Николай Александрович Рыбкин

Сборник задач по геометрии

Часть 2. Стереометрия для 9-10 классов

*** 1936 ***

Альбом стереочертежей ЗДЕСЬ

DjVu

От нас: 500 радиоспектаклей (и учебники)
на SD‑карте 64(128)GB — ГДЕ?..

Baшa помощь проекту:
занести копеечку — КУДА?..

ПРИБЛИЗИТЕЛЬНО РАСПОЗНАННЫЕ ФРАГМЕНТЫ УЧЕБНИКА       2) Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды Q и боковая поверхность S. Определить объём (Q = 12; 5 = 24).       б. 1) (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Ь. Найти объём пирамиды.       2) Определить объём правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна а, боковые же рёбра взаимно перпендикулярны.       6. По ребру а правильного тетраэдра определить его поверхность и объём.       7. По ребру а правильного октаэдра определить его поверхность и объём.       8. Соединив последовательно середины рёбер правильного тетраэдра прямыми, получим рёбра правильного октаэдра. Ребро тетраэдра а. Найти объем октаэдра и сравнить его с объёмом тетраэдра.       9. 1) Центры граней куба служат вершинами правильного октаэдра. Найти отношение объёмов куба и октаэдра.       2) Центры граней правильного октаэдра служат вершинами куба. Найти отношение объёмов октаэдра и куба.       10. 1) Сторона основания правильной треугольной пирамиды а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45°. Определить объём пирамиды.       2) Высота правильной треугольной пирамиды h, а боковая грань образует с плоскостью основания угол в 60°. Определить объём пирамиды.       11. 1) Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды а, а двугранный угол при основании равен 45°. Определить объём пирамиды.       2) В данной правильной шестиугольной пирамиде, имеющей объём V, боковое ребро вдвое более стороны основания. Определить сторону основания и угол бокового ребра с плоскостью основания.       12. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 9 л и 12 л; каждое из боковых рёбер равно 12,5 м. Найти объем пирамиды.       13. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами в 6 см и 15 см, высота проходит через точку пересечения диагоналей основания, и боковая поверхность равна 126 см2. Определить объём этой пирамиды.       14. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 6 см, а третья сторона 8 см. Боковые рёбра равны между собой, и каждое содержит 9 см. Определить объём этой пирамиды.       15. Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен 60°, а площадь равна Q; боковые рёбра образуют с плоскостью основания углы в 45°. Определить объём этой пирамиды.       16. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 39 см, 17 сл и 28 см; боковые рёбра равны каждое 22,9 см. Определить объём этой пирамиды.       17. 1) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 39 см, а третья сторона 30 см. Двугранные углы при основании равны между собой, и каждый содержит 45°. Определить объем этой пирамиды.       2) Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого равные стороны содержат по 7 см, а третья сторона 6 см; вершина пирамиды удалена от всех сторон основания на одинаковое расстояние, которое относится к высоте пирамиды, как 5: 4. Определить объём этой пирамиды.       18. В данной треугольной пирамиде двугранные углы при основании равны между собой; стороны основания: 7 см, 8 см и 9 см; объём пирамиды 40 см2. Определить её боковую поверхность.       19. Ромб со стороной в 15 см служит основанием пирамиды, каждая грань которой наклонена к основанию под углом в 45°. S6oK — 3 дм2. Найти объём пирамиды.       20. (Устно.) Боковые рёбра треугольной пирамиды а, Ъ и с взаимно перпендикулярны. Найти объём пирамиды.       21. 1) Две взаимно перпендикулярные грани треугольной пирамиды — равносторонние треугольники со стороной в 4 см. Найти объем пирамиды.       2) Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, площади их равны 6 м2, 4 ж2 и 3 м2. Найти объемы пирамиды.       22. Одно ребро треугольной пирамиды равно 4; каждое из остальных равно 3. Найти объём пирамиды.       23. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC, в котором АВ = \Ъсм, ВС — 27 см и АС = 18 см. Грани 5ЛБи5ЛС перпендикулярны к плоскости ABC, а грань SBC составляет с ней угол в 45°. Определить объём пирамиды и площадь грани BSC.       24. Основание пирамиды — прямоугольник, площадь которого равна 1 ж2, две боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углами в 30° и 60°. Найти объем.       25. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, у-ч которой параллельные стороны равны 3 см и 5 см, а боковая сторона 7 см. Высота пирамиды проходит через точку       пересечения диагоналей основания, и большее боковое ребро равно 10 см. Определим объём этой пирамиды.       26. В треугольной пирамиде одна из сторон основания равна 16 см; противоположное ей боковое ребро 18 см; каждое из четырёх остальных рёбер равно 17 см. Определить объём этой пирамиды.       27. (Устно). 1) Какую часть объёма пирамиды отсекает среднее сечение?       2) Высота пирамиды h. На каком расстоянии от вершины пирамиды находится сечение, параллельное основанию и делящее её объём пополам?       28. Плоскостями, параллельными основанию пирамиды, её высота разделена на пять равных частей. В каком отношении разделился объём пирамиды?       29. Пирамида разделена на три равновеликие части плоскостями, параллельными основанию. В каком отношении разделилась высота?       30. Площадь сечения, параллельного основанию пирамиды, составляет 0,36 её основания. В каком отношении сечение делит объём пирамиды?       31. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами нового правильного тетраэдра. Найти отношение их поверхностей я объёмов.       32. (Устно). Высота конуса 3, образующая 5. Найти объём.       33. 122-миллиметровая бомба даёт при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной в 1,5 я. Какое количество земли (по весу) выбрасывает эта бомба? 1 м3 земли весит 1650 кг.       34. Куча щебня имеет коническую форму, радиус основания которой 2 м и образующая 3,5 м. Сколько надо возов, чтобы перевезти щебень, уложенный в десяти таких кучах? 1 м3 щебня весит 3 т. На один воз грузят 0,5 т.       35. Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причём цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Удельный вес сена 0,03. Определить вес стога.       36. Жидкость, налитая в конический сосуд, имеющий 0,18 я высоты и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 0,10 м. Как высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?       37. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник; площадь его 9 м2. Найти объём конуса.       38. Площадь основания конуса 9 тс см2; полная поверхность его 24 тс см2. Найти объём конуса.       39. Высота и образующая конуса относятся, как 4:5, а объём конуса 96 тс смл. Найти его полную поверхность.       40. Длина образующей конуса равна I, а длина окружности основания С. Определить объём.       41. Определить объём конуса по данной площади Q основания и боковой поверхности S.       42. Высота конуса равна 15 м, а объём равен 320 тс ма. Определить полную поверхность.       43. Высота конуса равна 6 см, а боковая поверхность 24 тс см2. Определить объём конуса.       44. Образующая конуса равна I и составляет с плоскостью основания угол в 30°. Определить объём конуса.       45. Объём конуса V. Высота его разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основанию. Найти объём средней части.       46. 1) Как относятся объёмы равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их полные поверхности равновелики?       2) Как относятся полные поверхности равностороннего конуса и равностороннего цилиндра, если их объёмы равны?       47. 1) Объём конуса V, а радиус основания равен R. Чему равна площадь осевого сечения конуса?       2) В конусе площадь основания равна Q и площадь осевого сечения М. Определить объём и боковую поверхность.       48. На одном основании построены конус и равновеликий ему цилиндр. Параллельно основанию проведена плоскость через середину высоты цилиндра. Как относятся площади полученных сечений конуса и цилиндра?       