Очерки о математических задачах на смекалку

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ
      Творческими усилиями математиков создана богатейшая коллекция внеучебных математических зддач на смекалку, или «математических развлечений», как их часто называют. Но этот материал все еще недостаточно используется в семье и школе для разумного заполнения досуга, для упражнений ума, воли и характера.
      Естественно, что воспитатели (педагоги, родители) не должны пройти мимо таких «неиспользованных резервов» в деле всестороннего развития личности воспи-туемого. Что же об этих «резервах» должен знать преподаватель математики дополнительно ко всему тому, чему он уже обучен? Каким должно быть его отношение к коллекции внеучебных математических задач на смекалку? Заслуживает ли этот материал творческих усилий учителя?
      В теории педагогики к творческой педагогической технике относят, в частности, организацию занимательных и полезных, интересных для учеников внеклассных занятий. Но какие занимательные занятия полезны? Каковы вообще педагогические особенности внеучебных задач типа «математические развлечения»? Как они воздействуют на математическое развитие и вообще на развитие умственной активности?
      В настоящей работе делается попытка раскрыть содержание поставленных вопросов, показать их актуальность и связь с некоторыми принципами и законами педагогической психологии, помочь учителю (как воспитателю подростков и как консультанту для родителей по вопросам воспитания) получить правильный ответ и полезные выводы.
      В соответствии с поставленной темой в книге рассматриваются виеучебные задачи той категории, которая объединяет упражнения, подчас и не имеющие прямого отношения к школьной программе, но доступные интеллекту школьника.
      Значительное место отводится краткой историографии математических задач на смекалку; дан обзор и характеристика наиболее значительных произведений, как отечественных, так и зарубежных.
      Рассмотрено несколько новых задач (показано,-в частности, применение «решетки точек» к интерпретации тождеств между биномиальными коэффициентами).
      Показано, что задачи рассматриваемой категории удовлетворяют требованиям психологии, относящимся к математическому развитию человека и воспитанию его умственной активности.
      Последний параграф посвящен конкретным примерам проявления творческой самодеятельности подростков и взрослых в решении задач на смекалку.
      Надеюсь, что учитель найдет в книге полезные сведения и материалы для творческого их применения в организации «математического досуга» учащихся, в организации родительских усилий по воспитанию подростков, а также и для проведения уроков математики.
     
      § 1. ВНЕУЧЕБНЫЕ ЗАДАЧИ И РАЗВИТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ У ПОДРОСТКОВ И ВЗРОСЛЫХ
     
      МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНИЦИАТИВА И ВНЕУЧЕБНЫЕ СРЕДСТВА ЕЕ РАЗВИТИЯ
      Существенными проявлениями ума человека, необ-хочимыми для формирования его математического мышления, являются: сообразительность, логичность, находчивость и в особенности инициативность, гибкость, критичность.
      Как элемент математического мышления инициативность выражается в желании самому постигнуть проблему, в стремлении к самостоятельным поискам способов и средств решения задач. Гибкость и критичность ума выражаются в придумывании и применении не шаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности.
      Все эти существенные элементы математического мышления подростка или взрослого в соединении с волевыми усилиями: упорством и настойчивостью, проявляемыми в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач, условимся называть в дальнейшем кратко: математическая инициатива.
      Во многих видах практической и умственной деятельности человека нужна ему математическая инициатива.
      Развитие и воспитание математической инициативы способствует возникновению у подростка пли взрослого интереса к математике и ее приложениям, поднимает на более высокую ступень общие качества ума и воли. Воспитание мате м а тической инициативы лежит в основе массового математического просвещения, являющегося в свою очередь фундаментом политехнического просвещения народа.
      Задача воспитания математической инициативы у подростка является частью общей задачи коммунистического воспитания молодежи; необходимость решения этой задачи формулируется советскими методистами как одна из воспитательных целей преподавания математики в средней школе.
      «Всемерное развитие активности и самостоятельности учащихся, обеспечиваемое осторожными, хорошо продуманными заданиями все возрастающей, но посильной для них трудности, — вот еще один принцип преподавания математики, каким должен руководствоваться учитель в своей работе»1.
      В другом методическом пособии говорится: «Естественно, задачей преподавания математики и учителя, ведущего это преподавание, является возбуждение у учащихся интереса к самостоятельным выводам, развития у них пытливости и удовлетворения от самостоятельной работы»2.
      Обучение математике — это основное, но не единственное средство развития математической инициативы у подростка.
      Активно содействуют дальнейшему математическому развитию человека и виеучебные средства, а именно:
      1. Математические кружки, олимпиады и конкурсы,
      2. Математические вечера.
      3. Научно-популярные книги.
      4. Математические очерки и отделы «В часы досуга» в журналах и газетах.
      5. Сборники математических развлечений, игр и занимательных задач (задачи на смекалку).
      6. Массовый популярный математический журнал.
      7. Стенная газета и школьный журнал.
      8. Пропаганда математических знаний в клубах и по радио.
      К сожалению, наши клубы, как правило, пренебрегают математическим просвещением.
      В данной книге обсуждается только одно из перечисленных средств: упражнения в самостоятельном решении внеучебных математических задач. При этом внеучебными задачами будем называть совокупность своеобразных математических задач дополнительных к тем, которые учащиеся обязательно решают в процессе систематического изучения математики.
     
      ДВЕ КАТЕГОРИИ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ
      Внеучебные математические задачи содержат умственные упражнения как для тех, кто увлекается математикой, так и для «недругов» математики, для тех, пт хорошо соображает, и для тех, кому нужна дополнительная помощь в развитии сообразительности.
      Как учителя, так и учащиеся нуждаются во внеучебных математических упражнениях, правильно методически подобранных, которые могли бы удовлетворять разнообразным умственным запросам и отвечать разным уровням развития воспитанников. В соответствии с этими требованиями виеучебные математические задачи естественно делятся на следующие две категории.
      Первая категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудностью — типа заДач математических олимпиад.
      Вторая категория. Задачи типа математических развлечений (определение и раскрытие содержания задач этой категории будет дано в последующих параграфах).
      Первая категория внеучебных задач предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определенным разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач, в применении неформальных подходов н искусственных приемов решения.
      Хороший подбор задач этой категории имеется, например, в сборниках «Библиотека математического кружка», изданных Гостехиздатом, в частности в выпусках: «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», «Неэлементарные задачи в элементарном изложении», «Математические беседы» и другие, в сборниках подготовительных задач к математическим олимпиадам; такие задачи печатаются также в сборнике «Математическое просвещение».
      Очевидно, что задачи этой категории являются упражнениями более высокой ступени в цикле внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу. Педагогический анализ задач первой категории не включен в рамки данной работы.
      Вторая категория внеучебных задач (очень пестрая по содержанию) прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Сюда входят задачи различной степени трудности и прежде всего начальные упражнения из цикла внешкольных упражнений, развивающих математическую инициативу, т. е. упражнения, предназначенные для тех, кто делает лишь первые шаги в мир математической смекалки; упражнения, пригодные для разумного заполнения досуга.
      Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только легкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено (своего рода «нераскушенные орешки»).
      Как будет видно из дальнейшего, виеучебные математические задачи второй категории обладают рядом характерных педагогических особенностей, в частности, им присуще свойство увлечь математикой как взрослого, так и подростка, до сих пор не проявлявшего интереса к этому предмету, разжечь в воспитуемом стремление к умственным упражнениям и систематическому изучению математики.
     
      РОЛЬ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ В ВОСПИТАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНИЦИАТИВЫ
      В период обучения подростка или взрослого развитие математической инициативы обеспечивается самим процессом изучения школьного курса математики. Но очевидно, что и в этот период не следует пренебрегать внеучебными средствами, содействующими укреплению и расширению математической активности. К таким средствам относится, в частности, совокупность посильных математических задач и упражнений. Кроме того, следует иметь в виду, что вместе с окончанием обучении обычно прекращается и организованное воздействие на подростка в развитии его математической ини-цнаиты; поэтому соответствующие виеучебные упражнения особенно нужны для тех, кто окончил обучение или учился непродолжительно, но стремится к дальнейшему совершенствованию.
      Систематическое решение математических задач во ипсучебное время организуется на материале соответветствующих книг, специальных сборников дополнительных задач и задач на смекалку. Такого же рода отдельные задачи предлагаются регулярно некоторыми научно-популярными журналами, а также от случая к случаю молодежными газетами и литературно-художественными журналами1.
      1 «Техника — молодежи», «Знание — сила», «Юный техник», «Московский комсомолец», «Работница», «Пионер» и др.
      Работа над математической книгой, самостоятельное решение задач сопровождаются активной работой мысли. При этом творческая активность читателя, его начодчивость, изобретательность и смекалка достигают высшего напряжения и получают отличную тренировку именно тогда, когда мысль захвачена стремлением самостоятельно решить предложенную ему задачу.
      Еще в учебных математических руководствах XVIII в. (Гюбш, Гауфф). отмечалось, что решение задач есть точильный камень способностей человека.
      Опытные учителя умело пользуются внеучебными задачами на внеклассных математических занятиях, но нноклассные занятия охватывают лишь незначительную часть учащихся, поэтому виеучебные задачи необходимо использовать и в семейном воспитании, разумно организуя досуг школьника; это будет развивать самодеятельность и приучать к умственным занятиям.
      «Независимо от участия в кружках можно заняться самостоятельным решением более трудных задач. Имеется несколько интересных сборников задач для любителей математики. Некоторые из них написаны так, что читатель. решая последовательно связанные друг с другом задачи, может живо представить себе пути развития довольно сложных математических теорий»2.
      2 А. Н. Колмогоров, О профессии математика (в помощь поступающим в вузы), изд. «Советская наука», 1952, стр. 10.
      Известно много случаев, когда удачно найденное, самостоятельное решение одной замысловатой задачи определяло весь жизненный путь этого человека, открывало ему истинное его призвание. Так, например, Пуассона привела в математику старинная задача о дележе вина на две равные части при помощи двух пустых сосудов не одинаковой емкости. По словам Араго, молодой Пуассон вначале проявлял во всем крайне ограниченные способности, но после того как искусно решил эту задачу, он нашел свое истинное призвание.
      Один из выдающихся представителей «Петербургской школы теории чисел» — Г. Ф. Вороной — с детства увлекался математикой. Особенно его интересовала алгебра. Но на первых порах у него возникали сомнения в своих силах. Требовалась проверка его математических способностей. В то время издавался журнал «Элементарная математика» под редакцией и при участии проф. Киевского университета В. П. Ермакова — активного пропагандиста внеучебных задач и увлекательных маленьких пробдем. В одном из номеров этого журнала В. П. Ермаков предложил для самостоятельной разработки тему: «Разложение многочлена на множители, основанное на свойстве корней квадратного уравнения». Гимназист Вороной успешно справился с этой маленькой проблемой. Его статья на заданную тему, снабженная большим количеством примеров, была опубликована в том же журнале и... жизненный путь юного автора, путь в математику, определился твердо.
      О подобном жизненном «толчке» вспоминает также и известный преподаватель математики проф. И. И. Чистяков. Выступая на I Всероссийском съезде преподавателей математики в 1911 г., И. И. Чистяков рассказал о себе1, что, будучи еще гимназистом, он нашел в одном из математических журналов задачу: «Доказать, что всякое абсолютно простое число2, будучи увеличено или уменьшено на 1, делится на 6». К большой своей радости, задачу он решил самостоятельно. С этого момента юноша пристрастился к математике и в конце концов избрал ее своей специальностью.
      В организации досуга школьника неоценимую услугу могут оказать педагогические сборники внеучебных задач и упражнений, посильных каждому, увлекательных и острых, задорных и курьезных, развивающих математическую инициативу и возбуждающих творческую еа модеятельность.
      Такие упражнения могут войти в комплекс ежедневной «умственной гимнастики». В рецензии на книгу В. С. Лукьянова «О сохранении здоровья и работоспособности» академик О. Б. Лепешинская пишет: «Справедливо уделяя много внимания физкультуре тела, автор игнорирует «умственную гимнастику» — легкие упражнения для мозга, чередуемые с его серьезной работой»1.
      Виеучебные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с необходимостью всякий раз применять для их решения заученные прлвила и приемы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам .своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми приемами, заставляют восхищаться силой разума.
      Виеучебные задачи, составленные на простом, жизненном материале, могут исподволь привести подростка и взрослого к пониманию новых для него математических идей и понятий, вызвать интерес к определенному теоретическому вопросу.
      Любой фокус, секрет которого состоит в употреблении двоичной системы, заинтересовывает читателя педесятичными системами счисления; задача о вычерчивании фигуры одним росчерком и теория лабиринтов приводят к пониманию некоторых топологических свойств геометрических фигур (а именно: сохранение свойств при любых искажениях фигуры, не приводящих к разрыву или склеиванию ее частей); задача превращения одной фигуры в другую путем разрезывания н переложения частей способствует расширению представлений о геометрических многообразиях и т. д.
      1 «Новый мир», 1952, № 12.
     
      ВИЕУЧЕБНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА СМЕКАЛКУ
      Рассмотрим теперь ту категорию внеучебных задач, которые обычно объединяются под общим условным названием «математические развлечения». Задачи этой категории, как правило, конкретны и требуют не шаблонною решения. Они возникают иногда в качестве «побочной продукции» научного творчества ученых, иногда придумываются любителями математики и педагогами. По традиции, имеющей, впрочем, педагогическую основу, им часто придается форма той или иной жизненной ситуации и вносятся элементы занимательности и игры. Последнее обстоятельство, очевидно, и является мотивом, благодаря которому задачи такого рода стали называть «математическими развлечениями» (в западноевропейской литературе в аналогичных случаях употребляются термины: «recreations», «puzzles», «amusements», «pastimes», «Mussestunden», «Unter-haltungfen»), не вполне адэкватно отражая этим названием их сущность. Это — веками скоплявшаяся и потому богатая коллекция разнородных задач. Здесь и задачи на превращение одной фигуры в другую путем разрезывания и переложения частей, и фокусы, основанные на вычислениях, математические софизмы и математические игры.
      Любая игра является математической, если ее исход может быть предопределен предварительным теоретическим анализом. Математическая игра чаще всего состоит в поочередном выполнении играющим или несколькими играющими определенных действий — ходов с целью решения поставленной задачи. Теория математических игр устанавливает условия, выполнение которых обеспечивает победу1.
      1 В Большой советской энциклопедии имеется специальная статья «Математические развлечения и игры» (т. 26, 1954).
      Среди математических развлечений имеются и такие задачи, которые допускают очень большое, а иногда и бесконечное множество решений. Смысл их — в поисках оригинальных, красивых приемов решений. К числу таких задач относятся: «составление паркетов» — задача о заполнении плоскости правильно чередующимися фигурами одного н того же вида или. нескольких данных видов; «ход коня» — задача Эйлера — сооптн ходом коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу; задачи на составление многоклеточных «магических» квадратов — квадратных матриц из натуральных чисел с одинаковыми суммами ндоль всех строк, столбцов и главных диагоналей.
      В подобного рода задачах интересуются обычно определением числа возможных решений, разработкой методов, дающих сразу большие группы решений.
      Математическое содержание ряда других внеучеб-ных задач рассматриваемого класса — в установлении наименьшего числа операций, необходимых для решения.
      К числу таких задач относятся задачи типа «переорав», «размещений», «затруднительных положении», типа «Ханойской башни» — задачи, придуманной французским математиком Э. Люка, суть которой — в подсчете числа ходов, необходимых для перенесения нанизанных на колышек п пластинок разных размеров на другой колышек, пользуясь третьим колышком и соблюдая определенные правила перенесения пластинок.
      Сюда же относятся и задачи о перемещении предметов при ограничительных условиях. Первая задача чтоп серии формулируется так: преобразовать последовательность шашек; б ч б ч б ч... в последовательность: ббб... ччч... посредством поочередных перемещений двух рядом лежащих шашек. Впервые эту задачу поставил английский физик Тэт1.
      К рассматриваемому типу задач также относятся; разнообразные числовые ребусы и головоломки на смекалку, числовые курьезы и занимательные последовательности: «числа Фибоначчи», «фигурные» и «пифагоровы числа»;
      задачи, решение которых может быть и не требует вычислений, но основывается на построении цепочки точных и тонких рассуждений;
      задачи, решение которых основывается на органическом соединении математического развития и практической смекалки: измерения при затруднительных условиях, раскрой и рациональная укладка материала, производственные задачи и т. п.;
      задачи о лабиринтах и на вычерчивание фигур одним росчерком; задачи с домино и игральным кубиком и т. д.
      Описание задач рассматриваемой категории позволяет высказать следующее утверждение.
      Ставшие традиционными наименования «математические развлечения» и «занимательные задачи» несколько односторонне отражают сущность рассматриваемой категории внеучебных задач, так как занимательность — это не сущность, а форма, педагогический прием постановки задач. Задачи данной категории действительно весьма привлекательны; самостоятельно найденное решение задачи или даже чтение изложения уже кем-то выполненного остроумного решения обычно доставляет большое удовольствие. В таком эстетическом значении слова — эти задачи — развлечение. Однако слово «развлечение» несет в себе и оттенок праздности, пустой затраты времени — оттенок, совсем не свойственный описанным задачам. «Математические фокусы и загадки — интересный, развлекательный материал, имеющий немалое образовательное значение», — говорится в «Методике преподавания математики» под ред. С. Е. Ляпина (изд. 1955 г., стр. 108).
      В отношении арифметического материала еще в 1946 г. проф. И. Я. Депман высказал мысль, что сущность занимательной арифметики гораздо лучше выражается названием экспериментальной или наблюдательной арифметики1.
      Е. И. Игнатьев, создавая свой известный сборник, назвал его «В царстве смекалки».
      Не будет ли, пожалуй, наиболее подходящим наименованием для рассматриваемой совокупности внеучебных задач: «математические задачи на смекалку», или короче «математические задачи-смекалки»?
      В самом деле, своеобразие задач, представляющих перечисленные в этом параграфе темы, заключается в том, что почти каждая из них, — это маленькая проблема. Конечно, самостоятельное исследование любой проблемы, в особенности серьезной, научной, требует мобилизации всех знаний и проявления изобретательности, изощренности и находчивости, оригинальности мышления и умения критически оценить условия или постановку вопроса. Но необходимыми условиями успешного решения солидной математической проблемы являются прежде всего глубина и разносторонность специальных знаний, математическая одаренность. Знания, одаренность, разумеется, не излишни и для успешных занятий маленькими проблемами — смекалками, или «математическими развлечениями», но задачи, составляющие эту категорию, по существу и по форме подачи — общедоступны; почти всегда их решение опирается не столько на специальные знания, сколько на сообразительность и изобретательность, короче — на все то, что в народе принято подразумевать под словом «смекалка».
      Наиболее остроумное решение той или иной задачи-смекалки из рассматриваемой серии придумывалось иногда именно не профессионаломматематиком.
     
