Арифметика

PDF

      НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛО НУЛЬ.
     
      ВВЕДЕНИЕ.
      Вы изучали в первых классах школы основы науки о числах — арифметику. Название «арифметика» происходит от греческих слов: «арифмос» — число и «техне» — искусство. Вы узнали, какие числа называются целыми, и научились их складывать, вычитать, умножать и делить.
      В 5-м классе вы будете продолжать изучение арифметики. Вы узнаете некоторые теоретические положения науки математики, относящиеся к числам и действиям с ними. Знание теории позволит вам производить вычисления увереннее, с меньшим количеством записей, быстрей. Изучение курса арифметики позволит вам находить более рациональные способы вычислений, познакомит вас с решением различных практических, жизненно необходимых задач и позволит перейти к изучению других разделов математики.
     
      § 1. Десятичная система счисления. Устная и письменная нумерации многозначных чисел
     
      2. Множество и его численность. В природе, на производстве и в быту человека окружает множество различных предметов. На производстве рабочий имеет дело с множеством инструментов, с множеством станков, с множеством изделий. В лесу человека окружает множество деревьев, множество птиц. В школе учащегося окружает множество товарищей, столы, парты, книги, тетради и т. д. Можно привести много примеров различных множеств: бригада рабочих, коллекция марок (открыток, картин и др.), рой пчел, стадо коров (овец, коз, гусей и т. д.), стая птиц, табун лошадей и др. Наблюдая множество тех или иных предметов, человек выделяет в нем отдельные предметы, отдельные элементы . Так, из стада коров выделяется одна — впереди идущая корова, из множества тетрадей выделяется одна — тетрадь по арифметике и т. д. Из множества предметов выделяются единичные элементы, составляющие это множество.
      В практической деятельности человека приходится часто сопоставлять элементы одного множества с элементами другого. Напри мер, множество учащихся сопоставляется с множеством парт в классе; множество людей, присутствующих на собрании, сопоставляется с множеством стульев, на которых присутствующие будут сидеть; множество пассажиров и множество билетов, которые выдаются для проезда, и т. д. Приведите еще примеры необходимости сопоставления элементов двух множеств.
      При сопоставлении элементов двух множеств иногда обнаруживается, что в одном из них элементов столько же, сколько и в другом: сколько учеников в классе, столько же и крючков на вешалке, в раздевалке; и каждый ученик вешает свое пальто на отдельный крючок вешалки. В этом случае множества называют равночисленными. Но может случиться, что на вешалке не хватит крючков для всех учеников данного класса и придется на один крючок вешалки повесить пальто двух учеников. В этом случае говорят, что численности множеств различны: множество учеников имеет численность большую, чем множество крючков на вешалке для данного класса. Может оказаться, наоборот, что каждый ученик класса повесит свое пальто на отдельный крючок вешалки и на ней еще останутся свободные крючки. В этом случае множество крючков имеет численность большую, чем множество учеников класса.
      Как проще узнать численность множества? Как проще узнать, равночисленны множества или нет, и если они не равночисленны, то численность какого больше?
      Численность множества узнают при помощи счета его элементов: пересчитывают элементы множества и выражают его численность числом.
     
      3. Последовательность натуральных чисел. Для счета предметов введены числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14 и т. д.
      Эти числа называются натуральными. Вы их называли также целыми числами. Множество натуральных чисел имеет важное свойство: каждое натуральное число на единицу больше своего предыдущего. Первым натуральным числом считается единица. Последнего натурального числа нет и быть не может: каждое натуральное число можно увеличить на единицу, и получим натуральное число, следующее за данным. Множество натуральных чисел представляет собой бесконечную последовательность чисел.
      Чтобы найти численность множества, пересчитывают его элементы с помощью последовательности натуральных чисел. Если в двух множествах окажется одинаковое число элементов, то, значит, численности этих множеств одинаковы. Найдите численности множества учеников и множества учениц своего класса. Какое множество имеет большую численность? Почему?
      Натуральными числами пользуются не только при счете предметов, но и при измерении величин. Так, можно, например, измерить рост человека и выразить его некоторым числом сантиметров. Каков ваш рост? Если вы не знаете его, измерьте. Как это сделать, показано на рисунке. Вы получите некоторое натуральное число. Оно выражает ваш рост в сантиметрах.
      В математике часто говорят о некотором натуральном числе. В этом случае для обозначения натурального числа применяют букву, обычно латинского алфавита. Если обозначить некоторое натуральное число буквой «п», то следующее за ним натуральное число, большее его на единицу, будет обозначено следующим образом: «n + 1».
     
      4. Десятичная система счисления. Нумерация.
      Чтобы применить на практике натуральные числа, чтобы производить с ними действия, нужно уметь их называть и записывать. В результате многовекового исторического развития была выработана десятичная система счисления.
      За основу были взяты первые девять натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Для них были установлены названия и особые письменные значки — цифры. Эти первые девять натуральных чисел составляют первый разряд, который называется разрядом единиц. Следующее натуральное число — десять (десяток) — берется за единицу второго разряда, разряда десятков. Счет десятками часто применяется в жизни: десятками считают яйца, конверты, тетради и др. Десять десятков составляют единицу третьего разряда — сотню. Сотня содержит 100 единиц. Счет сотнями также имеет применение: выпускаемая цехом, заводом продукция часто учитывается не только поштучно, но и сотнями. Десять сотен принимают за единицу следующего, четвертого разряда натуральных чисел, разряда тысяч. Десять тысяч составляют единицу пятого разряда — десятков тысяч и т. д. В четвертом классе вы выполняли действия с числами, меньшими миллиона. Но счет можно продолжить и дальше, образуя следующие разряды: десять единиц каждого разряда образуют одну единицу нового разряда, следующего за данным.
      Чтобы удобнее читать, записывать числа и считать, каждые три разряда, начиная с разряда единиц, объединяют в один класс. Вы знаете класс единиц; в нем три разряда: единицы, десятки и сотни. Второй класс вы также знаете — это класс тысяч; в нем также три разряда: единицы тысяч, десятки и сотни тысяч. Третий класс — класс миллионов; в нем тоже три разряда. Рассмотрите таблицу классов и разрядов многозначных чисел. С помощью этой таблицы прочитайте нижезаписанные числа: население Земли составляет 2 900 000 000 человек (по данным 1959 г.); число жителей в СССР составляет 212 000 000 человек (по данным 1960 г.).
      Принятая система счета называется десятичной потому, что единица каждого разряда, начиная со второго, содержит 10 единиц разряда предыдущего.
      Как записать любое натуральное число? Чтобы записать любое натуральное число, кроме девяти первых натуральных чисел, вводят еще одно число — нуль — и десятую цифру для его записи — «0». С помощью введенных десяти цифр можно записать любое натуральное число. При записи натуральных чисел пользуются правилом поместного значения цифры. Что это значит? В записи каждого натурального числа цифра, записанная на первом месте (крайняя справа), обозначает разряд единиц; цифра, записанная слева от единиц (вторая цифра справа), обозначает десятки; цифра, записанная на
      третьем месте, обозначает сотни и т. д. Так, в записи натураль ных чисел 142; 5 241; 2 793 цифра «2» обозначает соответственно 2 единицы в первом числе, 2 сотни во втором и 2 тысячи в третьем. При записи многозначных чисел классы отделяются друг от друга промежутками в одну цифру. Чтение натурального числа начинается со старших классов н разрядов.
      Так, число 2 781 534 078 следует прочитать так: два миллиарда, семьсот восемьдесят один миллион пятьсот тридцать четыре тысячи семьдесят восемь.
      Посмотрите прилагаемую таблицу названий классов и разрядов многозначных натуральных чисел и прочитайте следующие числа;
      5 620 709; 12 531 608; 2 143 601 875; 10 547 903 075.
      Выполните следующие упражнения, Внимательно отнеситесь к решению (устному) примеров под номером 12. Решение этих примеров поможет вам быстрей освоить работу на счетах и в дальнейшем поможет правильно производить вычисления.
     
      УПРАЖНЕНИЯ
     
      3.
      1) Как называются единицы 1-го класса? 2-го класса? 3-го класса? 4-го класса?
      2) Какой разряд и какого класса составляют десятки единиц? единицы тысяч? сотни тысяч? десятки миллионов?
      3) Назовите все разрядные единицы 1-го класса, 3-го класса.
      4) Назовите все разрядные единицы 2-го класса, 4-го класса.
     
      4.
      1) Во сколько раз единица меньше десятка? десяток меньше сотни? сотня меньше тысячи?
      2) На сколько единиц десяток больше единицы? сотня больше десятка? тысяча больше сотни?
      3) Во сколько раз десяток меньше трех тысяч?
      4) На сколько единиц 5 тысяч больше 5 сотен?
     
      5.
      1) Отложите на счетах единицу; одну тысячу; один миллион.
      2) Рассмотрите рисунок русских счетов. Прочитайте числа, отложенные на счетах.
     
      6.
      1) Запишите число, прочитайте его и отложите на счетах, если оно содержит пятнадцать единиц; пятнадцать десятков; пятнадцать сотен; пятнадцать тысяч; пятнадцать миллионов.
      2) Напишите и отложите на счетах число, состоящее из трехсот сорока двух единиц; трехсот сорока двух тысяч; трехсот сорока двух миллионов.
     
