На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека

Математический анализ для 9-10 классов. Виленкин, Шварцбурд. — 1969 г.

Наум Яковлевич Виленкин
Семён Исаакович Шварцбурд

Математический анализ

Учебное пособие для IX—X классов школ
с математической специализацией

*** 1969 ***


DjVu

 


      ОГЛАВЛЕНИЕ
     
      Предисловие для учителя 8
     
      Глава I. Действительные числа 15
      § 1. Рациональные числа. Неравенства (15). 1. Множестворациональных чисел (15). 2. Отношения порядка и их свойства (18). 3. Действия над неравенствами (24). 4. Геометрическое изображение рациональных чисел (23). 5. Несоизмеримые отрезки (24).
      § 2. Действительные числа (26). 1. Бесконечные десятичные дроби (26). 2. Бесконечные десятичные дроби и процесс измерения отрезков
      (27). 3. Действительные числа (30). 4. Упорядоченность множества действительных чисел (31). 5. Десятичные приближения действительных чисел (32). 6. Рациональные числа и бесконечные периодические десятичные дроби. (33). 7. Теорема о разделяющем числе (36). 8. Необходимое и достаточное условие единственности разделяющего числа (38). 9. Арифметические действия над действительными числами (39). 10. Модуль числа и его свойства (44). 11. Геометрический смысл модуля (45). 12. Превращение периодических десятичных дробей в обыкновенные (46).
      13. Рациональные и иррациональные числа (48).
      Краткие исторические сведения (50).
     
      Глава II. Числовые последовательности и их пределы 52
      § 1. Последовательности. Прогрессии (52). 1. Определение последовательности (52). 2. Способы задания последовательностей (53). 3. Монотонные последовательности (56). 4. Арифметическая прогрессия (57). 5. Сумма первых членов арифметической прогрессии (58). 6. Геометрическая прогрессия (61). 7. Формула общего члена геометрической прогрессии (62). 8. Сумма первых членов геометрической прогрессии (64). 9. Индукция (66). 10. Метод математической индукции (69). 11. Неравенство Бернулли (73).
      § 2. Предел последовательности (74). 1. Устанавливающиеся последовательности (74). 2. Процесс радиоактивного распада (76). 3. Сходящиеся последовательности. Предел последовательности (77). 4. Геометрический смысл понятия предела. 5. Бесконечно малые последовательности (82). 6. Свойства бесконечно малых последовательностей (84). 7. Теоремы о пределах последовательностей (88). 8. Примеры вычисления пределов последовательностей (91). 9. Определение N по е (93). 10. Пределы и приближенные вычисления (97).
      § 3. Признаки существования предела последовательности. Число е (98). 1. Вводные замечания (98). 2. Грани числовых множеств (99). 3. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности (100). 4. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии (104). 5. Теорема о стягивающейся системе отрезков (106). 6. Предельный переход в неравенствах (109). 7. Формула сложных процентов (111). 8. Число е (113). 9. Вычисление пределов, связанных с числом е (114). Краткие исторические сведения (115).
     
      Глава III. Функции 117
      § 1. Функции и способы их задания (117). 1. Вводные замечания (117). 2. Общее определение функции (118). 3. Числовые функции числового аргумента (118). 4. Аналитическое задание функций (120). 5. Задание функции несколькими аналитическими выражениями (123). 6. Функциональная символика (127). 7. Сложные функции (129). 8. График функции (131). 9. Преобразования графиков (135). 10. Графики общей квадратичной и дробно-линейной функций (137). 11. Графики суммы, произведения и частного функций (145). 12. Таблицы значений функций (148). 13. Функции нескольких переменных (149).
      § 2. Элементарное исследование функций (152). 1. Вводные замечания (152). 2. Область определения функции (153). 3. Четные и нечетные функции (154). 4. Ограниченные и неограниченные функции (158). 5. Полюсы функции. Вертикальные асимптомы (159). 6. Периодические функции (163). 7. Исследование знака функции (165). 8. Возрастание и убывание функций (168). 9. Максимумы и минимумы функции (170). 10. Предел функции при х-со (171). 11. Горизонтальные и наклонные асимптоты (174). 12. Общая схема исследования функции (178).
      § 3. Непрерывные функции (180). 1. Задача о площади квадрата (180). 2. Понятие непрерывной функции (181). 3. Точное определение непрерывности (182). 4. Приращение функции (183). 5. Доказательство непрерывности некоторых функций (185). 6. Непрерывность суммы и произведения (188). 7. Непрерывность сложной функции (189). 8. Арифметические операции над непрерывными функциями (190). 9. Теорема о промежуточном значении (191). 10. Обратная функция (195). 11. Теорема об обратной функции (197). 12. Точки разрыва (198).
      § 4. Предел функции (201). 1. Определение предела функции в точке (201). 2. Односторонние пределы. Скачки функции (203). 3. Свойства предела функции (205). 4. Вычисление пределов функций (206).
      Краткие исторические сведения (209).
     
