Математическая смекалка

DjVu

      ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
      В труде, в учении, в игре, во всякой творческой деятельности нужны человеку сообразительность, находчивость, догадка, уменье рассуждать — все то, что наш народ метко определяет одним словом «смекалка». Смекалку можно воспитать и развить систематическими и постепенными упражнениями, в частности решением математических задач как школьного курса, так и задач, возникающих из практики, связанных с наблюдениями окружающего нас мира вещей и событий.
      «Математика, — сказал М. И. Калинин, обращаясь к ученикам средней школы, — дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению. Недаром говорят, что математика — это гимнастика ума».
      Каждая семья, в которой родители озабочены организацией умственного развития детей и подростков ощущает потребность в подобранном материале для заполнения досуга полезными, разумными и нескучными математическими упражнениями.
      Вот для такого рода внепрограммных занятий, бесед и развлечений в свободный вечер, в семейном кругу и с друзьями, или в школе на внеклассных встречах и предназначена «М атематическая смекалка» — сборник математических миниатюр: разнообразных задач, математических игр, шуток и фокусов, требующих работы ума, развивающих смышленость и необходимую логичность в рассуждениях.
      В дореволюционное время были широко известны сборники Е. И. Игнатьева «В царстве смекалки». Теперь они устарели для нашего читателя и поэтому не переиздаются. Все же и в этих сборниках есть задачи, еще не потерявшие педагогической и образовательной ценности. Одни из них вошли в «Математическую смекалку» без изменения, другие с измененным или совсем новым содержанием.
      Для «Математической смекалки» я также отбирал и в случае надобности обрабатывал задачи из числа тех, которые рассыпаны по страницам обширной отечественной и зарубежной популярной литературы, стремясь, однако, не повторять задач, включенных в распространенные книги Я. И. Перельмана по занимательной математике.
      Такого рода математические задачи «малой формы» возникают иногда как побочный продукт серьезных изысканий ученого; много задач придумывается любителями, а также педагогами в качестве специальных упражнений для «умственной гимнастики». Они, подобно загадкам и пословицам, обычно не сохраняют авторства и становятся достоянием общества.
      «Математическая смекалка» предназначена для читателей с самой разнообразной степенью математической подготовки:
      для подростка 10 — 11 лет, делающего первые попытки самостоятельных размышлений;
      для школьника старших классов, увлеченного математикой,
      и для взрослого, желающего испытать и поупражнять свою догадку.
      Систематизация задач по главам, конечно, весьма условна; в каждой главе есть и легкие и трудные задачи.
      В книге пятнадцать глав.
      Первая глава состоит из разнотипных начальных упражнений «затейного» характера, опирающихся на догадку или непосредственные физические действия (эксперимент), иногда на несложные расчеты в пределах арифметики целых чисел (первый раздел главы) и дробных чисел (второй раздел). Несколько нарушая классификационную стройность книги, я выделил в первую главу часть несложных задач, тематически принадлежащих последующим главам. Это сделано в интересах тех читателей, которым еще трудно самостоятельно отличить посильную задачу от непосильной. Решая подряд разнотипные задачи первой главы, они смогут попробовать свои силы, а затем возникший интерес к определенной теме перенести на соответствующие задачи последующих глав.
      Для решения задач второй главы собственная математическая смекалка и настойчивость должны преодолеть всевозможные препятствия и подсказать выход из затруднительных положений.
      Третья глава — «Геометрия на спичках» — содержит ряд геометрических задач — головоломок.
      Глава «Семь раз примерь, один раз отрежь» состоит из задач на разрезание фигур.
      Содержание задач главы «Уменье везде найдет примененье» связано с практической деятельностью, с техникой.
      В главе, названной «Математика почти без вычислений», содержатся задачи, для решения которых требуется построить цепочку искусных и тонких рассуждений.
      Игры и фокусы собраны в отдельную главу, а также размещены по всей книге. Они содержат в себе математическую основу и несомненно входят в «область смекалки».
      Три главы: «Кросс-суммы и волшебные квадраты», «Курьезное и серьезное в числах» и «Числа древние, но вечно юные», посвящены некоторым любопытным наблюдениям над числовыми соотношениями, накопившимся в математике от глубокой древности до нашего времени.
      Последняя глава — два небольших очерка о трудовой смекалке людей нашей Родины, тружеников полей и заводов.
      В разных местах книги предлагаются читателю небольшие темы для самостоятельных изысканий.
      В конце книги помещены решения задач, но не следует торопиться в них заглядывать.
      Всякая задача на «сообразительность» таит в себе некоторую «изюминку» и представляет собой в большинстве случаев крепкий орешек, раскусить который не так-то легко, но тем более заманчиво.
      Если решение задачи вам не удается сразу, можно временно пропустить ее и перейти к следующей или к задачам другого рездела, другой главы. Позже вернетесь к пропущенной задаче.
      «Математическая смекалка» — книга не для легкого чтения «в один присест», а для работы на протяжении, может быть, ряда лет, книга для регулярной умственной гимнастики небольшими порциями, спутник читателя в его постепенном математическом развитии.
      Весь материал книги подчинен воспитательной и образовательной цели: побудить читателя к самостоятельному творческому мышлению, к дальнейшему совершенствованию своих математических знаний.
      Второе издание «Математической смекалки» не является стереотипным повторением первого. Внесены потребовавшиеся изменения в текст и в решения некоторых задач; отдельные задачи заменены новыми — более содержательными; заново выполнено оформление книги.
      Большие усилия, направленные к улучшению книги, приложила редактор издательства М. М. Горячая.
      Самостоятельно решая задачи, читатели в отдельных случаях находили дополнительные или более простые решения и любезно сообщали мне свои результаты. Авторы наиболее интересных решений упомянуты в соответствующих местах книги.
      Надеюсь получить от читателей «Смекалки» отзывы и пожелания по дальнейшему улучшению книги, а также собственные оригинальные задачи и математические материалы народного творчества.
      Адрес: Москва, Б-64, ул. Чернышевского, д. 31, кв. 53, Борису Анастасьевичу Кордемскому.
      Б. Кордемский.
     
