма всех очков одного ряда равна половине от 110, т. е. равна 55. Итак, в десяти карточках — 55 очков.
      Нетрудно видеть, что подобным же образом, не прибегая к последовательному сложению, мы можем вычислить сумму любого ряда целых последовательных чисел до любого данного числа. Например, сумма всех чисел от 1 до 100 будет равна половине сто раз взятого 101, т. е. 5050.
     
      39. Сбор яблок
      На расстоянии метра одно от другого лежат в ряд сто яблок, и на расстоянии метра же от первого яблока садовник принес и поставил корзину. Спрашивается, какой длины путь совершит он, если возьмется собрать эти яблоки так, чтобы брать их последовательно одно за другим и каждое отдельно относить в корзину, которая все время стоит на одном и том же месте?
     
      40. Бой часов
      Сколько ударов в сутки делают часы с боем?
     
     
      IV. ПЕРЕПРАВЫ И РАЗЪЕЗДЫ
     
      45. Волк, коза и капуста
      Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой, то волк съест козу, а если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как перевез свой груз крестьянин?
     
      46. Переправа трех рыцарей с оруженосцами
      Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки, намереваясь переправиться на другую сторону. Им удалось найти маленькую двухместную лодку, и переправа произошла бы легко, ведь лошади могли перебраться вплавь. Но одно затруднение чуть было не помешало этому предприятию. Все оруженосцы, словно сговорившись, наотрез отказались оставаться в обществе незнакомых рыцарей без своих хозяев. Не помогли ни уговоры, ни угрозы. Трусливые оруженосцы упорйо стояли на своем. И все же переправа состоялась, все шесть человек благополучно перебрались на другой берег с помощью одной двухместной лодки. При этом соблюдалось условие, на котором настаивали оруженосцы. Как это было сделано?
     
      47. Переправа четырех рыцарей с оруженосцами
      Можно ли совершить переправу при тех же условиях, если к реке подъехали четыре рыцаря с оруженосцами?
     
      48. Переправа в трехместной лодке
      К реке подъехали четыре рыцаря с оруженосцами и обнаружили одну трехместную лодку. Могут ли они переправиться на другой берег, соблюдая условие предыдущих задач?
     
      49. Переправа через реку с островом
      Четыре рыцаря с оруженосцами должны переправиться через реку на лодке без гребца, которая вмещает не более двух человек. Посреди реки есть остров, на котором можно высаживаться. Спрашивается, как совершить эту переправу так, чтобы ни на берегах, ни на острове, ни в лодке ни один оруженосец не находился в обществе чужих рыцарей без своего хозяина?
     
      50. На станции железной дороги
      Поезд Б приближается к станции железной дороги, но его нагоняет быстрее идущий поезд А, который необходимо пропустить вперед. У станции от главного пути отходит боковая ветка, куда можно отвести на время вагоны с главного пути, но ветка эта настолько короткая, что на ней не помещается весь поезд Б. Спрашивается, как все-таки пропустить поезд А вперед?
     
      51. Разъезд шести пароходов
      По каналу один за другим идут три парохода: А, £, В. Навстречу им показались еще три парохода, которые тоже идут один за другим: Г, Д, Е. Канал такой ширины, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в канале с одной стороны есть залив, в котором может поместиться только один пароход. Могут ли пароходы разъехаться так, чтобы продолжать свой путь по-прежнему?
     
      V. ДЕЛЕЖИ ПРИ ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВАХ
     
      52. Вместо мелких долей крупные
      Разделить поровну 5 пряников между шестью мальчиками, не разрезая ни одного пряника на 6 равных частей.
      Подобных задач можно, конечно, придумать сколько угодно. Так, например, в данной задаче вместо чисел 5 и 6 могут быть поставлены следующие числа: 7 на 6, 7 на 10, 9 на 10, 11 на 10, 13 на 10, 7 на 12, 11 на 12, 13 на 12, 9 на 14, 11 на 14, 13 на 14, 15 на 14, 17 на 14 и т. д.
      Во всех задачах подобного рода требуется мелкие доли перевести в более крупные. Разнообразить задачи можно всячески, предлагая, например, такие вопросы:
      Можно ли 5 листов бумаги разделить между восемью учениками, не деля ни одного листа на восьмые доли?
      Такие задачи очень полезны для отчетливого и быстрого понимания смысла дробей.
     
      53. Кто прав?
      Два лесоруба, Никита и Павел, работали вместе в лесу и сели завтракать. У Никиты было 4 лепешки, у Павла — 7. Тут к ним подошел охотник.
      — Вот, братцы, заблудился в лесу, до деревни далеко, а есть очень хочется; поделитесь со мною хлебом-солью!
      — Ну, что ж, садись; чем богаты, тем и рады, — сказали Никита и Павел.
      11 лепешек были разделены поровну на троих. После завтрака охотник пошарил в карманах, нашел гривенник и копейку и сказал:
      — Не обессудьте, братцы, больше при себе ничего нет. Поделитесь, как знаете!
      Охотник ушел, а лесорубы заспорили. Никита говорит:
      — По-моему, деньги надо разделить поровну!
      А Павел ему возражает:
      — За 11 лепешек 11 копеек. И на лепешку приходится по копейке. У тебя было 4 лепешки, тебе 4 копейки, у меня 7 лепешек, мне 7 копеек!
      Кто из них сделал правильный расчет?
     
      54. Спор
      Трое крестьян Иван, Петр и Николай за выполненную работу получили мешок зерна. На беду под рукой не оказалось мерки и пришлось делить зерно «на глазок». Старший среди крестьян — Иван, рассыпал зерно на три кучи, как он считал, поровну:
      — Первую кучу возьми ты, Петр, вторая достанется Николаю, а третья мне.
      — Я не согласен на это, — возразил Николай, — моя куча зерна ведь самая маленькая.
      Поспорили крестьяне. Чуть до ссоры не дошло. Пересыпают зерно из одной кучи в другую, из другой в третью и никак к согласию не придут, обязательно кто-нибудь недоволен.
      — Будь мы вдвоем, я да Петр, — вскричал в сердцах Иван, — я бы мигом разделил. Рассыпал бы зерно на две равные кучи и предложил бы Петру выбрать любую, а оставшуюся взял бы себе. Оба мы были бы довольны. А тут не знаю как и быть.
      Задумались крестьяне, как же разделить зерно, чтоб все были довольны, чтоб каждый был уверен, что получил не меньше трети. И придумали.
      Подумайте и вы.
     
      55. Дележ между тремя
      Три купца должны поделить между собой 21 бочонок, из которых 7 бочонков полных кваса, 7 полных наполовину и 7 пустых. Спрашивается, как они могут поделиться так, чтобы каждый имел одинаковое количество кваса и одинаковое количество бочонков, причем переливать квас из бочонка в бочонок нельзя.
     
      56. Дележ между двумя
      Двое должны разделить поровну 8 ведер кваса, находящегося в восьмиведерном бочонке. Но у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить этот квас, пользуясь только этими тремя бочонками?
     
      57. Дележ пополам
      Как быть, если в условии предыдущей задачи полный бочонок 16-ведерный, а пустые — 11- и 6-ведерные?
     
      58. Дележ кваса
      Имеются три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведер кваса. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить квас поровну.
     
      VI. СКАЗКИ И СТАРИННЫЕ ИСТОРИИ
     
      59. Как гусь с аистом задачу решали
      Летела стая гусей, а навстречу им летит один гусь и говорит: «Здравствуйте, сто гусей!» А передний старый гусь ему и отвечает: «Нет, нас не сто гусей! Вот, если б нас было еще столько, да еще полстолько, да еще четверть столько, да ты, гусь, то было бы сто гусей, а теперь... Вот и рассчитай-ка, сколько нас?»
      Полетел одинокий гусь дальше и задумался. В самом деле, сколько же товарищей-гусей он встретил? Думал он, думал и с какой стороны ни принимался, никак не мог задачи решить. Вот увидел гусь на берегу пруда аиста: ходит длинноногий и лягушек ищет. Аист — птица важная и пользуется среди других птиц славой математика: по целым часам иногда неподвижно на одной ноге стоит и все думает, видно, задачи решает. Обрадовался гусь, слетел в пруд, подплыл к аисту и рассказал ему, как он стаю товарищей встретил и какую ему гусь-вожак загадку задал, а он никак этой задачи решить не может.
      — Гм!.. — откашлялся аист, — попробуем решить. Только будь внимателен и старайся понять. Слышишь?
      — Слушаю и постараюсь! — ответил гусь.
      — Ну вот. Как тебе сказали? Если бы к встречным гусям прибавить еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да тебя, гуся, то было бы сто? Так?
      — Так! — ответил гусь.
      — Теперь смотри, — сказал аист. — Вот что я тебе начерчу здесь на прибрежном песке.
      Аист согнул шею и клювом провел черту, рядом такую же черту, потом половину такой же черты, затем четверть черты, да еще маленькую черточку, почти точку. Получилось то, что показано на рис. 23.
      Гусь подплыл к самому берегу, вышел, переваливаясь, на песок, смотрел, но ничего не понимал.
      — Понимаешь? — спросил аист.
      — Нет еще! — ответил уныло гусь.
      — Эх ты! Ну, вот смотри, как тебе сказали, — стая, да еще стая, да половина стаи, да четверть стаи, да ты, гусь, — так я и нарисовал: черту, да еще черту, да полчерты, да четверть этой черты, да еще маленькую черточку, т. е. тебя. Понял?
      — Понял! — весело проговорил гусь.
      — Если к встреченной тобою стае прибавить еще стаю, да полетай, да четверть стаи, да тебя, гуся, то сколько получится?
      — Сто гусей!
      — А без тебя сколько, значит, будет?
      — Девяносто девять.
      — Хорошо! Откинем на нашем чертеже черточку, изображающую тебя, гуся, и обозначим, что остается 99 гусей.
      Аист носом изобразил на песке то, что показано на рис. 24.
      — Теперь сообрази-ка, — продолжал аист, — четверть стаи да полетай — сколько это будет четвертей?
      Гусь задумался, посмотрел на линии на песке и сказал:
      — Линия, изображающая полетай, вдвое больше, чем линия четверти стаи, т. е. в половине заключается две четверти. Значит:, половина да четверть стаи — это все равно что три четверти стаи!
      — Молодец! — похвалил гуся аист. — Ну, а в целой стае сколько четвертей?
      — Конечно, четыре! — ответил гусь.
      — Так! Но мы имеем здесь стаю, да еще стаю, да полетай, да четверть стаи, и это составит 99 гусей. Значит, если перевести все на четверти, то сколько всего четвертей будет?
      Гусь подумал и ответил:
      — Стая — это все равно что 4 четверти стаи, да еще стая — еще 4 четверти стаи, всего 8 четвертей; да в половине стаи 2 четверти: всего 10 четвертей; да еще четверть стаи: всего 11 четвертей стаи, и это составит 99 гусей.
      — Так! — сказал аист. — Теперь скажи, что же ты, в конце концов, получил?
      — Я получил, — ответил гусь, — что в одиннадцати четвертях встреченной мною стаи заключается 99 гусей.
      — А, значит, в одной четверти стаи сколько гусей?
      Гусь поделил 99 на 11 и ответил:
      — В четверти стаи — 9 гусей.
      — Ну а в целой стае сколько?
      — В целой заключается четыре четверти...Я встретил 36 гусей! — радостно воскликнул гусь.
      — Вот то-то и оно! — важно ответил аист. — Сам, небось, не мог дойти!... Эх, ты... гусь!..
     
      60. Крестьянин и черт
      Идет крестьянин и плачет: «Эхма! Жизнь моя горькая! Заела нужда совсем! Вот в кармане только несколько грошей медных болтается, да и те сейчас нужно отдать. И как это у других бывает, что на всякие свои деньги они еще деньги получают? Право, хоть бы кто помочь мне захотел».
      Только успел это сказать, как глядь, а перед ним черт стоит.
      — Что ж, — говорит, — если хочешь, я тебе помогу. И это совсем нетрудно. Вот видишь этот мост через реку?
      — Вижу! — говорит крестьянин, а сам заробел.
      — Ну, так стоит тебе только перейти через мост — у тебя будет вдвое больше денег, чем есть. Перейдешь назад, опять станет вдвое больше, чем было. И каждый раз, как ты будешь переходить мост, у тебя будет ровно вдвое больше денег, чем было до этого перехода.
      — Ой ли? — говорит крестьянин.
      — Верное слово! — уверяет черт. — Только, чур, уговор! За то, что я тебе удваиваю деньги, ты каждый раз, перейдя через мост, отдавай мне по 24 копейки. Иначе не согласен.
      — Ну, что же, это не беда! — говорит крестьянин. — Раз деньги все будут удваиваться, так отчего же 24 копейки тебе каждый раз не дать? Ну-ка, попробуем!
      Перешел он через мост один раз, посчитал деньги. Действительно, стало вдвое больше. Бросил он 24 копейки черту и перешел через мост второй раз. Опять денег стало вдвое больше, чем перед этим. Отсчитал он 24 копейки, отдал черту и перешел через мост в третий раз. Денег стало снова вдвое больше. Но только и оказалось их ровнехонько 24 копейки, которые по уговору... он должен был отдать черту. Отдал он их и остался без копейки.
      Сколько же у крестьянина было денег сначала?
     
