Алгебра

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
      Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием по курсу алгебры для IX и X классов школ с математической специализацией. Это определило как ее содержание, так и характер изложения материала. Сейчас многие вопросы излагаются в обычном курсе алгебры средней школы на недостаточном теоретическом уровне. Теория играет подчиненную роль, зачастую рассматривается лишь как аппарат для решения задач. Такое изложение недопустимо в школах с математической специализацией, одной из важных задач которых является воспитание математического мышления, умения отличить наводящие соображения от точного результата, умения все время контролировать правомерность выполняемых операций. Исходя из этого, в данной книге многие теоретические вопросы изложены весьма подробно. В книге много внимания уделено определению понятий уравнения и тождества, неравенства, степени с рациональным показателем, комплексного числа. Часто встречаются непривычные для школьного учебника алгебры слова «теорема», «доказательство». Так, например, явно сформулированы теоремы, на основании которых решаются уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств. Вообще теоретический материал занимает больше места, чем в обычных школьных учебниках алгебры. Мы надеемся, что это будет способствовать не только повышению математической культуры учащихся, но и поможет им лучше ориентироваться в решении сложных и «казусных» задач (например, в решении иррациональных уравнений, для которых обычный метод уединения радикала приводит к тождеству).
      Естественно, что такой стиль изложения потребовал укрепления фундамента. Всю книгу пронизывают теоретико-множественные понятия; читатель имеет дело с множеством решений уравнения, неравенства и т. д. Краткое изложение основных понятий теории множеств дано в начале книги. Изучение тождественных преобразований связано с понятиями числового кольца и поля, кольца многочленов. Однако общая теория колец и полей, а также такие понятия общей алгебры, как изоморфизм, алгебраическая операция и т. д., остались за рамками книги.
      В книгу включены многие вопросы, обычно не входящие в традиционный школьный курс алгебры — отыскание целых корней многочленов, теория систем линейных уравнений со многими неизвестными, графическое решение систем уравнений высших степеней, элементы теории симметрических многочленов, цепные дроби, комбинаторика и теория вероятностей. При изложении этих вопросов авторы стремились к максимальной простоте изложения, все время указывая на связи с вопросами обычного курса школьной алгебры. Некоторые вошедшие в книгу вопросы связаны с вычислительной математикой, однако теоретические основы этого курса авторы изложили в другом пособии, тесно связанном с данным и посвященном математическому анализу.
      Разумеется, повышение теоретического уровня изложения не должно было отразиться на качестве навыков учащихся в решении уравнений и неравенств, в тождественных преобразованиях иррациональных выражений и т. д. Поэтому наряду с теоретическим материалом значительное внимание было уделено методам решения задач. При этом, помимо методов, даваемых в большинстве учебников, мы изложили и такие вопросы, как решение возвратных уравнений, систем однородных уравнений, иррациональных неравенств, применение неравенств к решению задач на экстремум. Рассказано о применении теории симметрических многочленов к решению систем уравнений и иррациональных уравнений. Каждый параграф снабжен задачами для самостоятельной работы. Мы надеемся, что это сделает книгу полезной для тех, кто хочет подготовиться к экзаменам в вузы, где предъявляются повышенные требования к математической подготовке поступающих.
      Мы уже говорили, что эта книга в первую очередь предназначена для учащихся школ с математической специализацией (и в особенности школ, выпускающих программистов, — при написании книги мы руководствовались программой этих школ). Но ее можно использовать и как учебный материал для техникумов, готовящих программистов-вычислителей, а отдельные главы и параграфы — для дополнительных и факультативных занятий с группами учащихся обычной средней школы, серьезно интересующихся математикой.
      Книга (или ее отдельные главы) может оказаться полезной и для самостоятельной работы школьников, математические интересы которых выходят за рамки обычного школьного курса. Мы надеемся, наконец, что книга заинтересует и студентов педагогических институтов, так как наглядно показывает связь изучаемых теоретических вопросов с школьной алгеброй.
      Надо иметь в виду, что книга написана «в нескольких планах», чтобы ею могли пользоваться читатели с разным уровнем математической подготовки. Поэтому наряду с необходимым материалом, напечатанным обычным шрифтом, книга содержит избыточный материал. Этот материал помещен в параграфах и пунктах, отмеченных звездочкой или набранных петитом. Он может быть пройден или опущен в зависимости от уровня математических знаний учеников, их способностей и времени, имеющегося у учителя для прохождения курса. Если какие-нибудь части курса опускаются, целесообразно обратить на них внимание наиболее сильных учеников и посоветовать им изучить их самостоятельно.
      Точно так же, кроме более или менее обычных задач, в книгу включены задачи повышенной трудности, приближающиеся к олим-пиадному уровню. Поэтому не имеет смысла решать все задачи по ходу изучения курса; часть задач лучше оставить на период повторения — в расчете на повышение к тому времени математической подготовки учащихся и развитие у них навыков решения задач. Конечно, все сказанное не исключает использования задач из других учебников и задачников.
      Некоторые вопросы, обычно относимые к школьному курсу алгебры (прогрессии, метод математической индукции, понятие действительного числа, общая степенная, показательная и логарифмическая функции), не вошли в книгу. Они — наряду с теорией пределов, дифференциальным и интегральным исчислением, теорией рядов и некоторыми другими вопросами — изложены в другом пособии, написанном тем же коллективом авторов и согласованном с данным, — в книге «Математический анализ».
      Весь материал книги прошел экспериментальную проверку в московской школе № 444. После этой проверки в текст были внесены многочисленные изменения.
      Работа авторов над книгой распределилась следующим образом. Н. Я. Виленкин написал введение и главы I, II, III. Кроме того, он принял участие в написании главы IV (совместное С. И. Шварц-бурдом) и V (совместно с В. Г. Ашкинузе). Ему принадлежит также общее научное руководство изданием. Р. С. Гутер написал главу VII (при редакционном участии Н. Я. Виленкина) и (совместно с Б. В. Овчинским) главу VIII, а также принял участие в редактировании книги. С. И. Шварцбурд написал главу VI (при редакционном участии Н. Я. Виленкина) и принял участие в написании главы IV. Ему же принадлежит разработка содержания курса, подбор задач, проведение всей экспериментальной работы по книге и общее организационное руководство изданием; С. И. Шварц-бурд участвовал также в обсуждении и выработке окончательного текста глав I—VI. Б. В. Овчинский написал совместно с Р. С. Гутером главу VIII, а В. Г. Ашкинузе принял участие в написании главы V.
      В процессе редактирования и подготовки рукописи к печати были учтены многочисленные советы и предложения Ю. А. Гастева; авторы приносят ему глубокую благодарность. Авторы выражают также признательность рецензентам книги М. И. Граеву и К. В.Темко, критика которых значительно повлияла на окончательный текст книги.