      7. 1) Напишите, отложите на счетах и прочитайте число, содержащее:
      а) 3 единицы 2-го разряда и 7 единиц 1-го разряда 1-го класса;
      б) 2 единицы 2-го разряда 3-го класса, 7 единиц 2-го разряда и 4 единицы 1-го разряда 1-го класса;
      в) 9 единиц 3-го разряда и единицу 1-го разряда 3-го класса, 2 единицы 2-го разряда 2-го класса и единицу 2-го разряда 1-го класса.
      2) Напишите, отложите на счетах и прочитайте число, содержащее: а) единицу 3-го разряда и 3 единицы 1-го разряда 2-го класса, 5 единиц 2-го разряда и 8 единиц 1-го разряда 1-го класса;
      б) 3 единицы 1-го разряда 3-го класса, 3 единицы 2-го разряда 2-го класса, 3 единицы 3-го разряда и 3 единицы 1-го разряда 1-го класса;
      в) 5 единиц 2-го разряда 3-го класса, 4 единицы 3-го разряда 2-го класса, 3 единицы 2-го разряда и единицу 1-го разряда 1-го класса.
     
      8.
      1) Сколько десятков в сотне? в тысяче? в миллионе? в миллиарде? в двадцати тысячах?
      2) На сколько миллион больше единицы? десятка? сотни? тысячи?
      3) Во сколько раз единица 1-го разряда 3-го класса больше единицы 2-го разряда 2-го класса? единицы 2-го разряда 1-го класса?
     
      9.
      1) Сколько сотен в тысяче? в миллионе? в миллиарде? в сорока тысячах? в двадцати миллионах?
      2) На сколько единица 2-го разряда 1-го класса меньше единицы 3-го разряда 1-го класса? единицы 1-го разряда 2-го класса?
      3) Во сколько раз единица 2-го разряда 1-го класса меньше единицы 1-го разряда 2-го класса? единицы 2-го разряда 2-го класса?
     
      10.
      1) Прочитайте написанные числа, отложите их на счетах
      и укажите, какие разрядные единицы и каких классов имеются в каждом из следующих чисел: 3 257; 42 009; 106 428; 26 050 064; 10 203 074.
      2) Прочитайте написанные числа, отложите каждое из них на счетах и укажите, какие разрядные единицы и каких классов в каждом из них отсутствуют:
      2 000 856; 80 065 003; 705 030 402; 126 000 308; 35 300 601;
      5 000 986 010; 500 770 032.
     
      11.
      Запишите цифрами все числа, встречающиеся выданных предложениях:
      1) Население СССР перед 1941 г. составляло сто девяносто миллионов шестьсот семьдесят восемь тысяч человек; в 1959 г. население СССР составляло двести восемь миллионов восемьсот двадцать шесть тысяч человек, т. е. увеличилось на восемнадцать миллионов сто сорок восемь тысяч человек; за те же годы численность городского населения увеличилась с шестидесяти миллионов четырехсот девяти тысяч человек до девяноста девяти миллионов семисот восьмидесяти двух тысяч человек, т. е. на тридцать девять миллионов триста семьдесят три тысячи человек.
      2) Вес 3-го советского искусственного спутника Земли равен одной тысяче тремстам двадцати семи килограммам; при запуске он вышел на орбиту на расстоянии одной тысячи восьмисот восьмидесяти километров от Земли; за триста пятьдесят восемь суток спутник сделал пять тысяч оборотов вокруг Земли, пролетев двести двадцать восемь миллионов двести тысяч километров.
     
      12.
      Сосчитайте устно.
      1) Какое натуральное число следует прибавить к каждому из данных чисел, чтобы получить 10:
      6; 8; 3; 2; 9; 7; 4; 5?
      2) Какое натуральное число следует добавить к каждому из данных чисел, чтобы получить 100:
      21; 33; 65; 98; 12; 76; 45; 50; 20; 77; 86; 49;
      94; 82; 18; 29; 34; 40; 39; 47; 57; 73; 88; 69?
      3) Какое натуральное число следует добавить к каждому из двузначных чисел предыдущего упражнения, чтобы получить 1 000? 10 000?
      4) Какое натуральное число следует прибавить к каждому из данных натуральных чисел, чтобы получить в сумме 1000:
      101; 163; 179; 199; 200; 231; 247; 296; 333; 365; 389;
      399; 401; 413; 462; 456; 478; 500; 506; 519; 536; 587;
      593; 666; 658; 609; 721; 743; 769; 805; 835; 841; 866;
      890; 907; 912; 916; 927; 931; 963; 985; 981?
     
      13.
      1) Назовите самое меньшее двузначное число. Назовите самое большое двузначное число. Как подсчитать, сколько всего двузначных чисел?
      2) Назовите самое меньшее трехзначное число. Назовите самое большое трехзначное число. Как подсчитать, сколько всего трехзначных чисел?
      3) Можно ли назвать и записать самое большое натуральное число? Почему нельзя этого сделать?
     
      14.
      Существует легенда об изобретении шахмат. Персидский шах так был обрадован этой игрой, что предложил изобретателю ее самому назначить себе награду. Изобретатель попросил дать ему такую награду: на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно пшеницы, на вторую — 2, на третью — 4 зерна и т. д. удваивать число зерен на каждую следующую клетку по сравнению с предыдущей. Сколько всего клеток имеет шахматная доска? Подчиненные шаха подсчитали, что потребуется дать 18 446 744 073 709 551 615 зерен пшеницы.
      Прочитайте это число. Когда вы будете в 10-м классе, то сможете проверить, правильно ли подсчитали число зерен подчиненные шаха. Заметим, что шах не смог выдать такую награду: на всем земном шаре не могло быть собрано столько зерен пшеницы.
     
     
      5. Метрическая система мер. Меры времени.
     
      Натуральные числа используются не только при счете предметов, но и при измерениях. Выше было показано, как измерить рост человека. При измерении длин, площадей, объемов, веса пользуются метрической системой мер. Метр был введен во Франции во времена Великой французской революции, в XVIII веке. Была измерена часть дуги Парижского меридиана. За единицу измерения длин в метрической системе мер приняли метр — одну сорокамиллионную часть дуги Парижского меридиана. Позднее у нас в России была измерена часть дуги Пулковского меридиана. Было установлено, что дуга Парижского меридиана только приближенно равна 40 000 000 м. В настоящее время единица измерения длин 1 м определяется более точно оптическим способом.
      Метрическая система мер удобна тем, что основана на десятичной системе счисления.
      Примечание.
      Метр приближенно равен расстоянию от концов пальцев вытянутой руки взрослого человека до подбородка.
      У нас в СССР метрическая система мер была введена при Советской власти в 1918 г. Декрет о введении в СССР метрической системы мер подписал В. И. Ленин. Рассмотрите таблицу метрических мер: длин, площадей, объемов.
      Для измерения времени пользуются особой системой. За 1 год принимают время обращения Земли вокруг Солнца. Год делится на 12 месяцев, месяц — на 30 суток, сутки — на 24 часа, час — на 60 минут, минута — на 60 секунд. 100 лет составляют 1 век.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      15.
      1) Сколько сантиметров в дециметре?
      2) Сколько квадратных сантиметров в квадратном дециметре?
      3) Сколько кубических сантиметров в кубическом дециметре?
      4) Изготовьте модели кубического сантиметра и кубического дециметра.
     
      16.
      1) Сколько метров в 10 000 см? в 1 000 дм?
      2) Сколько дециметров в 2 400 см?
      3) Сколько квадратных дециметров в 1 кв. м? Сколько квадратных сантиметров в 1 кв. м?
      4) Сколько кубических дециметров в 1 куб. м?
     
      17.
      1) Во сколько раз 1 кв. дм больше 1 кв. мм?
      2) Во сколько раз 1 кв. м меньше 1 кв. км?
      3) Сколько аров содержится в 8 400 кв. м?
      4) Сколько гектаров содержится в 50 000 кв. м?
     
      18.
      1) Во сколько раз 1 куб. дм больше 1 куб. мм?
      2) Во сколько раз 1 куб. см меньше 1 куб. м?
      3) Сколько литров составляют 4 000 куб. см?
      4) Сколько кубических сантиметров содержится в 1 л?
     
      19.
      1) На сколько 1 кв. м больше 1 кв. см?
      2) Сколько раз 1 000 кв. м содержится в 1 кв. км?
      3) Сколько в 1 кв. км содержится аров? гектаров?
      4) Выразить 600 000 кв. м в арах; в гектарах.
     
      20.
      1) На сколько 1 куб. мм меньше 1 куб. см?
      2) Сколько раз 100 куб. см содержатся в 1 куб. м?
      3) Сколько литров содержится в 5 куб. дм?
      4) Сколько литров составят 3 000 000 куб. мм?
     
      21.
      1) Сколько килограммов в 15 000 г? в 640 000 мг?
      2) Сколько в тонне килограммов? центнеров?
      3) Во сколько раз 1 г меньше 1 т?
      4) Сколько килограммов в 3т 4ц 7кг?
     
      22.
      1) Раздробить 8 м 9 дм в сантиметры.
      2) Раздробить в квадратные метры 5 га 1 а 7 кв. м.
      3) Раздробить в кубические сантиметры 3 куб. м 5 куб. см.
      4) Раздробить в литры 3 куб. м 38 л.
     