      61. Крестьяне и картофель
      Шли три крестьянина и зашли на постоялый двор отдохнуть и пообедать. Заказали хозяйке сварить картофель, а сами заснули. Хозяйка сварила картофель, но не стала будить постояльцев, а поставила миску с едою на стол и ушла. Проснулся один крестьянин, увидел картофель и, чтоб не будить товарищей, сосчитал картофель, съел свою долю и снова заснул. Вскоре проснулся другой; ему невдомек было, что один из товарищей уже съел свою долю, поэтому он сосчитал весь оставшийся картофель, съел третью часть и опять заснул. После чего проснулся третий; полагая, что он проснулся первым, он сосчитал оставшийся в чашке картофель и съел третью часть. Тут проснулись его товарищи и увидели, что в чашке осталось 8 картофелин. Тогда только объяснилось дело. Сосчитайте, сколько картофелин подала на стол хозяйка, сколько съел уже и сколько должен еще съесть каждый, чтобы всем досталось поровну.
      Сошлись два пастуха, Иван и Петр. Иван и говорит Петру: «Отдай-ка ты мне одну овцу, тогда у меня будет овец ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Петр ему отвечает: «Нет лучше ты мне отдай одну овцу, тогда у нас будет овец поровну!»
      Сколько же было у каждого овец?
     
      63. Недоумение крестьянок
      Две крестьянки продавали на базаре яблоки. Одна продавала за 1 копейку 2 яблока, а другая за 2 копейки 3 яблока.
      У каждой в корзине было по 30 яблок, так что первая рассчитывала выручить за свои яблоки 15 копеек, а вторая 20 копеек. Обе вместе они должны были выручить 35 копеек. Сообразив это, крестьянки, чтобы не ссориться да не перебивать друг у друга покупателей, решили сложить свои яблоки вместе и продавать их сообща, причем они рассуждали так: «Если я продаю пару яблок за копейку, а ты — три яблока за 2 копейки, то, чтобы выручить свои деньги, надо нам, значит, продавать пять яблок за 3 копейки!»
      Сказано — сделано. Сложили торговки свои яблоки вместе (получилось всего 60 яблок) и начали продавать по 3 копейки за 5 яблок.
      Распродали и удивились: оказалось, что за свои яблоки они выручили 36 копеек, т. е. на копейку больше, чем думали выручить! Крестьянки задумались: откуда взялась «лишняя» копейка и кому из них следует ее получить? И как, вообще, им поделить теперь все вырученные деньги?
      И в самом деле, как это вышло?
      Пока эти две крестьянки разбирались в своей неожиданной прибыли, две другие, прослышав об этом, тоже решили заработать лишнюю копейку.
      У каждой из них было тоже по 30 яблок, но продавали они так: первая давала за одну копейку пару яблок, а вторая за копейку давала 3 яблока. Первая после продажи должна была, значит, выручить 15 копеек, а вторая — 10 копеек; обе вместе выручили бы, следовательно, 25 копеек. Они и решили продавать свои яблоки сообща, рассуждая совсем так, как и те две первые торговки: если я продаю за одну копейку пару яблок, а ты за копейку продаешь 3 яблока, то, значит, чтобы выручить свои деньги, нам нужно каждые 5 яблок продавать за 2 копейки.
      Сложили они яблоки вместе, распродали их по 2 копейки за каждые пять штук, и вдруг... оказалось, что они выручили все-ю 24 копейки, недовыручили целую копейку.
      Задумались и эти крестьянки: как же это могло случиться и кому из них придется этой копейкой поплатиться?
     
      64. Находка
      Четверо крестьян — Сидор, Карп, Пахом и Фока — возвращались из города и говорили, что ничего не заработали.
      — Эх! — сказал Сидор, — если бы мне найти кошель с день-I ами, я бы взял себе только третью часть, а остальные с кошелем даже отдал бы вам.
      — А я, — молвил Карп, — поделил бы между всеми нами поровну.
      — Я доволен был бы всего пятой частью, — отозвался Пахом.
      — С меня же довольно бы и шестой части, — сказал Фока. — Да что толковать... Статочное ли дело — деньги на дороге найти! Кто это их для нас бросит?
      Вдруг и на самом деле видят на дороге кошелек, подняли его и решили поделить деньги так, как каждый только что говорил, т. е. Сидор получит треть, Карп — четверть, Пахом — пятую, а Фока — шестую часть найденных денег.
      Открыли кошелек и нашли в нем 8 кредитных билетов: один в 3 рубля, а остальные рублевые, пятирублевые и десятирублевые. Но ни один крестьянин не мог взять своей части без размена. Поэтому решили ждать, не разменяет ли кто из проезжих. Скачет верховой; крестьяне останавливают его.
      — Так и так, — рассказывают они, — нашли кошелек с день-1ами; деньги хотим разделить так-то. Будь такой добрый, разменяй нам рубль!
      — Рубля я вам не разменяю, а давайте мне кошелек с день-1ами: я положу туда свою рублевку и из всех денег выдам каждому его долю, а кошелек мне.
      Крестьяне с радостью согласились. Верховой сложил все деньги вместе, выдал первому 1/3, второму 1/4, третьему 1/5, четвертому 1/6 всех денег, а кошелек спрятал себе за пазуху.
      — Ну, спасибо вам, братцы, большое: и вам хорошо, и мне хорошо! — и ускакал.
      Задумались мужики.
      — За что же он нас поблагодарил?
      — Ребята, сколько у нас всего бумажек? — спросил Карп.
      Сосчитали — оказалось 8.
      — А где же трехрублевая? У кого она?
      — Ни у кого нет!
      — Как же так, ребята? Верховой-то, значит, надул нас? Давай считать, на сколько он обидел каждого...
      Прикинуле в уме.
      — Нет, братцы, я получил больше, чем мне следовало! — сказал Сидор.
      — И я получил на 25 копеек больше, — сказал Карп.
      — Как же так? Всем дал больше, чем нужно, а трехрублевую увез! Ишь ты, как ловко нас обошел! — решили крестьяне.
      Сколько денег нашли крестьяне? Обманул ли их верховой? Какие бумажки дал он каждому?
     
      65. Дележ верблюдов
      Старик, имевший трех сыновей, распорядился, чтобы они после его смерти поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний — треть и младший — девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья начали дележ, но оказалось, что число 17 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 9. В недоумении, как им быть, братья обратились к мудрецу. Тот приехал к ним на собственном верблюде и разделил все по завещанию. Как он сделал?
     
      66. Сколько воды в бочке?
      В одной сказке хозяин, нанимая работника, предложил ему следующее испытание:
      — Вот тебе бочка, наполни ее водой ровно наполовину, ни больше, ни меньше. Но смотри, палкой, веревкой или чем-либо другим для измерения не пользуйся.
      Работник справился с заданием. Как он это сделал?
     
      67. Расстановка часовых
      Вдоль стен квадратного бастиона требовалось поставить 16 часовых. Комендант разместил их так, как показано на рис. 25, по 5 человек с каждой стороны. Затем пришел полковник и, недовольный размещением часовых, распорядился расставить солдат так, чтобы с каждой стороны было их по 6. Потом пришел генерал, рассердился на полковника за его распоряжение и разместил солдат по 7 человек с каждой стороны. Каково было размещение в двух последних случаях?
     
      68. Обманутый хозяин
      Хозяин устроил в своем погребе шкаф в форме квадрата с девятью отделениями. Среднее (внутри) отделение он оставил свободным для пустых бутылок, а в остальных расположил 60 бутылок масла так, что в каждом угловом отделении их было по 6, а в каждом из средних по 9. Таким образом, на каждой стороне квадрата было по 21 бутылке (рис. 26). Слуга подметил, что хозяин проверяет число бутылок, только считая бутылки по сторонам квадрата и следя за тем, чтобы не было пустых отделений и чтобы на каждой стороне квадрата было по 21 бутылке. Тогда слуга унес сначала 4 бутылки, а остальные расставил так, что вновь получилось по 21 на каждой стороне. Хозяин пересчитал бутылки своим обычным способом и подумал, что бутылок остается то же число и что слуга только переставил их. Слуга воспользовался оплошностью хозяина и снова унес 4 бутылки, расставив остальные так, что на каждой стороне квадрата выходило опять по 21 бутылке. Так он повторят, пока было возможно. Спрашивается, сколько раз он брал бутылки и сколько всего бутылок он унес?
     
      69. Сказка об Иване-царевиче и Кащее Бессмертном, умевшем считать только до десяти
      Из этой сказки мы приведем только отрывки. Сказка очень занимательна, но нас интересуют возникающие в ней математические задачи.
      «В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. У него было три сестры: одна Марья-царевна, другая Ольга-царевна, третья Анна-царевна. Отец и мать у них умерли.
      Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей медного, серебряного и золотого царств, остался один. Целый год жил без сестер, и сделалось ему скучно. Решил он идти искать сестриц, проведать их».
      Далее сказка рассказывает, как повстречал Иван-царевич Елену Прекрасную, как полюбили они друг друга, как похитил ее Кащей Бессмертный и решил сделать женой своей. Отказалась Елена Прекрасная быть женой Кащея, и в злобе превратил он ее в тонкую белую березку.
      «Иван-царевич собрал воинов и поехал искать свою любимую. Долго странствовал он, пока приехал к избушке бабы-Яги. Рассказал он ей, куда и зачем путь держит. Баба-Яга давно враждовала с Кащеем, согласилась она помочь Ивану-царе-вичу:
      — Чтобы снять чары Кащеевы, нужно собрать у ворот его дворца царей трех царств: медного, серебряного и золотого. Ровно в полночь должны они и ты вместе с ними произнести волшебное слово. Тогда чары спадут и Кащей бессилен будет что-либо сделать.
      Черный ворон подслушал этот разговор бабы-Яги с Ива-ном-царевичем и рассказал обо всем Кащею.
      Прощаясь с Иваном-царевичем, дала ему баба-Яга волшебное кольцо.
      — Оно приведет к Кащею. А коль нужно будет тебе, Иван-царевич, какой запор отпереть или замкнуть накрепко, проси кольцо о том. Мигом исполнит.
      Кащей Бессмертный подстерег Ивана-царевича, схватил его и бросил вместе с воинами в глубокое темное подземелье.
      — Не видать тебе, Ивашка, Елены Прекрасной, как ушей своих».
      Далее в сказке следует описание подземелья. В квадратной пещере было 8 погребов, расположенных вдоль стен (мы изобразили их условно на рис. 27 в виде маленьких квадратиков). Погреба сообщались между собой, а все подземелье, имевшее один выход, накрепко запиралось семью замками. Всех воинов вместе с Иваном-царевичем было 24, и Кащей разместил их в восьми погребах поровну.
      Каждый вечер приходил он в подземелье, издевался над Иваном-царевичем и пересчитывал своих пленников. Считать Кащей умел только до десяти, поэтому он проверял число узников, находившихся в трех погребах вдоль каждой стены подземелья, находил всюду 9 человек и успокаивался.
      Трудности не сломили Ивана-царевича. С помощью волшебного кольца отпер он все семь запоров и отправил трех своих воинов гонцами к царям медного, серебряного и золотого царств. А чтобы Кащей ничего не заподозрил, Иван-царевич рассадил оставшихся воинов по погребам иначе, сохранив вдоль каждой стены подземелья по 9 человек. Как всегда, вечером пришел Кащей, поворчал, что воины не сидят спокойно на месте. Пересчитал их вдоль каждой стены и ничего не заподозрил.
      Спустя некоторое время гонцы добрались до царей медного, серебряного и золотого царств, рассказали им всю историю и вместе с ними вернулись в подземелье Кащеева дворца. Как раз в этот момент Кащей решил осмотреть подземелье. Иван-царевич рассадил всех своих воинов и трех прибывших царей так, что опять в погребах вдоль каждой стены сидело по 9 человек. И опять ему удалось обмануть Кащея.
      После этого в сказке повествуется, как ровно в полночь три царя вместе с Иваном-царевичем подошли к воротам Кащеева дворца и произнесли волшебное слово, как спали чары с Елены Прекрасной, как удалось им всем выбраться из Кащеева царства и, наконец, о свадьбе Ивана-царевича и Елены Прекрасной.
      Сказка кончилась, но остался вопрос: как рассаживал узников Иван-царевич?
     