      Глава IV. Производная
      § 1. Производная (211). 1. Средняя скорость изменения функции (211). 2. Мгновенная скорость прямолинейного движения (213).
      3. Производная (214). 4. Производная постоянной (216). 5. Производная линейной функции (216). 6. Производная квадратичной функции (217). 7. Производная степенной функции с натуральным показателем (217). 8. Касательная к кривой (219). 9. Выражение углового коэффициента касательной через производную (220). 10. Уравнение касательной (221). И. Непрерывность дифференцируемых функций (222). 12. Вторая производная (223). 13. Производные высшего порядка (223).
      § 2. Техника дифференцирования (224). 1. Производная суммы (224). 2. Производная функции «/=Си (225). 3. Производная произведения (226). 4. Производная частного (227). 5. Дифференцирование сложной функции (228). 6. Дифференциал функции (229). 7. Инвариантная запись дифференциала функции (231). 8. Применение понятия дифференциала к приближенным вычислениям (232).
      § 3. Применение понятия производной к исследованию функций (233). 1. Возрастание и убывание функции (233). 2. Необходимое условие экстремума (238). 3. Первое достаточное условие экстремума (240). 4. Второе достаточное условие экстремума (244). 5. Направление выпуклости графика (246). 6. Точки перегиба (247). 7. Применение понятия выпуклости к доказательству неравенств (248). 8. Построение графиков функций с помощью производной (249). 9. Отыскание наибольших и наименьших значений функции на отрезке (251). 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (252).
      Краткие исторические сведения (254).
     
      Глава V. Тригонометрические функции 256
      § 1. Площадь круга и длина окружности. Числовая окружность (256). 1. Площадь круга (256). 2. Квадрируемые области. Площадь сектора (259). 3. Длина дуги кривой. Длина окружности (261). 4. Радианное измерение дуг и углов (264). 5. Обобщение понятия о дуге (265). 6. Обобщение понятия об угле (266). 7. Единичная числовая окружность (267). 8. Соответствие между точками числовой прямой и числовой окружности (268). § 2. Тригонометрические функции (269). 1. Определение тригонометрических функций числового аргумента (269). 2. Знаки тригонометрических функций (271). 3. Связь функций sin х и cos х (272). 4. Тригонометрические функции угла (274). 5. Вычисление значений синуса и косинуса для некоторых значений аргумента (275). 6. Определение тангенса и котангенса (278). 7. Геометрическое изображение tgx и ctg х (280). 8. Выражение тригонометрических функций через одну из них (282). 9. Гармонические колебания (287).
      § 3. Свойства тригонометрических функций (289). 1. Периодичность (289). 2. Отыскание периода (290). 3. Формулы приведения для sin х и cos х (292). 4. Формулы приведения и соотношения периодичности для тангенса и котангенса (299). 5. Непрерывность функций sin х и cos х (302). 6. Возрастание и убывание тригонометрических функций (304). 7. Графики функций sin х и cos х (306). 8. Графики функций tg х и ctg х (308) 9. График гармонического колебания (313).
      § 4. Тригонометрические уравнения. Обратные тригонометрические функции {315). 1. Множество значений аргумента, соответствующих данному значению тригонометрической функции (315). 2. Промежутки главных значений для тригонометрических функций (319). 3. Тригонометрические уравнения (321). 4. Тригонометрические уравнения, приводящиеся к простейшим (322). 5. Обратные тригонометрические функции (326).
      § 5. Формулы сложения для тригонометрических функций и их следствия (330). 1. Некоторые факты векторной алгебры (330). 2. Разложение радиус-вектора (331). 3. Вывод формул сложения для синуса и косинуса (332). 4. Преобразование выражения a coswt+b sinwt к виду A sin(wt+a) (335). 5. Сложение гармонических колебаний с одинаковой частотой (337). 6. Формулы сложения для тангенса и котангенса (339).
      § 6. Частные случаи и следствия формул сложения (341). 1. Тригонометрические функции двойного аргумента (341). 2. Выражение тригонометрических функций двойного аргумента через tgx (343). 3. Тригонометрические функции кратных аргументов (344). 4. Тригонометрические функции половинного аргумента (346). 5. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму (350). 6. Тригонометрические многочлены (352). 7. Понятие о гармоническом анализе функций (354). 8. Представление суммы тригонометрических функций в виде произведения (355). 9. Биения (360).
      § 7. Дифференцирование тригонометрических функций (361). 1. Предел функции sin x/x при х—0 (362). 2. Производные функций y=sin х и
      у=соs х (364). 3. Понятие о дифференциальном уравнении (368). 4. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний (370). 5. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (372). 6. Дифференцирование обратных тригонометрических функций (374).
      Краткие исторические сведения (375).
     