      § 2. КРАТКАЯ ИСТОРИОГРАФИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
     
      Процесс возникновения, развития и непрерывного пополнения внеучебных задач типа «математических развлечений» сопутствует общему процессу развития математики, в первую очередь арифметики и геометрии, а также и процессу развития педагогики.
      Однако историки математики и историки педагогики до сих пор еще не проявили специального интереса к вопросам истории и эволюции обширной группы математических развлечений.
      Игнорирование летописцами событий, относящихся к математическим развлечениям, привело к утрате ряда фактов. Так, в частности, остается неизвестным подлинное авторство некоторой части классических задач из серии математических развлечений, вечно возбуждающих умы и взрослых и подростков.
      Не претендуя даже на приближенную полноту историко-литературных изысканий в области математических развлечений, попытаемся лишь проложить тропинку в этот своеобразный мнр задач-смекалок для более отчетливого выявления их жизнеспособности и педагогического своеобразия, их места в системе упражнений, развивающих математическую инициативу.
     
      КЛАССИЧЕСКОЕ НАСЛЕДИЕ
      Зарождение математических задач-смекалок относится к той же далекой древности, как и зарождение математической науки. Истоки их — в старинных коллекциях проблем, пришедших к нам из Египта, от греков, арабов, индийцев, из древнего Китая.
      Ненасытная человеческая любознательность, жажда умственной деятельности и интерес к необычайному и курьезному, а также привлекательность и сила педагогического воздействия, присущие математическим задачам на смекалку, обусловили их жизнеспособность.
      Действительно значительная часть коллекции математических задач-смекалок оказалась весьма долговечной, переходит из поколения в поколение в своем первоначальном облике или в легко распознаваемых вариантах.
      Усилиями одаренных людей со временем «распутывались» отдельные головоломки, обосновывались игры, задачи получали исчерпывающее решение. И если иные задачи теряли при этом смысл головоломок или игр и выпадали из коллекции таких задач, то другие, наоборот, лишь приобретали дополнительную остроту и новый смысл, становясь теоремами иной раз со столь своеобразным доказательством, что не бесполезно и разобраться в нем, а может быть попытаться и самому его «открыть».
      Коллекция математических задач-смекалок создавалась творчеством огромного количества люден: ма-тематиков-ученых, педагогов, любителей. «Сокровищница» коллекции хранит дары Леонардо Пизанского (Фибоначчи), Кардано, Тарталья, Ферма, Лейбница, Эйлера, Монжа, Гаусса, Гамильтона и др.
      Леонардо Пизанский (1170 — 1250). Итальянский купец-математик и блестящий вычислитель XIII в., победитель публичных состязаний в наиболее быстром и оригинальном решении трудных задач. Коллекция проблем, относящихся к математической смекалке, пополнилась большим количеством задач, связанных с любопытной числовой последовательностью («Числа Фибоначчи»), найденной Леонардо Пизанским. Богатство и разнообразие свойств этой последовательности до сих пор продолжают привлекать к себе умы любознательных людей.
      Джеронимо Кардано (1501 — 1576). Выдающийся представитель науки эпохи Возрождения (XVI в.), отчаянный игрок и скандалист, но талантливый математик, легко решавший задачи, перед которыми отступали другие, — один из своих 222 трактатов специально посвятил играм, требующим сообразительности и ловкости.
      От Кардано, в частности, впервые узнали в Европе и об игре «Меледа», комбинационные возможности которой лишь немногим уступают шахматам.
      Никколо Тарталья (1500 — 1557). Еще один крупнейший представитель эпохи Возрождения; человек несокрушимой энергии и большого таланта; из-за бедности был вынужден в юности писать свои вычисления не на бумаге, а на кладбищенских могильных плитах. Он самоучкой овладел математическими знаниями; прославил себя победой в математическом турнире 1535 г. и открытием формулы для решения кубического уравнения. Уделил внимание между прочим выяснению математической сущности задач «на считалочку»1 (облекая решение в форму стихов на итальянском языке), на дележи вина путем переливания, на переправы и т. д.
      1 Если вместе с играющими встать «в круг» и по счету выключать из «круга» каждого п-го, то с кого надо начать счет, чтобы самому остаться не выключенным?
      Пьер Ферма (1601 — 1665). Юрист, советник парламента одной из провинций Франции. Лишь в часы досуга имел возможность отдаваться любимому занятию — математическим исследованиям и решению труднейших задач. Ферма, как известно, является не только одним из создателей аналитической геометрии и теории вероятностей, но также и основоположником современного направления теоретико-числовых изысканий и вытекающих отсюда увлекательных числовых ,головоломок.
      Кроме того, в 1638 г., в письме к Декарту, Ферма изложил элементарно-аналитическое доказательство геометрической теоремы о том, что из всех прямоугольников данного периметра квадрат имеет наибольшую площадь.
      С небольшими изменениями это доказательство обычно и излагается в книгах, предназначенных для лиц, не знакомых еще с дифференциальным исчислением (например, в книге Я. И. Перельмана «Занимательная геометрия»).
      Готтфрид-Вильгельм Лейбниц (1646 — 1716). Математик и философ, юрист, языковед и дипломат, создатель новых отраслей и новых мощных методов математической науки, он, в частности, одним из первых обратил внимание на принципиальные достоинства двоичной системы счисления, предугадал ее богатую будущность.
      Двоичная система действительно оказалась удобной в серьезных математических исследованиях (а в наше время нашла себе применение в качестве одного из принципов действия электронно-вычислительных машин), она была впоследствии использована математиками для построения теории целого ряда математических игр, таких, например, как угадывание взятых тремя лицами предметов, Ханойская башня, фантан, меледа, обобщенная задача о наименьшем числе гирь, достаточном для взвешивания любого груза, вес которого заключен в промежутке целых чисел от 1 до п (см., например, Я- Успенский, Избранные математические развлечения, 1924).
      Характерен взгляд Лейбница на игры и развлечения. В первом томе «Мемуаров Берлинской академии наук» (1710) помещена работа Лейбница под заглавием «Annotatio de guibusdam ludis» («Примечания к некоторым играм...»), в которой он пишет:
      «Мы часто замечали, что люди проявляют более всего изобретательности в играх, и поэтому математические игры заслуживают внимания, не сами по себе, а потому, что развивают находчивость».
      Позднее, в письме к Монмору от 17 января 1716 г., Лейбниц замечает: «Игра, называемая солитером, мне очень понравилась. Но я предпочел воспользоваться ею в обратном смысле, т. е. вместо того чтобы разделывать данную фигуру, заставляя перескакивать один шарик через другой в пустую лунку и снимая этот последний, я нашел, что гораздо интереснее восстанавливать то, что было разделано, помещая шарик в ту лунку, чрез которую он перескакивает; при таком способе можно составить какую угодно из предложенных фигур, если только ее удалось предварительно разделать.
      — Но для чего все это? — спросят меня.
      — А для того, — отвечу я, — чтобы, усовершенствовать изобретательность, потому что необходимо иметь способы осуществлять на деле то, что можно найти путем размышления»1.
      В другом случае Лейбниц пишет: «... даже игры, как требующие ловкости, так и основанные на случайности, дают громадный материал для научных занятий. Мало того, самые обыкновенные детские забавы могли бы остановить на себе внимание величайшего математика»1.
      Леонард Эйлер (1707 — 1783). Величайший из математиков XVIII в. Л. Эйлер, всеобъемлющему гению которого обязаны очень многие отрасли математической науки, также обратил свое внимание на разнообразные детские и недетские «забавы». В его трудах — и решение топологической задачи о Кенигсбергских мостах, все еще вызывающей неизменный интерес у любителей математики, и новый вклад в теорию магических квадратов. С магическими квадратами тесно связаны латинские и Эйлеровы квадраты. Размещение п различных букв латинского алфавита на n2 полях квадрата так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце квадрата образовалась перестановка из п данных букв, Эйлер назвал латинским квадратом. Два латинских квадрата, наложенных друг на друга, образуют квадрат Эйлера, если никакие соответствующие поля не содержат одинаковых букв.
      Задаче на составление одного из таких квадратов (6X6) Эйлер придал следующую занимательную форму: 36 офицеров шести различных званий и шести различных родов войск должны быть расставлены в форме квадрата так, чтобы каждая ортогональ (столбец, ряд и главные диагонали) содержала шесть офицеров различных званий и различных родов войск.
      Поиски решения этой задачи оказались тщетными. Возникло предположение о невозможности составления Эйлерова квадрата шестого порядка (т. е. состоящего из 6X6 ячеек), что впоследствии и было доказано математиком Тарри (Tarry).
      Скромная задача о «считалочке», механический способ решения которой в сущности доступен даже детям, как оказалось, имеет далеко не простое объяснение рациональных способов ее решения. Именно Эйлер дал первое полноценное решение проблемы о «считалочке». Ьлагодаря Эйлеру получила широкое распространение и обогатилась математическим содержанием серия задач на «ход шахматного коня». Эйлеру принадлежит первое обоснование возможности построить «замкнутый двойной ход конем», т. е. обойти конем сначала все клетки верхних четырех строк шахматной доски, а зачем все клетки нижних четырех строк и вернуться в исходную позицию.
      Гаспар Монж (1746 — 1818) — французский геометр, организатор национальной обороны республики после победы революции во Франции. Г. Монж известен как создатель конструктивной" начертательной геометрии. Его основные труды посвящены геометрическим методам изображения предметов на плоскости. Заинтересовавшись математической стороной карточной игры, Г. Монж разработал своеобразную теорию тасовки колоды игральных карт.
      Карл-Фридрих Гаусс (1777 — 1855). Имя К.-Ф. Гаусса — титана математической мысли XIX в., в равной мере делившего свое дарование между анализом, алгеброй, астрономией, теоретической физикой и теорией чисел, — связано также с исследованием решения интереснейшей задачи о размещении восьми ферзей (королев) на пустой шахматной доске так, чтобы ни одна фигура не была под ударом какой-либо из остальных фигур и об определении наибольшего числа возможных решений.
      Уильям Гамильтон (1805 — 1865). Английский математик У. Р. Гамильтон оставил коллекции математических задач на смекалку, две головоломки в нескольких вариантах: «путешествие по додекаэдру» и «путешествие по икосаэдру». Смысл этих задач заключается в следующем. Путешествие по додекаэдру: двигаясь по ребрам додекаэдра, пройти через 20 вершин его и, пройдя каждую один лишь раз, вернуться к исходному пункту. Путешествие по икосаэдру: посетить 20 граней, но каждую грань лишь один раз, причем переход от одной грани к соседней должен совершаться непременно через их общее ребро. Гамильтон ставит для первой задачи дополнительное условие: первые пять станций могут быть наперед указаны. В этом случае задача имеет два или четыре различных решения.
     
      ПЕРВЫЕ ОТДЕЛЬНЫЕ СБОРНИКИ ЗАДАЧ
      Работа Алькуина. Одна из первых успешных попыток отбора задач типа математической смекалки, разбросанных по отдельным папирусам, трактатам, манускриптам и циркулирующих в устной передаче, относится к VIII в. Имеется в виду рукописный манускрипт «Propositiones ad acuendos juvenes» («Предложения для изощрения ума юношества»), автором которого историки считают Алькуина (Alcuin) из Иорка (775). Сохранилась запись этого сочинения, датированная 1000 годом1.
      Работа Баше де Мезириака (C.-G. Bachet de Меziriac). Если не было что-нибудь утеряно, то следующая значительная работа по собиранию и селекционированию задач типа математической смекалки была выполнена лишь много веков спустя, в начале XVII в., французским математиком Баше де-Мезириаком (1581 — 1638). Биографы Баше характеризуют его как одного из образованнейших людей Европы того времени. Он поражал окружающих раниим развитием творческих наклЬнностей. Поэт, писавший на языках латинском, немецком и французском, он же глубокий алгебраист, неутомимый переводчик и восстановитель текстов, остроумный комментатор2.
      Сборник Баше «Problernes plaisants et deledables qui se font par les nombres» («Занимательные и приятные числовые задачи»), изданный в Лионе в 1612 г., исследователи литературных источников3 признают первым удачным печатным произведением в жанре математической смекалки.
      Книга Баше де Мезириака получила большую известность, была переведена на все европейские языки и на долгое время служила прототипом для аналогичных сборников других авторов.
      В. Аренс4 полагает, что первое издание книги Баше де Мезириака полностью утеряно, но Д. Смит утверждает5, что копия первого издания книги Баше имеется в Гарвардской библиотеке.
      В .1624 г. книга Баше вышла вторым изданием. Не утратила она своего значения и через 260 лет: в 1874 г. вышло третье французское издание книги с дополнительными исследованиями и комментариями, выполненными проф. Лабоном, четвертое издание — в 1879 г., пятое — в 1884 г.
      Такое длительное существование и широкое распространение книги Баше объясняется не только ее достоинствами, но и тем, что она отвечала назревшей и уже более не угасающей общественной потребности иметь систему общедоступных и непринужденных умственных упражнений, развивающих математическое мышление.
      В русском переводе книга Баше де Мезириака впервые была издана в 1877 г. (Баше Клод-Гаспар, Игры и задачи, основанные на математике. Перевод с третьего издания). Книга содержит 50 задач с решениями.
      Задачи не озаглавлены и не систематизированы по главам, но охватывают следующую группу сюжетов: арифметические фокусы с числами, игральными костями и картами;
      магические квадраты (изложены некоторые из древних способов составления магических квадратов и предложен новый способ, называемый в последующей литературе о магических квадратах «способом Баше»);
      круговая детская «считалочка» (впоследствии этот сюжет стали связывать с легендой о находчивости древнеиудейского писателя Иосифа Флавия);
      состязание в счете (кто первым достигнет назначенной суммы);
      подбор гирь для получения на весах любого целого веса от 1 до п (эту и предыдущую задачу впоследствии стали называть «задачами Баше»);
      отыскание числа по остаткам от деления; переправы брачных пар через реку; дележи (дележ вина при помощи переливаний, дележ наследства, плата за обед, дележ с передачей каждому такого числа предметов, какое у него есть); размещение предметов вдоль сторон фигуры.
      Для решения задач Баше де Мезириак применяет остроумные рассуждения, придумывает новые приемы.
      В предисловии к книге он замечает: «... я не думаю, чтобы проникшие в эту книгу подальше тех, которые прочли одно только заглавие ее, приписали ей так мало значения: ибо допустив даже, что в ней заключаются только игры, главная цель которых доставлять порядочное развлечение и занимать общество своей замысловатостью, нельзя не признать в то же время, что для исполнения этих игр в совершенстве нужна значительная доза сообразительности и нужно обладать более чем посредственным знанием арифметики, чтобы хорошо понять доказательство и уметь пользоваться многими прекрасными открытиями, которые я присовокупил».
      К «прекрасным открытиям» Баше принадлежит, во-первых, утверждение, что всегда может быть найдено наименьшее из целых чисел, кратных числу а и превосходящих целое число, кратное числу р, на одно и то же число у, где а, р и у — любые данные числа, причем а и Р — взаимно-простые, приведенное им без доказательства в первом издании книги и доказанное во втором издании; во-вторых, переоткрытие употребляемого и теперь древнеиндийского метода решения неопределенного уравнения первой степени.
      Для доказательства своего теоретико-числового утверждения Баше рассмотрел 10 предварительных лемм, из которых наиболее значительной является следующая: (...)
      В целом книгу Баше В. В. Бобынин характеризует следующими словами: «Несмотря на свою легкую форму и общедоступность, «Задачи» Баше де Мезириака представляют очень серьезный математический труд, содержащий в себе много новых доказательств, изящных решений и математических открытий в настоящем смысле слова. В нем автор решительнее, чем кто-нибудь до него, проник в решение в целых числах задач неопределенного анализа и вполне самостоятельно пришел к обнаружению постоянного допущения решений этого рода уравнений ax+by — c при а и b взаимио-первых. Является, таким образом, не подлежащие никакому сомнению открытие Баше де Мезириаком употребляемого ныне метода решения неопределенного уравнения первой степени с двумя неизвестными. До него этот метод, хотя уже и давно изобретенный индусами, никому не был известен в Западной Европе»1.
      В. В. Бобынин считает большой заслугой Баше и то обстоятельство, что он своей книгой внеучебных математических задач привлек большее, чем было до сих пор, внимание современников к неопределенным уравнениям и к теории чисел.
      Последующие книги. Инициатива Баше по созданию печатных сборников математических развлечений была подхвачена. Вслед за книгой Баше появился во Франции значительно более примитивный «Сборник» (1624), составленный астрономом Жаном Лёрешаном (Jean Leureclian), выдержавший все же к 1700 г. 34 издания2. Из ближайших последующих аналогичных книг наиболее значительными были:
      Schventer, Deliciae phiysico-mathematicae, «Nurn-berg, 1626;
      Nicolas Hunt, New recreations, London, 1651;
      Oughtred W., Mathematical recreations, London, 1653;
      О z a n a m J., Recreations mathematiques et physiques, Paris, 1692 (может быть 1694).
      Жак Озанам (1640 — 1717) — талантливый самоучка, учитель по профессии и, как пишет Д. Смит в «Истории математики», «он верил в образовательную роль математических развлечений». Его книга пользовалась большим успехом и выдержала 20 изданий.
     
      ЗНАЧИТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ БЛИЖАЙШЕГО ПРОШЛОГО
      Начиная с последнего двадцатилетия прошлого века, крупный вклад в развитие литературы по математическим развлечениям внесли профессора Люка (Франция), Болл (Англия), Шуберт, Аренс и Литцманн (Германия), учителя В. И. Обреимов и Е. И. Игнатьев (Россия), кадемик Я- В. Успенский (СССР), профессор Крайчик (Бельгия), Я. И. Перельман (СССР).
      Работы Люка. Профессор Люка до конца своей жизни совмещал педагогическую работу с кропотливым собиранием и исследованием задач и проблем типа математической смекалки.
      Люка еще более внимательно, чем Баше, проследил истоки и последующее развитие отдельных проблем, ставших классическими. Он расширил объем коллекции математических задач-смекалок, исправил, упростил и обобщил некоторые из ранее предлагавшихся решений («Переправы в лодке», «Солитер», «Такен» и др.).
      Его перу принадлежит ряд работ в этой области.
      На русский язык была переведена и издана в 1883 г. только первая часть его четырехтомной работы: «Recreations maihematiques», V. 1, 2, 3, 4, Paris, 1882 — 1894 («Математические развлечения»).
      В эту книгу вошли в улучшенном изложении почти все темы, разработанные еще Баше, и несколько новых тем, из которых отметим следующие: мосты и острова (о топологических изысканиях Эйлера и вычерчивании фигур одним росчерком); лабиринты; размещение ферзей на шахматной доске, солитер, меледа и такен (игра в 15).
      Описывая теорию такеиа, Люка замечает, что такен не только весьма интересная игрушка, но даже прибор, при помощи которого легко дать наглядное понятие об одном из важнейших отделов.алгебры, а именно: о теории детерминантов. Здесь же Люка впервые вводит в популярную математическую литературу теорему Безу об обменах, перестановках и классах перемещений.
      Книгу Э. Люка перевел на русский язык учитель математики В. И. Обреимов.
      Работа Роуз Болла. Из английских математиков в жанре произведений по математическим развлечениям наиболее известен Болл. Его книга «Mathematical Recreations and Probiemes», изданная в Лондоне в 3892 г., в 1919 г. вышла уже десятым изданием, продолжает издаваться и теперь. Книга Болла известна и во Франции по переводу с третьего английского издания. Наряду с классическими задачами на смекалку в книге представлены также простейшие задачи на сообразительность и типично английские задачи на денежные банковские операции.
      На русский язык книга Болла не переводилась.
      Работы В. Аренса. Большую творческую и настоящую исследовательскую работу по математическим развлечениям проделал доктор Аренс (Германия). Аренс, насколько было возможно, глубоко проследил эволюцию классических задач этого типа и подробно их исследовал в своей капитальной двухтомной работе: «Mathematische Unterhaltungen und Spielе», Leipzig, 1901.
      Второе значительно дополненное издание вышло в 1910 г. (I том) и в 1918 г. (II том). В этом сочинении весьма обстоятельно рассмотрена почти вся сложившаяся к нашему веку классическая группа математических развлечений и игр: затруднительные переправы, перемещение шашек (задача Тэта, см. стр. 13), упражнения, основанные на использовании недесятичных систем счисления, переливания и дележи, паркетаж, солитер, такен и домино, магические квадраты, включая квадраты Эйлера, размещения по кругу и «считалочка» (задача Флавия), проблема вечного календаря, перегибание куска бумаги (по Роу), элементарно-топологические проблемы (мосты и лабиринты, додекаэдр Гамильтона, раскрашивание географических карт и упражнения на шахматной доске («волк и овцы», «ход коня», расстановка восьми «королев»1. Задачу о расстановке восьми «королев» на шахматной доске так, чтобы ни одна из них не находилась под ударом другой, предложил шахматист Беццель (Bezzel). Опубликована она была впервые в 1848 г. в немецком шахматном журнале. Два года спустя эта задача вторично появилась в периодической печати, на этот раз — в более популярном немецком журнале «Illustrierte Zeitung» (1 июня 1850, № 361).
      Естественно возник вопрос, оказавшийся весьма не легким, о числе возможных решений задачи. Вскоре после постановки задачи доктор Наук в этом же журнале предложил в качестве решения этой задачи число 60; затем Гаусс получил число 72 (решение приведено в письме Гаусса к своему другу астроному Шумахеру от 12 сентября 1850 г.)1, и, наконец, доктор Наук получает число 92 (опубликовано в журнале «Illustierte Zeitung» от 21 сентября 1850 г.).
      Сопоставление приведенных дат показывает, что вопреки мнению2, существовавшему до исследований Аренса, приоритет в установлении максимального числа возможных решений задачи о восьми «королевах» принадлежит не Гауссу, а некоему доктору Науку (от рождения слепому, как сообщает Аренс).
      Пусть требуемая расстановка «королев» на шахматной доске осуществлена. Поворачивая доску на 90, 180 и 270е, мы получаем три новые конфигурации расположения «королев», также являющихся решениями задачи. При помощи зеркального отображения каждого из этих четырех расположений можно получить еще четыре новые решения задачи. Таким образом, при помощи указанных преобразований из одного решения можно получить еще восемь решений. Следовательно, задача редуцируется к некоторому первоначальному количеству основных решений, не сводимых одно к другому при помощи поворотов и зеркальных отображений.
      Гаусс в своем письме к Шумахеру от 12 сентября 1850 г. указывал на девять основных решений (отсюда общее число решений 9X8 = 72), но без ручательства, что невозможно большее число решений. Спустя девять дней, 21 сентября 1850 г., в очередном номере журнала «Illustrierte Zeitung» был опубликован полный перечень решений задачи, найденный, как указывалось, доктором Науком. Выяснилось при этом, что- задача имеет не девять, а 12 основных решений. Отсюда 12X8 = 96, но из них четыре решения оказываются совпадающими с другими. По-видимому, внимание Гаусса в отношении задачи о восьми «королевах» в большей мере было занято методом решения этой шахматно-комбинаторной задачи и подыскиванием подходящей арифметической аналогии для нее. В самом деле, уже в своем следующем письме к Шумахеру (27 сентября 1850 г.1) Гаусс предлагает следующую занимательную арифметическую задачу: к числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, расположенным в возрастающем и убывающем порядке, приписать слагаемыми некоторую последовательность этих же чисел так, чтобы все суммы в каждой группе чисел получились различными, например: (...)
      Очевидно, что эту задачу Гаусс придумал как арифметическую аналогию к задаче о восьми «королевах». Действительно, каждая группа вторых слагаемых, удовлетворяющая условию арифметической задачи, дает также решение задачи о «королевах», и наоборот.
      Для иллюстрации сказанного сопоставим группу чисел: 3, 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6, дающих одно из решений арифметической задачи (см. пример выше) с одним из решений задачи о восьми «королевах» (черт. 1).
      Крестики показывают положение «королев» на шахматной доске. Номера 8 строк, в которых располо- 7 жены «королевы», образуют ту же самую последо- 6 вагельность чисел: 3. 5, 2, 8, 1, 7, 4, 6. Аналогичную связь между решениями 4 этих двух задач можно о было бы показать и для любого другого из 92 случаев.
      Получается интересный и своеобразный изоморфизм между множествами решений арифметической задачи Гаусса и задачи о восьми «королевах». Га-усс не пожелал, а может быть не счел необходимым раскрыть причину найденной им связи между решениями этих задач или хотя бы интерпретировать общедоступно эту связь. Нет этого и в исследованиях Аренса. Несомненно, однако, что привлечение внимания воспитуемого, упражняющегося в решении задач, к разнообразным связям между разнородными задачами очень полезно для его математического развития, а отыскание причин этих связей может служить темой для самостоятельных размышлений.
      Со своей стороны в качестве одного из возможных истолкований указанного изоморфизма между решениями арифметической задачи Гаусса и решениями задачи о расстановке «королев» на шахматной доске я предложил бы, например, следующее.
      Напомним предварительно, что шахматная «королева», занимая некоторую клетку доски, держит под ударом все клетки, расположенные в той же строке и в том же столбце, а также вдоль двух диагональных линий, проходящих через занятую клетку. Следовательно, условию задачи может удовлетворять только такое расположение восьми «королев» на шахматной доске, когда каждые столбец и строка клеток доски заняты только одной фигурой и при этом прямая, соединяющая центры клеток, занимаемых любыми двумя фигурами, не должна быть параллелью для тоц или другой диагонали доски.
      Обратимся к интерпретации на шахматной доске арифметической задачи Гаусса. (...)
      Так как «Mathematische Unterhaltungen und Spiele» предназначена не для массового читателя, то Аренс опубликовал в 1907 г. еще и упрощенный вариант этой книги, озаглавив ее так: «Mathematische Spiele», которая и была в 1911 г. переведена на русский язык под заглавием «Математические игры». В предисловии к этой книге, написанном Я- И. Перельманом, отмечается, что «в качестве приятного и поучительного чтения, изощряющего гибкость ума, приучающего к сосредоточенной работе мысли ради систематических поисков решения и, следовательно, хорошо подготовляющего к более серьезным научным занятиям, настоящая книга германского математика принесет несомненную пользу нашей любознательной молодежи».
      Работы Г. Шуберта. Почти одновременно с «Математическими играми» В. Аренса появилась в русском переводе аналогичная книга проф. Г. Шуберта «Математические развлечения и игры». Это — тоже упрощенный вариант его большой трехтомной работы: «Malhe-rnatische Mussestunden» (1898). Тематика книги.та же, что и книги В. Аренса. Заслуживают внимания преподавателей теоретические разъяснения и дополнительные доказательства, выполненные профессором С. О. Шату-нопским — редактором русского перевода книги Г. Шуберта.
      Работы В. Литцманна. Вальтер Литцманн (W. Lietzmann) — известный немецкий математик и методист В 1955 г. ему исполнилось 75 лет. В. Литцманн является автором учебников и задачников, нескольких методических пособий, в том числе ценной и интересной «Методики преподавания математики в школе», научно-популярных книг и статей.
      На русский язык переведены почти все его книги, относящиеся к занимательной математике (см. библиографический перечень), среди которых наиболее популярная в Германии (и других странах) книга «Lustiges und MerKwiirdiges von Zahlen und Formen», Gottingen (первое издание было осуществлено в 1921 г., восьмое — в 1956 г.).На русский язык эта книга была переведена и издана в 1923 г. под заглавием: «Веселое и занимательное в фигурах и числах (математические развлечения)».
      Первые параграфы книги заполнены остротами и шутками математического содержания, выдержками из романов, новелл, очерков, легенд и автобиографий, стихотворениями на математические темы. Приведен, например, отрывок из романа Эмиля Штрауса «Смерть», в котором описана трагедия учителя математики, не имеющего никакого понятия о математике, путающего параллелограмм с параллелепипедом. Этот учитель
      считает, что изучение математики состоит в выучивании наизусть таблицы логарифмов1.
      В небольшом отрывке из воспоминаний композитора Грига рассказывается о том, как в детстве Григ, получив задачу на умножение, для ускорения дела выбросил нули и... потерпел фиаско. «После этого, — иронизирует Григ над собой, — я научился тащить все нули за собой. От них не избавишься».
      Много несложных шуточных вопросов, например:
      а) Одно яйцо варится 4 минуты,- Как долго будут вариться 6 яиц?
      б) В семье 5 сыновей. Каждый сын имеет одну сестру. Сколько всего детей в семье?
      в) Мария вдвое старше Анны. Через 4 года она будет в 6 раз старше Анны. Сколько лет каждой из них?
      Литцманн остро показывает несуразность содержания некоторых школьных задач: «Решает, например, мой сын задачу, заданную учителем: если 10 каменщиков при 10-часовом рабочем дне за 150 дней выстроили дом, то сколько каменщиков могут выстроить этот дом при 1-часовом рабочем дне за 30 дней?
      10-150-10
      Сын рассчитал: ...= 500 (каменщиков).
      Я написал учителю, что решение задачи может быть и правильное, но условие ее бессмысленно. Аналогично можно было бы спросить: если 1 учитель 7 лет учит ученика, то сколько учителей могут это сделать в 1 день? Что-то около 2100 учителей... так-то, господин учитель!»
      В книге значительное внимание уделено счету. Рассматриваются игры и задачи «на счет», приемы быстрого счета, ошибки и причуды счета, бинарная система счисления и, конечно, магические квадраты.
      Раздел «О геометрических формах» составлен из традиционных- задач-смекалок геометрического характера.
      В предисловии доктор Литцманн обращает внимание учителей на то, что некоторые задачи из числа предложенных в книге могут и должны быть использованы учителем также и непосредственно на уроке для того, чтобы заинтересовать учеников изучаемым материалом, поразить их воображение в кульминационный момент урока или произвести разрядку умственного напряжения, возникшего в процессе ведения урока.
      Свою книгу Литцманн называет пирогом с прозрачными изюминками, который он хотел бы сделать удобоваримым, а всыпав в него миндаль в скорлупе, — побудить читателя кушать этот пирог медленно.
      Работы М. Крайчика. Большим энтузиастом математических развлечений был профессор Брюссельского университета М. Крайчик1 (Maurice Krait-cliik) — автор известного на западе учебника по теории чисел и большого, подробного сборника классических и новых задач-смекалок: «La mathematique des jeux, on Recreations mathematiques», изданного в Брюсселе в 1930 г.
      В 1941 г. Крайчик был приглашен в Нью-Йоркскую новую школу общественных наук для чтения систематического курса лекций по математическим развлечениям. На основе этих лекций он написал и издал новый вариант сборника задач-смекалок: «Mathematical Recreations» (1943), теперь уже на английском языке. Это превосходная книга, написанная со вкусом и любовью. Нет сомнения, что в западноевропейской литературе среди книг, предназначенных для широкого круга читателей со средним математическим образованием, книга Крайчика и по сей день признается лучшей (одно из очередных изданий этой книги датировано 1953 г.).
      В книге 12 глав. Решение задачи приводится вслед за ее условием.
      Глава первая «Математика без вычислений». Здесь около десятка задач, среди которых логические, шахматные и одна геометрическая. Открывает главу задача-шутка.
      Задача. Пришли ко мне два друга. Оба — отличные шахматисты. После обеда я с каждым из них сыграл по одной партии и обе проиграл несмотря на то, что имел пешку в качестве «форы». Вошедшая в комнату 12-летняя дочь приветствовала нас и сказала: «Папочка, я стыжусь за тебя. Если позволишь, я сыграю успешнее и без всякой «форы». Я буду играть одновременно на двух досках, с одним партнером — белыми, с другим — черными». (Кстати, дочь была едва лишь знакома с правилами движения фигур). К моему восторгу, смешанному с досадой, она действительно сыгрдла с лучшим результатом, нежели я.
      Как она действовала?
      Завершается глава геометрической задачей, поданной в такой же иронически забавной форме.
      Задача. Почтенное семейство пауков, состоящее из обширной мамаши и восьми тощих подростков, гнездилось на одной из стен комнаты, четыре стены которой, пол и потолок — прямоугольники. Из-за второй мировой войны пищи было недостаточно и голодные паучки непрерывно ворчали. Но вот на противоположную стену тихо села огромная муха. Если бы Евклид мог быть вызван из могилы, он показал бы, что охотники и жертва находились в одной вертикальной плоскости, пересекающей две противоположные стены и что пауки находятся на 8 дюймов выше центра, а муха — на 8 дюймов ниже центра стены. Внезапно один из юных паучков вскричал весело:
      «Мама, смотри! Там — муха! Давайте схватим ее и съедим!»
      «Имеется 4 маршрута к мухе. Какой мы выберем?» — пылко воскликнул другой паучок.
      «Вы забыли Евклида, мои дорогие. Имеется 8 маршрутов к мухе. Идите все различными дорогами, не пользуясь другими Средствами передвижения, нежели как на собственных ногах. Кто достигнет цели первым, будет награжден наибольшей порцией добычи».
      По сигналу, данному мамашей, 8 паучков пустились в путь по различным направлениям со скоростью
      0,65 миль в час. Через секунд они одновременно
      сошлись у цели, но... атаковать было некого, так как муха имела глаза со всех сторон. Каковы размеры комнаты?
      Глава вторая «Старинные и курьезные задачи».
      Глава третья «Числовые развлечения и игры». Здесь автор в своей стихии. Он доходчиво рассказывает о простых и совершенных числах, о фигурных числах,
      о числах Мерсенна и Ферма. Любопытно отметить, однако, что, не выходя за рамки элементарных математических операций, Крайчик предполагает все же у читателей своей книги наличие хороших представлений о сравнениях. Так, например, упоминая о том, что Эйлер доказал делимость числа F5 = 232+l на 641, Крайчик коротко излагает элегантное доказательство этого положения. (...)
      Числовым головоломкам Крайчик не предоставил места в своей книге.
      Глава четвертая «Арифметико-геометрические вопросы». Рассматриваются два вопроса: первый вопрос — о существовании прямоугольных треугольников, стороны которых взаимно-простые числа. При этом оказывается, например: а) число, выражающее длину одной стороны прямоугольного треугольника, всегда кратно трем, а длину второй стороны — кратно пяти;
      б) число, выражающее площадь такого треугольника, кратно шести, а число, выражающее произведение сторон, кратно шестидесяти; второй вопрос — о существовании арифметических или героновых треугольников, т. е. таких, стороны и площадь которых — рациональные числа.
      Глава пятая «Календарь». Кратко изложена история календаря, приведены примеры механических и вечных календарей.
      Глава шестая «Вероятность». Подобраны обычные вводные задачи на вероятность и дан анализ некоторых азартных игр.
      Глава седьмая «Магические квадраты». Автор лишь слегка касается вопросов теории магических квадратов, но знакомит читателей с приемом составления магических квадратов при помощи «решетки точек» и так называемых «ломаных путей».
      Главы восьмая и девятая «Геометрические развлечений» и «Перестановки». Приведены традиционные геометрические задачи-смекалки и задачи на преодоление затруднительных положений.
      Главы десятая и одиннадцатая. Даны классические задачи о размещении ферзей, или ладен, или коней на шахматной доске. Приводятся два варианта этой задачи: первый вариант — расставить на шахматной доске одинаковые фигуры так, чтобы ни одна фигура не могла находиться под ударом другой фигуры; второй вариант — расставить на шахматной доске минимальное число одинаковых фигур так, чтобы каждое ноле доски было под ударом. Выясняется, например, что во втором варианте задачи минимальное число ферзей равно пяти для досок 8 X 8, 9 X 9, 10 X 10, II X П. В аналогичных случаях минимальное число коней — 12.
      Для шахматного коня еще ставится и такая задача: обойти доску непрерывным движением, побывав на каждом поле по одному разу. Известно, что число решений этой задачи очень велико. Только на одной половине обыкновенной доски 8X8 конь может сделать 122802 512 различных маршрутов, каждый из которых может быть продолжен на второй половине доски.
      Глава двенадцатая «Игры». Рассмотрены преимущественно позиционные игры на шахматной доске. Привлекает внимание интересный прием алгебраи-зации возможных «ходов» шахматных фигур и шашек. Так, например, шашка, как известно, перемещается по диагонали вправо или влево от своего первоначального положения. (...)
     
      ОТЕЧЕСТВЕННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
      В России отдельные занимательные задачи начали появляться еще в рукописных математических пособиях XVII.в., а впоследствии, начиная с «Арифметики» Л. Магницкого (1703), включались и в печатные издания учебных руководств для школы.
      Первые сборники задач математической смекалки на русском языке относятся к концу XVIII, началу XIX вв. Вначале это были небольшие и весьма примитивные книжки или дополнительные главы к книгам по арифметике. В качестве примера укажем на следующие две книги.
      «Гадательная арифметика для забавы и удовольствия», Спб., 1789. Автор и издатель — И. Краснопольский. В книге 62 страницы и содержит она 41 задачу (арифметические фокусы угадывания чисел, переправы, задача Иосифа Флавия, определения дня недели и др.).
      «Карманный математик, или самый легкий и удобный способ самому собой в кратчайшее время основательно обучиться всем правилам арифметики с присовокуплением разных полезных и любопытных математических задач, сочиненный с вопросами и ответами в пользу российского юношества» (автор не указан), Спб., 1809, 216 стр.
      Работа Ив. Буттера. Книжка Ив. Буттера «Занимательные и увеселительные задачи и загадки»1 (1831) небольшого формата, 55 страниц, содержит 110 задач и головоломок. Приведены ответы без решений. Задачи разнообразны, но не все сформулированы достаточно корректно.
      1 «Алфавитный каталог русских книг по математике, вышедших в России с начала книгопечатания до последнего времени», составленный Д. В. Агаповым в 1908 г., книгу Ив. Буттера не упоминает.
      Приведем несколько задач из этой книги.
      Задача 1. Написать сто без нолей. Решение: С (ла- тинское «це» в римской нумерации значит 100); также
      99 9/9. (Возможность других ответов не предусмотрена.)
      Задача 3. Половина двенадцати сколько? Решение: VII (семь). (На последней странице книжки в примечании к задачам сказано: VII есть верхняя часть в римском счету числа XII.)
      Задача 5. Когда от 150 отнимается 15, сколько останется? Решение: ничего (0). (Формулировка задачи не соответствует смыслу ее решения.)
      Задача 12. Написать число, состоящее из 7 цифр; когда обратится, было бы то же число. Решение: 1860981 или 6 180819. (Ясность постановки этой задачи оставляет желать лучшего. Ответ носит характер случайной догадки.)
      Задача 13. 3 яблока разделить двум отцам и двум сыновьям так, чтобы каждому досталось по целому яблоку. Решение: Поликарп, Сидор и Карп. Отцы: Поликарп — отец Сидора, Сидор — отец Карпа, Сыновья: Карп — сын Сидора, Сидор — сын Поликарпа.
      Задача 69. В одном училище было 30 учеников, в котором числе было 15 прилежных и 15 ленивых; один благодетель подарил 15 червонцев для раздачи оных прилежным ученикам; учитель расположил своих учеников так, что 9-й был всегда прилежный и всегда 9-му давал по одному червонцу и так ленивым не досталось ни одного червонца. (Ответ дан в форме схем этического рисунка.)
      Есть в книге Буттера задачи на определение числа предметов по остаткам от деления, задачи «на переправу», на разливание жидкости «пополам» при помощи двух пустых сосудов, числовые фокусы и задачи на расположение предметов вдоль сторон прямоугольника; есть несколько арифметических задач школьного типа, представлены и элементы магических квадратов.
      Работа В. Г. Бенедиктова. В 1869 году поэтом В. Г. Бенедиктовым был подготовлен сборник арифметических задач.
      Этот сборник богаче, чем книга Буттера. По структуре и отчасти по содержанию работа В. Г. Бенедикто,-ва, не имеющая заглавия, близка к книге Баше де Мезириака, которая, очевидно, в подлиннике была знакома нашему поэту. В. Г. Бенедиктов предпосылает своему сочинению небольшое вступление, в котором справедливо замечает: «Прикладная практическая часть арифметики требует иногда не только знания теоретических правил, излагаемых в чистой арифметике, но и находчивости, приобретаемой через .умственное развитие, при знакомстве с различными сторонами не только дел, но и безделиц, которым поэтому дать здесь место мы сочли не излишним».
      Работа В. Г. Бенедиктова делится на 20 небольших ненумерованных глав, имеющих каждая особое заглавие: «Так называемые магические квадраты»; «Угадывание задуманного числа от I до 30»; «Угадывание втайне распределенных сумм»; «Задуманная втайне цифра сама по себе обнаруживающаяся»; «Узнавание вычеркнутой цифры». Имеются и такие главы, как «Чародействующий полководец и арифметическая армия»; «Недостаток в пшеничных зернах для 64 клеток шахматной доски» и последняя, 20-я глава «Громадное число живших на земном шаре обитателей». Уделено место и карточным фокусам арифметического характера.
      Неизвестно, по каким причинам работа В. Г. Бенедиктова не была напечатана. Сама рукопись этого «Сборника», как утверждает Я. И. Перельман в книге «Живая математика», была обнаружена лишь в 1924 г.
      Перельман же установил, по некоторым косвенным данным, и год (1869), когда она была написана (на рукописи год не обозначен).
      Но Я. И. Перельман ошибался, утверждая, что в эпоху составления сборника Бенедиктова (1869) на русском языке не издано было еще ни одного сочинения подобного содержания не только оригинального, но даже и переводного. Как было сказано выше, например, в 1844 г. уже вторым изданием печатался небольшой сборник Ив. Буттера.
      Работы В. И. Обреимова. В. И. Обреимов — видный представитель прогрессивной отечественной методической мысли, активный борец за народное просвещение и за передовые методы преподавания математики. Именно ему принадлежат первые серьезные шаги в разработке проблем внеклассной работы по математике.
      В 1884 г. была опубликована оригинальная книга В. И. Обреимова «Математические софизмы», дающая педагогически продуманную систему упражнений на опровержение ложных доказательств.
      В каждое из двух последующих изданий (1889 и 1898) В. И. Обреимов вносил новые интересные дополнения.
      Не менее интересна и вторая книга В. И. Обреимова — «Тройная головоломка», вышедшая в свет в том же, 1884 г.
      В первом разделе этой книги рассматривается китайская головоломка на составление разнообразных симметричных фигур из семи частей квадрата.
      Второй раздел посвящен упражнениям на составление одно- и двухцветных паркетов. Упражнения в высвобождении колец из замкнутых проволочных цепочек составляют третий раздел книги.
      Педагогическое назначение этой книги — содействовать развитию у учащихся конструкторских навыков и восприятию чувства симметрии и красоты геометрических форм1.
      Работы Е. И. Игнатьева. За несколько лет до появления первых переводов на русский язык упоминавшихся книг В. Аренса и Г. Шуберта были у нас опубликованы два сборника математических задач на смекалку, составленные Е. И. Игнатьевым.
      Первый небольшой сборник «Математические игры и развлечения» был издан в 1904 г.; второй, трехтомный, «В царстве смекалки» был издан в 1907 г. (кн. 1), в 1909 г. (кн. 2), в 1911 г. (кн. 3). Здесь в основном все те же задачи, знакомые нам по книгам Баше и Люка, но огромное достоинство книг Е. И. Игнатьева, в особенности второй его книги, в их большой доступности, народности в лучшем смысле этого слова. Книги Игнатьева хорошо литературно обработаны, здесь сказалась доброжелательная помощь автору со стороны писателя В. И. Короленко2.
      1 Подробнее о педагогическом значении работ Обреимова см. В. Л. Д1инковский, Опровержение ложных доказательств как средство для развития математического мышления учащихся (диссертация), 1947.
      2 В предисловии к книге «Математические игры и развлечения», 1904, Е. И. Игнатьев упоминает о литературной помощи ему со стороны В. И. Короленко.
      В докладе о детской литературе на I Всесоюзном съезде писателей С. Маршак, имея в виду Е. И. Игнатьева, сказал, что он помнит «.талантливого и самобытного математика, который ночи напролет пил крепкий чай, задыхаясь в табачном дыму, и писал для детей книги, которые назывались «В царстве смекалки»1.
      Подбор задач в сборниках Е. И. Игнатьева вполне удовлетворяет условиям, выдвинутым самим автором: они — просты, типичны, вызывают внимательного читателя на составление и придумывание других подобных задач, а в основе задач лежат те или иные важные и интересные теории из разных областей чистых математических знаний.
      «Взяты, например, такие интересные задачи, как о восьми королевах, или ход шахматного коня, показаны их типические решения, сказано о числе их и... затем вопрос предоставляется любознательности и самодеятельности читателя»2.
      Тематика книги Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки» весьма разнообразна. В живой, популярной и даже интригующей форме предлагаются классические задачи на математическую смекалку, задачи народного творчества, а также сообщаются сведения о комбинаторике, теории вероятностей и математической статистике, о счетных машинах и аксиомах алгебры и геометрии, о четвертом измерении и геометрии Лобачевского.
      Четыре издания этой книги (последнее издание вышло в 1925 г.) наилучшим образом содействовали популяризации жанра произведений, содержащих вне-учебные математические задачи, проникновению в семью хороших упражнений для разумного использования часов досуга, воспитанию интереса к математике.
      Надо иметь в виду, однако, что в книге Е. Игнатьева «В царстве смекалки» содержится ряд методологически неприемлемых утверждений и устаревшие математические сведения, а поэтому в настоящее время для самостоятельного чтения в семье ею можно пользоваться только при соответствующей консультации со стороны компетентного руководителя. Приведем примеры. (...)
      Работы Я. И. Перельмана. Деятельность Е. И. Игнатьева по созданию полноценных и педагогически продуманных сборников математических задач на смекалку для семьи и школы была продолжена Я- И. Перельманом (1882 — 1942), который посвятил этому около 30 лет своей творческой деятельности. Его книги по разным отделам занимательной элементарной математики получили огромное распространение и являются нашим национальным богатством в жанре произведений, посвященных математическим задачам-смекалкам2.
      Сборники Перельмана до сих пор ценятся педагогами как незаменимые начальные виеучебные пособия по воспитанию математической инициативы у подростков и взрослых.
      1 Цитируется но последнему, переработанному автором, изданию (1925).
      2 См. библиографический перечень.
      Работы Перельмана пополнили группу классических задач на смекалку задачами, связанными с жизненными наблюдениями и практической деятельностью людей.
      Работа Я. Успенского. Классические внеучебные задачи не остались без внимания и со стороны отечественных ученых математиков. В 1924 г. акад. Я В. Успенский опубликовал оригинальные и глубокие исследования по теории математических игр, охватив почти всю группу классических задач рассматриваемого типа1.
      Книга «Избранные математические развлечения» написана популярно, но все же рассчитана не на массового читателя. В небольшом «Прибавлении» в простой, доходчивой форме сообщаются сведения о «сравнениях» и «вычетах», которыми автор пользуется как математическим средством в своих исследованиях.
     
      ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
      Нет необходимости воспроизводить в деталях всю хронологию развития жанра произведений, посвященных математическим задачам на смекалку. За последние полтора столетия мировая литература, относящаяся к этому жанру литературы, разрослась до огромных размеров.
      По неполным данным к 1934 г. только о «магических квадратах» было написано на французском, немецком, английском и русском языках около тысячи книг и статей, принадлежащих перу более чем 380 авторов2.
      Появление статей о «магических квадратах» в английских, немецких и французских математических журналах не прекращается и поныне.
      Тщательно подобранная доктором Аренсом и все же не исчерпывающе полная библиография европейских книг, имеющих отношение к математическим задачам на смекалку, доведенная до 1918 г, насчитывает 762 наименования (включая, правда, и повторные издания одной и той же книги). Продолжая эту библиографию по 1943 г., W. L. Schaaf перечислил3 еще 156 книг (из них только одну на русском языке) и 158 журнальных статей (за первые 43 года двадцатого столетия).
      До начала второй мировой войны существовали два основных литературных очага, объединяющих усилия многочисленной группы специалистов и любителей, всерьез и между делом занимающихся проблемами математических развлечений: один из них — в Нью-Йорке: журнал «Scripta mathematica», основанный в 1932 г.; другой — в Брюсселе: журнал «Sphinx», основанный в 1931 г. и целиком посвященный математическим развлечениям. Организатор и редактор журнала «Sphinx» — проф. Крайчик (см. стр. 34).
      В годы второй мировой войны журнал «Sphinx» перестал издаваться. Издание журнала «Scripta malhe-niatica» продолжается.
      По инициативе М. Крайчика были организованы и проведены два международных конгресса по математическим развлечениям: в 1935 г. — в Брюсселеив 1937 г. — в Париже. Библиотеки нашей страны, к сожалению, не имеют отчетов об этих конгрессах.
      В Москве с 1957 г. возобновилось издание научно-популярных сборников «Математическое просвещение». Будем надеяться, что на страницах этих сборников появятся новые задачи-смекалки и статьи, посвященные проблемам «математических досугов».
     
      § 3. ПОПЫТКИ СИСТЕМАТИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
     
      Совокупность задач рассматриваемой категории не образует самостоятельной научной отрасли, не имеет своей аксиоматики и систематической проблематики, не образует системы знаний. Это, говоря образно, — лишь «подсобное хозяйство» различных отраслей математики и в первую очередь арифметики, геометрии, теории чисел.
      «Весь этот разнообразный как по содержанию, так и по месту и времени происхождения материал математических развлечений, циркулируя среди народа, является в истинном смысле его творчеством и достоянием. Вместе с тем выловить этот материал и систематизировать его для отдельного лица довольно трудно, и нередко даже специалисты в этой области каким-нибудь случайным путем с удивлением узнают то или иное остроумнейшее развлечение»1.
      Собственно, вряд ли есть необходимость в разработке научных основ классификации математических задач на смекалку. Естественно, что никто, по-видимому, этим и не занимался. Впрочем, на международных конгрессах по математическим развлечениям, состоявшихся в 1935 и 1937 гг., вопрос о классификации может быть и обсуждался, но, как уже упоминалось (см, стр. 45), в нашем распоряжении пока нет сведений о программе этих конгрессов.
      К периоду тех же конгрессов относится предложение Денка (один из редакторов журнала «Archimedes», Regensburg) о делении математических развлечений на следующие три крупных раздела:
      I раздел: солидные задачи, еще не получившие решения, например, такие, как знаменитая теорема Ферма, проблема четырех красок и др.
      1 Я. Успенский, акад., Избранные математические развлечении, 1924.
      II раздел- важные задачи, имеющие решение, но получившие дальнейшее развитие или выступающие в новых отношениях с другими задачами, например задачи, связанные с диофантовыми равенствами.
      III раздел: мелкие, частные задачи, выпадающие из границ математических знаний; среди них могут быть и такие, за которыми скрываются интересные проблемы. В качестве примера Денк упоминает «1а cryplarithmie» — нечто вроде «зашифрованных действий», «тайнописи» и т. п.
      Для задач, которые мы объединили в серию «математической смекалки», деление Дейка неприемлемо, так как первый раздел его деления включает задачи, явно выпадающие из рассматриваемой серии: практика по-
      казала, например, что для обоснования теоремы Ферма одно» смекалки недостаточно.
      Какая-то систематизация математических задач на смекалку все же необходима хотя бы с целью более эффективного доведения их до «потребителя». Если бы была выполнена детальная систематизация, то она в конце концов привела бы к созданию весьма нужной энциклопедии задач на смекалку. Пока имеются лишь отдельные сборники (в большинстве своем ставшие библиографической редкостью), в которых й какой-то мере и осуществляется практически систематизация рассматриваемых задач.
      Анализируя структуру получивших мировое признание сборников К- Г. Баше, Э. Люка, В. Аренса, Г. Шуберта, М. Крайчика и книг Я. И. Перельмана по занимательной математике (см. § 2), можно различить следующие два принципа систематизации задач:
      1. Предметный — по связям задач с тем или иным предметом школьного курса математики — осуществляется в оерии книг Я. И. Перельмана: «Занимательная арифметика», «Занимательная геометрия», «Занимательная алгебра».
      2. Операционно-тематический — по сюжетам в сочетании с группами однородных операций-действий, применяемых для решения задач, объединенных темой — осуществляется во всех остальных книгах из вышеупомянутых и в книгах Я. И. Перельмана: «Живая математика», «Занимательные задачи».
      Так, в книге Э. Люка «Математические развлечения» (1883) выделены темы: «Переправы», «Мосты и острова», «Лабиринты», «Размещение королев на шахматной доске», «Бинарная нумерация». Часть глав посвящается отдельным играм: «Солитер», «Меледа» и «Такен».
      Эти же темы выделены в книге В. Аренса «Математические игры и развлечения» (1911) и дополнены следующими темами: «Перемещения», «Странствования и круговые поездки». «Угадывание карт», «Дележи», «Ход коня», «Магические квадраты», «Математические софизмы».
      Операционно-тематический принцип размещения задач по главам еще более определенно выражен в книге " Крайчика «Mathematical recreations» и в работе Б. А. Кордемского «Математическая смекалка» (1954 г. и последующие).
      «Математическая смекалка», например, расчленена на следующие тематические циклы:
      «Затруднительные положения» (сюжетный стержень: физические действия, выполнение которых затруднено, но может быть осуществлено средствами математической смекалки).
      «Геометрия на спичках» (сюжетный стержень: конструирование из спичек моделей фигур).
      «Семь раз примерь, один раз отрежь» (сюжетный стержень: преобразование фигур при помощи перекраивания).
      «Умение везде найдет применение» (сюжетный стержень: элементарно-технические и практические вопросы, решение которых требует участия математической мысли).
      «Домино и кубик», «Свойство девятки» (сюжетные стержни выражены в заглавиях).
      «С алгеброй и без нее» (сюжет безразличен; операционный стержень: алгебраический путь решения или любой иной, но всегда есть некоторая «изюминка» или в самом способе, или в сопоставлении способов решения).
      «Математика почти без вычислений» (операционный стержень: действий почти нет, но для решения нужны искусные рассуждения).
      «Делимость чисел» (операционный стержень выражен в заглавии).
      «Кросс-суммы и волшебные квадраты» (операционный стержень: специальный способ размещения натуральных чисел).
      «Курьезное и серьезное в числах» (почти бессюжетные экспериментально-числовые операции).
      «Числа древние, но вечно юные» (сюжетно-операционный стержень: операции над числами специального вида: «простыми», «фигурными», «пифагоровыми» и «числами Фибоначчи»).
      Выпадают из указанной классификации лишь «Затейные задачи» — первая глава книги. «Затейные задачи» могли бы быть легко распределены по остальным главам книги; они собраны в отдельную главу ради следующей педагогической цели: предпослать книге
      пропедевтическую главу, составленную из задач, дающих представление о характере последующих глав и в то же время доступных для тех, кому может быть еще трудно самостоятельно различать посильную и непосильную задачи.
     
      § 4. НЕСКОЛЬКО НОВЫХ ТЕМ
     
      Новыми методами, новыми приемами решения задач обогащается математика часто как за счет ее дробления на обособленные отрасли и подразделения, так и за счет последующей взаимной «диффузии» отдельных ее ответвлений. Из наиболее близких к нашему времени примеров можно указать на плодотворное развитие таких «соединений», как «алгебраическая геометрия», «интегральная геометрия»1, «аналитическая теория чисел», «геометрия чисел» и т. п.
      Этот процесс, происходящий в науке, оказывает плодотворное воздействие также и на расширение содержания задач-смекалок.
      Появляются новые темы, дающие импульс математической инициативе и даже классические задачи, казалось бы получившие исчерпывающее решение и превратившиеся всего лишь в тренировочные упражнения смекалки, вновь возникают как задачи для приложения новых приемов рассуждений и новых методов решения. Эти приемы и методы в своих истоках опираются на специальные знания, но дело методики и учителей — там, где возможно, облечь их в популярную форму.
      Пополнение коллекции новыми задачами никогда не прекращается; оно так же закономерно теперь, как и двести лет или две тысячи лет назад.
      Так, например, в 30 — 40-х годах нашего столетия как отголосок проблем, связанных с топологическими сетями и деревьями, вошла в коллекцию задач математической смекалки задача о «совершенном квадрирова-нии прямоугольника»: требуется разбить прямоугольник (в частности, квадрат) на квадраты неповторяющихся размеров.
      1 «Интегральная геометрия» — такое направление современной геометрии, в котором на базе теории меры соединяются идеи дифференциальной геометрии, теории выпуклых тел и теории вероятностей.
      В Процессе разработки общего решения этой задачи выяснилась интересная связь между расположением в прямоугольнике составляющих его квадратов и распределением электрического тока в сети, построенной определенным образом из п проводников. (Подробности см. в книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат».) Решение поставленной геометрической задачи при помощи построения некоторой электротехнической модели или, наоборот, решение физической задачи на правила Кирхгофа в их простейшей форме при помощи построения геометрической модели требует скромных познаний в рамках школьной программы и, следовательно, общедоступно. Решение, основанное на интригующе неожиданных связях между законами физики и геометрическими конструкциями, естественно порождает желание проникнуть в топологические тайны этих связей, углубить свои познания.
      Интересные темы для задач математической смекалки дает молодая математическая наука — «геометрия чисел».
     
      РЕШЕТКА ТОЧЕК
      Большая группа задач на математическую смекалку по методам их решений и обобщений относится к теории чисел. Для решения задач этой группы применялись обычно такие элементарные или элементарноарифметические методы теории чисел, как метод алгорифма Евклида, метод сравнений и вычетов и др.1.
      Но, как известно, со времени опубликования исследований немецкого математика и физика Г. Минков-ского (1864 — 1909) и выдающегося русского математика Г. Ф. Вороного (1868 — 1908) — создателей геометрии чисел. — все более и более возрастает значение геометрических методов в теории чисел.
      Анализ и геометрия имеют дело с непрерывно расположенными системами точек в пространстве одного, двух, трех и большего числа измерений, а геометрия чисел изучает свойства дискретных, прерывных совокупностей точек с целочисленными декартовыми координатами.
      1 См., например, упоминавшиеся уже работы Баше, Люка, Аренса и Успенского.
      Несмотря на молодость геометрии чисел (полвека), ее результаты значительны.
      Наряду с фундаментальными проблемами представления всякого числа в виде произведения простых чисел и в виде суммы простых чисел в теории чисел рассматриваются и такие вопросы, как связь между простыми числами и представлением чисел в виде линейных и квадратичных форм. Еще Дирихле арифметическими методами доказал, что любая арифметическая прогрессия вида (...)
      Так устанавливается связь квадратичных форм с решеткой точек. Здесь много ценного: и связь со школьными представлениями о координатной системе, и знакомство с предметно-содержательной идеей геометрического метода в теории чисел, и «выход» к тем проблемам, зарождение и развитие которых обязано больше всего трудам наших отечественных ученых, среди которых и ныне здравствующие.
      Употребление решетки точек придает наглядность и дополнительное изящество решению числовых задач. Естественно, что точечные решетки находят себе интересное применение и-в решении математических задач-смекалок. Из этой, пока немногочисленной группы задач доступными для школьников являются:
      а) задача «Умный шарик». Новый метод решения старинной задачи о разделении жидкости «пополам» при помощи двух пустых сосудов (см. Я- И. Перельман, Занимательная геометрия, изд. 7 и последующие);
      б) задача о прямой, которую можно наложить на решетку точек так, что она пройдет только через одну «вершинку» решетки;
      в) задачи о маршруте биллиардного шара;
      г) теорема Минковского и примыкающие к ней задачи (о задачах пунктов «б», «в» и «г» см. Г. Штейнгауз, Математический калейдоскоп).
      Задачи, связанные с теоремой Минковского, более обстоятельно представлены в книге «Неэлементарные
      задачи в элементарном изложении» А. Яглома и И. Яг-лома («Библиотека математического кружка»).
      (...)
      Некоторые тождества с биномиальными коэффициентами знакомы учащимся X класса, но из-за абстрактности таких тождеств они обычно не пользуются популярностью у учащихся. Интерпретация этих тождеств на решетке точек стимулирует к самостоятельным поискам и своей конкретностью, наглядностью и изяществом метода способна повысить интерес к алгебраическим соотношениям.
      Решетка точек и «вероятность». Приведенные примеры интерпретации формул, связывающих биномиальные коэффициенты, не только упражняют учащихся в применении остроумного метода ломаных путей на решетке точек, но имеют и некоторое познавательное значение в качестве подступов к проблемам и задачам теории вероятностей. Все более и более возрастающее практическое значение теории вероятностей должно вести и к некоторому пополнению системы массового математического просвещения элементами простейших сведений и упражнений из этой области.
      Решетка точек может принести большую пользу при решении некоторых задач по теории вероятностей.
      Рассмотрим для примера решение одной задачи. (...)
     
      МАТЕМАТИКА ПОЧТИ БЕЗ ВЫЧИСЛЕНИИ
      Так названа глава в «Математической смекалке», содержащая задачи, сущность которых не в вычислениях (они могут быть совершенно незначительными или совсем отсутствовать), а в построении цепочки рассуждений, иногда весьма тонких. В школьных математических кружках такие задачи часто называют «логическими».
      Отыскание цепочки рассуждений, ведущих к решению подобного рода задач, похоже на раскрытие некоторой тайны и потому волнующе-привлекательно. Вместе с тем эти задачи развивают мышление.
      «Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом.
      На математических школьных олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно. Уже такой шуточный вопрос затрудняет многих десятиклассников: в хвойном лесу 800000 елей и ни на одной из них не более 500 000 игл; доказать, что по крайней мере у двух елей число игл точно одинаково»1.
      Всякая новая задача этого раздела очень быстро приобретает широкую популярность и долго «будоражит» ум решающего.
      Такова, например, задача о выделении одной монеты, отличающейся по весу от всех остальных при помощи чашечных весов без гирь.
      Подобного рода задачи хорошо упражняют изобретательность, наталкивают на поиски дальнейших обобщений и закономерностей.
      (...)
     
      § 5. ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ MATEMAtMMECKMX ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ
     
      Не вдаваясь глубоко в анализ педагогических, особенностей математических задач на смекалку (это — дело педагогов-психологов), обратим внимание лишь на те из них, которые определяют воспитательную и отчасти образовательную ценность задач рассматриваемой коллекции.
      К наиболее характерным педагогическим особенностям математических задач-смекалок относятся: конкретность и индуктивность, способность возбуждать интерес к предмету, делать интересным процесс решения, занимательность и общедоступность. Кроме того, в коллекцию математических задач-смекалок могут входить и задачи политехнического содержания.
      Покажем теперь, преимущественно на примерах, что перечисленные особенности действительно присущи математическим задачам-смекалкам.
     
      КОНКРЕТНОСТЬ
      Начальная стадия мышления всегда конкретна. Через конкретность пролегает путь к абстракции — одному из важнейших качеств мышления в его высших формах. Конкретность математических задач проявляется прежде всего в их связях с предметами и процессами реального мира, но это также и числа, фигуры, действия.
      Конкретность как учебных, так и внеучебных математических задач проявляется в первую очередь в их содержании.
      Большое воспитательное значение имеют те задачи, содержание которых подсказано реальной жизнью, многогранной деятельностью людей.
      У задач на смекалку здесь особенно широкие возможности. Разумеется, что эти возможности должны быть использованы в меру, не грубо.
      Литература по математическим развлечениям имеет определенные положительные традиции в использовании случаев из жизни для обрамления задач; имеются и новые попытки и поиски в этом направлении.
      В духе традиционной конкретности, с легким включением в сюжет крупиц назидательности и юмора, оформлены следующие задачи.
     