      70. За грибами
      Дедушка пошел с четырьмя внучатами в лес за грибами. В лесу разошлись в разные стороны и стали искать грибы. Через полчаса дедушка сел под дерево отдохнуть и пересчитал все грибы: их оказалось 45 штук. Тут прибежали к нему внучата, все с пустыми руками, ни один ничего не нашел.
      — Дедушка! — просит один внук, — дай мне своих грибов, чтобы кузовок не был пустой. Авось, с твоей легкой руки много грибов наберу.
      — И мне, дедушка!
      — И мне дай!
      Дед дал каждому и раздал, таким образом, детям все свой грибы. Все снова разбрелись в разные стороны, и случилось следующее. Один мальчик нашел еще 2 гриба, другой 2 потерял, третий нашел еще столько, сколько получил от деда, а четвертый потерял половину полученных от деда. Когда дети пришли домой и подсчитали свои грибы, то оказалось у всех поровну.
      Сколько каждый получил от дедушки грибов и сколько было у каждого, когда они пришли домой?
     
      71. Сколько было?
      Женщина несла для продажи корзину яиц. Встретившийся прохожий по неосторожности так толкнул ее, что корзина упала на землю и все яйца разбились. Прохожий захотел уплатить женщине стоимость разбитых яиц и спросил, сколько их всего было. «Я не помню этого, — сказала женщина, — знаю только
      хорошо, что когда я перекладывала яйца по 2, то осталось одно яйцо. Точно так же всегда оставалось по одному яйцу, когда я перекладывала их по 3, по 4, по 5 и по 6. Когда же я перекладывала их по 7, то не оставалось ни одного яйца». Сколько было яиц?
     
      72. Часы поставлены верно
      Двое приятелей, Петр и Иван, живут в одном городе и не очень далеко друг от друга. У каждого из них дома имеются только стенные часы. Однажды Петр забыл завести свои часы и они остановились. «Пойду-ка я в гости к Ивану, заодно и посмотрю, который час», — решил Петр. Отправившись в гости и просидев у Ивана некоторое время, Петр вернулся домой и верно поставил свои стенные часы. Смогли бы вы сделать так же?
     
      73. Восстановление записи
      В памятной книжке найдена запись, воспроизведенная на рис. 28. Эта запись оказалась залитою в некоторых местах чернилами так, что нельзя разобрать ни числа проданных кусков, (...) ни первых трех цифр полученной суммы. Спрашивается, можно ли по сохранившимся данным узнать число проданных кусков и всю вырученную сумму?
     
      74. Хитрецы
      В трактире стояло четыре стола, по одному вдоль каждой стены. Проголодавшиеся, возвращавшиеся с маневров солдаты в числе 21 человека остановились там пообедать и пригласили к обеду хозяина. Расселись все так: за тремя из столов сели солдаты — по 7 за каждый стол, а за четвертым столом сел хозяин (на рис. 29 солдаты и хозяин изображены черточками). Солдаты уговорились с хозяином, что платить по счету будет тот, кто останется последним при следующем условии. Считая по кругу (по часовой стрелке)
      всех, в том числе и хозяина, освобождать от уплаты каждого седьмого. Каждый освобожденный тотчас уходил из трактира и в дальнейшем в счете не участвовал. А последним остался хозяин. С кого начали счет?
      С кого нужно было бы начать счет, если бы солдат было только по 4 за каждым из трех столов?
     
      75. Спор кучера с пассажиром
      На постоялом дворе нетерпеливый проезжий, увидя кучера, спросил:
      — Не пора ли запрягать?
      — Что вы! — ответил кучер, — еще полчаса до отъезда. За это время я успею двадцать раз и запрячь, и отпрячь, и опять запрячь. Нам не впервой...
      — А сколько в карету впрягается лошадей?
      — Пять.
      — Сколько времени полагается на запряжку лошадей?
      — Да минуты две — не больше.
      — Ой ли? — усомнился проезжий. — Пять лошадей запрячь в две минуты. Что-то уж очень скоро...
      — И очень просто, — отвечал кучер. — Выведут лошадей в сбруе, постромках с вальками, в вожжах. Остается только накинуть кольца вальков на крюки, приструнить двух средних лошадей к дышлу, взял вожжи в руки, сел на козлы и готово... Поезжай! Дело знакомое...
      — Ну, хорошо! — заметил пассажир. — Допустим, что таким образом можно запрячь и отпрячь лошадей хоть двадцать раз в полчаса. Но если их придется перепрягать одну на место другой, да еще всех, то уж этого никогда не сделать не только в пол, но и в два часа.
      — Тоже пустячное дело! — расхвастался кучер. — Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше. Одну лошадь поставил на место другой, и готово! Минутное дело!
      — Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, — сказал пассажир, — а всеми способами, какими только можно перепрячь пять лошадей, считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
      Самолюбие кучера было несколько задето.
      — Конечно, всех лошадей и всеми способами перепрягу не больше как за час.
      — Я дал бы сто рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! — сказал пассажир.
      — А я при своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если этого не сделаю, — ответил кучер.
      Так и условились. Каков был результат спора?
     
      76. Кто на ком женат?
      Трое крестьян, Иван, Петр и Алексей, пришли на рынок с женами: Марией, Екатериной и Анной. Кто на ком женат, нам не известно. Требуется узнать это на основании следующих данных: каждый из этих шести человек заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Иван купил на 9 предметов больше Екатерины, а Петр — на 7 предметов больше Марии.
     
      VII. УПРАЖНЕНИЯ С КУСКОМ БУМАГИ
     
      Вряд ли кто из наших читателей не умеет сам из квадратного куска бумаги сделать «петушка», лодочку, кораблик, коробочку и т. д. Достигается это путем разнообразного перегибания и складывания бумажного квадрата. Полученные при этом сгибы (складки) позволяют придавать взятому куску бумаги ту или иную желаемую форму. Сейчас мы убедимся, что с помощью перегибания бумаги можно не только делать забавные или интересные игрушки, но и получить наглядное представление о многих фигурах на плоскости, а также об их свойствах. Кусок обыкновенной белой (а еще лучше — цветной) бумаги и перочинный ножик для разглаживания сгибов или удаления ненужных частей могут оказаться прекрасным пособием для усвоения начал геометрии.
      Сгибая кусок бумаги, совместим какие-либо две точки, затем, прижав их друг к другу пальцем, разгладим ножом сгиб. Каждый, наверное, не один раз проделывал это. Но задумывались ли вы когда-нибудь, почему линия сгиба обязательно получается прямой? Если подумать, то легко увидеть в этом проявление одной из геометрических теорем, а именно теоремы о том, что совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух фиксированных, есть прямая линия.
      Очень полезно подыскивать геометрические обоснования и в последующих задачах.
     
      77. Прямоугольник
      Имеется кусок бумаги неправильной формы. Как, пользуясь только перочинным ножом, вырезать из него прямоугольник?
      Как из бумажного прямоугольника получить квадрат?
      Исследуем теперь некоторые свойства получившегося квадрата. Линия сгиба, проходящая через два противоположных угла квадрата, есть диагональ этого квадрата. Другая диагональ получается перегибом квадрата через другую пару противоположных углов, как это видно на рис. 30. Непосредственным наложением убеждаемся, что диагонали квадрата пересекаются друг с другом под прямыми углами и что в точке
      пересечения они взаимно делятся пополам. Эта точка пересечения диагоналей квадрата называется центром квадрата.
      Каждая диагональ делит квадрат на два совпадающих при наложении треугольника, вершины которых находятся в противоположных углах квадрата. Каждый из этих треугольников имеет, очевидно, по две равные стороны, т. е. эти треугольники равнобедренные. Кроме того, эти треугольники и прямоугольные, так как каждый из них имеет по прямому углу.
      Две диагонали, как легко видеть, разделяют квадрат на 4 совпадающих при наложении прямоугольных и равнобедренных треугольника, общая вершина которых находится в центре квадрата.
      Перегнем теперь наш бумажный квадрат пополам так, чтобы одна сторона совпадала с противоположною ей. Получаем сгиб, проходящий через центр квадрата (рис. 31). Линия этого сгиба обладает, как легко убедиться, следующими свойствами: 1) она перпендикулярна двум другим сторонам квадрата, 2) делит эти стороны пополам, 3) параллельна двум первым сторонам квадрата, 4) сама делится в центре квадрата пополам, 5) делит квадрат на два совпадающих при наложении прямоугольника, 6) каждый из этих прямоугольников равновелик (т. е. равен по площади) одному из треугольников, на которые квадрат делится диагональю. Перегнем квадрат еще раз так, чтобы совпадали две другие стороны. Полученный сгиб и сделанный раньше делят квадрат на 4 совпадающих при наложении квадрата (рис. 31).
      Перегнем эти 4 меньших квадрата через их углы, лежащие посередине сторон большего квадрата (по диагоналям), и получим квадрат (рис. 32), вписанный в наш начальный квадрат. Этот вписанный квадрат, как легко убедиться, имеет площадь, равную половине площади большого квадрата и имеет тот же центр. Соединяя середины сторон этого внутреннего, вписанного, квадрата, получим квадрат, площадь которого равна 1/4 площади первоначального (рис. 33). Если в этот последний квадрат по предыдущему опять впишем квадрат, то его площадь будет равна 1/8 площади первоначального. В этот, в свою очередь, можем вписать квадрат, площадь которого равна 1/16 площади первоначального, и т. д.
      Если перегнуть наш квадрат как угодно, но так, чтобы сгиб проходил через центр, то квадрат разделится на две совпадающие при наложении трапеции.
     
      79. Равнобедренный треугольник
      Из бумажного квадрата сгибанием получить равнобедренный треугольник.
     
      81. Правильный шестиугольник
      Как из квадрата получить правильный шестиугольник?
      Ка рис. 36 представлен образец орнамента из равносторонних треугольников и правильных шестиугольников, который вы теперь легко можете построить сами.
      Можно, в свою очередь, разделить шестиугольник на равные правильные шестиугольники и равносторонние треугольники (рис. 37), делая перегибы через точки, делящие его
      стороны на три равные части. Получается красивый симметричный орнамент.
      Можно получить шестиугольник еще и следующим путем. Возьмем равносторонний треугольник и перегнем его так, чтобы все его вершины сошлись в центре. Из того, что мы уже знаем о равностороннем треугольнике, нетрудно вывести, что сторона полученного шестиугольника равна 1/3 стороны взятого равностороннего треугольника. Площадь же этого шестиугольника равна 2/3 площади взятого треугольника.
     
      82. Правильный восьмиугольник
      Как в данном квадрате построить правильный восьмиугольник?
     
      83. Оригинальное доказательство
      Каждый, изучавший геометрию, знает, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Но мало кому известно, что эта фундаментальная теорема может быть «доказана» с помощью простого лоскутка бумаги.
      Мы ставим слово «доказана» в кавычки, потому что это не доказательство в строгохм смысле слова, а скорее лишь наглядная демонстрация. Но все же этот остроумный прием очень любопытен и поучителен.
      Вырезают из бумаги треугольник любой формы и перегибают его сначала по линии АВ (рис. 38) так, чтобы основание треугольника легло на себя. Затем, снова разогнув бумагу, перегибают треугольник по линии CD так, чтобы вершина А попала в точку В. Перегнув затем треугольник по линиям DH и CG так, чтобы точки Е и F попали в точку В, получим прямоугольник CGHD и наглядно убедимся, что все три угла треугольника (/, 2, 3) составляют в сумме два прямых.
      Необычайная наглядность и простота этого приема позволяют познакомить даже детей, не изучавших геометрии, с одной из ее важнейших теорем. Для знающих же геометрию он представляет интересную задачу — объяснить, почему такое сгибание бумажного треугольника всегда дает желаемый результат.
      Объяснить это нетрудно, и мы не хотели бы лишить читателя удовольствия самому подыскать геометрическое обоснование этого своеобразного «доказательства».
     
      84. Теорема Пифагора
      Показать, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
      Нарисуем два равных квадрата, стороны которых равны сумме обоих катетов данного на рис. 39 треугольника. Затем в полученных нами квадратах произведем построения, ука-
      занные на рис. 40, 41. Здесь от каждого из равных квадратов мы отнимаем по 4 равных треугольника. Если отнимать от равных величин поровну, то и остатки получатся равные. Эти остатки на рис. 40, 41 заштрихованы; но на рис. 40 получаются два квадрата, построенные на катетах данного треугольника,
      Рис. 39
      Рис. 41
      а на рис. 41 — квадрат, построенный на гипотенузе, и сумма площадей первых двух квадратов равна, следовательно, площади второго.
      Мы доказали, таким образом, знаменитую теорему Пифагора.
      Другое доказательство той же теоремы найдем, если на взятом бумажном квадрате сделаем сгибы, как указано на рис. 42. Здесь GEH есть прямоугольный треугольник и площадь квадрата, построенного на ЕН, равна сумме площадей квадратов, построенных на EG и GH.
      Призовем теперь на помощь ножницы.
      Мы теперь будем не только перегибать, но и разрезать бумагу. Так мы придем ко многим интересным и поучительным задачам.
     