     
      ЗАДАЧИ
     
      «Книга — книгой, А мозгами двигай»
      В. Маяковский.
     
      ГЛАВА ПЕРВАЯ. ЗАТЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
     
      РАЗДЕЛ I
      Проверьте и поупражняйте свою смекалку вначале на таких задачах, для решения которых требуется лишь целеустремленная настойчивость, терпение, сообразительность и уменье складывать, вычитать, умножать и делить целые числа.
     
      1. Наблюдательные пионеры
      Школьники — мальчик и девочка — только что произвели метеорологические измерения.
      Теперь они отдыхают на пригорке и смотрят на проходящий мимо них товарный поезд.
      Паровоз на подъеме отчаянно дымит и пыхтит. Вдоль полотна железной дороги ровно, без порывов дует ветер.
      — Какую скорость ветра показали наши измерения? — спросил мальчик.
      — 7 метров в секунду.
      — Сегодня мне этого достаточно, чтобы определить, с какой скоростью идет поезд.
      — Ну, да, — усомнилась девочка.
      — А ты присмотрись повнимательнее к движению поезда.
      Девочка немного подумала и тоже сообразила, в чем тут дело.
      А увидели они в точности то, что нарисовал наш художник (рис. 1). С какой же скоростью шел поезд?
      Рис. 1. С какой скоростью идет поезд?
     
      2. «Каменный цветок»
      Помните талантливого «умельца» мастера Данилу из сказки П. Бажова «Каменный цветок»?
      Рассказывают на Урале, что Данила, будучи еще учеником, выточил два таких цветка (рис. 2), листья, стебли и лепестки которых разнимались, а из образовавшихся частей цветков можно было сложить пластинку в форме круга.
      Попробуйте! Перерисуйте данилины цветочки на бумагу или картон, вырежьте лепестки, стебли и листья и сложите круг.
     
      3. Перемещение шашек
      Положите на стол 6 шашек в ряд попеременно — черную, белую, еше черную, еше белую и т. д. (рис. 3).
      Рис. 3. Белые шашки должны оказаться слева, за ними — черные.
      Справа или слева оставьте свободное место, достаточное для четырех шашек.
      Требуется переместить шашки так, чтобы слева оказались все белые, а вслед за ними все черные. При этом перемещать на свободное место нужно сразу две рядом лежащие шашки, не меняя порядка, в котором они лежат. Для решения задачи достаточно сделать три перемещения (три хода)*).
      Если у вас нет шашек, воспользуйтесь монетами или нарежьте кусочки бумаги, картона.
      *) Тема этой задачи получает дальнейшее развитие в задачах 96 и 97 (стр. 57 и 58).
     
      4. В три хода
      Положите на стол 3 кучки спичек. В одну кучку положите 11 спичек, а в другую — 7, в третью — 6. Перекладывая спички из любой кучки в любую другую, нужно сравнять все три кучки, чтобы в каждой было по 8 спичек. Это возможно, так как общее число спичек — 24 — делится на 3 без остатка; при этом требуется соблюдать такое правило: к любой кучке разрешается добавлять ровно столько спичек, сколько в ней есть. Например, если в кучке 6 спичек, то и добавить к ней можно только 6, если в кучке 4 спички, то и добавить к ней можно только 4.
      Задача решается в 3 хода.
     
