Математический анализ

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
      Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием по курсу математического анализа для учащихся IX и X классов школ с математической специализацией. Излагаемый в ней учебный материал тесно связан с учебным материалом курса алгебры для тех же школ, изложенным в книге «Алгебра»1. Во многих местах данной книги есть ссылки на книгу «Алгебра». Учителю нужно следить за тем, чтобы изучение математики на основе этих двух книг проводилось так, чтобы соответствующие темы были вовремя пройдены и могли служить основой для продвижения вперед. Например, надо, чтобы тема «Тригонометрия» по курсу математического анализа была изучена раньше, чем тема «Комплексные числа» по курсу алгебры, тема «Степени с дробными и отрицательными показателями» по курсу алгебры предшествовала теме «Показательная и логарифмическая функции» по курсу математического анализа.
      1 Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутер, С. И. Шварцбурд, Б. В. Овчинский, В. Г. Ашкинузе. Алгебра, «Просвещение», 1968.
      Как и в книге «Алгебра», здесь многие теоретические вопросы излагаются на более высоком уровне, чем в массовых школах. Много внимания уделено таким фундаментальным понятиям, как понятие действительного числа, предела последовательности и функции, непрерывности функции и т. д. При введении показательной функции обосновывается существование степени с иррациональным показателем, доказана непрерывность этой функции. Строго доказано существование обратных функций для тригонометрических и показательной функций.
      В данную книгу включены все изучаемые в массовой школе вопросы, связанные с понятием функции, детально разобран вопрос об элементарных приемах изучения функций. Наряду с этим здесь изложены и некоторые вопросы, обычно изучаемые в высших учебных заведениях — понятия производной и дифференциала, элементы интегрального исчисления, начала теории рядов в действительной и комплексной областях, методы приближенного решения уравнений и т. д. По замыслу авторов, все эти вопросы излагаются в тесной связи с задачами элементарной математики. В частности, на основе интегрального исчисления изложены вопросы, связанные с измерением геометрических величин (вычисление площадей и объемов). Методы дифференциального исчисления применяются для изучения элементарных функций и построения их графиков, для приближенного решения уравнений.
      Повышение теоретического уровня изложения потребовало, естественно, поисков новых методических подходов. В качестве основы изложения был выбран «принцип разделяющей точки двух числовых множеств». (Этот же путь предлагали Б. Г. Пев-ный и В. М. Алексеев.) Последовательное применение этого принципа позволило сделать наглядными такие понятия, как понятия квадрируемой фигуры и определенного интеграла, строго определить степень с иррациональным показателем и т. д. Поэтому учителю надо в начале изучения курса математического анализа уделить внимание этому принципу, изложенному в главе «Действительные числа».
      Авторы отдают себе отчет, что тема «Действительные числа» является одной из самых трудных в курсе. Тем не менее они начинают изложение именно с этой темы, так как без прочного фундамента, которым является теория действительного числа, здание математического анализа не может быть построено так, как это нужно в школах с математическим уклоном. В зависимости от уровня подготовки класса учитель может выбрать соответствующий план изучения этой главы. Например, может оказаться целесообразным, введя вначале понятие действительного числа и сформулировав возможность выполнения арифметических действий над ними, отложить до более позднего времени ознакомление с принципом разделяющей точки и с периодическими десятичными дробями (принцип разделяющей точки впервые используется при доказательстве теоремы о стягивающейся системе отрезков; периодические же десятичные дроби целесообразно изучать в связи с бесконечной геометрической прогрессией). В более подготовленных классах действительные числа можно изучить сразу, затратив на изучение 10—12 часов. При этом здесь, как и в других местах, достаточно ограничиться материалом, напечатанным крупным шрифтом, оставив остальной текст главы как материал, предназначенный для внеклассной работы с лучшими учениками или для повторения.
      Вторая глава посвящена числовым последовательностям (в частности, прогрессиям) и понятию предела. Здесь, как правило, крупным шрифтом набраны формулировки теорем, относящихся к теории пределов, в то время как доказательства этих теорем отнесены в мелкий шрифт. Дело педагогического такта учителя отобрать те из этих доказательств, которые можно провести в том или ином классе. Специальный пункт посвящен методу математической индукции. Понятие предела последовательности вводится исходя из рассмотрения физического примера радиоактивного распада, но после длительного обсуждения дается в точной математической формулировке. Здесь учитель должен обратить особое внимание на усвоение е—N-формулировки и разобрать предлагаемые упражнения, направленные на сознательное усвоение этой формулировки. В той же главе вводится число е и вычисляются площадь круга и длина окружности. Оба эти понятия определяются иначе, чем это принято в распространенных учебниках,— площадь круга определена как число, разделяющее два числовых множества — площадей многоугольников, содержащихся в круге, и площадей многоугольников, содержащих этот круг. Такой подход позволил обойти многие методические трудности, связанные с понятием площади. Длина окружности определена на основе понятия е-оболочки данной линии.