      85. Как вырезать?
      Пусть фигура состоит из трех равных квадратов, расположенных так, как показано на рис. 43. Вырезать из этой фигуры такую f часть, чтобы, приложив ее к оставшейся части, получить квадрат, внутри которого имеется квадратное отверстие.
     
      86. Как вырезать?
      Кусок бумаги или картона имеет форму прямоугольника, одна сторона которого равна 4, а другая 9 единицам длины. Разрезать этот прямоугольник на две равные части так, чтобы, сложив их надлежащим образом, получить квадрат.
     
      87. Коврик
      У одной хозяйки был прямоугольный коврик размером 120 х 90 сантиметров. Два противоположных угла его истрепались, пришлось их отрезать (на рис. 44 эти треугольные куски заштрихованы). Но хозяйке все же хотелось иметь коврик в форме прямоугольника* Она поручила мастеру разрезать его на такие две части, чтобы из них можно было сшить прямоугольник, не теряя, конечно, ни кусочка материи. Мастер исполнил желание хозяйки.
      Как ему удалось это сделать?
     
      88. Два коврика
      У другой хозяйки было два клетчатых коврика: один размером 60 х 60 см, другой 80 х 80 см (рис. 45). Она решила сделать из них один клетчатый коврик размером 100 х 100 см. Мастер взялся выполнить эту работу и пообещал, что каждый коврик будет разрезан не более чем на две части и при этом не будет разрезана ни одна клетка. Обещание свое он сдержал. Как он поступил?
     
      89. Коврик с розами
      На коврике (рис. 46) изображено 7 роз. Требуется тремя прямыми линиями разрезать коврик на 7 частей, каждая из которых содержала бы по одной розе.
     
      90. Квадрат на 20 равных треугольников
      Разрезать квадратный кусок бумаги на 20 равных треугольников и сложить из них 5 равных квадратов.
     
      91. Из креста — квадрат
      Крест, составленный из пяти квадратов, требуется разрезать на такие части, из которых можно было бы составить один квадрат.
     
      92. Из квадрата — три квадрата
      Разрезать квадрат на семь таких частей, чтобы сложив их надлежащим образом, получить три равных квадрата.
      Эту задачу можно обобщить:
      1. Разрезать квадрат на такие части, из которых можно было бы составить данное число равных квадратов.
      2. Разрезать квадрат на наименьшее число частей, которые, соответственно сложенные, давали бы некоторое число равных между собой квадратов.
     
      93. Из квадрата — два квадрата
      Разрезать квадрат на 8 таких частей, чтобы, сложив их соответствующим образом, получить два квадрата, площадь одного из которых была бы вдвое больше площади другого.
     
      94. Из квадрата — три квадрата
      Разрезать квадрат на такие 8 частей, чтобы, соответственно сложенные, они составили 3 квадрата, площади которых были бы пропорциональны числам 2, 3 и 4.
     
      95. Из шестиугольника — квадрат
      Разрезать правильный шестиугольник на 5 таких частей, чтобы, соответственно сложенные, они образовали квадрат.
     
      VIII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ И ПАРАДОКСЫ
      (...)
      100. Земля и апельсин
      Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее, вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1 м. Тогда, разумеется, обручи отстанут от поверхности тел, которые они раньше стягивали, и образуется некоторый зазор. Спрашивается, в каком случае этот зазор будет больше — у земного шара или у апельсина?
     
      IX. УГАДЫВАНИЕ ЧИСЕЛ
     
      О каком угадывании идет речь?
      Конечно, дело, в сущности, сводится не к отгадке, а к решению некоторой задачи. Желающему предлагают задумать число и этого числа у него не спрашивают. Взамен этого предлагают задумавшему произвести над задуманным им числом
      разные с виду совсем произвольные действия и сказать «угадывающему», что в результате получилось. «Угадчик» получает, таким образом, в руки конец нити, по которой разматывает весь клубок и добирается до начала.
      Задаваемые в остроумной и забавной форме, которую каждый играющий может придумать по своему вкусу, задачи эти представляют очень хорошее и полезное развлечение для всех играющих. Они развивают навыки в быстром устном счете и развивают их постепенно, так как можно задумывать малые и большие числа, смотря по желанию и силам участвующих в игре лиц.
      Обращаем внимание на то, что здесь в большинстве случаев даются только сравнительно сухие остовы задач. Читателю представляется самая широкая возможность каждое условие подобной задачи украсить плодами собственной выдумки и фантазии или приноровить к известному случаю.
     
      102. Сколько осталось предметов?
      Предложите своему товарищу взять в каждую руку по одинаковому количеству предметов (например, спичек). При этом надо потребовать, чтобы число предметов в одной руке было не меньше, чем некоторое число b. Число взятых предметов вам не известно. Предложите партнеру переложить из правой руки в левую то число предметов, которое вы ему скажете (например, число а; естественно, что а<b). Затем, ничего не показывая и не говоря вам, пусть он отложит из левой руки столько предметов, сколько у него осталось в правой, и, наконец, опять-таки ничего вам не показывая, пусть он отложит в сторону все предметы из правой руки. Теперь вы можете смело утверждать, что у вашего партнера осталось в левой руке 2а предметов. Почему?
     
      103. Чему равна разность?
      Попросите своего товарища написать любое двузначное число, но пусть затем он поменяет местами в этом числе цифры и вычтет из большего числа меньшее. Если он скажет
      вам последнюю цифру разности, то вы сразу скажете, какова вся разность. Как это сделать?
     
      104. Чему равно частное?
      Попросите своего товарища написать любое трехзначное число, но только такое, чтобы крайние цифры отличались друг от друга на число, которое вы укажете. Пусть затем он поменяет местами в этом числе крайние цифры. Получится еще одно число. Предложите вашему товарищу вычесть меньшее число из большего. Разность всегда делится на 9, и вы можете всегда сказать наперед, какое будет частное от деления этой разности на 9. Чему же равняется частное?
     
      105. Число 1089
      Задачу 104 можно предлагать в следующем более занимательном (особенно для детей) варианте.
      Напишите на бумажке число 1089, вложите бумажку в конверт и запечатайте его. Затем предложите кому-нибудь, дав ему этот конверт, написать на нем трехзначное число, но такое, чтобы крайние цифры в нем были различны и отличались бы друг от друга более чем на единицу. Пусть затем он поменяет местами крайние цифры и вычтет из большего трехзначного числа меньшее. В результате пусть он опять переставит крайние цифры и получившееся трехзначное число прибавит к разности первых двух. Когда он получит сумму, предложите ему вскрыть конверт. Там он найдет бумажку с числом 1089, которое к его удивлению, и есть полученное им число. Почему так произошло?
     
      106. Какое число задумано?
      Попросите своего товарища задумать число, пусть затем он удвоит задуманное число и к полученному произведению прибавит 5. Потом пусть полученное число возьмет пять раз и прибавит к результату число 10. Эту последнюю сумму пусть он умножит еще на 10. Если после этого спросить, какое, в конце концов, получилось число, и отнять от него 350, то число оставшихся сотен и будет задуманным числом. Почему это так?
      Пусть например, задумано 3. По удвоении его получается 6; если прибавить 5, получится 11; взять пять раз 11 — получится 55; прибавить сюда 10 — получится 65; увеличить в 10 раз — получится 650. Если отнять отсюда 350, остается 300, т. е. три сотни. Итак, задуманное число есть 3.
     
      108. Четное число
      Задумайте четное число. Утройте его. Возьмите половину полученного числа и опять утройте ее. Если вы скажете, чему равно частное от деления найденного числа на 9, то я назову задуманное число.
      Пусть задумано 6. После утроения получается 18. Половина этого числа равна 9. Утроив, получаем 27. Если теперь разделить на 9, то получится 3, т. е. половина задуманного числа.
      Этот фокус можно показывать и в более общем виде, предлагая задумать произвольное целое число. При этом вводятся некоторые изменения.
      Если утроенное задуманное число на два не делится, то к утроенному числу нужно сначала добавить 1, а потом разделить на 2 и действовать, как и ранее. Нужно также иметь в виду, что в этом случае при угадывании числа после удвоения нужно обязательно прибавить 1.
      Пусть, например, задумано число 5. Утраивая, получаем 15. Чтобы разделить пополам нацело, нужно прибавить 1, получится 16. Половина от 16 равна 8, утроив, получаем 24. Частное от деления с остатком этого числа на 9 равно 2. Умножая это число на 2 и прибавляя 1, получаем задуманное число 5.
      Если вы показываете этот фокус в первый раз и утроенное число на 2 не делится, то ваш товарищ обязательно спросит: «А что делать, если число на 2 не делится?» Этот вопрос укажет вам, что при угадывании нужно удвоенное частное увеличить на 1. Вы можете и сами спросить, разделилось ли число на 2. Нужно только, чтобы этот вопрос прозвучал как попытка помочь вашему товарищу в выполнении арифметических действий и он не заподозрил бы, что его ответ на этот вопрос поможет вам в угадывании задуманного числа.
      В чем секрет этого фокуса?
     
      109. Видоизменение предыдущей задачи
      Утроить задуманное число, затем взять половину произведения, если же произведение получится нечетное, то прибавить к нему единицу и потом разделить пополам. Утроить снова эту половину, затем взять половину полученного числа, прибавляя, как выше, 1, если от умножения на 3 получится нечетное число. Затем надо спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и частное умножить на 4. При этом нужно иметь в виду, что если при делении на 2 в первый раз приходилось прибавлять 1, то угадывающему нужно тоже держать в уме 1, а если при делении и во второй раз приходилось прибавлять 1, то нужно запомнить еще 2. Следовательно, если оба раза деление на 2 не могло быть выполнено нацело без прибавления 1, то, умножив частное на 4, нужно к полученному числу прибавить еще 3; если же деление пополам нацело не выполняется только в первый раз, то прибавляется 1, а если только во второй, то прибавляется 2. В результате всегда получится задуманное число.
      Почему?
      Пусть, например, задумано 7; утраивая, получим 21; чтобы разделить пополам нацело, надо прибавить 1; прибавляя ее и деля 22 пополам, получим 11; по утроении получим 33; чтобы взять половину, опять нужно прибавить 1, после чего получим 34, половина этого числа есть 17. Здесь 9 содержится только 1 раз. Следовательно, нужно взять число 4 и к нему прибавить еще 3, так как деление и в первом и во втором случае совершалось лишь после прибавления 1. Получается: 4 + + 3 = 7, т. е. задуманное число.
     
      110. Еще одно видоизменение задачи 108
      Задумайте число; прибавьте к нему половину того же числа; к полученной сумме прибавьте половину этой же суммы. Затем нужно спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 9, и умножить его на 4, как выше. Но и здесь, как всегда, нужно помнить, что если в первом случае число не делится нацело на 2, то нужно прибавить к нему 1 и затем поделить на две равные части; точно так же нужно поступать и во втором случае. А затем, если деление нацело не выполнялось только в первом случае, то угадывающий должен держать в уме 1, если только во втором, то 2, а если и в первом и во втором, то 3 и эти числа соответственно потом прибавлять для получения правильного ответа.
      Например, задумано число 10; прибавляя к нему его половину, получим 15 — число нечетное; поэтому, прибавляя к нему 1 и беря половину, получим 8; прибавляя 8 к 15, получим 23; в этом числе 9 содержится 2 раза. Два раза по четыре равно 8, но к 8 надо прибавить еще 2, потому что во втором случае, чтобы разделить на 2 нацело, приходилось прибавлять 1. Итак, 8 + 2 = 10, т. е. получаем задуманное число.
      Если число нечетное, то разделим его на две такие части, чтобы одна была на единицу больше другой, и условимся для краткости называть первое слагаемое большей половиной, а второе — меньшей. Тогда рассматриваемую нами задачу можно представить еще в одной довольно интересной форме.
      Задумайте число. Прибавьте к нему его половину или, если оно нечетное, то его «большую половину». К этой сумме прибавьте ее половину или, если она нечетна, то ее «большую половину». Сколько раз в полученном числе содержится 9?
      Умножив затем частное на 4, задумавшему число надо предложить такие вопросы: можно ли от остатка от деления на 9 отнять еще 8? Если можно, то, значит, чтобы получить задуманное число, нужно, к числу, полученному от умножения частного на 4, прибавить 3.
      Если же нельзя отнять 8, то надо спросить, нельзя ли отнять 5. Если можно, то нужно прибавить 2. Если же 5 нельзя вычесть, то спросить, нельзя ли вычесть 3, и если можно, то прибавляется 1.
      Легко убедиться, что задача, предложенная в этой последней форме, сводится, в сущности, к предыдущим, потому что утроить число и взять потом половину полученного произведем ния — это все равно, что прибавить к числу его половину и т. д.
      Понявший и всесторонне усвоивший решения приведенных выше задач в их различных видоизменениях может сам легко создать множество правил, подобных предыдущим, для угадывания задуманного числа.
      Можно, например, заставить утроить задуманное число, затем взять половину полученного произведения, эту половину предложить умножить уже на 5 и взять половину произведения. Вслед за тем спросить, чему равно частное от деления последнего числа на 15, и умножить его на 4. При этом, как и раньше, нужно к произведению прибавлять 1, 2 или 3, смотря по тому, когда деление на 2 не совершается нацело: в первом случае, во втором или в обоих вместе.
      Внимательный читатель легко все это докажет сам.
      Можно также, например, предложить умножить задуманное число на 5, взять половину полученного произведения, эту половину опять умножить на 5, полученное снова разделить на 2, а затем спросить, чему равно частное от деления найденного числа на 25, и умножить его на 4. При этом нужно иметь в виду опять-таки случаи, когда деление на 2 совершается нацело, а когда нет, и прибавить 1, 2 или 3, где следует, или же не прибавлять ничего, если деление на 2 в обоих случаях было нацело.
      Словом, предложенные задачи можно разнообразить всячески.
     