      5. Сосчитайте!
      Проверьте свою геометрическую наблюдательность: сосчитайте, сколько треугольников в фигуре, изображенной на рис. 4.
     
      6. Путь садовника
      На рис. 5 дан план небольшого яблоневого сада (точки — яблони). Садовник обработал все яблони подряд.
      Рис. 5. План яблоневого сада.
      Начал он с клетки, отмеченной звездочкой, и обошел одну за другой все клетки, как занятые яблонями, так и
      свободные, ни разу при этом не возвращаясь на пройденную клетку. По диагоналям он не ходил и на заштрихованных клетках не был, так как там помещались различные строения.
      Закончив обход, садовник оказался на той же клетке, с которой начал свой путь.
      Начертите в своей тетради путь садовника.
     
      7. Надо смекнуть
      В корзине лежит 5 яблок. Как разделить эти яблоки между пятью девочками, чтобы каждая девочка получила по одному яблоку и чтобы одно яблоко осталось в корзине?
     
      8. Не долго думая
      Скажите, сколько в комнате кошек, если в каждом из четырех углов комнаты сидит по одной кошке, против каждой кошки сидит по 3 кошки и на хвосте у каждой кошки сидит по кошке?
     
      9. Вниз — вверх
      Мальчик плотно прижал грань синего карандаша к грани желтого карандаша. Один сантиметр (в длину) прижатой грани синего карандаша, считая от нижнего конца, запачкан краской. Желтый карандаш мальчик держит неподвижно, а синий, продолжая прижимать к желтому, опускает на 1 см, затем возвращает в прежнее положение, опять опускает на 1 см и опять возвращает в прежнее положение; 10 раз он так опускает и 10 раз поднимает синий карандаш (20 движений).
      Если допустить, что за это время краска не высыхает и не истощается, то на сколько сантиметров в длину окажется запачканным желтый карандаш после двадцатого движения?
      Примечание. Эту задачу придумал математик Леонид Михайлович Рыбаков по дороге к дому после удачной охоты на уток. Что для него послужило поводом к сочинению задачи, вы прочтете на стр. 387, после того как решите задачу.
     
      10. Переправа через реку (старинная задача)
      Небольшой воинский отряд подошел к реке, через которую необходимо было переправиться. Мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг офицер замечает у берега двух мальчиков, забавляющихся в лодке. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков — не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Каким образом?
      Решайте эту задачу «в уме» или практически, — используя шашки, спички или что-либо в этом роде и передвигая их по столу через воображаемую реку.
     
      11. Волк, коза и капуста
      Это — тоже старинная задача; встречается в сочинениях VIII века. Она имеет сказочное содержание.
      Рис. 6. Нельзя было оставить без человека волка и козу...
      Некий человек должен был перевезти в лодке через реку волка, козу, и капусту. В лодке мог поместиться только один человек, а с ним или волк, или коза, или капуста. Но если оставить волка с козой без человека, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту, а в присутствии человека «никто никого не ел». Человек все-таки перевез свой груз через реку.
      Как он это сделал?
      В узком и очень длинном желобе находятся 8 шариков: четыре черных слева и четыре белых чуть-чуть большего диаметра справа (рис. 7). В средней части желоба в стенке имеется небольшая ниша, в которой может поместиться только один шарик (любой). Два шарика могут расположиться рядом поперек желоба только в том месте, где находится ниша. Левый конец желоба закрыт, а в правом конце есть отверстие, через которое может пройти любой черный шарик, но не белый. Как выкатить из желоба все черные шарики? Вынимать шарики из желоба не разрешается.
     
      13. Ремонт цепи
      Знаете, над чем задумался молодой мастер (рис. 8)? Перед ним 5 звеньев цепи, которые надо соединить в одну цепь, не употребляя дополнительных колец. Если, например, расковать кольцо 3 (одна операция) и зацепиться им за кольцо 4 (еще одна операция), затем расковать кольцо 6 и зацепиться за кольцо 7 и т. д., то всего получится восемь операций, а мастер стремится сковать цепь при помощи только шести операций. Ему это удалось. Как он действовал?
     
      14. Исправьте ошибку
      Возьмите 12 спичек и выложите из них «равенство», показанное на рис. 9.
      Рис. 9. Исправьте ошибку, переложив только одну спичку.
      Равенство, как видите, неверное, так как получается, что 6 — 4 = 9.
      Переложите одну спичку так, чтобы получилось правильное равенство.
     
      15. Из трех — четыре (шутка)
      На столе лежат 3 спички.
      Не прибавляя ни одной спички, сделайте из трех — четыре. Ломать спички нельзя.
     