      ДОРОГАЯ НАГРАДА
      Когда Нурия Сараджева была еще подростком, она, как и известная Мамлякат, одной из первых в своем колхозе начала применять более совершенный способ сбора хлопка. В награду Нурия получила хороший коврик работы замечательных туркменских ковровщиц. Этой первой наградой Нурия очень дорожила. Теперь она выросла и работает агрономом в своем родном колхозе. Коврик, конечно, с нею, на полу, в ее лаборатории.
      Однажды, производя какие-то исследования, Нурия пропила кислоту на коврик и прожгла как раз самую середину. Пришлось вырезать поврежденную часть из середины коврика. Получилось большое прямоугольное отверстие в 1X8 дм (черт. 16).
      Но Нурия не бросила свой коврик. Она очень искусно разрезала сохранившуюся часть коврика на две части так, что, сложенные вместе, они образовали квадрат. Швы были незаметны, и снова получился славный коврик.
      Как она это сделала?
     
      ИСТОРИЯ С ГРИБАМИ
      Пятеро друзей: Маруся, Коля, Ваня, Андрюша и Петя, отдыхавшие в пионерском лагере, пошли по грибы. Правда, грибами всерьез занялась одна Маруся, что же касается мальчиков, то они большую часть времени провалялись на траве, рассказывая друг другу всякие небылицы.
      Когда собрались возвращаться в лагерь оказалось, что у мальчиков корзины пустые, в то время как Маруся в своей корзине насчитала 45 грибов.
      — Неудобно вам, ребята, возвращаться в лагерь с пустыми корзинами, — посочувствовала Маруся и рассыпала по корзинам мальчиков все свои грибы (в своей корзине не оставила ни одного гриба).
      Однако на обратном пути Коля и Андрюша натолкнулись на грибное место и дополнили свои корзинки, причем Коля нашел два гриба, а Андрюша удвоил количество бывших у него грибов. Ваня и Петя всю дорогу озорничали и растеряли часть своих грибов. Ваня потерял два гриба, а Петя потерял половину грибов, полученных от Маруси.
      Самым удивительным оказалось то, что когда в лагере стали считать принесенные грибы, то у всех мальчиков оказалось грибов поровну. А когда грибники рассказали всю историю с грибами товарищам, то любителей математики заинтересовал вопрос: смогут ли они на основании этого рассказа подсчитать, сколько грибов получил каждый мальчик от Маруси?
      Как вы полагаете?
      В жанре внеучебной математической литературы допустима и даже желательна не только форма задач-рассказов, вроде только что изложенных, но также и большие беллетристические произведения с единой художественно выполненной фабулой, включающей в себя познавательный материал. Верно, что изданная Детгизом в 1949 г. книга С. Боброва «Волшебный двурог» оказалась «первый блин — комом» (справедливо отрицательный отзыв на книгу помещен в журнале «Математика в школе», 1950, № 2), но попытка создания повести с включением в ее содержание математического материала заслуживает внимания и поддержки.
     
      ИНДУКТИВНОСТЬ
      Подросток или взрослый, самостоятельно отыскивающий неизвестное ему решение задачи, пусть даже кем-то до него решенной, совершает элементарный творческий процесс. Отправным пунктом этого мыслительного процесса является простая индукция, т. е. переход от ряда частных случаев к охватывающему их общему положению. Индукция в свою очередь опирается на наблюдения. Для того чтобы подвергнуть какое-либо свойство индуктивной проверке, надо его сначала заметить. Так, приступая к решению задали, мы часто воспроизводим ее условие практически, на предметах, на чертеже, стараясь прежде всего заметить, пронаблюдать те соотношения, которые потребуется потом обосновать. Усваивая некоторое общее положение, правило, мы его прежде наблюдаем на ряде частных примеров.
      В ходе решения задачи процесс обобщения, как известно, часто осуществляется при помощи математической или полной индукции, вывод, полученный таким путем, уже является дедуктивным.
      Простая индукция сама по себе не обладает доказательной силой, но она обеспечивает исходные положения для дедукции.
      В силу конкретности содержания математических задач-смекалок мы имеем в этой коллекции достаточный набор упражнений для применения индуктивного метода, для развития наблюдательности и умения осуществлять обобщения. На одну и ту же тему можно составить задачу или как общедоступную головоломку, допускающую экспериментальное решение, или ряд постепенно усложняющихся задач, ведущих к обоснованию алгоритма, а может быть и к построению соответствующей теории.
      Таковы темы «переправ», «перемещений», «магических квадратов», темы, относящиеся к свойствам целых чисел (часто курьезных и т, п.
      Все эти и другие аналогичные темы, характерные для задач на смекалку, допускают новые решения и обобщения. Возьмем, например, одну из типичных задач на смекалку, упоминавшуюся уже задачу Тэта (см. стр. 13): на столе лежат в ряд п белых и п черных шашек в чередующемся порядке: белая, черная, белая, черная...
      За последней шашкой справа есть свободное место для двух шашек. Пользуясь этим свободным местом и перемещая каждый раз только две рядом лежащие шашки без изменения их взаимного расположения, требуется добиться такого расположения данных шашек, чтобы оказались рядом все черные шашки и за ними все белые шашки.
      Для п=3, как легко убедиться, задача решается в три хода (каждое перемещение — ход), для п=4 решается в четыре хода, для п=5 — в пять ходов и т. д.
      Для небольших п — это несложная экспериментальная задача, доступная и интересная подросткам самого младшего возраста. С увеличением п увеличиваются и трудности отыскания решения. Дальнейшее развитие задачи: установить зависимость между числом п пар шашек и требуемым числом ходов; установить возможность решения задачи для любого п; найти общее правило перемещений. Последние вопросы могут заставить задуматься даже специалиста-математика, но это еще не значит, что их решение недоступно рядовому любителю математики.
      Теория головоломки Тэта не очень сложна. В этом легко убедиться, ознакомившись с ее изложением в книге акад. Я- В. Успенского «Избранные математические развлечения».
      Получение выводов из наблюдений, отыскание закономерностей в процессах решения ряда однотипных задач, установление связей и новых свойств, поиски возможных обобщений — все это элементы математического творчества, способствующие развитию математической инициативы, активности.
      Пусть решение не получается или наблюдения не поддаются обобщению, полезно уже само обдумывание возможных обобщений и связей, полезны усилия найти решение, полезно даже активное усвоение имеющегося решения.
      У внеучебиой математической книги большие возможности провести читателя по ступеням познания от-самой нижней: опыта, созерцания, накопления наблюдений — к следующей: осознаванию результатов наблюдений, пониманию теоретических основ созерцаемого материала и далее, если нужно, — к новому, обогащенному, применению знаний к практике. Эти соображения, в частности, побудили и авторов книги «Удивительный квадрат»1 принять следующую структуру книги:
      Глава первая. Предлагается читателю серия задач — опытов: разрезать 12 разноцветных квадратов на указанные части и, проявив некоторое старание и сообразительность, из образовавшихся частей каждого квадрата выложить заданную фигуру («геометрический конструктор»).
      Глава вторая знакомит читателя с геометрическими способами раскройки квадратов, применявшейся в задачах первой главы; дается здесь и обоснование возможности перекраивания одного многоугольника в другой (теорема Бойаи).
      Дальнейшее расширение теории не входит в план книги «Удивительный квадрат», но читателю предоставляется возможность попробовать свои собственные силы в решении аналогичных задач на перекраивание фигур, требующих от него более активной творческой работы.
      Завершается книга примерами применения к наиболее рациональному раскрою промышленного листового материала геометрического способа, разработанного советскими учеными-матем атаками.
     
      ВОЗБУЖДЕНИЕ ИНТЕРЕСА
      «Ни один наставник не должен забывать, что его главнейшая обязанность состоит в приучении воспитанников к умственному труду и что эта обязанность более важна, нежели передача самого предмета»2.
      Здесь же Ушинский указывает, что умственный труд — едва ли не самый тяжелый труд для человека.
      «Мальчик скорее готов проработать физически целый день или просидеть без мысли над одной и той же страницей несколько часов и вызубрить ее механически, нежели подумать серьезно несколько минут»1.
      Что же может заставить такого мальчика думать, размышлять, решать задачу, тем более не обязательную для его учебных дел? Конечно, не принуждение и даже не всегда убеждение. Источник побуждения надо искать в эмоциях подростка.
      Основным побудителем к умственному труду является интерес, первоначально появляющийся как производная от впечатления, а затем уже как желание познания. Интерес, вызванный математической задачей, возбуждает стремление решить ее, вовлекает человека в сферу активной умственной деятельности, которая в свою очередь содействует укреплению воли, настойчивости. На базе интереса возникает и увлечение процессом решения, процессом деятельности.
      Увлечение самим процессом деятельности есть одно из важнейших проявлений интереса.
      Вместе с увлечением приходит ощущение удовольствия, наслаждения от выполнения умственных упражнений, так как, по справедливому суждению Д. Й. Писарева, «обаятельная сторона отыщется непременно во всяком умственном, т. е. не машинальном труде... Самое действие, упражнение сил и энергии человека в процессе деятельности может быть источником наслаждения»2.
      Увлечение деятельностью перерастает в интерес к „ предмету . деятельности, к открывающимся перспективам, но возрастание интереса одновременно сопровождается возникновением новых вопросов .и жадным стремлением получить на них ответы, т- е. усилением чувства неудовлетворенности достигнутым, которое в свою очередь становится теперь побудительной силой для дальнейших размышлений и поисков нового.
      В этом союзе удовольствия и неудовлетворенности, заключающем в себе единство и взаимопроникновение противоположностей, в разрешении возникающего, таким образом, противоречия и заключается движущая пружина как самого интереса, так и связанной с ним деятельности.
      Значение необходимости возбуждения интереса состоит также и в том, что умственная деятельность, связанная с интересом, укрепляет способности человека.
      Возбуждение интереса лежит в основе самого существования внеучебных задач. Они не являются обязательными для занятий и не могли бы существовать веками, многие даже почти в неизменном виде, если бы не обладали свойством заинтересовывать, увлекать.
      Учителя средних школ очень часто отмечают возникновение интереса к математике у учащихся как результат их участия в математическом кружке, часть занятий которого обычно посвящается и упражнениям в решении математических задач на смекалку. Эта же особенность внеучебных задач отмечается и в письмах читателей книги «Математическая смекалка».
     