      Глава VI. Степенная, показательная и логарифмическая функции 379
      § 1. Степенная функция (379). 1. Степенная функция с натуральным показателем (379). 2. Функции y=1/xn и их графики (382). 3. Функция
      у=n№х (385). 4. Степенная функция с рациональным показателем (387). 5. Вычисление пределов иррациональных функций (388).
      § 2. Показательная функция (390). 1. Показательная функция на множестве рациональных чисел и ее свойства (390). 2. Степень с иррациональным показателем (391). 3. Показательная функция на множестве действительных чисел (393). 4. Свойства степеней с действительными показателями (396).
      § 3. Логарифмы и логарифмическая функция (397). 1. Определение логарифма (397). 2. Логарифмическая функция (398). 3. Свойства логарифмической функции (398). 4. Логарифмы и алгебраические операции (401). 5. Логарифмирование и потенцирование (403). 6. Связь между логарифмами при разных основаниях (404).
      § 4. Дифференцирование показательной и логарифмической функций (406). 1. Пределы, связанные с числом е (406). 2. Производные функций у=ех и у=ах (410). 3. Производная логарифмической функции (411). 4. Логарифмическая производная (412). 5. Дифференциальное уравнение для показательной функции (414). 6. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний (417). 7. Гиперболические функции (420).
      Краткие исторические сведения (424).
      Дополнение к главе VI. Десятичные логарифмы (425). 1. Десятичные логарифмы (425). 2. Таблицы десятичных логарифмов (427).
     
      Глава VII. Элементарные функции. Трансцендентные уравнения и неравенства 430
      § 1. Элементарные функции (430).
      § 2. Трансцендентные уравнения и неравенства (433). 1. Предварительные замечания (433). 2. Общие приемы решения трансцендентных уравнений (434).
      § 3. Тригонометрические уравнения (436). 1. Подстановки в тригонометрических уравнениях (436). 2.Универсальная подстановка (441). 3. Использование формул для тригонометрических функций кратных аргументов (443). 4. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители (444). 5. Тригонометрические неравенства (446). 6. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции (452).
      § 4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства (453). 2. Показательные неравенства (454). 3. Логарифмические уравнения (455). 4. Логарифмические неравенства (457).
      § 5. Приближенное решение уравнений (460). 1. Задача о приближенном решении уравнений (460). 2. Отделение корней (460). 3. Метод, хорд (461). 4. Метод касательных (464). 5. Метод последовательных приближений (466). 6. Геометрический смысл последовательных приближений (467). 7. Сжимающие отображения и метод последовательных приближений (468).
      § 6. Доказательство тождеств и неравенств с помощью дифференциального исчисления (472). 1. Доказательство тождеств (472). 2. Доказательство неравенств (474). 3. Сравнение роста показательной и степенной функций (478).
      Краткие исторические сведения (483).
     