      111. Угадать задуманное число иным способом
      Сначала нужно поступать, как в предыдущих задачах, т. е. предложить утроить задуманное число, взять половину (или «большую половину») полученного произведения, утроить эту половину и взять снова половину (или «большую половину») полученного числа. Но затем вместо вопроса, чему равно частное от деления последнего числа на 9, можно попросить назвать все цифры, которыми пишется это последнее число, кро*
      ме одной, лишь бы эта неизвестная отгадывающему цифра не была нуль.
      Точно так же необходимо, чтобы загадывающий сказал и порядок цифр — как тех, которые уже им названы, так и той, которая угадывающему еще неизвестна.
      После этого, чтобы узнать задуманное число, надо сложить все цифры, которые названы, и отбросить от этой суммы 9 столько раз, сколько возможно. Остаток, который после этого получится, надо вычесть из 9, и тогда получится неизвестная цифра; или же, если остаток будет нуль, то неизвестная цифра и есть 9. Поступают именно так в том случае, если оба раза деление пополам совершалось нацело. Если же, чтобы разделить число пополам, приходилось прибавлять 1 в первый раз, то нужно сначала к сумме известных цифр прибавить еще 6 и поступать затем, как указано.
      Если для деления пополам приходилось прибавить 1 только второй раз, то к той же сумме нужно добавить 4.
      Если в обоих случаях деление не совершалось сразу нацело и приходилось прибавлять по 1, то к названной сумме нужно прибавить 1.
      Найдя таким образом неизвестную цифру последней половины, мы узнаем и саму половину. Узнав же, сколько раз в ней заключается по 9, взяв соответствующее число раз по 4 и прибавляя, когда нужно, 1, 2 или 3, получим искомое задуманное число.
      В чем секрет?
      Например, задумано 24. Утроив и разделив два раза, находим, что последняя половина есть 54. Пусть задумавший число назовет угадывающему первую цифру 5. Тогда вычитанием 5 из 9 получается вторая цифра 4. Итак, последняя половина есть 54. В ней 9 содержится 6 раз. Следовательно, задуманное число есть 4 х 6 = 24.
      Положим, что задумано 25. Утраивая и беря половину произведения, утраивав эту половину и беря снова половину, находим 57. Но нужно помнить, что в первом случае, чтобы получить половину, приходилось прибавлять 1; поэтому, если задумавший число объявит, например, первую цифру 5, то надо к 5 прибавить 6, получится 11, отбрасывая 9, получим 2, вычитая 2 из 9, получим вторую цифру 7. Итак, вторая половина 57; в ней 9 содержится 6 раз. Отсюда задуманное число равно 4 х 6 + 1 = 25.
      Пусть задумавший число скажет, что последняя полученная им половина числа состоит из трех цифр, что две последние цифры суть 13 и что для деления пополам нацело приходилось во второй раз прибавлять 1. В таком случае к сумме 1 + 3 = 4
      нужно прибавить еще 4, получается 8. Вычитая 8 из 9, получим Г. Следовательно, последняя половина есть 113; в ней 9 содержится 12 раз. Поэтому задуманное число есть 4 х 12 4- 2 = 50.
      Точно так же, если бы задумавший число сказал, что после утроений и делений на 2 он получил трехзначное число, в котором первая цифра 1, а последняя 7, и что в обоих случаях при делении на 2 приходилось прибавлять по 1, то на основании предыдущего поступаем так: 14-7+1=9. Отбрасывая 9, получим в остатке куль, т. е. неизвестная цифра последней половины есть 9, и сама эта половина есть 197, где 9 содержится 21 раз. Отсюда по предыдущему заключаем, что задуманное число есть 4 х 21 4- 3 = 87.
     
      112. Угадать задуманное число еще одним способом
      Изложим теперь способ, который с виду кажется замысловатее других, хотя объясняется очень легко.
      Пусть кто-нибудь задумает какое-либо число. Затем предложите ему умножить это число на какое угодно заданное вами другое число, полученное произведение разделить на какое угодно заданное вами число, затем результат опять умножить на какое вам угодно число, это произведение опять разделить на какое угодно заданное вами число и т. д. Если угодно, то можно предоставить тому, кто задумал число, самому умножать и делить задуманное число на какие ему угодно числа, лишь бы он сообщал каждый раз, на какое число он множит и на какое делит. Но, чтобы угадать задуманное число, сам угадывающий пусть в то же время возьмет какое-либо число и проделывает над ним все те же самыс-умножения и деления, что и задумавший число. Остановившись затем на каком-либо делении, попросите задумавшего число, чтобы он разделил на задуманное им число то последнее число, которое он получил. Точно так же и вы (угадывающий) разделите последнее вами полученное число на взятое вами первоначально. Тогда у вас получится то же число, что и у задумавшего число. После этого пусть задумавший число прибавит к полученному им в уме частному задуманное число и скажет вам результат. Вычитая из этого результата известное уже вам число, получаете задуманное число.
      Почему? ч
      Пусть, например, кто-нибудь задумает число 5. Предложите умножить его на 4; результат (20) разделить на 2 (получится 10), полученное чисто умножить на 6 (получится 60), это последнее произведение разделить на 4 (получится 15). Но, в то же время вы сами должны выбрать какое-либо число и делать
      над ним все те же действия. Пусть, например, вы возьмете 4 (лучше, вообще, брать для удобства 1). Умножая на 4 вы получаете 16; деля на 2, вы получаете 8; умножая на 6, вы получаете 48; деля это число на 4, вы получаете 12. Вслед за тем вы говорите задумавшему число, чтобы он последнее полученное им число (т. е. 15) разделил на задуманное (т. е. на 5). У него получается 3.
      Если вы в то же время свое последнее число 12 разделите на взятое вами сначала, т. е. на 4, по получите также 3. Сделав вид, что вам неизвестно полученное вашим партнером частное, вы говорите ему, чтобы он прибавил к полученному им числу задуманное число и сказал вам результат; он, конечно, скажет вам в этом примере 8. Отнимая от 8 полученное вами уже частное 3, найдете задуманное вашим партнером число 5.
     
      113. Угадать несколько задуманных чисел
      I. Пусть кто-нибудь задумает нечетное число каких-либо чисел, т. е. 3 или 5, или 7, или 9 и т. д. чисел, и пусть он скажет вам сумму первого и второго чисел, затем суммы второго и третьего, третьего и четвертого, четвертого и пятого и т. д., наконец, сумму последнего из задуманных им чисел и первого.
      Возьмите эти суммы в том же порядке, как они названы вам, и сложите вместе все те, которые стоят на нечетных местах (т. е. 1-ю с 3-й, с 5-й и т. д.), а затем сложите все те, которые стоят на четных местах (т. е. 2-ю с 4-й, с 6-й и т. д.), и вычтите из первого результата второй. Остаток и даст удвоенное первое задуманное число. Беря половину этого остатка, получаем само число. Зная его, нетрудно найти остальные числа, так как суммы первого и второго, второго и третьего и т. д. известны.
      Почему так получается?
      II. Если же кто-нибудь задумает четное число чисел, то, как и выше, пусть он скажет суммы задуманных чисел по два (первого со вторым, второго с третьим и т. д.), но в конце пусть объявит сумму не последнего с первым задуманным числом, но последнего со вторым. После этого опять нужно сложить все суммы, стоящие на нечетных местах, кроме первой, затем все суммы, стоящие на четных местах, и из второго результата вычесть первый. Остаток и дает удвоенное второе задуманное число.
      Почему?
     
      114. Угадать задуманное число, ничего не спрашивая у задумывающего
      Предложите кому-либо задумать число, затем пусть он умножит задуманное число на произвольно выбранное вами число, к этому числу пусть он прибавит любое данное вами число и полученную сумму разделит на данное вами же произвольное число. В то же время данный вами множитель разделите в уме на данный делитель, — сколько единиц и частей единицы заключается в полученном частном, столько раз предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число, и вы тотчас же скажете ему остаток, который он получил. Этот остаток всегда равен частному, полученному от деления того числа, которое вы дали, чтобы прибавить к произведению, на данный вами же делитель.
      Почему?
      Пусть, например, кто-нибудь задумает 6; предложите ему умножить его на 4, получится 24; предложите прибавить 15; получится 39. Пусть разделит на 3; получится 13. Деля в уме
      в то же время 4 на 3, вы получаете 4/3, или 1 1/3. Поэтому предложите задумавшему число отнять от полученного им частного задуманное число да еще одну треть этого числа (т. е. шесть да еще два — всего восемь): 13 — 8 = 5, остается 5. Тот же результат получится, если вы данное вами число 15 разделите на данный вами же делитель 3.
      Предложенная задача дана здесь в довольно общем виде. Употребляется часто такой ее частный случай. Заставляют удвоить задуманное число, затем прибавить к результату произвольное, но четное число, затем заставляют полученную сумму разделить на 2 и из частного вычесть один раз задуманное число. Остаток, конечно, всегда получится равным половине прибавленного раньше четного числа. Очевидно, однако, что интереснее решать задачу в общем виде. Тем более, что при этом можно практиковаться в дробях. Если же почему-либо нежелательно получать дроби, то всегда можно подобрать такие числа, чтобы дробей не получалось.
     
      115. Кто выбрал четное число?
      Даны два числа — одно четное, другое нечетное, и предложено двум лицам взять одному четное число, а другому — нечетное, как кто пожелает. Угадать, кто выбрал четное, а кто нечетное.
      Вы предлагаете, например, Петру и Ивану два числа (одно четное и другое нечетное), например 10 и 9. Из них один, уже без вашего ведома, берет четное, а другой — нечетное число. Чтобы угадать, какое кто взял число, вы тоже возьмите два числа, четное и нечетное, например 2 и 3, предложите, чтобы Петр взятое им число умножил про себя на 2, а Иван свое число — на 3, после чего пусть они сложат полученные ими числа и скажут вам полученную сумму. Или же пусть скажут только, четное или нечетное число они получили после сложения, так как вам нужно знать только это. Если же хотите задачу сделать более непонятной, то выведайте это у них другим путем (предлагая, например, разделить полученную ими сумму на 2 и сказать, делится или не делится она нацело, и т. д.). Положим, вы узнали, что получилась четная сумма; тогда ясно, что число, умноженное на 3, было четное, т. е. Иван взял четное число 10, а Петр — нечетное 9. Если же после сложений у них получилась нечетная сумма, то ясно, что тот взял нечетное число, кому вы предложили умножить его число на 3.
      Дайте обоснование этого способа угадывания.
     
      116. Та же задача с двумя взаимно простыми числами
      Предложите двоим заметить любое го данных двух чисел, но таких, чтобы эти числа были между собой взаимно простые, как, например, 9 и 7, и, кроме того, чтобы одно из них было составное (как в данном примере 9). Множителями, на которые вы хотите, чтобы умножили замеченные числа, возьмите также два взаимно простых числа, но таких, чтобы одно из них содержалось целое число раз в одном из чисел, данных на выбор. Например, если взять 3 и 2, то эти числа и взаимно простые и 3 есть множитель 9. Вслед за тем предложите одному умножить выбранное им число на 2, а другому — на 3, сложить результаты и сказать вам или полученную сумму, или же сказать, делится ли эта сумма нацело на тот данный нами множитель, который, в свою очередь, содержится в одном го предложенных вами на выбор чисел. (Например, во взятом нами примере узнать, делится ли число на 3.) Узнав это, сразу можно определить, кто какое число заметил. В самом деле, если полученная сумма делится на 3, это значит, что на 3 умножено число, не делящееся на 3, т. е. 7; наоборот, если полученная сумма не делится на 3, то это значит, что на 3 было умножено число, делящееся на 3, т. е. 9. Точно так же поступают и в тех случаях, когда берутся и предлагаются другие числа, лишь бы они удовлетворяли изложенным выше условиям.
      Дайте объяснение этого способа угадывания.
     