      Глава III посвящена понятию функции. После знакомства с этим понятием и связанными с ним понятиями области определения, графика, суперпозиции функций и т. д. изложено элементарное исследование функций и изучены понятия непрерывности функции, обратной функции, предела функции. Авторы полагают, что выпускник средней школы с математическим уклоном должен владеть не только методами изучения функций, даваемыми дифференциальным исчислением, но и некоторыми из элементарных методов изучения (разумеется, не слишком утонченными— элементарные методы служат для грубого исследования функции, а более тонкие задачи решаются мощными методами дифференциального исчисления). По мнению авторов, полноценное усвоение понятия функции предполагает умение построить график функции, не прибегая к методам дифференциального исчисления, а используя лишь точки пересечения графика с осями координат, изучение полюсов функции и ее асимптот и т. п. Отметим, что в отличие от распространенного порядка изложения авторы считают понятие непрерывности функции более первичным, чем понятие предела функции в точке.
      В главе IV вводится понятие производной и даются примеры применения этого понятия к исследованию функций. Поскольку читатель еще не знаком с тригонометрическими функциями, показательной и логарифмической функциями, техника дифференцирования развита не слишком далеко, а особое внимание уделено смыслу понятия производной, ее приложениям к механике и геометрии. Учитель может опустить при первоначальном изложении вопрос о дифференцировании сложной функции и понятие дифференциала, вернувшись к ним на более позднем этапе работы. Вопрос о применении понятия производной к исследованию функций изложен в двух планах — наивном и более строгом. Учитель может ограничиться рассмотрением этого вопроса на базе физических представлений о мгновенной скорости. В более подготовленных классах можно разобрать и строгие доказательства соответствующих утверждений. Мы избрали вариант изложения, не опирающийся на теоремы Ролля и Лагранжа. При изучении понятия дифференциала надо обратить внимание на приложение этого понятия к приближенным вычислениям.
      Глава V посвящена тригонометрическим функциям. Мы начинаем изложение сразу с тригонометрических функций числового аргумента, вводя важное понятие числовой окружности, аналогичное понятию числовой оси. Основным практическим приложением тригонометрических функций является их приложение к изучению периодических процессов (в основном — колебаний). Поэтому мы рассматриваем некоторые задачи о разложении многочленов от этх и соэх на гармонические колебания. В конце главы рассматривается дифференцирование тригонометрических функций и дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Изложение таких вопросов, как формулы приведения для тригонометрических функций, теоремы сложения для этих функций и доказательство их непрерывности, несколько отличается от обычного.
      В главе VI изложены вопросы, связанные со степенной, показательной и логарифмической функциями. При этом основное внимание уделено принципиальным вопросам (определению степени с иррациональным показателем, непрерывности показательной функции, существованию логарифмов), в то время как потерявшим в настоящее время свое значение вопросам техники вычисления с помощью логарифмов уделено мало внимания. Глава кончается вычислением производных от показательной и логарифмической функций и рассмотрением дифференциального уравнения для показательной функции.
      Глава VII называется «Элементарные функции. Трансцендентные уравнения и неравенства». В ней рассмотрены некоторые методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, а также показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Здесь же изучен вопрос о приближенном решении трансцендентных уравнений методами хорд, касательных и последовательных приближений. Авторы не стремились изложить всю совокупность методов решения трансцендентных уравнений. Основное внимание было уделено рассмотрению идей, лежащих в основе различных методов решения — введение новых неизвестных, разложение левой части уравнения на множители и т. д. При этом даны указания по выбору новых неизвестных в ходе решения тригонометрических уравнений. Читатель, знакомый с техникой интегрирования тригонометрических функций, легко установит связь сделанных здесь рекомендаций с подстановками, делаемыми при таком интегрировании (в частности, с универсальной подстановкой). Мы полагаем, что не весь материал этой главы должен проходиться сразу после изучения темы «Показательная и логарифмическая функции». Большую часть главы лучше использовать при повторении в X классе, чтобы своевременно создать у учащихся навыки, которые понадобятся им при обучении в вузах.