49. Из жести вырезан сектор радиуса в 20 см с центральным углом в 250а и свёрнут в конус. Найти объём конуса.       50. По радиусу R основания конуса определить радиус сечения, параллельного основанию, делящего пополам объём конуса.       51. Определить объём и боковую поверхность конуса, вписанного в правильный тетраэдр с ребром а.       52. Равносторонний треугольник вращается вокруг своей стороны а. Найти поверхность и объём тела вращения.       53. Основание треугольника Ь, высота его А. Найти объём тела, полученного при вращении его вокруг основания.       54. Прямоугольный треугольник с катетами а и А вращается около гипотенузы. Определить объём и поверхность полученного тела.       Конус как тело вращения.       56. 1) Определить объем и поверхность тела, образуемого вращением равнобедренного треугольника вокруг боковой стороны, если основание равно 30 см, а боковая сторона 25 см.       2) Равнобедренный треугольник с углом при вершине в 120° и боковой стороной а вращается вокруг боковой стороны. Определить объём и поверхность тела вращения.       56. 1) Треугольник со сторонами в 10 см, 17 см и 21 см вращается вокруг большей стороны. Определить объем и поверхность полученного тела.       2) Такой же вопрос для треугольника со сторонами: 6 см, 25 см и 29 см, вращаемого вокруг меньшей стороны.       57. Треугольник с углом в 60°, заключённым между сторонами 8 см и 15 см, вращается вокруг большей из этих сторон. Определить объём и поверхность тела вращения.       58. Полуокружность с диаметром АВ делится точкой М в отношении 1 : 2. Определить объём и поверхность тела, образуемого вращением треугольника АВМ вокруг оси АВ, если меньшая сторона треугольника равна а.       58. 1) Если треугольник ABC вращается вокруг стороны       4 О2       ВС = а, то объём полученного тела Va — -g- — > где Q — площадь треугольника Доказать       2) Объёмы тел, образуемых вращением какого-нибудь треугольника последовательно вокруг каждой стороны, обратно пропорциональны этим сторонам. Доказать.             § 18. Объем усечённой пирамиды и усечённого конуса.       1. 1) Сколько литров воды вмещает яма, вырытая в виде усечённой пирамиды, если глубина ямы 1,5 м, сторона нижнего квадратного основания 0,8 м, а верхнего 1,2 м?       2) Яма, имеющая вид правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, вмещает 349 гл воды. Найти ее глубину, зная, что сторона нижнего основания её равна 1,4 м, а верхнего 2,3 м.       2. Гранитная подставка имеет вид усечённой пирамиды высотой в 3,6 лг с квадратными основаниями. Стороны оснований: а — 2,8 м и Ь — 2м Найти вес подставки. (Удельный вес гранита 2,5.)       3. Боковое ребро правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равно 3 м, стороны оснований 5 м и 1 м. Найти ©бъём.       4. Площади оснований усечённой пирамиды равны 245 м2 и 80 м2, а высота полной пирамиды равна 35 м. Определить рбъём усечённой пирамиды.       б. 1) Высота усечённой пирамиды равна 1г5 м, ее объём 475 л*3; площади оснований относятся, как 4 :9. Определить эти площади.       2) В правильной четырехугольной усечённой пирамиде объём равен 430 м3, высота равна 10 м и сторона одного основания 8 м. Определить сторону другого основания.       6. 1) В усеченной пирамиде объём равен 76 м3, высота 6 м и площадь одного из оснований равна 18 м. Определить площадь другого основания.       2) В усечённой пирамиде разность площадей оснований равна 6 см2, высота усечённой пирамиды 9 см и её объём 42 см3. Определить площади оснований       7. Объём усечённой пирамиды равен 1720 м3, её высота 20 м сходственные стороны двух оснований относятся, как б . 8. Определить площади оснований       8. В треугольной усечённой пирамиде высота 10 м, стороны одного основания: 27 м, 29 м и 52 м\ периметр другого основания равен 72 м. Определить объём усечённой пирамиды.       9. По боковому ребру I и сторонам оснований а и b определить объём правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольчой; 3) шестиугольной.       10. 1) В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде апофема и стороны оснований относятся, как 5:8:2, а объём 1 м3. Определить ее полную поверхность.       