      117. Отгадать несколько задуманных чисел, если каждое из них не превышает десяти
      Попросите задумавшего умножить первое из задуманных чисел на 2 и к произведению прибавить 5, полученную сумму умножить на 5 и к результату прибавить 10. К полученному числу прибавить второе задуманное число и все умножить на 10; к полученному результату прибавить третье задуманное число и опять умножить на 10; потом прибавить четвертое из задуманных чисел и опять умножить на 10 и т. д. Словом, пусть задумавший несколько чисел, каждое из которых не превышает десяти, постоянно умножает на 10 и прибавляет одно из задуманных чисел, пока не прибавит последнего. Вслед за тем пусть задумавший числа объявит последнюю полученную им сумму; и если задумано только два числа, то, вычтя из этой суммы 35, найдем, что число десятков остатка дает первое задуманное число, а число единиц дает второе задуманное число. Если же задумано три числа, то из названной вам суммы вычтите 350, и тогда число сотен даст первое задуманное число, число десятков — второе, число единиц — третье. Если задумано четыре числа, то из названной вам суммы вычтите 3500, и тогда число тысяч остатка даст первое задуманное число, число сотен — второе, число десятков — третье; число простых единиц — четвертое. Ясно, что в случае пяти задуманных чисел нужно из названного вам результата вычитать 35000 и т. д.
      Пусть, например, задуманы 3, 5, 8, 2. Удваивая первое из них, получаем 6; прибавляя 5, находим 11; умножая это число на 5, имеем 55; прибавляя 10, получаем 65; прибавляя второе задуманное число, получаем 70; умноженное на 10, оно дает 700; прибавляя сюда третье задуманное число, получаем 708; умножая на 10, получаем 7080; прибавляя сюда четвертое число, получаем 7082. Если теперь из этого последнего числа вычесть 3500, то получится остаток 3582, который и выражает по порядку цифр задуманные числа: 3, 5, 8, 2.
      Дайте объяснение предложенного способа угадывания.
      Эту задачу, можно, очевидно, видоизменять и прилагать ко многим частным случаям.
      Так, например, при игре в кости *) с помощью этой задачи можно угадать, не глядя, число выброшенных каждой костью очков. И это тем более легко, что число очков каждой кости не превышает шести. Способ угадывания и правила остаются совершенно те же.
      *) Кость — это кубик, на каждой из шести граней которото написано по одной цифре от 1 до 6.
     
      X. ИГРЫ С ЧИСЛАМИ И ПРЕДМЕТАМИ
     
      124. Автобусный билет
      В автобусе вам попался билет с номером 524127. Попробуйте, не меняя порядка цифр, расставить между ними знаки математических действий так, чтобы в итоге получилось 100.
      Эта занятная игра может скрасить вам время длительной поездки, если вы попытаетесь получить 100 подобным же образом из номера попавшегося вам билета. Если вы едете не одни, то можно устроить маленькое соревнование: кто быстрее получит 100 из цифр своего билета.
     
      125. Кто первый скажет «сто»?
      Двое поочередно называют произвольные числа, не превышающие 10. Эти числа складываются одно за другим, и выигрывает тот, кто первый достигнет ста.
      Если первый скажет, например, «7», а второй «10», получится «17»; затем первый говорит, например, «5», получится «22»; второй говорит «8», получится «30» и т. д. Победителем будет тот, кто первый получит «100».
      Как сделать так, чтобы наверняка первым сказать «сто»?
     
      126. Обобщение
      Предыдущую задачу можно предложить и в таком общем виде.
      Двое называют поочередно произвольные числа, не превышающие, однако, какого-нибудь условленного предела. Эти числа складываются одно за другим, и выигрывает тот, кто первый достигает какого-нибудь заранее назначенного числа.
      Сделать так, чтобы первым прийти к этому назначенному числу.
     
      127. Собрать в группы по 2
      Десять спичек положены в один ряд (рис. 57). Требуется распределить их попарно, всего в 5 пар, перекладывая по одной спичке через две (например, первую переложить к четвертой).
     
      128. Собрать в группы по 3
      Пятнадцать спичек расположены в ряд. Требуется собрать их в 5 кучек по 3 спички, перекладывая их по одной и каждый раз перескакивая при этом через 3 спички.
     
      129. Детская пирамида
      Возьмем 8 деревянных или из толстого картона кружков уменьшающегося диаметра и 3 вертикально укрепленные на подставках палочки (стержня). Кружки снабжены в центре отверстиями, и их накладывают, начиная с наибольшего, на одну из палочек А. Это и есть детская пирамида в 8 этажей (рис. 58, вверху).
      Требуется эту пирамиду с палочки А перенести на палочку В, пользуясь третьей палочкой (I, II и III на нашем рисунке) как
      вспомогательной и соблюдая следующие условия: 1) не переносить за один раз более одного кружка, 2) класть снятый кружок или на ту палочку, которая свободна, или накладывать его на кружок большего диаметра. Надевать на какую-либо из палочек больший кружок поверх меньшого нельзя.
      Легенда. Если выше вместо 8 кружков возьмем 64 кружка, то получим задачу, связанную с древнеиндийской легендой.
      Легенда эта гласит, будто в городе Бенаресе, под куполом главного храма, в том месте, где находится середина Земли, бог Брама поставил вертикально на бронзовой площадке три алмазные палочки, каждая длиною в локоть и толщиною в корпус пчелы. При сотворении мира на одну из этих палочек были надеты 64 кружка из чистого золота с отверстиями посередине — так, что они образовали род усеченного конуса, так как диаметры их шли в возрастающем порядке, начиная сверху. Жрецы, сменяемые один другим, днем и ночью без устали грудятся над перенесением этой колонны кружков с первой палочки на третью, пользуясь второй как вспомогательной, причем они обязаны соблюдать условия, т. е. 1) не переносить за один раз более одного кружка и 2) класть снятый кружок или на свободную в этот момент палочку, или накладывать его на кружок только большего диаметра. Когда, соблюдая все эти условия, жрецы перенесут все 64 кружка с первой палочки на третью, наступит конец мира...
     
      XI. ДОМИНО
     
      Историческая справка
      Предполагают, что игра «домино» перешла к нам от индусов или древних греков. Действительно, простота этой игры наводит на мысль, что она придумана еще в очень отдаленные времена, на первых ступенях цивилизации. Что касается названия самой игры, то относительно него существуют разногласия. Филологи ищут его корень в древних языках, но вероятнее всего такое предположение. Игра в домино разрешалась в католических монастырях и религиозных общинах. Но всякое дело там начиналось, как известно, с восхваления «имени божия». И когда игрок выставлял первую кость, он произносил: «Ьепе-dicamus Domino» (бенедикамус Домино), т. е. «восхвалим господа». Или произносилось «Domino gratias» (Домино гратиас), т. е «благодарение господу». Отсюда и получилось в сокращении просто слово «домино».
     
      131. Удивительный отгадчик
      Десять косточек домино вниз «лицом» положены в последовательно возрастающем справа налево порядке, т. е. одно, два, три и т. д. до десяти очков. «Отгадчик» объявляет остальным, что он уйдет в другую комнату или отвернется, а они без него могут переместить справа налево сколько угодно косточек, причем единственным условием ставится то, чтобы не изменялось относительное расположение как перемещенных, так и остальных косточек. По возвращении отгадчик берется узнать не только число перемещенных косточек, но и открыть ту косточку, которая укажет (числом очков), сколько перемещено косточек.
      И действительно, оказывается, что требуемую косточку всегда можно открыть. Но для этого не нужно даже «догадки», а достаточно самого простого, не выходящего из предела первого десятка, арифметического расчета.
      Разъясним подробно задачу. Для этого перевернем косточки домино «лицом» вверх. Справа налево они первоначально лежат в таком порядке, как указано на рис. 59.
      Воображаемый «маг и чародей» оставляет комнату, а тот, кто желает убедиться в «чудесных» его способностях, перемещает несколько косточек справа налево, не изменяя их относительного расположения, а затем двигает все косточки в этом новом порядке так, чтобы весь ряд косточек занимал прежнее место. Пусть, например, перемещено вначале 4 косточки. Тогда новый порядок их будет представлен рис. 60.
      Очевидно, что первая косточка слева четверка и показывает число перемещенных косточек. Поэтому явившийся в комнату «угадчик» открывает первую косточку слева, кладет ее на стол и говорит. «Перемещено четыре косточки домино». Здесь могут быть для большего интереса пущены в ход маленькие хитрости. Хотя дело в том, чтобы посмотреть эту первую косточку слева, но «угадчик» может сделать вид и внушить собеседникам, что он знает число перемещенных косточек раньше, чем открывает косточку, и что открывание четверки есть только добавочное доказательство его всезнанья.
      Дальше дело пойдет еще удивительнее и занимательнее. Косточки остаются в том же порядке, и угадывающий уходит, зная, что последняя косточка слева есть четверка. Сколько бы косточек в его отсутствие ни переместили (опять справа налево и не изменяя порядка), если он придет и откроет пятую косточку (4 + 1 = 5), считая слева направо, то число очков этой косточки покажет ему всегда число перемещенных косточек. Так, пусть перемещено во второй его выход справа налево три косточки. Тогда получится такой порядок косточек, какой показан на рис. 61, и пятая косточка, считая слева, действительно показывает три очка. Открыв эту тройку и положив ее опять на место, нетрудно уже, не глядя, сообразить, что последняя косточка слева теперь будет семерка. Запомнив это, угадывающий опять уходит в другую комнату, предлагая переместить сколько угодно косточек справа налево, заранее зная, что по приходе он откроет восьмую косточку и число очков этой косточки ему покажет, сколько косточек было перемещено в его отсутствие.
      Вообще, если вы знаете число очков последней слева косточки, а это, видим, нетрудно, то к этому числу надо прибавить единицу, и вы получите то место, считая по порядку слева, на котором лежит косточка, указывающая, сколько косточек перемещено.
      Но легко видеть, что для каждой косточки сумма числа очков на ней и ее номера как раз равна номеру косточки, которую нужно открыть в следующий раз (если сумма больше 10, то из нее нужно вычесть 10). Это упрощает все рассуждения. Теперь достаточно лишь к числу очков открытой косточки прибавить ее номер, чтобы получить номер (быть может после вычитания 10) косточки, которую нужно открыть в следующий раз. В рассмотренном примере открывалась пятая косточка, на которой были три очка. Значит после прихода нужно взять восьмую (5 + 3 = 8) косточку.
      Задача эта, как видим, весьма проста, но и весьма эффектна. Разобраться в решении ее не составляет особого труда, и каждый желающий может это сделать.
     
      132. Верная отгадка
      Возьмите двадцать пять косточек домино, переверните их «лицом» вниз и положите рядом одна за другой так, чтобы они соприкасались более длинными сторонами. Вслед за тем объявите, что вы отвернетесь или даже уйдете в другую комнату, а кто-нибудь пусть с правого конца переместит на левый какое-нибудь число косточек домино (не более, однако, двенадцати). Возвратившись в комнату, вы сразу открываете косточку, число очков которой непременно укажет число перемещенных в ваше отсутствие косточек домино.
      Как это сделать?
     
      133. Сумма всех очков домино
      Сосчитайте сумму очков, содержащихся на всех косточках домино.
     
      134. Небольшая забава
      Переверните «лицом» вниз все косточки домино без дублей. Одну же из косточек тихонько спрячьте, наблюдая только, чтобы эта косточка не была дублем. Затем предложите кому-нибудь взять любую из лежащих на столе косточек, посмотреть ее и положить на стол вверх лицевой стороной, а вслед за тем пусть он же раскроет и все остальные косточки домино и расположит их вместе с первой открытой косточкой по правилам игры, но так, чтобы не замкнуть игры. Получится некоторое расположение косточек, и вы сможете заранее предсказать числа очков, которые получатся на концах этого расположения. Эти числа будут как раз те, которые находятся на квадратиках раньше спрятанной вами косточки домино.
      В самом деле, если расположить все косточки домино одну за другой в порядке, требуемом правилами игры, т. е. чтобы последовательные косточки соприкасались квадратиками с одинаковым числом очков, то игра всегда окончится таким же числом очков, каким она началась. Если, скажем, расположение косточек начинается квадратиком с пятью очками, то оно и окончится пятью при условии, конечно, не закрывать игру,
      пока не будут положены все косточки. Итак, все 21 косточки без дублей можно расположить, соблюдая правила игры, по кругу, и если из этого круга отнять, например, косточку (3,5), то ясно, что расположение остальных 20 косточек начнется с одной стороны пятью, а окончится тремя.
      Этой небольшой забавой вы можете очень заинтересовать тех, кто не знает, в чем дело, особенно если сделать вид, что вы будто бы производите в уме самые сложные вычисления. Следует также при повторении забавы по возможности ее разнообразить и видоизменять.
     