      16. Три да два — восемь (еще шутка)
      Вот еще аналогичная шутка. Вы можете ее предложить своему товарищу.
      Положите на стол 3 спички и предложите товарищу добавить к ним еще 2 так, чтобы получилось восемь. Разумеется, ломать спички нельзя.
     
      17. Три квадрата
      Из 8 палочек (например, спичек), четыре из которых вдвое короче остальных четырех, требуется составить 3 равных квадрата.
     
      18. В токарном цехе завода вытачиваются детали из свинцовых заготовок. Из одной заготовки — деталь. Стружки, получившиеся при выделке шести деталей, можно :ереплавить и приготовить еще одну заготовку. Сколько деталей можно сделать таким образом из 36 свинцовых заготовок?
     
      19. Попробуйте!
      В квадратном зале для танцев поставить вдоль стен 10 кресел так, чтобы у каждой стены стояло кресел поровну.
     
      20. Расстановка флажков
      Небольшая межколхозная гидроэлектростанция построена комсомольцами. Ко дню ее пуска пионеры украшают электростанцию снаружи со всех четырех сторон гирляндами, лампочками и флажками. Флажков было немного, всего 12.
      Пионеры сначала расставили их по 4 с каждой стороны, как показано на схеме (рис. 10], потом сообразили, что эти же 12 флажков они могут расставить по 5 и даже по 6 с каждой стороны. Второй проект им понравился больше, и они решили расставить по 5 флажков.
      Покажите на схеме, как пионеры расставили 12 флажков по 5 с каждой из четырех сторон и как они могли бы их расставить по 6 флажков.
     
      21. Сохранить четность
      Возьмите 16 каких-нибудь предметов (бумажек, монет, слив или шашек) и расположите их по 4 в ряд (рис. 11). Теперь уберите 6 штук, но так, чтобы осталось в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном рядах по четному числу предметов. Убирая разные 6 штук, можно получить разные решения.
     
      22. «Волшебный» числовой треугольник
      В вершинах треугольника я поместил числа 1, 2 и 3, а вы разместите числа 4, 5, 6, 7, 8, 9 по сторонам треугольника так, чтобы сумма всех чисел вдоль каждой стороны треугольника равнялась 17. Это нетрудно, так как я подсказал, какие числа следует поместить в вершинах треугольника. 2
      Значительно дольше придется вам повозиться, если я заранее не скажу, какие числа следует поместить в вершинах треугольника, и предложу снова разместить числа
      1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
      каждое по одному разу, вдоль сторон и в вершинах треугольника так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 20.
      Когда получите искомое расположение чисел, поищите еще и еще новые расположения. Условия задачи могут выполняться при самых разнообразных расположениях чисел.
     
      23. Как играли в мяч 12 девочек
      Двенадцать девочек стали в круг и начали играть в мяч. Каждая девочка бросала мяч своей соседке слева. Когда мяч обходил весь круг, его перебрасывали в противоположном направлении. Через некоторое время одна девочка сказала:
      — Будем лучше бросать мяч через одного человека.
      — Но так как нас двенадцать, то половина девочек не будет участвовать в игре, — живо возразила Наташа.
      — Тогда будем бросать мяч через двух! (Каждая третья ловит мяч.)
      — Еше хуже: играть будут только четверо... Если хотите, чтобы все девочки играли, надо бросать мяч через четырех (пятая ловит). Другой комбинации нет.
      — А если бросать мяч через шесть человек?
      — Это будет та же самая комбинация, только мяч пойдет в противоположном направлении.
      — А если играть через десять (каждая одиннадцатая ловит мяч)? — допытывались девочки.
      — Таким способом мы уже играли...
      Девочки стали рисовать схемы всех предлагавшихся способов игры и очень скоро убедились в том, что Наташа была права. Только одна схема игры (кроме первоначальной) охватывала всех участниц без исключения (рис. 13, а).
      Вот если бы игравших девочек было тринадцать, мяч можно было бы бросать и через одну (рис. 13,б), и череэ-двух (рис. 13, в), и через трех (рис. 13, г), и через четырех (рис. 13, д), и всякий раз игра охватывала бы всех участниц. Выясните, можно ли при тринадцати играющих бросать мяч через пять человек?
      А можно ли бросать мяч через шесть человек при тринадцати играющих? Подумайте и для наглядности нарисуйте соответствующие схемы.
     
      24. Четырьмя прямыми
      Возьмите лист бумаги и нанесите ца Рис. 14. Нем девять точек так, чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рис. 14. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги.
     