2) Определить объём правильной треугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований 30 м и 20 м, а боковая поверхность равновелика сумме оснований.       11. Определить объем правильной четырехугольной усечённой нирамиды, если её диагональ равна 9 см, а стороны оснований 7 см и 5 см.       12. Определить объём правильной шестиугольной усечённой пирамиды, если стороны её оснований а и Ь, а боковое ребро составляет с плоскостью нижнего основания угол в 30°.       13. Правильная четырёхугольная усечённая пирамида разделена на три части двумя плоскостями, проведёнными через две противоположные стороны меньшего основания перпендикулярно к плоскости большего основания. Определить объём каждой части, если в усечённой пирамиде высота равна 4 см, а стороны оснований 2 см и 5 см Сделать чертёж.       14. В треугольной усечённой пирамиде через сторону меньшего основания проведена плоскость параллельно противолежащему боковому ребру. В каком отношении разделился объём усечённой пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся, как 1:2?       16. Правильная четырёхугольная усечённая пирамида срезана с двух противоположных боков двумя плоскостями, проведёнными через концы диагонали верхнего основания перпендикулярно к этой диагонали. Определить объём оставшейся части усечённой пирамиды, если её высота А, а стороны оснований а и Ь.       16. Из правильной четырёхугольной усечённой пирамиды вырезана часть её в виде двух пирамид, имеющих общую вершину в точке пересечения её диагоналей, а основаниями — её основания. Определить объём оставшейся части усечённой пирамиды, если её высота А, а стороны оснований а и Ь.       17. Через точку пересечения диагоналей правильной четырёхугольной усечённой пирамиды проведена параллельно основаниям плоскость. Стороны оснований бди 3 м, высота пирамиды 9 м. Найти диагональ сечения и объём каждой части пирамиды.       18. Даны площади Q и q оснований усечённой пирамиды и её высота Л. Определить объём полной пирамиды и объём отсечённой верхней части.       19. Площади оснований усечённой пирамиды Q и д, а её объём V. Определить объём полной пирамиды.       20. В усечённой пирамиде сходственные стороны двух оснований относятся, как т: п. В каком отношении делится её объём средним сечением? (т: tt — 5 : 2.)       21. Отрезок ствола сосны длиной 15,5 м имеет следующие диаметры своих концов: dx = 42 см и d2 = 25 см. Определить процент       ошибки, которую мы делаем, вычисляя объём сосиы умножением площади среднего поперечного сечения ствола на его длину.       22. Сосуд имеет форму и размеры (в метрах), показанные на чертеже 34. Найти ёмкость сосуда.       23. Размеры (в сантиметрах) и форма бидона даны на чертеже 35. Найти вместимость бидона в литрах (а = 45°).       24. Радиусы оснований усечённого конуса R и г. образующая наклонена к основанию под углом в 45°. Найти объём.       25. Высота усечённого конуса равна 3. Радиус одного основания вдвое больше другого, а образующая наклонена к основанию под углом в 45°. Найти объём.       26. Радиус одного основания усечённого конуса вдвое больше другого; боковая поверхность равна сумме площадей оснований; площадь осевого сечения равна 36 м2. Найти объём.       27. 1) Объём усечённого конуса равен 584 тс см3, а радиусы оснований 10 см и 7 см. Определить высоту.       2) В усечённом конусе радиусы оснований и образующая относятся, как 4:11:25, объём равен 181 те л*3. Определить радиусы оснований и образующую.       3) Объём усечённого конуса равен 248 тс см3, его высота 8 см, радиус одного из оснований 4 см. Определить радиус второго основания.       28. Усечённый конус, у которого радиусы оснований 3 см и 5 см, и полный конус такой же высоты равновелики. Чему равен радиус основания полного конуса?       29. Объём усечённого конуса равен 52 см3\ площадь одного основания в 9 раз более площади другого. Усечённый конус достроен до полного. Найти объём полного конуса.       30. 1) Равнобедренная трапеция с параллельными сторонами в 7 см ш 17 см и площадью 144 см2 вращается около средней высоты. Определить объём полученного тела. Черт. 35.       