      ЗАНИМАТЕЛЬНОСТЬ
      Если иметь в виду не пустую забаву «ради времяпрепровождения», то занимательность содержания задачи или занимательность формы ее «подачи» служит тем же педагогическим целям, что и интерес. Истинная занимательность предназначена привлекать внимание, активизировать мысль, возбуждать интерес к предмету и желание им заняться. Истинная занимательность всегда несет в себе черты остроумия и придает задачам оттенок игры.
      Через занимательность проникает в сознание ощущение прекрасного в математике, которое при последующем изучении предмета дополняется пониманием прекрасного. К эстетическим элементам занимательности относятся: легкий юмор фабулы, неожиданность ситуации или развязки, доставляемой решением задачи, стройность геометрической формы, изящество решения, под которым понимается сочетание простоты и оригинальности методов его получения.
      Указанными признаками истинной занимательности обладают все лучшие произведения коллекции математической смекалки.
      Своеобразна, например, старинная французская задача о торговке, которая одному покупателю продала половину принесенных яиц и еще пол-яйца (!), другому покупателю продала половину оставшихся яиц и еще пол-яйца и т. д.; наконец, когда она седьмому покупателю также продала половину оставшихся яиц и еще пол-яйца, то у нее ничего не осталось.
      С народной поговоркой о ложке дегтя в бочке меду перекликается по теме шутливая задача, решение которой, однако, не столь уж очевидно. В одной бутылке литр вина, в другой — литр воды. Из первой во вторую перелили ложечку вина, а затем из второй в первую отлили такую же ложечку полученной смеси. Чего теперь больше: воды в первой бутылке или вина во второй?
      А разве не поражае! воображение возможность без сложных вычислений определить последние две цифры числа, которое получится, если 1000 раз повторить возведение числа 7 в седьмую степень, или возможность проделать в кубе такое сквозное отверстие, через которое легко протаскивается без деформации куб таких же и даже больших размеров?
      Подстрекает любопытство и такая задача: наш календарь устроен так, что промежутки, через которые следуют друг за другом числа 1 января, не всегда постоянны, но эти промежутки изменяются периодически, с периодом в 400 лет. С какого же дня чаще начинается новый год: с субботы или с воскресенья?
      В самом полном смысле слова занимательны древнейшие задачи, связанные с магическими квадратами, 4 дележом предметов, размещениями и переправами, перекраиванием фигур, арифметическими фокусами и т. п.
      Подобно истинным произведениям искусства такие задачи живут веками, переходят из поколения в поколение, модернизируясь или сохраняя свой первоначальный вид. Иногда они включаются в учебные руководства, чаще же остаются внеучебными задачами.
      Поэтическая форма занимательности. Стремление облечь задачу в занимательную форму для получения эффекта как художественного, так и педагогического, восходит к глубокой древности.
      Пройдя через этап мистики и астрологии, занимательность постепенно приобрела «светский», поэтический характер (появились задачи в форме легенд и стихотворений), приблизив тем самым математику к народу, что привело в свою очередь к дальнейшему обогащению и усилению воспитательного значения занимательности за счет включения элементов народного эпоса и жизненных ситуаций в содержание математических задач. Занимательные задачи вышли на арену народных развлечений и публичных состязаний.
      Историки указывают, что одним из любимых общественных развлечений индийцев времен Брахмагупты (род. в 598 г.), да и в другие периоды времени было решение задач, предлагаемых в увлекательной форме.
      К тем же далеким временам относится и начало проникновения элементов образности и занимательности в изложение задач, включаемых в папирусы, трактаты и другие математические сочинения.
      Так, в сочинении «Сиддханта-сиромани» («Венец астрономической системы»), принадлежащем индийскому ученому Бхаскара Акарья (1150), обыкновенная задача на составление уравнения представлена следующим образом: «Прекрасная дева с блестящими
      очами, ты, которая знаешь, как правильно применять метод инверсии, скажи мне величину такого числа, которое, будучи умножено на 3, затем увеличено на aU этого произведения, разделено на 7, уменьшено на Чз частного, умножено само на себя, уменьшено на 52, после извлечения квадратного корня, прибавления 8 и деления на 10 дает число 2»1.
      Задача-сказка о переправе волка, козы и кочана капусты с одного берега реки на другой уже 1000 лет является непременным аттрибутом внеучебных средств, способствующих выработке полезных умственных навыков.
      Ряд исторических задач с опоэтизированной и занимательной фабулой, относящихся к разным периодам старины, имеется в сборнике Г. Н. Попова «Исторические задачи» (ГТТИ., 1932). В этом сборнике приведена такая задача из трактата Сридхары: «Пятая часть пчелиного роя сидит на цветке кадамба, одна треть — на цветах силиндха. Утроенная разность последних двух чисел направилась к цветам кутая. И осталась еще одна пчелка, летающая взад и вперед, привлеченная чудесным ароматом жасмина и пандануса. Скажи мне, очаровательная, сколько всех пчел?»
      Задача поэтична и в прозе, но она становится еще более занимательной и привлекательной, когда ее предлагают в форме следующего по-настоящёму хорошего стихотворения:
      Есть кадаыба цветок.
      На один лепесток
      Пчелок пятая часть опустилась.
      Рядом тут же росла
      Вся в цвету сшшндха,
      И на ней третья часть поместилась.
      Разность их ты найди.
      Трижды их ты сложи,
      На кутай этих пчел посади.
      Лишь одна не нашла себе места нигде,
      Все летала то взад, то вперед и везде
      Ароматом цветов наслаждалась.
      Назови теперь мне,
      Подсчитавши в уме.
      Сколько пчелок всего здесь собралось?
      Разумеется, занимаясь математикой, нужно чаще и больше всего говорить на языке самой математики, но в системе массового математического просвещения, в частности и в школьной практике, не следует пренебрегать особенностями стихотворного текста: он легче запоминается, он эмоционален, образен. Говоря словами К. Д. Ушинского, в этом случае «логическая мысль отыщет себе поэтическое выражение и, наоборот, поэзия выражения закрепит самую мысль»1.
      Стихотворный текст применяется как один из мнемонических приемов запоминания. Если, например, для запоминания числового значения я и нет никакой надобности в многословных стихотворениях, существующих на французском, немецком и английском языках, то короткое двустишье:
      Это и знаю и помню прекрасно.
      Пи многие знаки мне лишни, напрасны...
      надолго оставит в памяти, что зт=3,14... (число букв в каждом слове двустишия совпадает с соответствующей цифрой числа я).
      Первая строка двустишья предложена московским преподавателем Е. Я. Терсковым, а вторая строка (по существу излишняя, о чем иронически и сообщается в самой строке, но упрощающая запоминание первой строки) придумана его ученицей, Эсей Чериковер.
      Один из учеников X класса как-то рассказал мне, что решая задачу, связанную с кубом, он никогда не забывает подумать о плоскостях и осях симметрии куба и это иногда наталкивает его на правильный путь решения задачи.
      — Что же, — спросил я, — это от уроков остались у вас такие яркие впечатления об осях и плоскостях симметрии?
      — Может быть и так, но, смешно сказать, — ответил он смущаясь, — я вспоминаю при этом не уроки, а шуточную песенку о кубе, которая на одном из школьных математических вечеров несколько лет назад сопровождала инсценировку о свойствах куба:
      А я куб — молодец:
      Я богат, как купец.
      Ну, а чем я богат? —
      Ты скажи не наугад.
      Итак, куб вызывает в памяти песенку, а песенка ассоциируется со свойствами куба, вспомнить о которых ие бесполезно при решении задач..г
      Еще один случай из практики. Учительница охарактеризовала двух мальчиков своего класса (оба одного возраста) как одинаковых по темпераменту и по их отношению к занятиям.
      Когда пришел ко мне первый мальчик и освоился с обстановкой, мы с ним приступили к опытной проверке приближения к длине окружности периметра квадрата и треугольника, описанных около равных окружностей, при удвоении числа их сторон.
      Мы беседовали, вырезали фигуры, срезали «углы», измеряли, считали. Было наглядно, но недостаточно эмоционально. Мальчик не проявлял большой любознательности, не возникло у него желание узнать еще .что-либо по затронутой теме.
      Тема встречи со вторым мальчиком была та же. Но на этот раз наглядность упражнений с куском бумаги была соединена с занимательностью посредством привлечения остроумной шутки Е. Пайна «Треугольник и квадрат»:
      Жили были два брата: Треугольник с Квадратом. Старший — квадратный. Добродушный приятный. Младший — треугольный, Вечно недовольный.
      Стал расспрашивать Квадрат: «Почему ты злишься, брат?» Тот кричит ему: «Смотри,
      Ты полней меня и шире,
      У меня углов лишь три,
      У тебя же их четыре».
      Но Квадрат ответил: «Брат!
      Я же старше, я — квадрат».
      И сказал еще нежней: «Неизвестно, кто нужней!»
      Но настала ночь, и к брату. Натыкаясь на столы,
      Младший лезет воровато Срезать старшему углы.
      Уходя сказал: «Пряятных Я тебе желаю снов!
      Спать ложился — был квадратным
      А проснешься без углов!»
      Но наутро младший брат Страшной мести был не рад-Поглядел он — нет квадрата. Онемел... стоял без слов...
      Вот так месть! Теперь у брата Восемь новеньких углов! («Затейник», 1935, № 12.)
      Веселое стихотворение Е. Пайна внесло живую образность в наглядный, но скучный процесс превращения описанного квадрата в восьмиугольник.
      Результат встречи со вторым мальчиком оказался иным. Фантазия поэта расшевелила мысль мальчика. Возникли вопросы, предложения, споры. Мальчик продолжал работу по теме и после встречи со мной.
      Стихотворное оформление математических сюжетов имеет педагогическую ценность и для подростков старшего возраста.
      Педагогическая целесообразность занимательности. В хорошем стиле занимательности обрабатывал и сочинял за 1ачи Я- И. Перельман. Особенно удачна его «Занимательная геометрия» — сборник задач, подсказанных практикой, жиЗныо.
      Ценность такого рода задач состоит в том, что они тренируют «практическую сообразительность». Как измерить высоту недоступного предмета или ширину реки? Как определить объем бутылки или толщину проволоки, пользуясь только масштабной линейкой? Как без измерений и вычислений определить, больше или меньше половины бочки составляет ее содержимое? Нет предела разнообразию подобных задач.
      Педагогическая целесообразность внесения разнообразных элементов занимательности в «подачу» математического материала, в особенности для лиц, «неиску-. шенных» в математике, утверждается многими деятелями математического просвещения. Известен такой афоризм Паскаля: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно fie упускать случаев делать его немного занимательным».
      Проф. И. В. Арнольд писал в одной из своих методических статей: «...чем живее и непринужденнее форма, в которой им (учащимся) преподносятся задачи, тем лучше... Облекайте задачи в форму краткого рассказа, иллюстрируйте их на доске, хотя бы схематически, придумывайте драматические положения, заботьтесь об иллюстративном материале (снимки, рисунки и т. д.), не пренебрегайте шуточными рассказами»1.
      Излагая принципы организации математического кружка, педагог М. Н. Голайдо замечает: «Учащихся V — VII классов в значительной мере привлекает элемент занимательности, поэтому примерно половина занятий нашего кружка была посвящена разбору и решению оригинальных задач. Занимательные задачи имеют большую давность и представляют собой большую ценность для преподавания математики»2.
      Право занимательных задач занять должное место во внеклассной работе по математике энергично отстаивает в своей диссертации и педагог С. И. Афонина: «Несмотря на то что большинство учителей, ведущих внеклассную работу, использует в ней занимательную математику, имеется немало сторонников «серьезных» занятий. Такие товарищи считают, что занимательная математика перестает быть занимательной для учащихся старших классов, математическое развитие которых требует более глубоких и серьезных вещей, чем занимательные задачи. Однако эти товарищи заблуждаются, недооценивая элемент занимательнсти»3. Далее в своей работе С. И. Афонина показывает, как занимательные задачи могут быть использованы во внеклассной работе по математике и какова их роль.
      Границы занимательности. Требование должного внимания к проблеме занимательности прозвучало и с трибуны II Всесоюзного съезда писателей. «Но при всем том бывает и так: стоит писателю подчеркнуть романтические черты своего героя, внести в произведение занимательную выдумку, заострить сюжет, покруче завернуть фабулу, как вдруг поднимается этакий сморщенный старческий палец и слышится скрипучий голос: «Ложная занимательность», «псевдоромантика», «так в жизни не бывает, а бывает так то...» (Б. Полевой, из доклада о детской литературе).
      И все же нельзя недооценивать опасности проникновения ложной занимательности в содержание вне-учебных математических задач. Занимательность становится ложной, если она ведет к вульгаризации математических положений, упрощенчеству, неряшливости изложения, словом, к математической некорректности.
      Внеучебиые задачи предназначены преимущественно для самостоятельной работы, поэтому неряшливость и упрощенчество здесь особенно недопустимы, чтобы у человека, недостаточно искушенного в математике, не укрепились вредные навыки и неверные представления. Занимательность не должна переходить границы математической корректности. К сожалению, редакции нематематических журналов, а также сборников типа «В часы досуга» не очень требовательны в этом отношении. Достаточно привести следующий пример. В журнале «Огонек», 1953, № 26 предложена читателям следующая задача: «Как из 45 (сумма, которая составляется из сложения чисел от 1 до 9) вычесть 45, чтобы в итоге получилось 45?».
      В № 27 журнала помещено следующее «решение»:
      9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45 ~ 1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45 8-f 6+4-f 1 +9+7+5+3+2 = 45
      Здесь в левых частях равенств выполняется вычитание второй строки из первой, как если бы это были числа 987 654 321 и 123 456 789. При этом получается число, сумма цифр которого такая же, как у вычитаемого и уменьшаемого.
      Ни один педагог-математик не согласится принять «ту задачу и ее «решение» даже как «математическую шутку» — настолько чудовищно нелеп «прием» решения задачи.
      Занимательность здесь приняла уродливую форму. Элементарная математическая корректность принесена в жертву ложной занимательности.
     
      ОБЩЕДОСТУПНОСТЬ
      Одним из достоинств задач математической смекалки является их общедоступность, так как решение большей части задач этой категории опирается на весьма скромную математическую базу, в основном арифметическую и в небольших размерах алгебраическую и геометрическую.
      Общедоступность здесь не тождественна с легкостью решения. Решение некоторых задач может быть простым, доступным для понимания, но не каждый может сообразить, как решить задачу, так как для решения задач математической смекалки часто бывает недостаточно применения знакомых, привычных методов, а требуется проявление сообразительности, изобретательности, находчивости, настойчивости, гибкости мышления, сноровки.
      В ряде случаев и трудность задач рассматриваемой категории в очень малой степени бывает связана с возрастом и образованием человека.
      Даже взрослые часто дают неправильный ответ на такой в сущности «детский» вопрос: «Двугривенный ве-гит вдвое больше, чем гривенник, серебра в нем вдвое больше и стоит он вдвое дороже. Что же дороже: килограмм гривенников или полкилограмма двугривенных?»
      Для многих, оказывается, совсем не очевидным, что килограмм гривенников все же дороже, чем полкилограмма двугривенных.
      Предлагалась и такая задача: одно приспособление экономит 40% топлива, другое — 35% и третье — 25%. Какой экономии можно достигнуть, если осуществить сразу все три приспособления?
      Преподаватель математики не сочтет эту задачу трудной и для школьника. Однако же и студенты технических учебных заведений, и опытные инженеры из числа тех, кому предлагалась эта задача, далеко не все давали правильное решение.
      Живой ум подростка находит иной раз неожиданно простое решение задачи, казавшейся нам, взрослым, не из легких и не весьма общедоступных.
      Приведем пример. Известна такая задача: найти прямоугольник с целыми сторонами, площадь которого численноравна периметру.
      Ни один учитель, конечно, не предложит в учебном порядке эту задачу ученикам VI класса, так как ее «естественное» решение сводится к решению в натуральных числах уравнения:
      2 (х+у)=ху.
      Как учебная задача она предполагает, следовательно, более высокое образование. Но действительно ли это малодоступная задача?
      Для девочки из г. Орджоникидзе, ученицы VI класса, школьный путь решения был неизвестен, для нее это была внеучебная задача, задача на смекалку. И девочка нашла блестящее решение. Вот оно. Искомый прямоугольник состоит из единичных квадратов (клеток). Рассмотрим «каемку» шириной в одну клетку, примыкающую к сторонам прямоугольника (черт. 17). Нетрудно заметить, что установить взаимно-однозначное соответствие между клеточками каемки и линейными единицами контура нельзя: в контуре всегда на 4 единицы больше.
      Принимая во внимание условие задачи, заключаем, что оставшаяся сердцевина11 должна содержать 4 клетки. Четыре клетки можно расположить прямоугольником лишь двумя способами: 2X2 и 4X1-
      Окаймляя их клетками, получаем два решения (черт. 18). Задача имеет только два решения.
      Строгая классификация задач рассматриваемого типа по возрастному признаку не является определяющей, поэтому относящиеся к этому типу задач сборники из известной серии «Занимательных задач» Я. И. Перельмана, а также книга Б. А. Кордемского «Математическая смекалка» и др. принимаются в свой адрес как школьниками от V до X класса, так и взрослыми самых разнообразных профессий.
      Тем самым указанные сборники отвечают педагогическому требованию, сформулированному А. С. Макаренко, что книга не должна строго следовать за возрастным комплексом, она должна быть впереди этого комплекса, должна вести читателя к тем высотам, на которых он еще не был.
     
      ПОЛИТЕХНИЗМ
      В понятии «зрелость», знаменующем собой окончание подростком средней школы, среди прочих качеств существенно важны в наше время и такие, как элементарная, но многосторонняя техническая * грамотность, вкус к технике, практическая сметка и умелые руки — словом, полная умственная и практическая подготовленность к овладению в дальнейшем любой определенной производственной специальностью. Для приобретения указанных качеств подросток должен не только обучаться основам соответствующих наук, но наряду с этим как можно больше быть в «производственной атмосфере», как можно чаще вступать в активное соприкосновение с техникой.
      Математика играет существенную роль в системе политехнического образования и воспитания подростка.
      «Если задача политехнизации школы требует в первую очередь овладения самой математикой как составной частью общего образования, как орудием познания мира, то та же задача требует, чтобы математические знания были действенными, чтобы они оказывали существенную помощь в деле освоения основ того или иного производства, чтобы ученик мог и умел применить эти знания в своей практической деятельности»1.
      Совокупность внеучебных упражнений, развивающих математическую инициативу (поскольку в данной работе идет речь лишь об этом виде творческой самодеятельности), представляет собой богатейший резерв и для школьной математики в свете задач политехнического воспитания.
      Разумеется, книжные задания производственного содержания, решаемые главным образом в воображении, не могут и не должны заменить реальных производственных заданий, выполняемых руками, инструментами, приспособлениями, но они подготавливают к практическим действиям, дополняют их. Коллекция математических задач на смекалку постепенно обогащается упражнениями, укрепляющими в читателе представления о реальных отношениях между вещами и процессами, задачами, развивающими конструкторские навыки и вовлекающими читателя в практические действия.
      Примерами таких задач являются задачи на определение длин, расстояний, высот и других величин, недоступных для непосредственного измерения, или задача на определение режима небольшой речки (ширины, скорости течения, «живого сечения» и допустимого напора), представленные в «Занимательной геометрии» Я. И. Перельмана2.
      В письмах ребята сообщают, что под воздействием книги они практически осуществляют решения предложенных задач.
      «Я сам определил высоту дерева при помощи записной книжки и булавочного прибора. Высота 21 м. Разница в измерении обоих приборов в 50 см!» (Из письма ученика Г., Тамбовская обл., станция Инаковка.)
      «Почти все прочитанное я повторял на практике. Я научился быстро при помощи дощечки с тремя булавками определять высоту дерева и ширину реки». (Из письма ученика Ф , Костромская область.)
      В рецензии на «Математическую смекалку» проф. Л. В. Канторович отмечает, что в этом сборнике «Очень много задач, связанных с практической жизнью. Они показывают, что рабочему и сельскому механизатору сообразительность, математическая смекалка и знания нужны ничуть не меньше, чем инженеру или ученому» В особенности это относится к задачам геометрического характера, которым автор почти всегда -придает наглядную форму...»1
      Производственно-технические темы. Можно назвать несколько производственно-технических тем, имеющих большое количество точек соприкосновения с элементарной математикой, следовательно, достойных разработки и включения, если не в школьные математические занятия, то во всяком случае во внеучебную математическую литературу.
      Две темы указывает проф. Л. В. Канторович: «Хотелось бы, чтобы задачи производственного характера были представлены еще полнее. Нужны, например, задачи на самую выгодную, рациональную укладку материалов, задачи на рациональную последовательность работ»2.
      Эти важные и интересные темы организационно-производственного характера еще ждут своего развития-Из имеющихся литературных материалов по указанным темам можно отнести к рассматриваемой серии вне-учебных математических задач пока только две статьи: ]) В. А. Феофилатьев. «К вопросу о плотной укладке дров»3 и 2) Н. А. Мацко, «Вычисление веса сена в скирдах и стогах»4.
      К этим же темам надо присоединить и задачи на рациональный раскрой промышленных материалов, оригинальные методы решения которых придуманы Л. В. Канторовичем и В. А. Залгаллером (Ленинград) и изложены ими в форме, доступной для каждого производственника5. Известно, например, что для изготовления некоторых деталей автомашины ЯГ-6 нужны прямоугольные заготовки размером 135X161 мм2.
      Их приходится вырезать из листов размером 710X1420 мм2. Как произвести разметку каждого листа, чтобы потери за счет обрезков были наименьшими, что особенно важно при серийном выпуске этой продукции. Обычная, примитивная разметка, при которой прямоугольники располагаются подряд вдоль или поперек листа (черт. 19), дает одинаковое количество заготовок в обоих случаях — по 40 из листа.
      Если же разделить площадь листа 1420 X710 мм2 на площадь одной заготовки 161X135 мм2, то получается примерно 46 заготовок. Выходит, что при разметке, указанной на чертеже 19, теряется шесть заготовок иа каждый лист. Конечно, технически невозможно добиться такого раскроя, чтобы получились все 46 заготовок. Но и 40 заготовок из листа — это все-таки не предел для количества заготовок, которое можно получить из данного листа. Вариант наиболее рационального раскроя (черт. 20) дает 44 /35 заготовки из листа, т. е. 10% экономии металла по сравнению с обычными вариантами раскроя.
      Такой план наиболее экономичного раскроя не случайная находка догадливого человека, а результат применения специального математического расчета, так называемого метода разрешающих множителей, разработанного в 1949 — 1950 гг. Л. В. Канторовичем в сотрудничестве с В. А. Залгаллером. Краткое изложение частных случаев применения этого метода для рационального раскроя листовых материалов имеется в книге Б. А. Кордемского, Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» (1952).
      Еще две темы можно озаглавить так: задачи на шарнирные механизмы и задачи, связанные с профессией разметчика.
      Шарнирные механизмы. В докладе на совещании по вопросам педагогики И. А. Каиров перечислил элементы научных основ производства, составляющих содержание политехнического обучения1. К ним, в частности, относится «знание основ техники, системы передачи энергии и движения (типы и устройство исполнительных механизмов)».
      Техника многообразна, но в этом многообразии есть общие или по крайней мере широко распространенные элементы. К таким часто встречающимся элементам разных механизмов (в том числе и исполнительных) относятся, в частности, шарнирные соединения. Практические упражнения в конструировании несложных шарнирных механизмов, например с целью применения их к решению математических задач, являются не только развлечениями, но имеют также и некоторый политехнический сгуысл.
      Нетрудно изготовить, например, шарнирный механизм для построения правильных /г-угольников, где п=5, 6, 7, 8, 9 и 10. Конструкция этого механизма и способ употребления описаны в «Математической смекалке» (второе и последующие издания).
      Политехническое просвещение неизбежно приводит нашего воспитанника, кем бы он ни был, к знакомству с разнообразными кривыми (помимо окружности) и прежде всего с эллипсом, гиперболой и параболой. Эти кривые знакомы многим, но многие ли (в массе) умеют грамотно построить их, многие ли знают о существовании несложных для изготовления в любой мастерской стержневых приспособлений для механического вычерчивания указанных кривых?
      Существует несколько видов стержневых конструкций для вычерчивания эллипса, гиперболы и параболы.
      Рассмотрим для примера конструкцию Кемпбелла, пригодную для вычерчивания любого из указанных конических сечений1.
      Механизм состоит из шести звеньев, четыре из которых равны между собой и образуют ромб (черт. 21).
      Стержни AN и РК. имеют прорези, по которым могут свободно скользить штифты М и С. Штифт М держит чертящее острие.
      Основное свойство этого механизма заключается в его способности сохранять в процессе движения отрезки MB и MD равными между собой, что непосредственно вытекает из равенства треугольников АМВ и AMD.
      Расположение механизма для вычерчивания эллипса, риперболы или параболы показано соответственно на чертеже 22. В последнем случае звено КР должно скользить концом Р по прямой ЕЕи оставаясь все время перпендикулярным к этой прямой.
      В машинах часто встречается деталь, называемая антипараллелограммом. Он применяется для преобразования одной формы траектории движения в другую. Инверсор Поселье, например, преобразовывает круговое движение в прямолинейное. Изобретен он французским офицером Поселье (Peaucellier) в 1864 г. и независимо от него русским математиком Липкиным в 1868 г.1. Эти шарнирные механизмы также несложны для изготовления и могут доставить много удовольствия и пользы.
      Шарнирными механизмами с надлежаще выбранным количеством звеньев и расположением их можно вычертить любую алгебраическую кривую, как это показал английский математик А. Кемпе.
      Тема производственной разметки. Хороший разметчик гармонично сочетает в себе математика, конструктора, технолога, чертежника и художника. Он решает геометрические задачи на построение на самом предмете, пользуясь инструментами и методами, иногда им же придуманными. Если он ошибается в разметке, ошибку вслед за ним повторит токарь, сверловщик, фрезеровщик, обрабатывающие размеченную деталь, — получится брак.
      Разметчик должен сам сообразить, как ему осуществить разметку быстро и точно, с чего целесообразнее начать, как изготовить приспособление или шаблон для ускорения и упрощения работы. Чем выше математическая подготовленность и смекалка у разметчика, тем более значительны его творческие успехи.
      Деятельность разметчика очень ярко иллюстрирует взаимную связь между знаниями и умением.
      В «Математической смекалке» тема разметки представлена описанием задач, решенных разметчиком ленинградского завода «Электросила» имени С. М. Кирова М. П. Бойцовым (№ 369 «Рабочие-геометры», № 149 «Без потерь», № 163 «Задача для столяра», № 191 «Геометрия на шаре». Нумерация дана по второму изданию книги.)
     