      25. Отделить коз от капусты
      Решите теперь задачу, в некотором смысле противоположную предыдущей. Там мы соединяли точки прямыми линиями, а здесь требуется провести 3 прямые линии так, чтобы отделить коз от капусты (рис. 15). На рисунке книги проводить прямые линии не следует.
      Перерисуйте схему расположения коз и капусты в свою тетрадь и после этого пробуйте решить задачу. Можно совсем не проводить линий, а воспользоваться вязальными спицами или тонкими проволочками.
     
      26. Два поезда
      Скорый поезд вышел из Москвы в Ленинград и шел без остановок со скоростью 60 километров в час. Другой поезд вышел ему навстречу из Ленинграда в Москву и тоже шел без остановок со скоростью 40 километров в час.
      На каком расстоянии будут эти поезда за 1 час до их встречи?
     
      27. Во время прилива (шутка)
      Недалеко от берега стоит корабль со спущенной на воду веревочной лестницей вдоль борта. У лестницы 10 ступенек; расстояние между ступеньками 30 см. Самая нижняя ступенька касается поверхности воды. Океан сегодня очень покоен, но начинается прилив, который поднимает
      лись два числа, причем воду за каждый час на 15 см. Через сколько времени покроется водой третья ступенька веревочной лесенки?
     
      28. Циферблат
      а) Разделить циферблат часов двумя прямыми линиями на три части так, чтобы, сложив числа, в каждой части получить одинаковые суммы.
      б) Можно ли этот циферблат разделить на 6- частей так, чтобы в каждой части находи-суммы этих двух чисел в каждой из шести частей были бы равны между собой?
     
      29. Сломанный циферблат
      В музее я видел старинные часы с римскими цифрами на циферблате, причем вместо знакомой нам записи числа четыре (IV) стояли четыре палочки (IIII). Трещины, образовавшиеся на циферблате, делили его на 4 части, как изображено на рис. 17. Суммы чисел в каждой части оказались неодинаковыми: в одной — 21, в другой — 20, в третьей — 20, в четвертой — 17.
      Я заметил, что при несколько ином расположении трещин сумма чисел в каждой из четырех частей циферблата равнялась бы 20. При новом расположении трещин они могут и не проходить через центр циферблата. Перерисуйте циферблат в свою тетрадь и найдите это новое расположение трещин.
      Рис. 17. Трещины делили циферблат на 4 части.
     
      30. Удивительные часы (китайская головоломка)
      Как-то в один дом срочно попросили зайти часовщика.
      — Я болен, — ответил часовщик, — и не смогу пойти. Но если починка несложная, я пришлю вам своего ученика.
      Оказалось, что нужно было поломанные стрелки заменить другими.
      — С этим мой ученик справится, — сказал мастер. — Он проверит механизм ваших часов и подберет к ним новые стрелки.
      Ученик отнесся к работе очень старательно, и когда он закончил осмотр часов, уже стемнело. Считая работу завершенной, он торопливо надел подобранные стрелки и поставил их по своим часам: большую стрелку на цифру 12, а маленькую — на цифру 6 (было ровно 6 часов вечера).
      Но вскоре после того, как ученик вернулся в мастеренную, чтобы сообщить мастеру, что работа выполнена, зазвонил телефон. Мальчик взял трубку и услышал сердитый голос заказчика:
      — Вы плохо исправили часы, они неправильно показывают время.
      Ученик мастера, удивленный этим сообщением, поспешил к заказчику. Когда он пришел, отремонтированные им часы показывали начало девятого. Ученик вынул свои карманные часы и протянул их разгневанному хозяину дома:
      — Сверьте, пожалуйста. Ваши часы ни на секунду не отстают.
      Ошеломленный заказчик вынужден был согласиться, что его часы в данный момент действительно показывают правильное время.
      Но на другой день утром заказчик опять позвонил и сказал, что стрелки часов, очевидно, сошли с ума и разгуливают по циферблату, как им вздумается. Ученик мастера побежал к заказчику. Часы показывали начало восьмого. Сверив время по своим часам, он не на шутку рассердился:
      — Вы смеетесь надо мной! Ваши часы показывают точное время!
      Часы действительно показывали точное время. Возмущенный ученик мастера хотел тут же уйти, но хозяин удержал его. А через несколько минут, они нашли причину столь невероятных происшествий.
      Не догадались ли и вы, в чем тут дело?
     
      31. Три в ряд
      Расположите на столе 9 пуговиц в форме квадрата по 3 пуговицы на каждой стороне и одну в центре (рис. 18). Заметьте, что если вдоль какой-нибудь прямой линии располагаются две пуговицы или более, то такое расположение мы всегда будем называть «рядом». Так, АВ и CD — ряды, в каждом из которых по 3 пуговицы, a EF — ряд, содержащий две пуговицы.
      Рис. 18. Сколько здесь рядов?
      Определите, сколько на рисунке всего рядов по 3 пуговицы в каждом и сколько таких рядов, в каждом из которых только по 2 пуговицы.
      Уберите теперь любые 3 пуговицы и оставшиеся 6 расположите в 3 ряда так, чтобы в каждом ряду было по 3 пуговицы.
     