2) АВ — диаметр полукруга; ACDB — вписанная трапеция, причём САВ = 60°. Эта трапеция вращается вокруг радиуса, перпендикулярного к АВ. Определить объём тела вращения, если радиус равен R.       31. Площадь осевого сечения усечённого конуса равна разности площадей оснований, а радиусы оснований R и г. Определить его объём.       32. Высота усечённого конуса равна 12 см, площадь среднего параллельного сечения равна 225 те см2 и объём 2800 те см3. Определить радиусы оснований.       33. Образующая усечённого конуса равна 17 см, площадь осевого сечения 420 см2 и площадь среднего сечения равна 196 тс см2. Определить его объём и боковую поверхность.       34. 1) На меньшем основании усечённого конуса построен цилиндр, второе основание которого лежит в плоскости-большего основания конуса. Объём полученного цилиндра составляет       седьмую часть объёма усечённого конуса. Найти зависимость между радиусами оснований усечённого конуса.       2) Найти зависимость между радиусами оснований усечённого конуса, если его объём разделился пополам конической поверхностью, вершина которой лежит в центре верхнего основания и основанием которой служит нижнее основание усечённого конуса.       36. Усечённый конус, у которого радиусы оснований 4 см и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр такой же высоты. Определить радиус основания этого цилиндра.       36. В усечённом конусе высота равна 18 см, а радиусы оснований 5 см и 11 см. Высота разделена на три равные части двумя плоскостями, параллельными основаниям. Определить объём полученных частей усечённого конуса.       37. Радиус одного основания усечённого конуса вчетверо больше радиуса другого. Высота разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости параллельно основаниям. В каком отношении разделился объём?       38. По данным радиусам оснований R и г определить отношение объёма усечённого конуса к объёму полного конуса.       39. Деревянный усечённый конус (удельный вес 0,58), высота которого Л = 48 см и диаметры оснований Dx == 44 см и D2 = 32 см, просверлён цилиндрически вдоль оси. Оси цилиндра и конуса совпадают. Диаметр цилиндра d — \Q см. Просверлённая часть заполнена железом (удельный вес 7,5). Найти удельный вес образовавшегося таким образом тела.       40. В усечённом конусе радиусы оснований R и г и высота h. Из него вырезаны два конуса, у которых основаниями служат основания данного усечённого, а образующие одного служат продолжениями образующих другого. Определить объём оставшейся части.       § 19. Объём призматоида (клина) и усечённой призмы.       1. Проверить пригодность формулы Ньютона — Симпсона для вычисления объёма призмы, цилиндра, пирамиды, конуса, усечённой пирамиды и усечённого конуса.       2. Запруда имеет форму тела, изображённого на чертеже 36 (призматоид). Сколько тачек земли надо было привезти, чтобы       устроить её? Нижнее основание запруды имеет форму прямоугольника в 58 м длины и 4,6 м ширины, верхнее основание — прямоугольник в 50 м длины и 3,4 м ширины; высота её-равна 2,3 м тачка же вмещает 0,38 м3 земли.       Формула Ньютона-Симпсона: объём V равен       3. Куча песку насыпана в виде призматоида; нижним основанием его служит прямоугольник со сторонами а и Ь, верхним — прямоугольник со сторонами аг и А,; высота кучи А. Сколько кубических метров песку содержится в куче, если размеры даны в метрах?       4. Kvsob телеги имеет слелую-       его 0,75 м; дно плоское. Кузов наполнен доверху песком, удельный вес которого 1,9. Сколько весит песок?       б. Бетонный бык для моста имеет форму и размеры (в метрах), показанные на чертеже 37. Найти объём быка. (Каждое из оснований быка представляет собой прямоугольник, соединённый с полукругом.)       в. Найти объём клина, форма н размер которого (в санти-метраф даны на чертеже 38. (В основании лежит прямоугольник; ребро, противолежащее основанию, параллельно основанию.)       7. Найти объём клина, форма и размер которого (в сантиметрах) даны на чертеже 39. (Верхнее и нижнее основания имеют форму прямоугольных треугольников; длина их катетов указана на чертеже.)       