      § 6. ЗНАЧЕНИЕ ВНЕУЧЕБНЫХ ЗАДАЧ НА СМЕКАЛКУ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ И ДЛЯ ВОСПИТАНИЯ УМСТВЕННОЙ АКТИВНОСТИ ПОДРОСТКОВ
     
      РОЛЬ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК В ПОВЫШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ПОДРОСТКОВ
      Математические задачи, решение которых требует проявления многосторонней системы знаний и элементов творчества, являются задачами повышенной трудности. Умение решать задачи повышенной трудности справедливо считается одним из критериев математического развития человека.
      Как же вырабатывается это умение? Каковы основы и предпосылки математического развития, например, у школьников? Обеспечивается ли математическое развитие тренировкой в решении типовых задач, которые занимают, как правило, значительную долю школьных математических упражнений?
      Опыты, проведенные А. В. Степановым на материала геометрических задач, привели к выводам, заслуживающим внимания учителей и дающим ответ на поставленные вопросы.
      Положим, изучена некоторая группа теорем или правил. Изучение сопровождалось решением только типовых задач, т. е.; таких задач, решение которых основывается преимущественно на применении только что изученной теории. Приобретены знания, выработался навык в прим "нении этих знаний к решению соответствующих задач, похожих на решаемые. В терминах психологии: «в коре головного мозга образовался куст ассоциаций, или иначе — система ассоциаций».
      Положим, далее, что изучение другой группы теорем или правил сопровождалосьопятытакирешением только относящихся к ней типовых задач. Образовался новый «куст ассоциаций».
      В результате такого изучения программы вырабатывается некоторое многообразие ассоциаций у учащихся, но это многообразие носит «кустовой» характер и не образует цельной, единой «системы связей». Если знания и навыки ученика носят «кустовой» характер, то такой ученик развит недостаточно, и решение задач повышенной трудности ему недоступно.
      Для успешного решения задач повышенной трудности нужна легкость перехода от ассоциаций одного куста к ассоциациям другого, т. е. нужны развитые «межкустовые» или «межсистемные ассоциации». Так называют ассоциации, соединяющие отдельные разделы программы, объединяющие разрозненные кусты ассоциаций в единое целое.
      Если в практике математических упражнений преобладает решение типовых задач, то прочных межсистем-ных ассоциаций у учащихся при этом не образуется; учащиеся не замечают связей между отдельными знакомыми им теоремами или разделами программы, необходимых для решения сколь-нибудь не трафаретных задач.
      Только систематическая работа по развитию меж-системных ассоциаций создает, предпосылки для более легкой выработки новых межсистемных ассоциаций и одновременно является одним из важных процессов математического развития школьника.
      С этой точки зрения становится очевидным один существенный недостаток школьных стабильных задачников, в особенности задачника по геометрии: очень мало задач, предусматривающих взаимосвязь между различными разделами курса.
      Таковы требования психологии, выполнение которых содействует процессу математического развития школьника. Преподаватель, естественно, должен учитывать их в практике организации урока, домашнего задания, а также в организации внеучебных занятий и досуга воспитанников.
      Покажем теперь, что тот же критерий богатства образований межсистемных связей в применении к математическим задачам-смекалкам почти всегда выполняется,
      Задачи-смекалки по существу своей природы многосвязны.
      Упражнения в решеиии таких задач способствуют выработке «межсистемных связей».
      Для подтверждения этого рассмотрим несколько задач из сборника «Математическая смекалка».
      Пример 1. Девять каких-либо целых чисел расположить в форме квадрата так, чтобы получились одинаковые произведения чисел вдоль строк, столбцов и диагоналей квадрата.
      Какие же связи здесь могут быть ассоциированы? Этой задаче предшествовали упражнения в составлении магических квадратов с постоянными суммами чисел вдоль строк, столбцов и диагоналей.
      Если теперь вспомнить правило умножения степеней с одинаковыми основаниями и взять любое число, например 2, в качестве основания степени, а показателями степени сделать числа какого-либо магического квадрата с постоянной суммой, например такого, как на чертеже 23, то полученные числа образуют искомый квадрат с одинаковыми произведениями (черт. 24).
      Известное правило алгебры, казалось бы не имеющее никакого отношения к поставленной задаче, применяется в новых условиях. Более того, эту задачу (что характерно и для других задач «Смекалки») можно решить и иначе, — основываясь на связях с другими разделами алгебры.
      Пр и мер 2. Инженер, работающий за городом, ежедневно приезжает на станцию в 8 час. 30 мин. Точно в это же время подъезжает к станции «Победа» и, не задерживаясь, отвозит инженера на завод. Однажды инэкенер приехал иа станций в 8 час. и, не дожидаясь автомобиля, пошел пешком к заводу. Встретив на пути «Победу», он сел в нее и приехал на завод на 10 мин. раньше, чем обычно. Какое время показывали часы в момент встречи инженера с «Победой»?
      Ситуация задачи совершенно лишена искусственной «натянутости». Это — некоторое жизненное наблюдение, требующее «математической обработки». Знакомые связи между величинами s, v и t поставлены здесь в непривычные условия, что и побуждает мысль к поискам дополнительных связей.
      Предположим, что ищущий решение этой задачи захотел обратиться к помощи графика (очень целесообразное направление решения). Расстояние от станции до завода неизвестно и неизвестно время выхода «Победы» с завода, поэтому длина отрезка ОА (черт. 25) и наклон прямой СВ — графика движения «Победы» — произвольны. Масштаб по оси времени также произвольный. (...)
      Значение задач математической смекалки состоит также и в том, что почти все они не менее чем школьные упражнения педагогически целенаправлены: одни — на укрепление навыков логического мышления, другие — на укрепление правильности математической речи, третьи — на развитие осторожности в суждениях «по аналогии», иные — на расширение представлений о разнообразии и красоте геометрических форм, представлений о связях математики с практической деятельностью,! на укрепление конструктивных навыков самостоятельной работы и т. д., а все в совокупности — на общее повышение математической культуры тех, кто систематически упражняется в решении задач.
     
      РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК В ВОСПИТАНИИ УМСТВЕННОЙ АКТИВНОСТИ
      Выявляя воспитательную сторону обучения матема- тике, еще М. Симон писал: «Свободное творческое упражнение собственных умственных способностей, самостоятельное или принимаемое за самостоятельное решение задач, будь то задачи Нл построение, составление уравнений, нахождение теорем и доказательство, испытываемая при этом учениками радость творчества, — вот что составляет самый важный в воспитательном отношении элемент обучения математике, присущий почти только ему, если оставить в стороне сочинения в старших классах»1.
      Будем понимать «радость творчества», о которой говорит М. Симон, как «творческую умственную активность», а воспитание творческой умственной активности действительно является одной из важнейших целей обучения математике; достижению этой цели во многом содействует самостоятельное решение задач, в том числе и внеучебных математических задач на смекалку.
      Справедливость последнего утверждения имеет соответствующие психологические предпосылки. Умственная активность подростка проявляется прежде всего в его отношений к учению: в понимании и усвоении изучаемого материала, в организации своих домашних занятий. При этом такая черта как внимание считается в психологии определяющим элементом проявления умственной активности.
      По словам проф. Н. Ф. Добрынина, внимание при достаточном упражнении превращается в черту характера, что чрезвычайно важно и что чрезвычайно облегчает выполнение всякой деятельности. Воспитание внимания необходимо тесно связывать с воспитанием всей личности, ее стремлений, намерений и убеждений. Если активизируется деятельность восприятий, памяти, мышления и воображения школьника, то можно быть уверенным и в том, что внимание его будет достаточно устойчивым и сосредоточенным. Внимание, таким образом, показывает активность деятельности учащегося.
      Так как самостоятельное решение задач неизбежно активизирует восприятие, память, мышление и воображение, то становится ясным, что систематические упражнения в самостоятельном решении разнообразных математических задач способствуют укреплению сосредоточенного устойчивого внимания.
      1 М. Симон, Дидактика и методика математики в средней школе, 1912, стр. 43.
      Характерная особенность математических задач-смекалок состоит в том, что они способны вызвать интерес к результату решения, а заманчивость получения результата вдохновляет на преодоление трудностей процесса решения задач и тем самым содействует воспитанию умственной активности. «Каждый знает по себе, как результат делает интересным самый процесс достижения этого результата... Замечательное свойство человеческой психики заключается в том, что интерес к результату легко становится интересом к самому процессу достижения этого результата»1.
      Увлекательные упражнения гонят прочь интеллектуальную и волевую лень, тренируют мышление, вырабатывают привычку к умственному труду, потребность в нем, воспитывают настойчивость в преодолении трудностей, терпение, вызывают благотворно действующее на организм радостное сознание успеха в случае самостоятельно найденного решения.
      Включая материалы «на смекалку» в арсенал средств воспитания, воспитатель приобретает прекрасное пособие для разумного заполнения досуга воспитанников, для игры, для ежедневной умственной гимнастики.
      Для организации воспитания имеет значение и тот факт, что именно через книги, относящиеся к жанру произведений, содержащих математические задачи на смекалку, нередко вырабатывается побудительный мотив к изучению математики.
      Воспроизведем несколько признаний самих ребят, добровольно откликнувшихся письмами на прочитанную ими книгу Я- И. Перельмана «Занимательная геометрия».
      Ученик Р. (Одесса) пишет, что до знакомства с книгой «Занимательная геометрия» он полностью разделял мнение своих друзей о бесполезности изучения геометрических теорем. «При вторичном чтении этой книги у меня пробудился интерес к изучению геометрии, вообще математики».
      Ученик Ж. из Ейска пишет: «Моя мама купила мне эту книгу, когда я перешел в VI класс. Всегда я и мои
      1 См. «Ученые записки», Московский городской педагогический институт имени В. П. Потемкина, т. XXXVI, 1954; статья
      Н. Ф. Добрынина «Проблемы активности личности, активноств сознания».
      товарищи считали математику мучением. Когда я прочитал книгу, она открыла мне много нового. Теперь я учусь по алгебре, арифметике, физике, геометрии только на «4» и «5», а в школе образовался математический кружок...»
      Ученик Г. (Москва) пишет, что до знакомства с книгой «Занимательная геометрия» он совсем не интересовался геометрией, хотя учится уже в X классе. «Раньше я не увлекался геометрией, потому что мне она казалась скучной, но теперь я очень много времени трачу на то, чтобы решить как можно больше задач, которые связаны с жизнью. Теперь я понял, что геометрия нужна почти везде. В школе я тоже стал серьезнее относиться к геометрии...»
     
      § 7. ПРОЯВЛЕНИЕ ТВОРЧЕСКОЙ САМОДЕЯТЕЛЬНОСТИ В РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ-СМЕКАЛОК
     
      По мере того как развивается математическая инициатива, у человека появляется реальная уверенность в своих силах, способностях. Возникает здоровое желание творческой пробы сил. Область математических задач-, смекалок — широкая арена для проявления умственной активности. Математик-специалист при желании находит здесь материал для профессионального творчества, любой подросток и взрослый нематематик — материал для самодеятельного творчества.
      Самодеятельная творческая активность проявляется прежде всего в стремлении найти свое решение задачи, решение, отличное от того, какое сообщает автор «Сбор-. ника задач». В коллекции упражнений «на смекалку» много задач, допускающих различные решения. Особей- ■ ио велика бывает радость успеха, радость победы, главным образом, конечно, у подростков, когда им удается обнаружить не предусмотренное автором дополнительное или более простое, более изящное решение. Приведем несколько примеров.
      Пример 1. Требуется расставить знаки «плюс» между цифрами числа 1 2 3 4 5 6 7 так, чтобы в сумме получилось 100 («Математическая смекалка», 1954, задача № 53).
      Ученица Т. (VI класс, Кемерово) нашла решение, дополнительное к приведенному в книге:
      14-23 + 4 + 54-67= 100.
      Пример 2. Автор сборника «Математическая смекалка» в первом издании показал, как можно изобразить любое целое число от 1 до 25, употребляя каждый раз точно пять двоек, и признался, что число 26 изобразить аналогичным способом ему не удалось. Но автор не утверждает, что решение невозможно, значит можно
      попытаться найти его. Спустя некоторое время оно и было найдено учеником В. (Ленинград):
      (26 =2-+2).
      Пример 3. Разрезать данный квадрат так, чтобы из его частей можно было составить три квадрата с отношением площадей 2:3:4. В книге Б. А. Кордемского и Н. В. Русалева «Удивительный квадрат» эта задача решена при помощи деления данного квадрата на восемь частей. Ученик С. (IX класс, Свердловск) придумал более экономное решение.
      Разрежем сначала данный квадрат на три части: квадрат (I) и два прямоугольника (II) и (III) (как показано на чертеже 27, а). Отношение площадей этих фигур удовлетворяет условию: 2:3:4. Так как отношение большей стороны к меньшей в каждом из прямоугольников (И) и (III) не превышает числа 4, то способом, описанным в книге «Удивительный квадрат», эти прямоугольники можно превратить в квадраты, разрезая каждый только на три части (черт. 27, б).
      Всего получается семь частей.
      Пример 4. При помощи перегибаний квадратного листа бумаги вписать в данный квадрат равносторонний треугольник, имеющий с квадратом одну общую вершину.
      (...)
      Приведенные примеры проявления творческой математической самодеятельности — их мозйно было бы значительно умножить — показывают, что математическими упражнениями могут быть увлечены «и стар, и млад», а культурное и воспитательное значение их неоспоримо.