      В главе VIII изложены основы интегрального исчисления и даны некоторые его приложения к геометрии (вычисление площадей, объемов тел вращения и т. д.). При изучении неопределенного интеграла никоим образом не следует детально изучать технику интегрирования. Достаточно, чтобы учащийся умел интегрировать простые функции. Как уже отмечалось, определенный интеграл вводится здесь не как предел интегральных сумм, а с помощью понятия разделяющей точки. Теорему существования определенного интеграла достаточно рассмотреть лишь для кусочно-монотонных непрерывных функций — этот класс функций с избытком достаточен для всех приложений к геометрии. Отметим, что часть материала этой главы было бы естественно излагать в курсе геометрии, что повлекло бы за собой уменьшение объема курса математического анализа. Однако отсутствие учебников геометрии, в которых вопросы измерения геометрических величин изучались бы с точки зрения интегрального исчисления, заставило нас включить этот материал в данную книгу.
      Наконец, в главе IX даны основные понятия, относящиеся к теории рядов, показано, как вычисляются с помощью рядов элементарные функции, и выяснено, как определяются элементарные функции комплексного аргумента (в частности, дана формула Эйлера).
      Как уже отмечалось, книга написана в нескольких планах. Основной материал набран крупным шрифтом. Добавочные вопросы и доказательства многих теорем набраны мелким шрифтом или отмечены звездочкой. Преподаватель может остановиться на них в зависимости от уровня подготовки учащихся. При желании учитель может отложить изучение понятия производной до того момента, когда будут изучены тригонометрические функции, а также показательная и логарифмические функции. При таком плане изложения надо будет дать все сведения по дифференциальному исчислению в одном месте.
      Мы предпочли выбранный в книге план изложения, так как считаем необоснованным само разделение математики на элементарную и высшую. Изучаться должна единая математика, служащая надежной базой как для практики, так и для успешного обучения в вузе. Понятие функции должно пронизывать всю школьную математику, давать ей прочную основу и идейную направленность. Только такой подход может предотвратить превращение большинства разделов школьной математики в набор рецептов.
      В книге приводятся упражнения не только традиционного типа, но и упражнения, поясняющие теорию и служащие для закрепления теоретического материала. Не все упражнения должны решаться подряд. К некоторым из них учитель может вернуться при повторении. Разумеется, помимо приведенных здесь упражнений, учитель может использовать задачи и упражнения из других источников. Отметим, что опыт работы по ротапринтному изданию первого варианта этого учебника показал, что даже те учащиеся, которые решили далеко не все упражнения книги, получили тем не менее достаточно прочную подготовку.
      Наряду с материалом, относящимся к курсу математического анализа, книга содержит и некоторые вопросы, связанные с вычислительной математикой (оценка интегралов, вычисление значений функции с помощью рядов, приближенное решение уравнений). Если в школе вопросы вычислительной математики входят в другой курс, то указанные разделы должны изучаться в нем. В противном случае их можно изучить в курсе математического анализа.
      Книга может быть использована в качестве учебного пособия в работе с учащимися математических техникумов. Она может принести пользу и студентам педагогических институтов, поскольку показывает связь между школьной математикой, которую им предстоит преподавать, и математикой, которую они изучают в институте. Авторы надеются также, что их книга позволит учителю массовой школы увидеть с иных, более высоких, позиций излагаемый им курс. Многие изложенные здесь вопросы могут быть использованы для проведения факультативных занятий.
      Работа авторов над книгой распределилась следующим образом: главы I, II, III, IV, VIII и IX написаны Н. Я. Виленкиным, главы V, VI и VII — совместно Н. Я. Виленкиным и С. И. Шварцбурдом. С. И. Шварцбурд принимал участие в подборе и разработке упражнений ко всем главам книги. Ему принадлежит разработка содержания курса, установление связей между этим курсом и курсами алгебры, вычислительной математики и программирования, организация ротапринтного издания первого варианта книги и руководство всей экспериментальной работой, позволившей выяснить методическую пригодность или непригодность различных вариантов изложения материала и выработать окончательный текст книги. В течение четырех лет С. И. Шварцбурд сам вел преподавание по материалам, легшим в основу создания этой книги.
      Авторы выражают благодарность В. Г. Ашкинузе за предоставление материалов, на основе которых было написано добавление к главе VI о десятичных логарифмах.
      В процессе подготовки рукописи к печати важную роль сыграли критические замечания и многочисленные советы рецензентов книги К. В. Темко и М. И. Граева, а также редактора книги Ю. А. Гастева. Авторы выражают им глубокую благодарность.
      Пользуясь случаем поблагодарить читателей, отметившим ряд недосмотров в нашей книге «Алгебра», просим дальнейшие замечания (по обеим книгам) присылать по адресу: Москва, Е-43, Нижняя Первомайская ул., 14, кв. 1, С. И. Шварцбурду.