      32. Десять рядов
      Нетрудно догадаться, как расположить 16 шашек в 10 рядов по 4 шашки в каждом ряду. Гораздо труднее расположить 9 шашёк в 10 рядов так, чтобы в каждом ряду было по 3 шашки.
      Решите обе задачи.
     
      33. Расположение монет
      На листе чистой бумаги нарисуйте фигуру, представленную на рис. 19, увеличив при этом ее размеры в 2 -3 раза, и приготовьте 17 монет следующего достоинства:
      по 20 копеек — 5 штук,
      по 15 копеек — 3 штуки,
      по 10 копеек — 3 штуки,
      по 5 копеек — 6 штук.
      Рис. 19. Расположите монеты по квадратам этой фигуры.
      Расположите приготовленные монеты по квадратикам нарисованной фигуры так, чтобы сумма копеек вдоль каждой прямой линии, изображенной на рисунке, равнялась 55.
     
      34. От 1 до 19
      В девятнадцати кружках рис. 20 требуется расставить 19 так, чтобы сумма чисел в любых трех кружках, лежащих на одной прямой, равнялась 30.
     
      35. Быстро, но осторожно
      Следующие 4 задачи решайте «на скорость» — кто быстрее даст правильный ответ:
     
      Задача 1. В полдень из Москвы в Тулу выходит автобус с пассажирами. Часом позже из Тулы в Москву выезжает велосипедист и едет по тому же шоссе, но, конечно, значительно медленнее, чем автобус.
      Когда пассажиры автобуса и велосипедист встретятся, то кто из них будет дальше от Москвы?
      Задача 2. Что дороже: килограмм гривенников или полкилограмма двугривенных?
      Задача 3. В 6 часов стенные часы пробили 6 ударов. По карманным часам я заметил, что время, протекшее от первого удара до шестого, равнялось ровно 30 секундам.
      Если для того, чтобы пробить 6 раз, часам понадобилось 30 секунд, то сколько времени будет продолжаться бой часов в полдень или в полночь, когда часы бьют 12 раз?
      Задача 4. Из одной точки вылетели 3 ласточки. Когда они будут в одной плоскости?
     
      А теперь спокойными рассуждениями проверьте свои решения и загляните в раздел «Ответы».
      — Ну как? Не попались , ли вы в те небольшие ловушки, которые содержатся в этих несложных задачах?
      Такие задачи тем и привлекательны, что они обостряют внимание и приучают к осторожности в привычном ходе мыслей.
      все целые числа от 1 до
      Рис. 20. Расставьте в кружках числа от 1 до 19.
     
      36. Фигурный рак
      Фигурный рак, изображенный на рис. 21, сложен из 17 кусочков.
      Сложите из кусочков этого рака две фигуры сразу: круг и рядом с ним квадрат.
     
      37. Стоимость книги
      За книгу заплатили 1 рубль и еще половину стоимости книги. Сколько стоит книга?
     
      38. Беспокойная муха
      По автомагистрали Москва — Симферополь два спортсмена одновременно начали тренировочный велопробег навстречу друг другу.
      В тот момент, когда между велосипедистами осталось всего 300 км, пробегом очень заинтересовалась муха. Слетев с плеча одного велосипедиста и опережая его, она помчалась навстречу другому. Встретив второго велосипедиста и убедившись, что все благополучно, она немедленно повернула обратно. Долетела муха до первого спортсмена и опять повернула ко второму.
      Так она и летала между сближавшимися велосипедистами до тех пор, пока велосипедисты не встретились. Тогда муха успокоилась и села одному из них на нос.
      Муха летала между велосипедистами со скоростью 100 км в час, а велосипедисты все это время ехали со скоростью 50 км в час.
      Сколько километров пролетела муха?
     
      39. Меньше» чем через 50 лет
      Будет ли в этом столетии такой год, что если его записать цифрами, а бумажку повернуть верхним краем вниз, то число, образовавшееся на повернутой бумажке, будет выражать тот же год?
     
      40. Две шутки
      Первая шутка. Папа позвонил дочке, попросил ее купить кое-что из вещей, нужных ему к отъезду, и сказал, что деньги лежат в конверте на письменном столе. Девочка, мельком взглянув на конверт, увидела написанное на нем число 98, вынула деньги и, не сосчитав их, положила в
      сумку, а конверт смяла и выбросила.
      В магазине она купила на 90 рублей вещей, а когда хотела расплатиться, то оказалось, что у нее не только не остается восьми рублей, как она предполагала, но даже нехватает четырех рублей.
      Дома она рассказала об этом папе и спросила, не ошибся ли он, когда считал деньги. Отец ответил, что он сосчитал деньги правильно, а ошиблась она сама и, рассмеявшись, указал ей на ошибку. В чем была ошибка девочки?
     