      23.
      1) 425 л превратить в меры высших наименований.
      2) 575 мм превратить в меры высших наименований.
      3) 25 040 кв. см превратить в меры высших наименований.
      4) 395 ц превратить в меры высших наименований.
     
      24.
      1) Раздробить в минуты 3 сут. 5 час.
      2) 4 820 дней превратить в меры высших наименований, считая месяц равным 30 дням.
      3) Раздробить 2 года, 5 мес. 1 неделю в дни.
      4) Промежуток времени между двумя последовательными полнолуниями равен 2 551 443 сек. Выразить его составным именованным числом.
     
      25.
      1) Превратить 60 000 мин. в меры высших наименований.
      2) Земля совершает один оборот вокруг Солнца за 31 556 926 сек. Выразить этот промежуток времени составным именованным числом.
      3) Сколько лет содержит век?
      4) Сколько дней содержит год? Какой год называется високосным? Как чередуются простые и високосные годы?
     
      6. Сравнение натуральных чисел.
     
      При записи или при чтении натурального числа указывается то число единиц, которое в этом натуральном числе содержится. Так, в числе 24106 двадцать четыре тысячи сто шесть единиц. Чем больше всего единиц содержит натуральное число, тем оно больше. Как узнать, какое число больше: 24 106 или 23 957? Для этого следует выяснить, к какому классу принадлежат старшие разряды этих чисел. В каждом из чисел старшим является разряд десятков тысяч; причем в обоих числах содержится по 2 десятка тысяч. В этом случае нужно выяснить, сколько единиц содержится в предыдущем разряде каждого числа, т. е. сколько содержится в каждом числе тысяч. В первом числе содержится 4 тысячи, во втором только 3 тысячи. Поэтому первое число больше второго. В математике слово больше обозначается знаком >, с помощью этого знака можно записать:
      24 106 > 23 957.
      Запомните, что знак «больше» острием обращен к меньшему из чисел.
      Можно было бы записать, что 23 957 меньше 24 106; знак меньше записывается в математике так: <. Поэтому можно записать:
      23 957 < 24 106.
      При записи знак «меньше» также обращен острием к меньшему из чисел.
      Если сравниваются числа 678 001 и 56 729, то сразу же можно сказать, что первое число больше второго: в первом имеется разряд сотен тысяч, а во втором — только десятки тысяч. Поэтому можно записать: .
      678 001 > 56 729 или 56 729 < 678 001.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      26. 1) Расположите в возрастающем порядке написанные числа. начиная с меньшего из них: 1 325 437; 326 437; 1 326 447;
      1 325 381; 13 254 970; 13 254 371; 13 254 380. Запишите, что самое большое из них больше самого меньшего.
      2) Расположите данные числа в убывающем порядке, начиная с большего из них: 207 851; 207 951; 208 851; 217 851;
      2 079 510; 2 079 511; 207 999.
     
      27. Напишите наименьшие и наибольшие натуральные числа:
      1) а) однозначные; б) трехзначные; в) пятизначные;
      г) восьмизначные;
      2) а) двузначные; б) четырехзначные; в) семизначные. Расположите все эти числа в возрастающем порядке. Запишите, что самое меньшее из них меньше самого большего.
      Каждое натуральное число представляет собой сумму его разрядных единиц. Так, число 6 345 есть сумма 6 000 + 300 + + 40 + 5 и содержит всего 6 345 единиц. Его можно записать и таким образом: 6·1000 + 3·100 + 4-10 4-5. Точно так же число 56 729 можно рассматривать как сумму его разрядных чисел: пяти десятков тысяч, .шести тысяч, семи сотен, двух десятков и девяти единиц и записать его в виде:
      5·10 000 + 6·1 000 + 7·100 + 2·10 + 9.
      Если дано натуральное число, то по его записи сразу можно установить, сколько единиц оно содержит в каждом разряде. Число 63 521 содержит в разряде единиц — 1 единицу, в разряде десятков — 2 единицы, в разряде сотен — 5 единиц, в разряде тысяч — 3 единицы и в разряде десятков тысяч — 6 единиц. Но, с другой стороны, по записи числа можно сразу сказать, сколько оно содержит всего единиц каждого разряда. Это же число 63 521 содержит: 63 521 единицу, 6 352 десятка, 635 сотен, 63 тысячи и 6 десятков тысяч.
      Аналогично в числе 17 010 398 содержится 17 010 398 единиц, 1 701 039 десятков, 170 103 сотни, 17 010 тысяч, 1 701 десяток тысяч, 170 сотен тысяч, 17 миллионов и 1 десяток миллионов.
     
      28. 1) Укажите, сколько и каких разрядных единиц содержится в каждом из чисел, и запишите каждое число в виде суммы его разрядных чисел: 504; 364; 8 309; 15 864; 12 907; 258 060; 7 562 021.
      2) Запишите в виде суммы разрядных чисел: а) наибольшее трехзначное число; б) наименьшее четырехзначное; в) наименьшее пятизначное; г) наибольшее пятизначное.
     
      29. Укажите, из скольких единиц каких разрядов и классов состоят числа, написанные в виде суммы разрядных чисел. Отложите их на счетах и запишите обычным способом:
      1) 8·1 000 + 3·100 + 5·10 + 2;
      2) 3·1 000 + 7·10 + 5;
      3) 9·10 000 + 7·1 000 + 8·100 + 3·10 + 2;
      4) 5··100 000 + 7·10 000 + 4·1000 + 3·100 + 9·10 + 1;
      5) 6·1 000 000 + 3·10 000 + 7·100 + 8;
      6) 7·100 000 000 + 5-1 000 000 + 9·1 000 + 2·10.
     
      7. Округление чисел.
     
      При измерении роста мальчика получили 120 см 3 мм, а рост одной из девочек оказался равным 120 см 7 мм. В медицинскую карту мальчика записали его рост, равным 120 см, а девочки — 121 см. Каждое из чисел, записанных в медицинские карты, называется приближенным. Оно выражает рост учащегося в сантиметрах. Полученные при измерении роста числа округлили.
      В различных практических измерениях приходится числа округлять и указывать приближенные их значения. Так, легко узнать рост человека в сантиметрах, труднее это сделать в миллиметрах. При повторных измерениях в числе миллиметров будет разница. Можно точно пересчитать жителей в квартире, учащихся класса, школы. Но уже трудно подсчитать число жителей города; оно меняется: люди приезжают вновь, уезжают в другие города. Поэтому, если при подсчете числа жителей в городе получилось 75 648, то обычно это число округляют до сотен. Считают, что в городе проживает 75 600 человек.
      Как округлить число? При округлении числа всегда нужно указывать, до единиц какого разряда это округление следует выполнить.
      При округлении числа до некоторого разряда находим, сколько всего единиц этого разряда содержится в округляемом числе; округляемое число записываем как сумму числа единиц этого разряда и числа, составленного остальными его разрядами. Приближенное число составляется из первого слагаемого этой суммы, а второе слагаемое отбрасывается. Если цифра старшего разряда во втором слагаемом 5, 6, 7, 8 или 9, то число единиц первого слагаемого увеличивается на одну единицу.
      Пусть нужно округлить число 7 825 до сотен. Находим число сотен (78) и записываем данное число в виде суммы:
      78·100 + 25.
      Так как старший разряд второго слагаемого содержит 2 единицы (2 десятка), то первое слагаемое не изменяем и при округлении получаем число 7 800, меньшее данного. Округление выполнено по недостатку. Если это же число 7 825 нужно округлить до десятков, то: 782·10+5~7830; получили число, большее данного. Округление в этом случае выполнено по избытку. (Знак «~» читается: «приближенно равно».)
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      30. 1) В каждом из данных чисел указать: сколько содержится всего единиц? Сколько всего десятков? Сколько всего сотен?
      4 251; 12 709; 417 527; 408 000 548; 7 652 021.
      2) Указать, сколько всего содержится в каждом из данных чисел: а) десятков; б) тысяч; в) сотен тысяч: 6 332; 586 412; 12 704; 305 623; 86 591431; 52 000 345.
     
      31. 1) Число 56 324 запишите в виде суммы его разрядных единиц, считая старшим разрядом разряд тысяч;
      2) то же для числа 578 341, считая за старший разряд сотен;
      3) то же для числа 781 045, считая за старший разряд десятков;
      4) то же для числа 5 007 819, считая за старший разряд десятков тысяч.
     
      32. Округлить данные числа:
      1) до десятков: 30 402; 99 824; 101 385; 247 215;
      2) до сотен: 17 528; 375 461; 5 042 150; 560 450;
      3) до тысяч: 36 500; 846 740; 2 003 076; 777 650;
      4) до миллионов: 40 870 000; 76 402 537; 103 807 234.
     
      8. Графическое изображение натуральных чисел.
     