      Глава VIII. Интеграл 484
      § 1. Неопределенный интеграл (485). 1. Первообразная (485). 2. Свойства неопределенного интеграла (487). 3. Непосредственное интегрирование (488). 4. Техника интегрирования (489). 5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (495). 6. Составление дифференциальных уравнений (497).
      § 2. Определенный интеграл (499). 1. Введение (499). 2. Площадь криволинейной трапеции (500). 3. Доказательство существования площади криволинейной трапеции (502). 4. Понятие определенного интеграла (504). 5. Теорема о разбиении отрезка интегрирования (508). 6. Обобщение понятия определенного интеграла (509). 7. Оценки интегралов (509). 8. Определенный интеграл как функция верхнего предела (512). 9. Формула Ньютона — Лейбница (514). 10. Приближенное вычисление интегралов (516). 11. Вычисление площадей с помощью определенных интегралов (517). 12. Объем цилиндрических тел (519). 13. Объем пирамиды и усеченной пирамиды (520). 14 Объем тела вращения (524). 15. Общая формула для вычисления объема тела по площадям параллельных сечений (529). 16. Объем тел, получаемых при вращении симметричных фигур. Теорема Гюльдена (530). 17. Площадь поверхности вращения (534).
      Краткие исторические сведения (538).
     
      Глава IX. Ряды 540
      § 1. Бесконечные числовые ряды (540). I. Вводные замечания (540). 2. Основные определения (541). 3. Сходящиеся и расходящиеся ряды (542). 4. Свойства сходящихся рядов (544). 5. Необходимый признак сходимости ряда (545). 6. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами (546). 7. Признак Даламбера (548).
      § 2. Ряды с членами произвольного знака (551). 1. Теорема Лейбница (551). 2. Абсолютно и условно сходящиеся ряды (553).
      § 3. Степенные ряды (556). 1. Функциональные ряды (556). 2. Степенные ряды (556). 3. Разложение показательной функции в степенной ряд (557). 4. Разложение тригонометрических функций в степенные ряды (559). 5. Разложение логарифмической функции в степенной ряд (560). 6. Биномиальный ряд (563). 7. Извлечение корней с помощью биномиального ряда (564). 8. Вычисление интегралов с помощью степенных рядов (565). 9. Применение рядов к выводу приближенных формул (567). 10. Степенные ряды в комплексной области (569). 11. Логарифмическая функция в комплексной области (572).
      Краткие исторические сведения (573).

     
     

      ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
      Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным пособием по курсу математического анализа для учащихся IX и X классов школ с математической специализацией. Излагаемый в ней учебный материал тесно связан с учебным материалом курса алгебры для тех же школ, изложенным в книге «Алгебра»1. Во многих местах данной книги есть ссылки на книгу «Алгебра». Учителю нужно следить за тем, чтобы изучение математики на основе этих двух книг проводилось так, чтобы соответствующие темы были вовремя пройдены и могли служить основой для продвижения вперед. Например, надо, чтобы тема «Тригонометрия» по курсу математического анализа была изучена раньше, чем тема «Комплексные числа» по курсу алгебры, тема «Степени с дробными и отрицательными показателями» по курсу алгебры предшествовала теме «Показательная и логарифмическая функции» по курсу математического анализа.
      1 Н. Я. Виленкин, Р. С. Гутер, С. И. Шварцбурд, Б. В. Овчинский, В. Г. Ашкинузе. Алгебра, «Просвещение», 1968.
      Как и в книге «Алгебра», здесь многие теоретические вопросы излагаются на более высоком уровне, чем в массовых школах. Много внимания уделено таким фундаментальным понятиям, как понятие действительного числа, предела последовательности и функции, непрерывности функции и т. д. При введении показательной функции обосновывается существование степени с иррациональным показателем, доказана непрерывность этой функции. Строго доказано существование обратных функций для тригонометрических и показательной функций.
      В данную книгу включены все изучаемые в массовой школе вопросы, связанные с понятием функции, детально разобран вопрос об элементарных приемах изучения функций. Наряду с этим здесь изложены и некоторые вопросы, обычно изучаемые в высших учебных заведениях — понятия производной и дифференциала, элементы интегрального исчисления, начала теории рядов в действительной и комплексной областях, методы приближенного решения уравнений и т. д. По замыслу авторов, все эти вопросы излагаются в тесной связи с задачами элементарной математики. В частности, на основе интегрального исчисления изложены вопросы, связанные с измерением геометрических величин (вычисление площадей и объемов). Методы дифференциального исчисления применяются для изучения элементарных функций и построения их графиков, для приближенного решения уравнений.
      Повышение теоретического уровня изложения потребовало, естественно, поисков новых методических подходов. В качестве основы изложения был выбран «принцип разделяющей точки двух числовых множеств». (Этот же путь предлагали Б. Г. Пев-ный и В. М. Алексеев.) Последовательное применение этого принципа позволило сделать наглядными такие понятия, как понятия квадрируемой фигуры и определенного интеграла, строго определить степень с иррациональным показателем и т. д. Поэтому учителю надо в начале изучения курса математического анализа уделить внимание этому принципу, изложенному в главе «Действительные числа».
      Авторы отдают себе отчет, что тема «Действительные числа» является одной из самых трудных в курсе. Тем не менее они начинают изложение именно с этой темы, так как без прочного фундамента, которым является теория действительного числа, здание математического анализа не может быть построено так, как это нужно в школах с математическим уклоном. В зависимости от уровня подготовки класса учитель может выбрать соответствующий план изучения этой главы. Например, может оказаться целесообразным, введя вначале понятие действительного числа и сформулировав возможность выполнения арифметических действий над ними, отложить до более позднего времени ознакомление с принципом разделяющей точки и с периодическими десятичными дробями (принцип разделяющей точки впервые используется при доказательстве теоремы о стягивающейся системе отрезков; периодические же десятичные дроби целесообразно изучать в связи с бесконечной геометрической прогрессией). В более подготовленных классах действительные числа можно изучить сразу, затратив на изучение 10—12 часов. При этом здесь, как и в других местах, достаточно ограничиться материалом, напечатанным крупным шрифтом, оставив остальной текст главы как материал, предназначенный для внеклассной работы с лучшими учениками или для повторения.
      Вторая глава посвящена числовым последовательностям (в частности, прогрессиям) и понятию предела. Здесь, как правило, крупным шрифтом набраны формулировки теорем, относящихся к теории пределов, в то время как доказательства этих теорем отнесены в мелкий шрифт. Дело педагогического такта учителя отобрать те из этих доказательств, которые можно провести в том или ином классе. Специальный пункт посвящен методу математической индукции. Понятие предела последовательности вводится исходя из рассмотрения физического примера радиоактивного распада, но после длительного обсуждения дается в точной математической формулировке. Здесь учитель должен обратить особое внимание на усвоение е—N-формулировки и разобрать предлагаемые упражнения, направленные на сознательное усвоение этой формулировки. В той же главе вводится число е и вычисляются площадь круга и длина окружности. Оба эти понятия определяются иначе, чем это принято в распространенных учебниках,— площадь круга определена как число, разделяющее два числовых множества — площадей многоугольников, содержащихся в круге, и площадей многоугольников, содержащих этот круг. Такой подход позволил обойти многие методические трудности, связанные с понятием площади. Длина окружности определена на основе понятия е-оболочки данной линии.