      Вторая шутка. Приготовьте 8 бумажек с числами 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 и 9 и расположите их в два столбца как на рис. 22.
      Перемещая всего лишь две бумажки, добейтесь того, чтобы суммы чисел в обоих столбцах были одинаковыми.
      Рис. 22. Уравнять неравные суммы.
     
      41. Сколько мне лет?
      Когда моему отцу был 31 год, мне было 8 лет, а теперь отец старше меня вдвое. Сколько мне лет теперь?
     
      42. Оцените «на взгляд»
      Перед вами два столбца чисел:
      123456789 1
      12345678 21
      1234567 321
      123456 4321
      12345 54321
      1234 654321
      123 7654321
      12 87654321
      1 987654321
      Всмотритесь: числа второго столбца образованы из тех же цифр, что и числа первого столбца, но с противоположным порядком их расположения. (Для усиления наглядности нули в левом столбце опущены.)
      Какой столбец при сложении даст больший результат?
      Сначала сравните эти суммы «на взгляд», то-есть, еще не производя сложения, попытайтесь определить, должны ли они быть одинаковыми или одна должна быть больше другой, а затем проверьте сложением.
     
      43. Скоростное сложение
      Восемь шестизначных слагаемых (...) подобраны так, что, разумно их группируя, можно «в уме» найти сумму за 8 секунд. Выдержите вы такую скорость?
      В разделе «Ответы» есть указания, но ... вы их дольше искать будете.
      А друзьям своим покажите два фокуса, которые в шутку тоже можете назвать «скоростным сложением».
     
      Первый фокус. Скажите: «Не показывая мне, напишите столбиком столько многозначных чисел, сколько вам хочется. Затем я подойд], очень быстро напишу еще столько же чисел и моментально все их сложу».
      Допустим, друзья написали:
      7621
      3057
      2794
      4518
      А вы припишите такие числа, каждое из которых дополняет до 9999 одно за другим все написанные числа. Такими числами будут:
      5481
      7205
      6942
      2378
      Действительно: (...)
      Теперь нетрудно сообразить, как быстро подсчитать всю сумму: (...)
      Надо 9999 взять 4 раза, то-есть 9999X4, а такое умножение быстро производится в уме. Умножаем 10 000 на 4 и вычитаем лишних 4 единицы. Получается:
      10 000 X 4 — 4 = 40 000 — 4 = 39 996.
      Воти весь секрет фокуса!
     
      Второй фокус. Напишите одно под другим какие-нибудь 2 числа любой величины. Я припишу третье и мгновенно, слева направо напишу сумму всех трех чисел.
      Положим, вы написали:
      72 603 294
      51 273 081
      Я припишу, например, такое число: 48 726 918 и сразу назову вам сумму.
      Какое число следует приписывать и как в этом случае быстро находить сумму, сообразите сами!
     
      44. В какой руке? (математический фокус)
      Дайте вашему товарищу две монеты: одну с четным числом копеек, а другую — с нечетным (например, двухкопеечную и трехкопеечную). Пусть он, не показывая вам, одну из этих монет (любую) возьмет в правую руку, а вторую — в левую. Вы можете легко угадать, в какой руке у него какая монета.
      Предложите ему утроить число копеек, содержащихся в монете, зажатой в правой руке, и удвоить число копеек, содержащихся в монете, зажатой в левой руке. Полученные результаты пусть он сложит и вам назовет только образовавшуюся сумму.
      Если названная сумма четная, то в правой руке 2 копейки, если — нечетная, то 2 копейки в левой руке.
      Объясните, почему всегда так получается, и придумайте, как можно разнообразить этот фокус.
     
      45. Сколько их?
      У мальчика столько же сестер, сколько и братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев.
      Сколько в этой семье братьев и сколько сестер?
     
      46. Одинаковыми цифрами
      Пользуясь только сложением, запишите число 28 при помощи пяти двоек, а число 1000 при помощи восьми восьмерок.
     
      47. Сто
      При помощи любых арифметических действий составьте число 100 либо из пяти единиц, либо из пяти пятерок, причем из пяти пятерок 100 можно составить двумя способами.
     
      48. Арифметический поединок
      В математическом кружке нашей школы одно время был такой обычай. Каждому вновь вступающему в кружок председатель кружка предлагал несложную задачу — этакий математический орешек. Решишь задачу — сразу становишься членом кружка, а не справишься с орешком, то можешь посещать кружок как вольнослушатель.
      Помню как-то предложил наш председатель одному новичку Вите такую задачу: (...)
     