      Чтобы наглядней представить числовые значения величин, пользуются их графическими изображениями. Например, количество собранного металлолома разными классами можно представить диаграммой. Графически можно изобразить успеваемость в разных классах школы и т. д.
      В математике натуральные числа изображают графически следующим образом. Проводят прямую линию и на ней отмечают произвольную точку. Эту точку принимают за начало отсчета. Потом выбирают некоторый отрезок прямой за единицу измерения и его откладывают на этой прямой вправо от начальной точки отсчета. От конца первого отрезка вправо откладывают второй раз единичный отрезок (единицу измерения) и т. д. Концы откладываемых единиц измерения отмечают точками и у каждой ставят натуральное число, показывающее, сколько раз единица измерения отложена от начальной точки. Таким образом, точкой прямой можно изобразить любое натуральное число.
      Постройте графическое изображение натуральных чисел первого десятка. Рассмотрите рисунок.
      Построенная прямая представляет собою числовую ось.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
      33. 1) Изобразите на числовой оси число учеников и число
      учениц вашего класса.
      2) Изобразите на числовой оси число имеющихся у вас тетрадей (по всем учебным предметам) и общее число учебников.
     
      9. Двоичная система счисления. Римская нумерация чисел.
     
      Мы изучаем десятичную систему счисления, письменную и устную нумерацию этой системы. Цифры, которые мы применяем для записи чисел, были изобретены индусами, от них перешли к арабам и от арабов перешли к европейцам. За несколько тысяч лет до нашей эры ассиро-вавилоняне пользовались недесятичной системой счисления. Они считали, что единица второго разряда содержит 60 единиц первого. Некоторые народы вели счет по двенадцатеричной системе: 12 единиц 1-го разряда составляли одну единицу 2-го разряда и т. д. Эти системы счисления сохранились и по настоящее время. Мы делим год на 12 месяцев, сутки делим на 24 часа (12-2), час делим на 60 минут, минуту — на 60 секунд.
      Наиболее простая недесятичная система счисления — двоичная. В двоичной системе счисления две единицы какого-нибудь разряда составляют одну единицу разряда, следующего за ним. Сравним десятичную и двоичную системы счисления.
     
      Десятичная система:
      1) десять единиц какого-нибудь разряда составляют единицу следующего за ним разряда;
      2) всего имеется десять цифр для записи любого натурального числа: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
     
      Двоичная система:
      1) две единицы какого-нибудь разряда составляют единицу следующего за ним разряда;
      2) всего имеется две цифры для записи любого натурального числа: 0 и 1.
     
      Следует иметь в виду, что при любой системе счисления общее число единиц в каждом натуральном числе сохраняется без изменения. Например, число 272 имеет 272 единицы независимо от системы счисления.
      Как записать это число в двоичной системе счисления? В числе всего содержится 272 единицы 1-го разряда единиц. Но каждые две единицы 1-го разряда составляют одну единицу 2-го разряда. Можно узнать, сколько единиц 2-го разряда составляют 272 единицы 1-го разряда. Для этого нужно 272 : 2 = 136. Значит, во 2-м разряде содержится 136 единиц, причем остатка при делении не получилось; поэтому в 1-м разряде единиц нет, и при записи числа в 1-м его разряде напишем нуль.
      136 единиц 2-го разряда дадут 136 : 2 = 68 единиц 3-го разряда, и при записи числа во 2-м разряде также запишем нуль.
      68 единиц 3-го разряда составят 68 : 2 = 34 единицы 4-го разряда, а в 3-м разряде останется нуль.
      34 единицы 4-го разряда составят 34:2 = 17 единиц 5-го разряда, а в 4-м разряде останется нуль.
      17 единиц 5-го разряда составят 17:2 = 8 (остаток 1) 8 единиц 6-го разряда, а в 5-м разряде останется 1 единица.
      Так же точно подсчитаем, что 8 единиц 6-го разряда составят 4 единицы 7-го, а в 6-м останется нуль.
      Далее получим 4:2 = 2 единицы 8-го разряда и, наконец, 2:2 = 1 единицу 9-го разряда. Следовательно, в двоичной системе счисления число 272 будет записано так: (100 010 000)2. Получилось девятизначное число. Из-за громоздкости записи чисел в двоичной системе для практических вычислений пользуются десятичной системой. Однако у двоичной системы есть и свои преимущества (малое число знаков, простота таблицы умножения: 0Х0=0Х1 = 1X0 = 1х1 = 1), используемые, например, при работе на современных машинах-автоматах.
      В различные времена различные народы применяли различные обозначения для записи чисел. Так, вавилоняне пользовались особыми значками в форме клиньев, египтяне обозначали число 10 рисунком двух рук человека и т. д. Особыми значками. сохранившимися до нашего времени, пользовались римляне. В римской нумерации имеется всего семь цифр. Записанные рядом цифры обозначают общую сумму единиц. Например, III — обозначает 3 единицы; VI — б единиц; XII — число 12; MDCXXI — 1621. Исключение составляют шесть чисел:
      IV — 4; IX — 9; ХС — 90; XL — 40; CD — 400 и CM — 900.
      В этих числах значение слева написанной цифры вычитается из значения цифры, написанной справа. Число тысяч записывается теми же обозначениями, но после тысяч ставится снизу (справа) буква m. Например, число 4 936 запишется в римской нумерации так: IVm CMXXXVI. Из этого примера видно, что принятая запись чисел в десятичной системе нумерации с нулем и правилом поместного значения цифры много удобней.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      34.
      1) Прочитайте числа, написанные с помощью римской нумерации: XIII; VII; CCXI; XXVI; XLII; XII; XXIV; IX; XCI; XIX.
      2) Данные числа запишите с помощью римской нумерации: 6; 11; 14; 15; 24; 29; 37; 48; 54; 78; 106; 543; 2 964.
      3) Назовите месяцы, обозначенные римской нумерацией: II; IX; IV; XI; VIII.
      4) Прочитайте, в каком году поставлен памятник Петру Первому в Ленинграде.
     
      37.
      1) Напишите и прочитайте пятнадцатое натуральное число.
      Сколько в нем разрядов? Какие? Сколько единиц к нему не хватает до сотни?
      2) Напишите и прочитайте восемьдесят девятое натуральное число. Сколько единиц к нему не хватает до сотни?
      3) Напишите и прочитайте самое большое четырехзначное натуральное число. Сколько единиц к нему не хватает до 10 000?
      4) Какое по порядку натуральное число написано: 35 748? Сколько в этом числе классов? Какие? Сколько в нем разрядов? Какие? Напишите натуральное число, содержащее столько же десятков единиц, сколько и данное. Запишите это число как сумму его разрядных чисел.
     
      38.
      1) Сколько различных двузначных чисел можно записать десятью цифрами?
      2) Сколько различных трехзначных чисел можно записать десятью цифрами?
     
      39.
      1) С помощью цифр 3, 4 и 7 записать все трехзначные числа, чтобы в каждом из них одна и та же цифра не повторялась. Какое из них самое большее?
      2) Напишите несколько чисел с помощью только цифры 5. Можно ли с помощью только этой цифры написать натуральное число, большее выбранного?
     
      40.
      1) С помощью цифр 1 и 0 написать четыре пятизначных числа. Расположите их в порядке возрастания.
      2) С помощью цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7 и 8 напишите и прочитайте семизначное натуральное число, наибольшее из всех семизначных чисел, написанных теми же цифрами, при условии, что в каждом из них ни одна из данных цифр не будет повторяться.
     
      41.
      1) В книге 125 страниц. Сколько печатных знаков для цифр при нумерации страниц этой книги должен был набрать наборщик в типографии?
      2) То же, если в книге 342 страницы.
     
      42.
      1) Напишите какое-нибудь двузначное число и поменяйте в нем местами цифры единиц и десятков. Какое из этих чисел больше и на сколько?
      2) Напишите какое-нибудь трехзначное число и напишите другое число этими же цифрами, расположенными в обратном порядке. Какое из них больше и на сколько?
     
      43.
      1) Если к числу 383 приписать справа нуль, то на сколько единиц оно увеличится?
      2) Если к числу 12 653 приписать справа нуль, то на сколько единиц оно увеличится?
     
      44.
      1) С помощью цифр 1 и 5 написать все возможные трехзначные числа.
      2) Расположить в возрастающем порядке те трехзначные числа, которые можно написать цифрами 1, 4, 7 и 8, причем в одном числе не должно быть одинаковых цифр.
     
      45. У мальчика от покупки осталась сдача: три монеты разного достоинства, всего на сумму 6 копеек. Каково достоинство каждой монеты?
     
      Контрольное задание к § 1.
      1) Какое из двух данных чисел больше и почему: 657 142 и 97 465?
      2) Написать натуральное число, состоящее из 46 десятков и 3 единиц.
      3) Число 6 581 записать в виде суммы разрядных единиц.
      4) Сколько всего десятков тысяч содержит число 4 612 756?
      5) Округлить числа: а) 845 721 до сотен тысяч; б) 147 682 до десятков; в) 46 152 до сотен.
      6) Сколько всего шестизначных чисел?
      7) Записать в римской нумерации число 1 964.
      8) Привести примеры равночисленных множеств, каждое из которых характеризуется числом 10.
     
     
      § 2. СЛОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ.
     
      В природе и в жизни часто происходит объединение множеств. Возникает задача: найти численность объединенного множества, зная численности объединяемых множеств. Так, если в классе на уроках отсутствуют 4 человека и присутствуют на занятиях 35 человек, то можно установить число учащихся этого класса. Задача решается действием сложения: 35 + 4 = 39.
      Мы нашли численность объединенного множества, зная численности объединяемых множеств.
      Рассмотрим еще задачу. «В классе три ряда парт. В первом ряду сидят 14 учащихся, во втором — 11 учащихся и в третьем — 14 учащихся. В этом классе учатся 24 девочки и 15 мальчиков. Сколько всего учащихся в этом классе?»
      В условии задачи рассматривается пять множеств. Чтобы дать ответ на вопрос задачи, следует выбрать из этих пяти множеств те, которые не имеют общих элементов, и сложить численности только этих множеств.
      Следует сложить или численности первых трех множеств (14 + 11 + 14 = 39), или сложить численности двух последних множеств (24 + 15 = 39). В классе 39 учащихся.
     