      Глава III посвящена понятию функции. После знакомства с этим понятием и связанными с ним понятиями области определения, графика, суперпозиции функций и т. д. изложено элементарное исследование функций и изучены понятия непрерывности функции, обратной функции, предела функции. Авторы полагают, что выпускник средней школы с математическим уклоном должен владеть не только методами изучения функций, даваемыми дифференциальным исчислением, но и некоторыми из элементарных методов изучения (разумеется, не слишком утонченными— элементарные методы служат для грубого исследования функции, а более тонкие задачи решаются мощными методами дифференциального исчисления). По мнению авторов, полноценное усвоение понятия функции предполагает умение построить график функции, не прибегая к методам дифференциального исчисления, а используя лишь точки пересечения графика с осями координат, изучение полюсов функции и ее асимптот и т. п. Отметим, что в отличие от распространенного порядка изложения авторы считают понятие непрерывности функции более первичным, чем понятие предела функции в точке.
      В главе IV вводится понятие производной и даются примеры применения этого понятия к исследованию функций. Поскольку читатель еще не знаком с тригонометрическими функциями, показательной и логарифмической функциями, техника дифференцирования развита не слишком далеко, а особое внимание уделено смыслу понятия производной, ее приложениям к механике и геометрии. Учитель может опустить при первоначальном изложении вопрос о дифференцировании сложной функции и понятие дифференциала, вернувшись к ним на более позднем этапе работы. Вопрос о применении понятия производной к исследованию функций изложен в двух планах — наивном и более строгом. Учитель может ограничиться рассмотрением этого вопроса на базе физических представлений о мгновенной скорости. В более подготовленных классах можно разобрать и строгие доказательства соответствующих утверждений. Мы избрали вариант изложения, не опирающийся на теоремы Ролля и Лагранжа. При изучении понятия дифференциала надо обратить внимание на приложение этого понятия к приближенным вычислениям.
      Глава V посвящена тригонометрическим функциям. Мы начинаем изложение сразу с тригонометрических функций числового аргумента, вводя важное понятие числовой окружности, аналогичное понятию числовой оси. Основным практическим приложением тригонометрических функций является их приложение к изучению периодических процессов (в основном — колебаний). Поэтому мы рассматриваем некоторые задачи о разложении многочленов от этх и соэх на гармонические колебания. В конце главы рассматривается дифференцирование тригонометрических функций и дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Изложение таких вопросов, как формулы приведения для тригонометрических функций, теоремы сложения для этих функций и доказательство их непрерывности, несколько отличается от обычного.
      В главе VI изложены вопросы, связанные со степенной, показательной и логарифмической функциями. При этом основное внимание уделено принципиальным вопросам (определению степени с иррациональным показателем, непрерывности показательной функции, существованию логарифмов), в то время как потерявшим в настоящее время свое значение вопросам техники вычисления с помощью логарифмов уделено мало внимания. Глава кончается вычислением производных от показательной и логарифмической функций и рассмотрением дифференциального уравнения для показательной функции.
      Глава VII называется «Элементарные функции. Трансцендентные уравнения и неравенства». В ней рассмотрены некоторые методы решения тригонометрических уравнений и неравенств, а также показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Здесь же изучен вопрос о приближенном решении трансцендентных уравнений методами хорд, касательных и последовательных приближений. Авторы не стремились изложить всю совокупность методов решения трансцендентных уравнений. Основное внимание было уделено рассмотрению идей, лежащих в основе различных методов решения — введение новых неизвестных, разложение левой части уравнения на множители и т. д. При этом даны указания по выбору новых неизвестных в ходе решения тригонометрических уравнений. Читатель, знакомый с техникой интегрирования тригонометрических функций, легко установит связь сделанных здесь рекомендаций с подстановками, делаемыми при таком интегрировании (в частности, с универсальной подстановкой). Мы полагаем, что не весь материал этой главы должен проходиться сразу после изучения темы «Показательная и логарифмическая функции». Большую часть главы лучше использовать при повторении в X классе, чтобы своевременно создать у учащихся навыки, которые понадобятся им при обучении в вузах.