      135. Наибольшее число
      Допустим, что играют в домино четверо. Каждый играет «за себя», т. е. на каждого игрока ведется отдельный счет выигранных очков. Перед началом игры каждый игрок имеет по семи косточек. При этом могут получаться такие интересные расположения косточек, при которых первый игрок обязательно выигрывает, в то время как второй и третий игроки не смогут положить ни одной косточки. Пусть, например, у первого игрока будут четыре первых нуля и три последних единицы, т. е. такие косточки:
      (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
      а у четвертого игрока пусть будут остальные единицы и нули, т. е. косточки
      (1, 1), (1, 2), (1, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6)
      и еще какая-либо косточка. Остальные косточки домино поделены между вторым и третьим игроками. В таком случае первый игрок выигрывает после того, как будут положены все 13 указанных выше косточек домино, а второй и третий игроки не смогут поставить ни одной из своих.
      В самом деле, первый игрок начинает игру и ставит (0, 0). Второй и третий досадуют, ибо у них нет подходящей косточки. Тогда четвертый игрок может положить любую из трех косточек (0, 4), (0, 5) или (0, 6). Но первый приложит в ответ (4, 1), (5, 1) или (6, 1). Второй и третий опять не смогут ничего положить, а четвертый поставит (1, 1) или (1, 2), или (1, 3), на что первый может ответить (1, 0), (2, 0), (3, 0) и т. д. Таким образом, он положит все свои косточки, в то время как у второго и третьего игроков останутся все их косточки, а у четвертого — одна. Сколько же выигрывает первый? Сумма очков в положенных 13 косточках равна, как легко видеть, 48, а число очков всей игры есть 168. Значит, первый игрок выигрывает
      168 — 48 = 120 очков в одну игру. Это наибольшее возможное число.
      Можно составить и другие партии, подобные предыдущей. Для этого стоит только нули и единицы заменить соответственно косточками с иным количеством очков: 2, 3, 4, 5 или 6. Число подобных партий, следовательно, равно числу всех простых сочетаний из семи элементов по 2, т. е. равно 21. Ясно, что вероятность получить такую партию случайно весьма мала. Кроме того, все остальные партии, за исключением приведенной выше, дадут меньшее, чем 120, число выигранных очков.
     
      136. Квадрат из 8 косточек
      Можно ли из 8 косточек домино сложить квадрат такой, что любая проведенная через него прямая пересекает хотя бы одну косточку? Квадрат, изображенный на рис. 62, не годится, так как прямая АВ не пересекает ни одной косточки.
     
      137. Квадрат из 18 косточек
      Можно ли из 18 косточек домино сложить квадрат, удовлетворяющий условию предыдущей задачи?
     
      138. Прямоугольник из 15 косточек
      Можно ли из 15 косточек домино сложить прямоугольник, удовлетворяющий условию задачи 136?
     
      ХII. ШАШКИ
     
      140. Четыре пары
      Взять 4 белых и 4 черных шашки и положить д ряд в переменном порядке: белая, черная, белая, черная и т. д. Можно пользоваться свободным местом только для двух шашек, и можно на это свободное место перемещать только две рядом лежащие шашки, не меняя порядка, в котором они лежат. Требуется в четыре перемещения шашек попарно переместить их так, чтобы оказались подряд четыре черных и затем четыре белых.
     
      141. Пять пар
      Кладут в ряд пять белых и пять черных шашек в переменном порядке: белая, черная, белая, черная и т. д. Требуется, пользуясь двумя свободными местами и перемещая на них по две соседние шашки без изменения их взаимного положения, в пять перемещений расположить их так, чтобы подряд были расположены сначала черные, а затем белые шашки.
     
      144. Пять линий, 10 шашек
      Начертите на бумаге пять прямых линий и разложите на них 10 шашек так, чтобы на каждой линии лежало по 4 шашки.
     
      145. Интересная расстановка
      Расставить в круг или в ряд 12 черных и 12 белых шашек так, чтобы при отсчитывании, начиная с первой шашки, выбрасывать из круга или ряда каждую седьмую шашку и чтобы выброшенными оказались все белые шашки, а черные остались на своих местах.
     
      ХIII. ШАХМАТЫ
     
      По поводу 20-значного числа, приведенного в решении задачи 129, существует другая легенда, тоже индусского происхождения, которую рассказывает арабский писатель Асафад.
      Брамин Сесса, сын Дагера, придумал игру в шахматы, где король, хотя и самая важная фигура, не может ступить шагу без помощи и защиты своих подданных пешек и других фигур. Изобрел он эту игру в забаву своему монарху и повелителю Индии, Шерану. Царь Шеран, восхищенный выдумкой брамина, сказал, что даст ему все, что только брамин захочет.
      — В таком случае, — сказал Сесса, — прикажи дать мне столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить зерно, на вторую 2, на третью 4, на четвертую 8 и т. д, все удваивая, пока не дойдут до 64-й клетки.
      Повелитель Индии не смог этого сделать. Число требуемых зерен выражалось двадцатизначным числом. Чтобы удовлетво-
      рить «скромное» желание брамина, нужно было бы восемь раз засеять всю поверхность земного шара и восемь раз собрать жатву. Тогда бы только получилось нужное для Сессы количество зерен.
      Обещать «все, что хочешь», легко, но трудно исполнить!
     
      147. Пешка н конь
      Поставим на шахматную доску одну пешку. Может ли конь, помещенный на одну из свободных клеток, обойти все остальные клетки и вернуться на исходную, побывав на каждом поле только один раз?
     
      148. Две пешкн и конь
      Поставим две пешки в противоположные углы шахматной доски. Может ли конь обойти оставшуюся часть доски так, как это требуется в предыдущей задаче?
     
      149. Конь
      Может ли конь обойти 16 центральных полей шахматной доски, побывав на каждом поле по одному разу?
     
      150. Жуки
      Представьте себе, что вам удалось поймать 25 жуков и рассадить их по одному на каждой клетке куска шахматной доски размером 5x5 (рис. 67). Давайте предположим теперь, что каждый жук переполз на соседнюю по горизонтали или Рис. 67
      вертикали клетку этого куска доски. Как вы думаете, останутся ли при этом пустые клетки?
     
      151. Жуки на шахматной доске
      Каков будет ответ на вопрос предыдущей задачи для всей шахматной доски размером 8x8?
     
      152. Замкнутый путь жука
      Может ли жук, помещенный на некоторую клетку шахматной доски, переползая на соседние клетки по горизонтали или вертикали, обойти всю доску и вернуться на исходную клетку, побывав при этом на каждой клетке только один раз?
     
      153. Пешка и домино
      Предположим, что у нас имеется шахматная доска и 32 косточки домино, каждая величиной в две клетки доски. Поставим на какую-нибудь клетку доски пешку. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино так, чтобы ни одна кость не вылезала за пределы доски и кости не налегали друг на друга?
     
      154. Две пешки и домино
      Поставим две пешки на противоположные угловые поля доски. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино так, как это требовалось в предыдущей задаче?
     
      155. Опять две пешки и домино
      Поставим две решки на поля разного цвета. Можно ли оставшуюся часть доски покрыть костями домино?
     
      156. Шахматные фигуры и домино
      Сколько шахматных фигур нужно поставить на доску для того, чтобы на ней нельзя было разместить ни одной кости домино?
     
      XIV. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ С КВАДРАТАМИ
     
      В следующих четырех задачах мы будем заниматься составлением «волшебных квадратов». Так называются квадратные таблицы чисел, в которых суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и в каждой из двух диагоналей квадрата все равны между собой.
     
      159. Расставить три числа
      В каждой из 9 клеток квадрата (рис. 80) поставить одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы сумма чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также по любой диагонали равнялась 6. Найти все расстановки.
     
      160. Расставить 9 чисел
      В квадрате, состоящем из 9 клеток, расставить числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.
     
      161. Расставить 25 чисел
      Расположить 25 чисел, от 1 до 25, в квадрате из 25 клеток так, чтобы в каждой строке, в каждом столбце, а также по обеим диагоналям квадрата получились одинаковые суммы.
     
      162. Расставить 16 чисел
      В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить целые числа от 1 до 16 так, чтобы суммы чисел, стоящих в каждом вертикальном ряду, в каждом горизонтальном ряду, а также на любой диагонали были равны.
     
      163. Расставить четыре буквы
      В квадрате, состоящем из 16 клеток, расставить четыре буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой диагонали встречалась только одна буква.
      Как велико число решений этой задачи при одинаковых и разных буквах?
     
      165. Разместить 16 офицеров
      В каждом из четырех полков выбрано по четыре офицера разных званий (полковник, майор, капитан, лейтенант). Требуется разместить этих шестнадцать офицеров в виде квадрата так, чтобы в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду был офицер каждого звания и представитель каждого полка.
     
      166. Шахматный матч
      В шахматном матче встречаются две команды, состоящие из четырех человек. Каждый участник должен сыграть по одной партии с каждым игроком противной команды. Требуется составить расписание турнира так, чтобы:
      1) каждый шахматист сыграл две партии белыми и две партии черными фигурами;
      2) в каждом туре обе команды играли две партии белыми и две черными фигурами.
      Можно предлагать задачи, подобные двум последним, для любого числа п офицеров и полков и для команд с любым числом участников. Легко видеть, что при п = 2 первая задача неразрешима. Невозможно разместить четырех офицеров двух званий из двух полков так, как требуется в условии этой задачи. В 1782 году Эйлер предположил, что задача неразрешима при п — 2, 6, 10, 14,..., т. е. при всех и, которые при делении на 4 дают в остатке 2. Это было подтверждено в 1900 году для п = 6. И, наконец, в 1959 году было установлено, что при всех п Ф 2, 6 задачу решить можно. Оказалось, что при и > 6 предположение Эйлера неверно. Он ошибся.
     
      XV. ГЕОМЕТРИЯ ПУТЕШЕСТВИЙ
     
      МОСТЫ И ОСТРОВА
      Не приходилось ли вам жить, а может быть, вы и сейчас живете в городе или местности, где течет река, которая делится на протоки и рукава, образующие острова? Через реку и ее протоки переброшены, быть может, мосты, соединяющие различные части города. В Ленинграде, например, очень много подобных протоков, разветвлений Невы и разных каналов, через которые переброшено весьма большое количество мостов
      и переходов. Не приходила ли вам когда-нибудь в голову мысль (если, конечно, вы живете в местности, где есть река, острова и мосты) совершить такую прогулку, чтобы во время ее перейти все эти мосты, но перейти их так, чтобы на каждом побывать только по одному разу? Вряд ли вы думали об этом, а между тем мы стоим здесь перед весьма интересной и важной задачей, поставленной впервые знаменитым математиком Эйлером.
      Поучительная сторону предлагаемых ниже задач состоит в исследовании, возможно или нет решение данной задачи, прежде чем приниматься за само решение. Эйлер, в частности, подробно исследовал случай невозможности.
     
      170. Путешествие контрабандиста
      Задачу о переходе через мосты можно предлагать в различных видоизменениях. Можно представить ее, например, как путешествие контрабандиста, который решил побывать во всех странах Европы, но так, чтобы через границу каждого государства ему пришлось переходить только один раз.
      В данном случае очевидно, что различные страны и их границы будут соответствовать разным местностям и рукавам реки, через которые переброшено по одному мосту (для каждой границы, общей двум странам).
     
      172. В мастерской
      В мастерской имеется 10 различных станков. Известно, что каждый из 10 рабочих этой мастерской умеет работать только на двух станках и на каждом станке умеют работать только два рабочих. Можно ли расставить рабочих у станков так, чтобы каждый стоял у станка, на котором умеет работать?
     