      Сложением называется действие, при помощи которого находится сумма двух или нескольких чисел.
     
      Нахождение суммы двух или нескольких слагаемых является первой основной задачей, которая решается сложением. Эта задача всегда имеет решение. Полученное при сложении число содержит столько единиц, сколько их содержат все числа-слагаемые Еместе. Сумму нескольких натуральных чисел всегда можно вычислить. Если одно натуральное число обозначить а, другое b, то их сумму можно выразить натуральным числом а + b. Знак + читается плюс (что значит «больше»); он был введен в XV — XVI веках.
      Рассмотрим еще одну задачу, которая решается также действием сложения.
      Задача. Слесарь в первый день обработал 16 деталей, а во второй день обработал на 6 деталей больше. Сколько деталей обработал слесарь во второй день?
      Для решения задачи нужно одно число (15) увеличить на 6 единиц: 15 + 6 = 21.
      Мы решили вторую основную задачу на действие сложения: увеличить число на несколько единиц. Полученное при сложении число также содержит столько единиц, сколько единиц содержат оба слагаемых вместе.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      46. Решить следующие задачи и в каждой выделить основные, решаемые сложением. Правильность решения каждой задачи проверить вычислением на счетах.
      1) СССР занимает 5 570 тыс. кв. км Европы н 16833 тыс. кв. км Азии. Какую площадь занимает СССР?
      2) Расстояние по железной дороге от Бреста до Москвы 1 099 км и от Москвы до Владивостока 9 234 км. Найти расстояние по железной дороге от Бреста до Владивостока.
     
      47. 1) Расстояние от Земли до Луны составляет 380 тыс. км, а расстояние от Земли до Солнца на 149 620 тыс. км больше. Найти расстояние от Земли до Солнца.
      2) Высота Эльбруса 5 633 м, а высота пика Ленина на 1 494 м больше. Найти высоту пика Ленина.
      3) Самая высокая гора в Европе — Монблан имеет высоту 4 810 м, а гора Эверест в Азии выше Монблана на 4 072 м. Какова высота Эвереста?
      4) Площадь бассейна Дона 429 777 кв. км, площадь бассейна Днепра 510 534 кв. км, а площадь бассейна Северной Двины 362 284 кв. км. Найти площадь бассейна Волги, если она на 99 354 кв. км больше, чем площадь бассейна Дона, Днепра и Северной Двины, вместе взятых.
     
      48.
      1) Найти сумму наибольшего четырехзначного и наименьшего трехзначного натуральных чисел.
      2) Число 1 750 увеличить на сумму чисел 14 009, 40 728 и 22 090.
      3) Найти сумму всех натуральных чисел, заключенных между 31 и 43.
      4) Найти сумму всех натуральных чисел, больших 25 и меньших 35.
     
      49. По таблице подсчитать расходы на приобретенные ученические принадлежности:
      Наименование Стоимость руб. коп.
      1. Портфели ученические — 28 50
      2. Тетради — 2 80
      3. Альбомы для рисования — 1 20
      4. Ручки с перьями — 88
      5. Карандаши простые — 76
      6. Карандаши цветные — 5 45
      7. Краски — 1 80
      8. Кисточки — 1 00
      9. Линейки ученические — 36
      10. Резинки — 42
      Итого ?
      Правильность решения проверьте на счетах.
     
      1. Прибавление нуля.
      Мы знаем, что всегда можно вычислить сумму двух натуральных чисел а и b. Она равна натуральному числу а + b. Если вместо числа b возьмем число нуль, то получим сумму а + 0. Чему она равна? Может ли встретиться такая задача? Пусть с одной яблони собрали 105 кг яблок, а на второй яблоне плодов не было вовсе. Множество плодов на ней оказалось пустым, и численность его характеризуется числом нуль. Тогда общий урожай яблок с двух деревьев выразится суммой 105 + 0.
      Сумма натурального числа а и числа нуль равна числу а. т. е.
      а + 0 = а.
     
      2. Законы сложения.
      Подсчитывая число учащихся класса, мы находили сумму 35 присутствующих на уроках учащихся и 4 отсутствующих: 35 + 4 = 39. Но общее число учащихся класса можно было подсчитать в другом порядке: найти сумму 4 отсутствовавших и 35 присутствовавших: 4 + 35 = 39. Сумма при обоих способах подсчета получается одна и та же: 39. Если мы находим численность объединенного множества, то получим одно и то же число независимо от того, в каком порядке будем складывать численности объединяемых множеств. Можно объединять элементы множества А с элементами множества В и можно, наоборот, объединять элементы множества В с элементами множества А. Если численность множества А обозначим числом а, численность множества В обозначим числом b, то численность объединенного множества выразится числом а + b и b + а. В этом случае а + b = b + а. Это равенство выражает переместительный закон действия сложения:
      Сумма не изменится от перемены мест слагаемых.
      Сумму трех слагаемых можно найти различными способами. Например, нужно подсчитать число учащихся класса, если в первом ряду сидит о человек, во втором — b человек и в третьем — с человек. Можно сложить числа а и b и к сумме о + b прибавить число с, получим:
      а + b + с.
      Можно к числу а прибавить число с и к сумме а + с прибавить b, получим число:
      а + с + b.
      Наконец, можно, сложив числа b и с, к их сумме b + с прибавить число а, получим:
      b + с + а.
      Общее число учащихся, сидящих за партами в классе, от
      способа подсчета не зависит. Поэтому:
      (а + b) + с = (а + с) + b = а + (b + с).
      Поставленные здесь скобки указывают порядок выполнения действий.
      Полученное равенство выражает сочетательный закон действия сложения.
      Чтобы сложить три слагаемых, можно вычислить сначала сумму двух первых и к ней прибавить третье слагаемое или найти сумму двух последних слагаемых и ее прибавить к первому.
      Общая сумма трех слагаемых при этом получится одна и та же. Этот закон справедлив и для сложения большего числа слагаемых*.
      * При сложении нескольких чисел можно несколько из них заменить их суммой и к ней прибавить остальные слагаемые. Например: а + b +
      — с + d = (а + с) + b + d.
     
      3. Техника сложения чисел.
      Чтобы найти сумму двух однозначных чисел, нужно к первому числу прибавить столько единиц, сколько их имеется во втором слагаемом. Можно составить такую таблицу для сложения двух однозначных чисел.
      1 2 3 4 5 6 7 8 9
      1 2
      2 3 4
      3 4 5 6
      4 5 6 7 8
      5 6 7 8 9 10
      6 7 8 9 10 11 12
      7 8 9 10 11 12 13 14
      8 9 10 11 12 13 14 15 16
      9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
      Например, сложим с помощью таблицы числа 7 и 4. На пересечении 7-й строки и 4-го столбца в таблице находим 11. Значит, 7 + 4 = 11. Если нужно найти сумму 5 + 8, то можно воспользоваться переместительным законом действия сложения: на пересечении 8-й строки и 5-го столбца находим сумму 13. Эту таблицу сложения однозначных чисел вы хорошо запомнили в начальных классах.
      Сложение многозначного числа с однозначным основано на сочетательном законе действия сложения. Но и в этом случае сумма вычисляется устно.
      Пусть нужно сложить числа 21 539 и 5. Представим первое слагаемое таким образом: 21530 + 9, т. е. выделим единицы этого числа в отдельное слагаемое. Теперь найдем сумму:
      21 530 + 9 + 5 = 21 530 + (9 + 5) = 21 530 + 14 = 21 544.
      Все вычисления проводятся устно, без промежуточных записей, хотя последовательность вычислений такая, как это показано записями.
      При сложении многозначных чисел также применяется сочетательный закон сложения. Чтобы вычислить сумму
      43 561 + 786, подписываем одно слагаемое под другим. Единицы одинаковых разрядов должны быть подписаны друг под другом. Получаем:
      43 561 786
      Складываем слагаемые поразрядно, начиная с разряда единиц. Сумма единиц составляет 7. Число 7 пишем под чертой, в разряде единиц. Потом складываем десятки: 6 + 8 = 14, 14 десятков составляют 1 сотню и 4 десятка. 4 пишем под чертой, в разряде десятков, а 1 сотню переносим в разряд сотен. Продолжая сложение, получим окончательно 44 347.
      При сложении мы применили сочетательный закон действия сложения. Если каждое слагаемое записать в виде суммы его разрядных чисел и подписать слагаемые друг под другом поразрядно, то получим:
      . 4·10 000 + 3·1 000 + 5·100 + 6·10 + 1
      7·100 + 8·10 + 6
      Из этой записи сразу видно, что при сложении этих чисел мы складываем однозначные числа в каждом разряде. Таким образом, при сложении многозначных чисел мы применяем сочетательный закон сложения.
      Всегда следует проверять правильность вычислений. Сложение можно проверить, выполнив его повторно на счетах или применив переместительный закон действия сложения: изменить порядок слагаемых и снова вычислить их сумму. Проверьте правильность решения рассматриваемого примера на счетах.
      Правильность вычисления суммы можно проверить вычитанием. Как это сделать? Если не догадаетесь об этом сейчас, то такая проверка будет дана при повторении действия вычитания.
      Применение законов действия сложения позволяет проще вычислить сумму нескольких многозначных слагаемых. Приведем пример. Пусть требуется вычислить сумму:
      15 879 + 2 456 + 121 + 8 400.
      Наметим план вычисления суммы, чтобы ее найти наиболее простым способом. Мы замечаем, что в 1-м и в 3-м слагаемых числа единиц в сумме составляют 10. Если посмотреть более внимательно, сколько единиц не хватает к 879 до 1 000, то окажется, что не хватает 121, то есть как раз 3-е слагаемое. Мысленно меняем местами 2-е и 3-е слагаемые:
      15 879 + 121 + 2 456 + 8 400.
      Значение суммы при этом не изменится на основании переместительного закона сложения. Теперь применим сочетательный закон сложения и сложим сначала 1-е и 2-е слаггс. ы-Обозначим это скобками:
      (15 879 + 121) + 2 456 + 8 400 = 16 000 + 2 456 + 8 400.
      Сразу устно можно подсчитать общую сумму: 26 856. Проверьте на счетах правильность найденной суммы.
      Иногда проверку можно делать при помощи округления слагаемых. Так, в приведенном примере можно округлить слагаемые до тысяч и вычислить сумму полученных приближенных чисел:
      16 тыс. + 2 тыс. + 0 + 9 тыс. = 27 тыс.
      Такое вычисление суммы называется прикидкой. Прикидка позволяет проверить только число разрядов в искомой сумме. Так, в сумме, полученной прикидкой, и в сумме, найденной точно, имеется в каждой по 5 разрядов. При вычислении суммы чисел число разрядов суммы одинаково с числом разрядов наибольшего по величине слагаемого или больше числа разрядов большего слагаемого.
      Можно было округлить слагаемые до сотен. В этом случае прикидка также позволяет установить число разрядов в искомой сумме, при этом приближенное значение суммы будет меньше отличаться от точного ее значения.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      50. Найти сумму данных чисел, пользуясь переместительным и сочетательным законами сложения. Проверить правильность сложения прикидкой и повторным сложением чисел на счетах:
      1) а) 27 + 39 + 13 + 11;
      б) 38 Л. 94 + 12 + 16;
      в) 49 + 29 + 87 + 31 + 13 + 51;
      г) 18 + 39 + 27 + 12 + 23.
     