8. Найти объём чердачного помещения, план которого представляет собой трапецию с параллельными сторонами а и с и высотой hx\ высота крыши h, конёк её Ь (черт. 40).       9. В усечённом параллелепипеде три боковых ребра по порядку имеют следующую длину: 15 см, 23 см и 18 см. Определить четвёртое боковое ребро.       10. В усечённой правильной четырёхугольной призме дано: сторона основания равна а; из боковых рёбер — два смежных       имеют длину Ь, два других длину с. Определить объём и боковую поверхность этой усечённой призмы.       11. Основанием прямой усечённой призмы служит прямоугольный треугольник ABC, в котором катет АС = 15 см и катет ВС = 20 см. Боковые рёбра ВВХ и ССХ содержат по 10 см, a j4j = 18 см. Определить объём и полную поверхность этой усечённой призмы.       12. 1) Доказать, что объём треугольной усечённой призмы равен произведению площади среднее арифметическое длинна перпендикулярного сечения трёх боковых рёбер.       2) В треугольной усечённой призме боковые рёбра: 17 см, 25 см и 30 см, а расстояния между ними: 18 см, 20 см и 34 см. Определить объём этой усечённой призмы.       13. Определить объём и боковую поверхность треугольной усечённой призмы, у которой боковые рёбра равны /, т и п и находятся на расстоянии а одно от другого.             § 20. Шар и его свойства.       1. 1) Шар, радиус которого равен 41 дм, пересечён плоскостью на расстоянии 9 дм от центра. Определить площадь сечения.       2) Через середину радиуса шара проведена перпендикулярная к нему плоскость. Как относится площадь полученного сечения к площади большого круга?       2. Радиус шара равен 63 см. Точка находится на касательной плоскости на расстоянии 16 см от точки касания. Найти её кратчайшее расстояние от поверхности шара.       3. Угол между радиусами, проведёнными к двум точкам поверхности шара, равен 60°, а кратчайшее расстояние между этими точками по поверхности шара 5 см. Определить радиус шара       4. Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плоскость под углом в 60° к нему. Найти площадь сечения.       б. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: первая — касательная к шару, вторая — под углом в 30° к первой. Найти площадь сечения.       6. 1) Радиус земного шара R. Чему равна длина окружности параллельного круга, если его широта равна 60°?       2) Город N находится на 60° северной широты. Какой путь описывает этот пункт в течение одного часа вследствие вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли принять равным 6000 км.       7. На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними: 6 см, 8 см, 10 см. Радиус шара 13 см. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.       8. Диаметр шара 25 см. На его поверхности дана точка А и окружность, все точки которой удалены (по прямой линии) от А на 15 см. Найти радиус этой окружности.       9. Радиус шара 15 м. Вне шара дана точка А на расстоянии 10 м от его поверхности. Найти длину такой окружности па поверхности шара, все точки которой отстоят от А на 20 м.       10. Полушар и вписанный в него конус имеют общее основание и общую высоту; через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Доказать, что площадь сечения, заключённая между боковой поверхностью конуса и поверхностью полушара, равна половине площади основания.       11. Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми поверхностями (полый шар). Доказать, что его сечение плоскостью, проходящей через центр, равновелико сечению, касательному к внутренней шаровой поверхности.       12. 1) Два равных шара радиуса R расположены так, что центр одного лежит на поверхности другого. Определить длину линии, по которой пересекаются их поверхности.       2) Радиусы двух шаров 25 дм и 29 дм, а расстояние между их центрами 36 дм. Определить длину линии, по которой пересекаются их поверхности.       13. Стороны треугольника: 13 см, 14 см, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара» касательного к сторонам треугольника. Радиус шара 5 см.       14. Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность касается всех сторон его. Радиус шара 10 см. Найти расстояние его центра от плоскости ромба.       15. На шар, радиус которого 5 дм, наложен ромб так, что каждая сторона его, равная 6 дм, касается шара. Расстояние плоскости ромба от центра шара 4 дм. Найти площадь ромба.       16. Через точку, лежащую на поверхности шара, проведены две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пересекают шар по кругам радиусов г1 и г2. Найти радиус R шара.       17. Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две равные окружности, пересекающиеся по хорде,- равной 2 см* Найти радиусы этих окружностей, зная, что плоскости их перпендикулярны.       18. Две касательные к шару плоскости образуют угол в 120°, обращённый к поверхности шара. Кратчайшее расстояние по поверхности шара между точками касания 70 см. Найти радиус шара.       § 21. Объём шара и его частей.       1. (Устно.) 1) Радиус шара 1 м. Найти объём шара.       2) Во сколько раз увеличится объём шара1, если радиус его увеличить в 3 раза? в 4 раза?       2. Чугунные шары регулятора весят каждый 10 кг. Найти диамётр каждого шара. Удельный вес чугуна 7,2.       3. 1) Требуется перелить в один шар два чугунных шара с диаметрами dj = 25 см и d2 — 35 см. Найти диаметр нового шара. (Угар во внимание не принимается.)       2) Радиусы трёх шаров: 3 см, 4 см и 5 см. Определить радиус шара, объём-которого равен сумме их объёмов.       4. Имеется кусок свинца весом в 1 кг. Сколько шариков диаметром в 1 см можно отлить из куека? Удельный вес свинца 11,4.       б. (Устно.) 1) Свинцовый шар, диаметр которого 20 см, переливается в шарики с диаметром, в 10 раз меньшим. Сколько таких шариков получится? Какое данное в задаче лишнее?       2) Нужно отлить свинцовый шар с диаметром в 3 см. Имеются свинцовые шарики с диаметром в 5 мм. Сколько таких шариков нужно взять?       6. Свинцовый шарик, диаметр которого равен 0,012 м, и полый стеклянный шар с диаметром в 0,160 м уравновешены на коромысле весов, т. е. в воздухе имеют равный вес. Если перенести всю эту систему под колокол воздушного насоса и выкачать из-под колокола весь воздух, то какой шар опустится и как велика будет разница в весе шаров? Прибор этот в физике называется бароскопом. Удельный вес воздуха 0,0013.       7. 1) Из деревянного цилиндра, в котором высота равна диаметру основания (равносторонний цилиндр), выточен наибольший шар. Определить, сколько процентов материала сточено?       2) Из куба выточен наибольший шар. Сколько процентов материала сточено?       8. Если радиусы трёх шаров относятся, как 1 : 2 : 3, то объём большего шара в три раза больше суммы объёмов меньших шаров. Доказать.       9. Внешний диаметр полого шара 18 см; толщина стенок 3 см. Найти объём стенок.       10. Внутренний диаметр чугунного полого шара 8 см, а внешний 10 см.       Определить вес шара. Удельный вес чугуна 7,3.       11. Объём стенок полого шара равен 876 тс см3, а толщина стенок 3 см.       Определить радиусы его поверхностей: Черт. 41.       наружной и внутренней.       12. В основание равностороннего цилиндра радиуса R вписан квадрат, и на нём построена правильная четырёхугольная пирамида с равносторонними боковыми гранями. Требуется определить радиус шара, объём которого равен сумме объёмов цилиндра и пирамиды.       13. Сосуд имеет форму опрокинутого конуса, осевое сечение которого — равносторонний треугольник. В него брошен железный шар радиуса R. В сосуд налита вода так, что поверхность воды касается погружённого в нее шара. На какой высоте будет вода, если вынуть шар?       14. Резервуар для воды состоит из полушара радиуса R и цилиндра с таким же радиусом основания (черт. 41). Какой высоты h должна быть цилиндрическая часть его, чтобы объём всего резервуара равнялся 200 л3? (Размеры даны в сантиметрах.)       15. Дан шар. Плоскость, перпендикулярная к диаметру, делит его на две части: 3 см и 9 см. На какие части делится объём шара?       16. Какую часть объёма шара составляет объём сферического сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?