      XVI. ЛАБИРИНТЫ
     
      Происхождение задачи о лабиринтах относится к глубокой древности и теряется во мраке легендарных сказаний. Древние, — да, пожалуй, многие и теперь, — задачу о лабиринтах считали вообще неразрешимой. Человек, попавший в лабиринт, не мог уже из него выйти, если только какое-либо чудо или случай не приходили ему на помощь.
      Из настоящего раздела мы, наоборот, увидим, что безвыходных лабиринтов нет, что разобраться и найти выход из самого запутанного лабиринта не составляет особого труда. Решению задачи мы предпошлем историческую справку о лабиринтах.
      Слово «лабиринт» — греческое и в переводе означает ходы в подземельях. Существует, действительно, очень много природных подземных пещер с таким огромным количеством по всем направлениям перекрещивающихся коридоров, закоулков и тупиков, что нетрудно в них заблудиться, потеряться и, не найдя выхода, умереть от голода и жажды.
      Примеры такого же рода, но уже искусственных лабиринтов, могут представить шахты иных рудников, или так называемые «катакомбы».
      Вероятнее всего, что подобные подземелья возбудили у строителей еще древнейших времен желание подражать им искусственными сооружениями. И у древних писателей мы встречаем указание на существование искусственных лабиринтов, например, у египтян. В конце концов словом «лабиринт» чаще всего обозначали именно искусственное чрезвычайно сложное сооружение, составленное из очень большого числа аллец или галерей, бесчисленные разветвления, перекрестки и тупики которых заставляли попавшего туда бесконечно блуждать в тщательных поисках выхода. Об устройстве таких лабиринтов слагались целые легенды.
      Известнее всего рассказ о лабиринте, построенном мифическим Дедалом на острове Крит для мифического же царя Ми-носа. В центре лабиринта жило чудовище Минотавр, и никто из попавших туда не мог выйти обратно, делаясь в конце концов жертвой чудовища. Семь юношей и семь девушек приносили афиняне в дань ежегодно чудовищу, которое преисправно их пожирало. Наконец, Тезей не только убил Минотавра, но и вышел из лабиринта, не заблудившись в нем, при помощи, впрочем, нити из клубка царевны Ариадны. С той поры слова «нить Ариадны» имеют символическое значение как способ, дающий выход из самого затруднительного положения.
      Лабиринты бывают самой разнообразной формы и устройства. До наших дней сохранились еще и запутанно-сложные галереи, и ходы пещер, и архитектурные лабиринты над могилами, и извилистые планы на стенах или полах, обозначенные цветным мрамором или черепицей, и извивающиеся тропинки на почве, и рельефные извилины в скалах.
      Рисунками лабиринтов украшались одеяния христианских императоров до девятого столетия, и остатки таких же украшений сохранились до сих пор на стенах церквей и соборов того времени. Вероятно, эти украшения служили символом сложности жизненного пути и человеческих заблуждений. Особенно употребительны были лабиринты в первой половине двенадцатого столетия. Во Франции того времени лабиринты выкладывались из камня или изображались на полу церквей и соборов (см. рис. 92, 93). Они обычно назывались «путь в Иерусалим» и служили символом трудного земного путешествия в «святые места», наградой за которое является небесная благодать, поэтому центр лабиринта часто называли «небом».
      В Англии не встречаются лабиринты на церковном полу, но зато было очень много лабиринтов, сделанных из дерна на лужайках. Они носили различные названия: «Город Троя», «Следы пастуха» и т. п. О таких лабиринтах упоминает Шекспир в своих пьесах «Сон в летнюю ночь» и «Буря» (рис. 94).
      Все эти лабиринты имеют более исторический, чем математический интерес. Распутать их нетрудно. С течением времени фигуры эти потеряли свое символическое значение и сделались мало-помалу предметом развлечения. Лабиринты переходят в сады, цветники и парки, где путем проведения прихотливо извивающихся, то пересекающихся, то внезапно прегражденных или заканчивающихся тупиком дорожек получались самые запутанные и головоломные фигуры, в которых, действительно, нелегко было найти дорогу от края к центру и где трудно было не заблудиться.
      Приведенная историческая справка показывает, насколько стар вопрос о лабиринтах и вместе с тем насколько многих он интересовал в свое время. Люди изощрялись в изобретении самых замысловатых и «безвыходных» лабиринтов. Но, в самом деле, возможно ли построить или даже начертить безвыходный лабиринт, т. е. такой, в котором найти путь к его центру и найти отсюда обратный выход было бы только делом удачи, случая, счастья, а не совершенно определенного и правильного математического расчета?
      Разрешение этого вопроса принадлежит сравнительно позднейшему времени, и начало ему положено знаменитым Эйлером. Результаты произведенных в этом отношении изысканий привели к заключению, что нет безвыходных лабиринтов.
      Разрешение каждого лабиринта может быть найдено, и притом сравнительно простым путем. Внимательный читатель сам сейчас убедится в этом.
     
      Геометрическая постановка задачи о лабиринтах
      Аллеи, дорожки, коридоры, галереи, шахты и т. п. лабиринты тянутся, изгибаясь во все стороны, перекрещиваются, расходятся по всевозможным направлениям, ответвляются, образуют тупики и т. д. Но мы для большей ясности рассмотрения вопроса все перекрестки обозначим просто точками, а все эти аллеи, дорожки, коридоры и т. д. будем принимать просто за линии, прямые или кривые, плоские или нет — все равно, но эти линии соединяют наши точки (перекрестки).
      Эти точки и эти линии вместе составляют геометрическую сеть, или лабиринт, если какая-либо точка, движущаяся по линиям этой сети, может прийти к любой другой точке, не покидая линий нашей системы (или сети).
      Приняв это, мы докажем, что подобная движущаяся точка (представляющая, например, человека) может последовательно описать все линии сети без всяких скачков и перерывов и при этом по каждой линии сети она пройдет ровно два раза. При этом она конечно же пройдет через точку, обозначающую выход из лабиринта.
      Возможность обхода следует, вообще говоря, из того, что фигуру, полученную из сети удвоением всех линий, можно описать одним росчерком (см. задачу 171). Однако дополнительные трудности связаны с тем, что блуждающий в лабиринте не имеет его плана и видит только участок, находящийся в непосредственной близости от него. Мы докажем ниже, что и при таком ограничении обход может быть совершен.
      Но еще раньше, чем приступить к этому доказательству, можно доставить себе довольно интересное математическое развлечение, которое поможет уяснить все предыдущее и весьма полезно будет для усвоения самого доказательства. На листе белой бумаги возьмите произвольно несколько точек и соедините их по две столько раз, сколько хотите, произвольным числом прямых или кривых линий, но так, чтобы ни одна точка системы не осталась совершенно изолированной. Итак, вы получите то, что мы назвали геометрической сетью. Или нарисуйте, например, сеть трамваев или троллейбусов города, сеть железных дорог страны, сеть рек и каналов и т. д., прибавьте к ним, если хотите, границы страны — вы опять получите геометрическую сеть, или лабиринт (для начала, конечно, лучше брать не особенно сложную сеть).
      Теперь на куске непросвечивающей бумаги или картона вырежьте небольшое отверстие, через которое была бы видна только небольшая часть составленной вами решетки, или лабиринта. Затем направьте окуляр (отверстие для глаза) вашего «экрана» на какой-либо перекресток (точку) вашей сети, например точку, которую назовем А, и дайте себе такое задание: обежать этим окуляром непрерывно все линии сети два раза (пройти каждый путь вперед и назад) и возвратиться снова в точку А.
      Чтобы помнить уже пройденные окуляром линии, примите за правило на каждой проходимой линии ставить поперечную черточку при входе в перекресток и при выходе из него. Отсюда следует, что два конца каждого пути от перекрестка до перекрестка (от точки до точки) после выполнения задания (пройти каждую сеть линии два раза) должны быть обозначены двумя поперечными черточками, но не более.
      Если мы имеем дело с действительным лабиринтом, или галереями подземных шахт, с разветвлениями пещер и т. д., то блуждающему в этих шахтах вместо черточек на бумаге придется делать уже иной знак, чтобы ориентироваться, и класть, например, камень при входе и выходе из каждого перекрестка — в галерее, которую он покидает, и в той, в которую он входит.
      Но обратимся к упомянутому раньше доказательству, что всякий лабиринт разрешим, что нет «безвыходного» лабиринта. Другими словами, решим общую задачу о лабиринтах.
     
      Решение задачи о лабиринтах
      Правило I. Отправляемся от начального пункта (первого перекрестка) и идем по какой угодно дороге, пока не приходим или в тупик, или к новому перекрестку. Тогда
      1. Если окажется, что мы попали в тупик, то возвращаемся назад и пройденный путь должен быть уже отброшен, так как мы его прошли два раза (вперед и обратно).
      2. Если же мы приходим к новому перекрестку, то направляемся по новому произвольному пути, не забывая только всякий раз отметить поперечной черточкой путь, по которому мы прибыли, и путь, по которому отправились дальше.
      Как это показано на рис. 96, где мы движемся в направлении, показанном стрелкой, мы приходим к пересечению путей и берем направление, обозначенное стрелкой, но тот и другой путь мы обозначаем черточкой (на всех рисунках крестиками обозначены черточки, поставленные при последнем прохождении через перекресток).
      Мы следуем указанному выше первому правилу всякий раз, когда приходим на такой перекресток, на котором мы еще не были. Но в конце концов мы должны прийти к перекрестку, на котором мы уже были, и здесь может представиться два случая. На известный уже нам пункт мы приходим по дороге, уже раз пройденной нами, или же по пути новому, не отмеченному еде черточкой. Следует придерживаться таких правил:
      Пра вило II. Прибыв на известный уже нам перекресток по новой дороге, мы должны сейчас же повернуть обратно, предварительно отметив этот путь двумя черточками (прибытие и обратное отправление), как это показано на рис. 97.
      Правило III. Если мы приходим на известный нам перекресток таким путем, которым уже раз прошли раньше, то, отметив этот путь второй черточкой, отправляемся дальше путем, которым мы еще не шли, если только такой путь существует. Этот случай изображен на рис. 98.
      Но если такого пути нет, то выбираем дорогу, по которой прошли только один раз. Случай этот изображен на рис. 99.
      Придерживаясь точно указанных правил, мы обойдем два раза все линии сети и придем в точку отправления. Это можно доказать, сделав и уяснив себе предварительно такие замечания:
      1. Выходя из точки отправления, скажем Л, мы ставим начальный знак (поперечную черточку).
      2. Прохождение через перекресток по одному из предыдущих трех правил каждый раз добавляет два знака (две поперечные черточки) на линиях, которые сходятся в этой точке.
      3. В любой момент прохождения лабиринта, перед прибытием на какой-либо перекресток или после отправления из него, начальный перекресток (пункт отправления) имеет нечетное число знаков (черточек), а всякий другой перекресток имеет их четное число.
      4. В любой момент, до или после прохода через перекресток, начальный перекресток имеет только один путь, обозначенный только одной черточкой. Всякий же иной из посещенных уже перекрестков может иметь только два пути, обозначенных одной черточкой.
      5. После полного обхода лабиринта у всех перекрестков все пути должны иметь по две черточки. Это, впрочем, входит прямо в условие задания.
      Приняв во внимание все вышеизложенное, мы легко убедимся, что если кто-либо отправляется из начального перекрестка, скажем А, и прибывает в какой-либо иной перекресток М, то он не может встретить таких трудностей задачи, которые могли бы остановить его дальнейшее путешествие. В самом деле, в это место он приходит или новым путем, или путем, который уже один раз пройден. В первом случае прилагается первое или второе из данных выше правил. Во втором случае вступление на перекресток М и остановка здесь дала бы нечетное число знаков около него, следовательно, за неимением нового пути надо пойти по уже пройденному один раз пути, и около перекрестка будет четное число знаков (если он не начальный) по замечанию 3.
      Пусть, наконец, мы будем вынуждены закончить наш путь и возвратиться в начальный перекресток А. Назовем эту последнюю линию ZA, т. е. она ведет из перекрестка Z в начальный А. Этот путь должен быть необходимо тем самым, которым мы отправились первый раз из А, иначе путь можно было бы продолжить. И если теперь мы принуждены этим же путем возвратиться в начальную точку, то это значит, что из перекрестка Z нет уже никакого другого пути, который бы не был уже 2 раза пройден. Иначе это значило бы, что забыЛи применить первую часть правила III, более того, это значило бы, что в Z есть какой-то путь YZ, пройденный только один раз по замечанию 4. Итак, при последнем возвращении в А все пути в Z должны быть отмечены двумя черточками. Точно так же это можно доказать для предшествующего перекрестка Y и для всех остальных. Другими словами, наше предложение доказано, и задача решена.
     
      174. Лабиринт английского короля
      В одном го дворцовых садов английского короля Вильгельма III был лабиринт из аллей и изгородей. Аллеи были около полумили длиной, а в центре находились два больших дерева со скамейками около них. План лабиринта изображен на рисунке.
      Способ пройти к центру и выйти из сада состоял в том, чтобы вступив в лабиринт, с первого же шага и до конца касаться изгороди правой рукой.
     
      175. Беседка
      А теперь, почтенный читатель, после изложенного уже и, думаем, усвоенного вами решения задачи о лабиринтах, дня вас будет нетрудно найти путь к беседке, расположенной в парке, изображенном на рисунке. Быть может, для сокращения времени вам не бесполезен будет совет начать поиски от хижины и найти лучше выход из этого коварного парка, чем начинать с входа. Впрочем, при наличии свободного времени это безразлично.
     
      РЕШЕНИЯ, ОТВЕТЫ И ЗАМЕЧАНИЯ ...