      2) а) 54 + 28 + 13 + 12 + 16;
      б) 116 + 37 + 43
      в) 357 + 111 + 89 + 43; г) 254 + 53 + 46
     
      3) а) 272 + 543 + 457 + 528;
      б) 244 + 25 + 97 + 103 + 156;
      в) 2 608 + 529 + 271 + 392;
      г) 1 116 + 704 + 258 + 884 + 296.
     
      4) а) 10 556 +'8 074 + 9 444 + 926 + 1 000;
      б) 1 720 + 863 + 280 + 137;
      в) 1 927 + 798 + 465 + 202 + 473 + 135;
      г) 13 075 + 931 + 1 064 + 2 069 + 10 025 + 2 036.
     
      51. Вычислить каждую сумму устно:
      1) 1 + 1; 270 + 1; 0 + 1; 0 + 0 + 0; 1 + 102;
      2) 1+0; 1 + 1 473; 0 + 830; 0 + 1 + 0 + 2 + 0;
      3) 5 386 + 0 + 714 + 0; 7 806 + (0 + 894).
     
      52. Найти сумму чисел и проверить результат прикидкой и на счетах:
      1) 4 098 + 1 765 + 7 908; 2) 7 509 + 12 078 + 9 067;
      3) 15 728 + 4 987 + 3 751 + 7 309;
      4) 10 087 + 3 445 + 5 684 + 7 889.
     
      53. Не производя сложения, подсчитайте число разрядов суммы и назовите высший разряд каждой из данных сумм, после чего сделайте проверку вычислением на счетах.
      1) 212 + 379 + 517; 2) 5 331 + 6 285 + 8 016;
      3) 15 463 + 24 115 + 1 052; 4) 500 865 + 49 048 + 38 787.
     
      54. 1) Если складывать два однозначных натуральных числа, каждое из которых меньше 5, то сумма будет однозначным натуральным числом. Обосновать.
      2) Какое самое большое натуральное число может быть получено в сумме, если имеются два однозначных слагаемых? Обосновать, что таким числом является 18.
      3) Показать при помощи графического изображения натуральных чисел справедливость переместительного закона сложения на примере 2 + 5.
     
      55. 1) От лагеря до станции нужно пройти 2 км 800 м лесом, 1 км 200 м полем и 500 м вдоль железной дороги. Вычислить расстояние от лагеря до станции.
      2) Найти площадь школьного участка, если здание занимает 980 кв. м, сад и огород — 2 га 40 а, двор со службами и постройками — 25 а и спортгородок — 1 200 кв. м.
      3) Квартира состоит из трех комнат, кубатуры которых известны: 60 куб. м 130 куб. дм; 24 куб. м 880 куб. дм и 19 куб. м 470 куб. дм. Какова кубатура всей квартиры?
      4) Рыбаки поймали 52 кг 800 г лещей, 26 кг 450 г язей и осетра весом 31 кг 500 г. Определить вес пойманной рыбаками рыбы.
     
      56. 1) Ученик начал готовить уроки в 15 час. 20 мин. и затратил на их подготовку 2 часа 55 мин. Сколько было времени, когда он закончил подготовку уроков?
      2) Экспедиция выехала 21 апреля в 14 час. 40 мин. и находилась в пути 12 сут. 20 час. 50 мин. Когда она прибыла к месту назначения.
      3) После того как турист проехал 65 км, ему еще осталось проехать до места назначения 310 км. Какова длина всего пути?
      4) Как вычислить: а) 7091 + (1819 + 509);
      б) (9 073 + 1 329) + 2 671?
     
      Контрольное задание к § 2.
      1) Придумайте по одной задаче на каждую из основных задач, решаемых сложением.
      2) Вычислить наиболее удобным способом каждую из следующих сумм: а) 386 + 287 + 213 + 564; б) 3 057 + 1 561 + 1 513 + 829 + 2 564.
      3) Число 14 359 увеличить на столько единиц, сколько всего сотен содержится в данном числе.
      4) Какая сумма больше: 4 096 + 5 267+2 307+625 или 3 805 + 6 341+ + 1 911 + 216?
      5) Как можно быстро подсчитать сумму всех однозначных натуральных чисел?
     
     
      § 3. ВЫЧИТАНИЕ.
     
      Часто из множества приходится выделять его часть. Например, в колхозе после уборки урожая выделяют часть на семена, а остальное идет на оплату трудодней колхозников и другие расходы. Если из множества элементов удалить некоторую часть его, то получится некоторый остаток. В связи с этим приходится решать такую задачу: зная численности данного множества и некоторой его части, найти численность множества-остатка. Задача решается действием вычитания.
      Если из 125 вычесть 14, то остаток равен числу 111. Это записывается, как известно, таким образом:
      125-14 = 111.
      Знак вычитания «—» (минус) введен в XV — XVI веках и обозначает «меньше» (уменьшить).
      Как называются числа при вычитании? Вычитание можно выполнить только при условии, что вычитаемое не больше уменьшаемого. Если удалить из множества все его элементы, то в остатке получится пустое множество: 125 — 125 = 0. Или, в общем виде, а — а = 0.
      Задача, которую решаем вычитанием, показывает, что вычитание есть действие, обратное сложению. В самом деле, если сложить остаток (разность) и вычитаемое, то получится уменьшаемое. В нашем примере:
      111 + 14 = 125.
      Уменьшаемое 125 теперь есть сумма. Остаток 111 и вычитаемое 14 теперь — слагаемые. Таким образом, при вычитании мы находим одно из слагаемых, зная сумму двух слагаемых и другое слагаемое. Это первая основная задача, решаемая вычитанием.
      Например, чему равно одно из слагаемых, если другое слагаемое 561 и их сумма 1 243?
      Обозначим неизвестное слагаемое буквой х и запишем условие задачи следующим равенством:
      561 + х = 1 243.
      Из него ясно видно, что следует найти одно из слагаемых по сумме и другому слагаемому.
      х = 1 243-561 = 682.
      Действием вычитания можно решать и другую задачу.
      Даны числа 75 и 121. Второе содержит больше единиц, чем первое. На сколько больше оно содержит единиц по сравнению с первым числом?
      Чтобы решить задачу, нужно из 121 вычесть 75:
      121-75 = 46.
      Одновременно можно сказать, что 75 меньше 121 на 46. Мы решили вторую задачу на вычитание: узнать, на сколько одно число больше или меньше другого.
      Наконец, вычитанием решается и еще одна задача: уменьшить число на несколько единиц. Например, чтобы уменьшить 420 на 48, нужно выполнить вычитание:
      420-48 = 372.
      Таким образом, вычитанием решаются три основные задачи.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
      При решении выделить виды основных задач, решаемых вычитанием. Вычисление разности проверить на счетах.
     