      В главе VIII изложены основы интегрального исчисления и даны некоторые его приложения к геометрии (вычисление площадей, объемов тел вращения и т. д.). При изучении неопределенного интеграла никоим образом не следует детально изучать технику интегрирования. Достаточно, чтобы учащийся умел интегрировать простые функции. Как уже отмечалось, определенный интеграл вводится здесь не как предел интегральных сумм, а с помощью понятия разделяющей точки. Теорему существования определенного интеграла достаточно рассмотреть лишь для кусочно-монотонных непрерывных функций — этот класс функций с избытком достаточен для всех приложений к геометрии. Отметим, что часть материала этой главы было бы естественно излагать в курсе геометрии, что повлекло бы за собой уменьшение объема курса математического анализа. Однако отсутствие учебников геометрии, в которых вопросы измерения геометрических величин изучались бы с точки зрения интегрального исчисления, заставило нас включить этот материал в данную книгу.
      Наконец, в главе IX даны основные понятия, относящиеся к теории рядов, показано, как вычисляются с помощью рядов элементарные функции, и выяснено, как определяются элементарные функции комплексного аргумента (в частности, дана формула Эйлера).
      Как уже отмечалось, книга написана в нескольких планах. Основной материал набран крупным шрифтом. Добавочные вопросы и доказательства многих теорем набраны мелким шрифтом или отмечены звездочкой. Преподаватель может остановиться на них в зависимости от уровня подготовки учащихся. При желании учитель может отложить изучение понятия производной до того момента, когда будут изучены тригонометрические функции, а также показательная и логарифмические функции. При таком плане изложения надо будет дать все сведения по дифференциальному исчислению в одном месте.
      Мы предпочли выбранный в книге план изложения, так как считаем необоснованным само разделение математики на элементарную и высшую. Изучаться должна единая математика, служащая надежной базой как для практики, так и для успешного обучения в вузе. Понятие функции должно пронизывать всю школьную математику, давать ей прочную основу и идейную направленность. Только такой подход может предотвратить превращение большинства разделов школьной математики в набор рецептов.
      В книге приводятся упражнения не только традиционного типа, но и упражнения, поясняющие теорию и служащие для закрепления теоретического материала. Не все упражнения должны решаться подряд. К некоторым из них учитель может вернуться при повторении. Разумеется, помимо приведенных здесь упражнений, учитель может использовать задачи и упражнения из других источников. Отметим, что опыт работы по ротапринтному изданию первого варианта этого учебника показал, что даже те учащиеся, которые решили далеко не все упражнения книги, получили тем не менее достаточно прочную подготовку.
      Наряду с материалом, относящимся к курсу математического анализа, книга содержит и некоторые вопросы, связанные с вычислительной математикой (оценка интегралов, вычисление значений функции с помощью рядов, приближенное решение уравнений). Если в школе вопросы вычислительной математики входят в другой курс, то указанные разделы должны изучаться в нем. В противном случае их можно изучить в курсе математического анализа.
      Книга может быть использована в качестве учебного пособия в работе с учащимися математических техникумов. Она может принести пользу и студентам педагогических институтов, поскольку показывает связь между школьной математикой, которую им предстоит преподавать, и математикой, которую они изучают в институте. Авторы надеются также, что их книга позволит учителю массовой школы увидеть с иных, более высоких, позиций излагаемый им курс. Многие изложенные здесь вопросы могут быть использованы для проведения факультативных занятий.
      Работа авторов над книгой распределилась следующим образом: главы I, II, III, IV, VIII и IX написаны Н. Я. Виленкиным, главы V, VI и VII — совместно Н. Я. Виленкиным и С. И. Шварцбурдом. С. И. Шварцбурд принимал участие в подборе и разработке упражнений ко всем главам книги. Ему принадлежит разработка содержания курса, установление связей между этим курсом и курсами алгебры, вычислительной математики и программирования, организация ротапринтного издания первого варианта книги и руководство всей экспериментальной работой, позволившей выяснить методическую пригодность или непригодность различных вариантов изложения материала и выработать окончательный текст книги. В течение четырех лет С. И. Шварцбурд сам вел преподавание по материалам, легшим в основу создания этой книги.
      Авторы выражают благодарность В. Г. Ашкинузе за предоставление материалов, на основе которых было написано добавление к главе VI о десятичных логарифмах.
      В процессе подготовки рукописи к печати важную роль сыграли критические замечания и многочисленные советы рецензентов книги К. В. Темко и М. И. Граева, а также редактора книги Ю. А. Гастева. Авторы выражают им глубокую благодарность.
      Пользуясь случаем поблагодарить читателей, отметившим ряд недосмотров в нашей книге «Алгебра», просим дальнейшие замечания (по обеим книгам) присылать по адресу: Москва, Е-43, Нижняя Первомайская ул., 14, кв. 1, С. И. Шварцбурду.

 

 

ТРУДИМСЯ ДЛЯ ВАС, НЕ ПОКЛАДАЯ РУК!
ПОМОЖИТЕ ПРОЕКТУ МАЛОЙ ДЕНЕЖКОЙ >>>>

 

На главную Тексты книг БК Аудиокниги БК Полит-инфо Советские учебники За страницами учебника Фото-Питер Настрои Сытина Радиоспектакли Детская библиотека

 

Яндекс.Метрика


Борис Карлов 2001—3001 гг. = БК-МТГК = karlov@bk.ru