      57. 1) Площадь Азии 41839 000 кв. км,
      площадь Африки на 11998 000 кв. км меньше, площадь Антарктиды меньше площади Африки на 15841000 кв. км, а площадь Европы на 2 391000 кв. км меньше площади Антарктиды. Найти площади Африки, Антарктиды и Европы.
      2) В Мировом океане Филиппинская впадина имеет глубину 10 540 м, а у Марианских островов имеется глубина в 10 863 м. На сколько Марианская впадина глубже Филиппинской?
     
      58. 1) Население СССР в 1959 г. составляло 208 826 тыс. человек. В городах проживало 99 782 тыс. человек. Сколько человек проживало в сельской местности и на сколько человек на селе было больше, чем в городах?
      2) В питомнике на площади 2 га 76 о 50 кв. м посадили смородину, малину и крыжовник. Под смородину заняли 84 а 60 кв. м, под малину 1 га 32 а 70 кв. м. На какой площади был посажен крыжовник?
     
      59. 1) Станок весил 2 т 224 кг. Одна из его частей была облегчена на 142 кг, другая на 96 кг. Сколько весит станок облегченного типа?
      2) В Ленинграде 22 декабря солнце восходит в 9 час. 2 мин. и заходит в 14 час. 56 мин., а 22 июня оно восходит в 2 часа 37 мин. и заходит в 21 час. 27 мин. Какова продолжительность самого длинного и самого короткого дней в Ленинграде и на сколько один короче другого?
     
      60. 1) Какое число нужно добавить к 50 899, чтобы получить 80 000?
      2) Найти х, если а) х + 546 = 621;
      б) 5 894 + х = 6 282.
      3) К какому числу нужно добавить 37 528, чтобы их сумма составила 87 316?
     
      1. Техника вычитания.
      Легко вычесть однозначное число из однозначного: отсчитываем последовательно от уменьшаемого все единицы вычитаемого.
      Рассмотрим вычитание однозначного числа из двузначного. Например, из 12 вычтем 7: 12 — 7 = 5. Как найти остаток 5? Можно и в этом случае от 12 отсчитывать последовательно по 1 семь раз. Можно сделать иначе. В уменьшаемом в разряде единиц имеется 2. Вычтя 2 единицы, следует еще из оставшегося десятка вычесть 5. Следовательно, окончательно останется 5. Можно выполнить вычитание и еще одним способом. Поставим вопрос: сколько единиц нужно добавить к вычитаемому 7, чтобы получить 10? Нужно добавить 3. Значит, если из 10 вычесть 7, то остаток будет равен 3. Да еще в уменьшаемом имеется 2 единицы в первом разряде. Следовательно, искомая разность составит 5.
      Вычитание многозначных чисел сводится к вычитанию однозначного числа из двузначного второго десятка. Пусть требуется вычислить разность: 5 731 — 2 984. Подписываем поразрядно вычитаемое под уменьшаемым и так же, как при сложении, делаем прикидку для разности. Округлив уменьшаемое и вычитаемое до тысяч, найдем, что разность приближенно равна 3 000. Вычислим точное значение разности.
      Начинаем вычитание с разряда единиц. Занимаем в уменьшаемом один десяток и из 11 единиц вычитаем 4. Получим 7 — первый разряд
      2 747 искомой разности. Переходим к вычитанию десятков. Из 2 вычесть 8 нельзя. Занимаем в уменьшаемом сотню. Получим 12 десятков и, вычитая 8, получим 4; это второй разряд — число десятков искомой разности. Продолжая так же вычитание в других разрядах, найдем искомую разность 2 747. Чтобы не забыть учесть занятые единицы в разрядах уменьшаемого, можно над ними ставить точки. Но это не обязательно.
     
      2. Вычитание на счетах.
      Вычитание на счетах производится со старших разрядов. Отложив на счетах уменьшаемое 5 731, вычитаем непосредственно из 5 тысяч 2 тысячи, сбрасывая 2 косточки в разряде тысяч. В разряде сотен только 7 косточек, а надо сбросить 9 косточек. В этом случае сбрасываем одну косточку в разряде тысяч. Это значит, мы вычли 10 сотен. Нам нужно было вычесть только 9 сотен; мы вычли одну лишнюю сотню. Эту лишнюю сотню добавляем в разряде сотен, прибавив одну косточку к 7. В разряде сотен стало 8 косточек. В разряде десятков повторяется то же самое: имея 3 косточки, нельзя вычесть 8. Сбросим 1 косточку в разряде сотен. Это значит мы вычли 10 десятков, т. е. вычли 2 лишних десятка; их прибавим в разряде десятков. Получим в разряде десятков 5 косточек. Наконец, сбросим 1 косточку в разряде десятков; мы вычли 10 единиц, вместо 4, т. е. вычли лишних 6 единиц; эти 6 единиц прибавим к уменьшаемому в разряде единиц. В разряде единиц получится 1 + 6 = 7 косточек. Всего получится 2 747. Посмотрите, как кассир в магазине считает, выдавая сдачу.
     
      3. Проверка вычитания.
      Первый способ проверки правильности вычисленной разности вытекает из определения вычитания: если к разности прибавим вычитаемое и получим уменьшаемое, то можно считать, что вычитание выполнено правильно. Таким образом, вычитание можно проверить сложением. Проверим правильность вычитания сложением в предыдущем примере, выполнив сложение на счетах.
      Вычитание можно проверить вычитанием. Для этого нужно из уменьшаемого вычесть разность; если в результате получится вычитаемое, то можно считать вычитание выполненным правильно. Проверьте тот же пример на счетах, выполняя вычитание разности из уменьшаемого.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
     
      61. Выполнить вычитание. Проверить, правильно ли вычислена разность. Каждый пример решить письменно и на счетах:
      1) из 62 019 вычесть 50 053;
      3) из 80 401 вычесть 69 884;
      5) 100 100-89 476;
      7) 700 104-617 080;
      2) из 37 867 вычесть 14 974;
      4) из 1 071 123 вычесть 302 759;
      6) 220 140 521-7 809 069;
      8) 5 001 274-1 257 358.
     
      62. 1) На сколько сумма 53 067 + 72 459 + 5 040 больше суммы 46 054 + 70 601?
      2) На сколько сумма 441 077 + 15 924 больше разности слагаемых этой суммы?
     
      63. 1) В магазине было 13 780 м ситца и 2 480 м полотна. Ситца продали 12 345 м, а полотна 876 дг. Чего осталось больше и на сколько метров?
      2) По переписи 1926 г. городское население СССР составляло 26 316 400 человек, сельское — 120 711 500. На 1 января 1933 г. городское население возросло до 39 789 200 человек, а сельское — до 126 009 200. В городе или в селе прирост населения больше и на сколько человек?
     
      64. 1) На чашке весов лежит дыня и гири весом 1 кг 150 г. На другой чашке лежит гиря 5 кг. Сколько весит дыня?
      2) Кассир получил 3 рубля и выдал чек на сумму 2 руб. 37 коп. Сколько он должен дать сдачи?
     
      4. Сложение и вычитание совместно.
      Рассмотрим задачу. Отряд туристов вышел в поход на расстояние 25 км. До первого привала туристы прошли 10 км, до второго — 8 км. Сколько километров им осталось пройти после второго привала?
      Чтобы дать ответ на вопрос задачи, нужно последовательно из 25 вычесть 10 км и еще 8 км. Но можно поступить иначе; сначала сложить 10 и 8 и сумму вычесть из 25. В первом случае решение можно записать так: 25 — 10 — 8 = 7. Во втором случае решение запишется так: 25-(10 + 8) = 7. Чтобы показать, что вычитаем сумму двух чисел, заключаем эту сумму в скобки. Скобки показывают, что сначала нужно выполнить сложение, а потом полученную сумму вычесть из 25. Сложение и вычитание выполняются в порядке их следования: слева направо. Если же порядок выполнения действий сложения и вычитания другой, то ставятся скобки. В этом случае, как правило, сначала выполняются действия в скобках.
      Сложение и вычитание называются действиями первой ступени.
     
      65. Выполнить указанные действия, проверив правильность вычислений на счетах:
      1) 103 451 721-(98 501 000-49 687 532);
      2) 205 807-(87 000-49 652)-50 000-8 657;
      3) 1 480 + 520 + (2 871-1 983)-(1 000-897);
      4) 9 000 000-3 897 631-1 000 000-(809 700-570 442).
     
      66. Вычесть суммы наиболее простым способом:
      1) 1 037-(425 + 389); 2) 17 037-(6 584 + 9 037);
      3) 53 884-(8 307 + 9 816 + 16 284);
      4) 20 376-(6 005 + 7 047 + 5 176).
     
      67. Найти неизвестное число
      1) 100 000 — х = 25 609;
      2) 15 036-х = 7 204;
      3) а:-9 987 768 = 25 631;
      4) х-758 951 = 446 728;
      5) 75 883-(31 200 + х) = 909;
      6) (5 316-х)-3 871 = 419.
     
      68. 1) Проверить правильность равенств:
      а) 2 187-(935 + 478) = 1 974-(583 + 617);
      б) 932-454-381 = 491 + 217-611.
      2) Проверить правильность неравенств:
      а) 45 + 761 < 54 + 800; б) 615-241 > 142 + 49;
      в) 542-137 < 658-438.
     
      69. 1) Два поезда выходят одновременно навстречу один другому из пунктов А и В. Скорость поезда из А равна 60 км в час, а из В — 70 км в час. На какое расстояние каждый час сближаются поезда?
      2) Два поезда вышли одновременно из пункта А в пункт В. Один поезд идет со скоростью 130 км в час, а другой — со скоростью 90 км в час. Каково будет расстояние между поездами через час после выхода из А?
     
      70. 1) Собака гонится за зайцем. Скорость зайца — 12 м в секунду, а скорость собаки — 15 м в секунду. На сколько метров в секунду собака приближается к зайцу?
      2) По реке, скорость течения которой 5 км в час, плывет плот. Катер, скорость которого 25 км в час, догнал плот. На какое расстояние каждый час плот будет отставать от катера?
      1) Составьте задачу, в которой требовалось бы уменьшить число на несколько единиц.
      2) Составьте задачу, в которой требовалось бы узнать, на сколько одно число больше другого.
      3) Что больше: 456 713 — (60 874 + 208 115) или 520 611-(471 020-— 107 934) и на сколько?
      4) Если к задуманному числу прибавить 504 и сумму уменьшить на 297, то получится 311. Какое число задумано?
      5) Как более просто сделать вычисления в примерах:
      а) 1 076-(541 + 276); б) 24 311-9 850-10 611?
     
     
      § 4. УМНОЖЕНИЕ. ЗАКОНЫ УМНОЖЕНИЯ.
     
      Очень часто приходится рассматривать объединение нескольких равночисленных множеств в одно. Численность полученного множества можно найти действием сложения. Но в математике в этом случае вводится особое действие, чтобы решить задачу быстрей, более просто.
      Рассмотрим задачу: «Завод каждый день выпускает по 24 машины. Сколько машин выпустит завод за неделю?»
      Для решения задачи нужно найти сумму шести одинаковых слагаемых: 24 + 24 + 24 + 24 + 24 + 24 = 144. Чтобы упростить решение подобных задач, введено особое действие — умножение.
     
      Умножением называется сложение одинаковых слагаемых.
     
      При умножении каждое из слагаемых называется множимым, число слагаемых — множителем, а сумма называется произведением. Для обозначения действия умножения пользуются следующими обозначениями: «X» или «·». Первый знак введен в Англии в XVII веке; в настоящее время чаще применяют точку, которая как знак для умножения была введена также в XVII веке. Рассмотренную задачу можно записать так: 24-6 = 144. Множимое и множитель часто называют сомножителями.
     
      1. Основные задачи на умножение. Первая основная задача, решаемая умножением, вытекает из определения этого действия: найти сумму двух или нескольких одинаковых слагаемых. Такие задачи приходится решать часто.
      Вторая основная задача, решаемая действием умножения, также вытекает из определения этого действия: увеличить число в несколько раз. Действительно, когда находится сумма равных слагаемых, то ищется число, содержащее во столько
      раз больше число единиц, чем в слагаемом, сколько имеется равных слагаемых. Так 144 содержит в 6 раз больше единиц, чем число 24.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
      Решите задачи; какую основную задачу на умножение представляет каждая из них.
     
      71. 1) Заменить сложение умножением: а) 7 + 74-7 + 7;
      б)4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.
      2) Заменить умножение сложением: а) 5·3; б) 9·6; в) 5·4.
     
      72. 1) Пульс здорового человека делает приблизительно 75 ударов в минуту. Сколько ударов сделает пульс за час? за сутки? за год?
      2) Наблюдатель заметил, что через 14 сек., после того как блеснула молния, послышался удар грома. На каком расстоянии от наблюдателя происходила гроза, если скорость звука 330 м в секунду?
     
      73. 1) Турист прошел 24 км. Сколько километров проехал бы за то же время верховой, если бы за каждый час он проезжал расстояние в 3 раза большее, чем проходил турист?
      2) Одна сова уничтожает за лето до 1 000 полевых мышей — вредителей полей. Сколько зерна за лето сохранят 4 совы, если одна полевая мышь за лето уничтожает 1 кг зерна?
     
      Задача. Сумма двух чисел равна 352. Одно из них оканчивается нулем. Если нуль зачеркнуть, то получится другое число. Найти эти числа.
      Прежде чем решать задачу, приведите пример таких двух чисел, о которых говорится в условии. Постараемся определить, во сколько раз одно из искомых чисел больше другого? Возьмем произвольное число, например 12. Припишем к нему справа нуль. Получим 120. Оно больше 12 в 10 раз. Обратно, если в записи числа 120 зачеркнуть нуль, то какое число будет записано оставшимися цифрами? Во сколько раз уменьшилось число? Условие данной задачи можно теперь изложить следующим образом: «Сумма двух натуральных чисел 352. Одно нз них в 10 раз больше другого. Найти эти числа».
      Если бы числа были равны, то задача решалась бы просто, так как было бы одно неизвестное число. В данной задаче числа не равны, и поэтому нужно найти два неизвестных числа. Будем эту задачу заменять другой, в которой было бы только одно неизвестное число. Два неизвестных числа вместе содержат 352 единицы. Примем за единицу счета меньшее из неизвестных чисел. Сколько таких единиц составит теперь большее неизвестное число? Оно в 10 раз больше меньшего и поэтому оно составит 10 таких же единиц, так как 1·10 = 10. Сколько единиц составят теперь оба числа вместе? 1 + 10 = 11. Но на эти 11 единиц счета приходится число 352. Таким образом, можно узнать, сколько единиц приходится на одну единицу счета: 352:11 = 32. Но за единицу счета мы приняли меньшее неизвестное число. Следовательно, меньшее неизвестное число равно 32. Большее неизвестное число составит 32·10 = 320. Большее число можно найти вычитанием: 352 — 32 = 320.
      Ответ. Одно число 32, другое — 320.
     
      Рассмотрим еще задачу: «Теплоход «Метеор» и катер проходят вместе 100 км в час. «Метеор» проходит в час расстояние в 3 раза большее, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них?»
      Для решения задачи нужно найти два неизвестных различных числа. Примем меньшее из них — расстояние, проходимое в час катером, за единицу счета. Тогда «Метеор» пройдет за час расстояние, равное трем таким единицам: 1-3 = 3. Теперь на 100 км приходится 1 + 3 = 4 таких единицы счета. Поэтому можно узнать, сколько приходится на каждую единицу счета: 100:4 = 25. Так как за единицу счета была принята скорость катера, то, значит, скорость катера составляет 25 км в час, а «Метеор» проходит в час 25-3 = 75 (км). Можно было скорость «Метеора» найти иначе: 100 — 25 = 75.
     
      УПРАЖНЕНИЯ.
      Решить следующие задачи:
     
      74. 1) В двух пачках 600 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если в одной в 5 раз больше, чем в другой?
      2) На трех полках расположены книги так, что на 2-й полке книг вдвое больше, чем на 1-й, а на 3-й втрое больше, чем на
      2-й. Сколько книг лежит на каждой полке, если на всех вместе имеется 342 книги?
     
      75. 1) Картина с рамой стоит 19 руб. 80 коп., причем картина дороже рамы в 10 раз. Сколько стоит картина и сколько стоит рама?
      2) Стакан с подстаканником стоят 2 руб. 52 коп., причем стакан в б раз дешевле подстаканника. Сколько стоит стакан и сколько подстаканник?
     
      76. 1) Сумма двух чисел 144. Одно из слагаемых в 7 раз больше другого. Найти каждое слагаемое.
      2) Сумма двух чисел равна 729. Первое слагаемое в 8 раз меньше второго. Чему равно каждое?
     
      77. 1) Уменьшаемое в 4 раза больше вычитаемого, а разность равна 738. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
      2) Вычитаемое в 6 раз меньше уменьшаемого. Разность их равна 10 385. Найти уменьшаемое и вычитаемое.
     
      2. Особые случаи умножения.
      Чему равно произведение натурального числа на 1? При решении предыдущих задач мы видели, что при умножении на 1 множимое не изменяется. Нужно иметь в виду, что, умножая число на 1, например 18·1, нельзя 18 повторить слагаемым один раз: такая задача смысла не имеет. В этом случае принимается 18·1 = 18.
      Любое натуральное число а умноженное на 1, в произведении дает, само число а:
      а·1 = а.
      Остается еще рассмотреть умножение натурального числа на нуль, например 5·0. 5 нельзя взять слагаемым нуль раз: вопрос смысла не имеет. В этом случае произведение считается равным нулю: 5-0 = 0. Так же считается и 0-0 = 0. С этими особыми случаями вы встречались при умножении многозначных чисел. Теперь можно отметить, что действие умножения, как и действие сложения, всегда выполнимо.
     
      3. Законы умножения.
      Действие умножения обладает теми же законами, что и сложение. Легко можно убедиться в справедливости переместительного закона умножения. Например, можно проверить, что 45·12 = 12·45. Действительно,
      45·12 = 45 + 45 + 45 + ... + 45 = 540.
      12 слагаемых
      45 единиц содержатся в каждом слагаемом, а этих слагаемых 12. Но
      12·45 = 12 + 12 + 12 + 12 + ... + 12 = 540;
      45 слагаемых
      теперь каждое слагаемое содержит 12 единиц, но число слагаемых 45. Общее число единиц— одно и то же: 540. Таким образом, для любых натуральных и целых чисел а и b справедливо равенство:
      а·b = b·а.
      От перемены мест сомножителей произведение не изменяется.