      49. Двадцать
      Из четырех нечетных чисел легко составить сумму, равную 10, а именно:
      1 + 1+3 + 5=10,
      или так:
      1 + 1 + 1+7 = 10.
      Возможно и третье решение:
      1 + 3 + 3 + 3= 10.
      Других решений нет (изменения в порядке следования слагаемых, конечно, не образуют новых решений).
      Значительно больше различных решений имеет такая задача:
      Составить число 20, складывая ровно восемь нечетных чисел, среди которых также разрешается иметь и одинаковые слагаемые.
      Найдите все различные решения этой задачи и установите, сколько среди них будет таких сумм, которые содержат наибольшее число неодинаковых слагаемых?
      Маленький совет. Если вы будете подбирать числа наудачу, то и в этом случае натолкнетесь на несколько решений, но бессистемные пробы не дадут уверенности в том, что вы исчерпали все решения. Если же в «способ проб» вы внесете некоторый порядок, систему, то ни одно из возможных решений от вас не ускользнет.
     
      50. Сколько маршрутов?
      Из письма школьников: «Занимаясь в математическом кружке, мы вычертили план шестнадцати кварталов нашего города. На прилагаемой схеме плана (рис. 23) все кварталы условно изображены одинаковыми квадратами.
      Нас заинтересовал такой вопрос:
      Сколько разных маршрутов можно наметить от пункта А к пункту С, если двигаться по улицам нашего
      Рис. 23. Сколько маршрутов ведет от Л к С?
      города только вперед и вправо, вправо и вперед? Отдельными своими частями маршруты могут совпадать (см. пунктирные линии на схеме плана).
      У нас сложилось впечатление, что это нелегкая задача. Верно ли мы ее решили, если насчитали 70 разных маршрутов?»
      Что надо ответить на это письмо?
     
      52. Разные действия, один результат
      Если между двумя двойками знак сложения заменить рнаком умножения, то результат не изменится. Действительно: 2+ 2 = 2X2. Нетрудно подобрать и. 3 числа, обладающих тем же свойством, а именно: 1+2 + 3 = = 1X2X3. Есть и 4 однозначных числа, которые, будучи сложены или умножены друг на друга, дают один и тот же результат.
      Кто быстрее подберет эти числа? Готово? Продолжайте состязание! Найдите 5, а потом 6, затем 7 и т. д. однозначных чисел, обладающих тем же свойством. Имейте в виду при этом, что, начиная с группы в 5 чисел, ответы могут быть различными.
     
      53. Девяносто девять и сто
      Сколько надо поставить знаков «плюс» (+) между цифрами числа 987 654 321, чтобы в сумме получилось 99?
      Возможны два решения. Найти хотя бы одно из них не легко, но зато вы приобретете опыт, который поможет вам быстро расставить знаки «плюс» между семью числами 1 2 3 4 5 6 7 так, чтобы в сумме получилось 100. (расположение цифр изменять не разрешается). Школьница из Кемерово утверждает, что и здесь возможны два решения.
     
      54. Разборная шахматная доска
      Веселый шахматист разрезал свою картонную шахматную доску на 14 частей, как показано на рис. 25. Получилась разборная шахматная доска. Товарищам, приходившим к нему играть в шахматы, он предварительно предлагал головоломку: составить из данных 14 частей шахматную доску. Вырежьте из клетчатой бумаги такие же фигурки и убедитесь сами — трудно или легко из них составить шахматную доску.
     
      60. Озадаченный шофер
      О чем подумал шофер, когда он посмотрел на счетчик спидометра своей машины (рис. 29)? Счетчик показывал число 15951. Шофер заметил, что количество километров, пройденных машиной, выражалось симметричным числом, то-есть таким, которое читалось одинаково как слева направо, так и справа налево:
      15951.
      — Занятно!.. — пробормотал шофер. — Теперь нескоро, наверное, появится на счетчике другое число, обладающее такой же особенностью.
      Однако ровно через 2 часа счетчик показал новое число, которое тоже в обе стороны читалось одинаково.
      Определите, с какой скоростью ехал эти 2 часа шофер?
     
      61. Для Цимлянского гидроузла
      В выполнении срочного заказа по изготовлению измерительных приборов для Цимлянского гидроузла приняла участие бригада отличного качества в составе бригадира — старого, опытного рабочего — и 9 молодых рабочих, только что окончивших ремесленное училище.
      В течение дня каждый из юных рабочих смонтировал по 15 приборов, а бригадир — на 9 приборов больше, чем в среднем каждый из 10 членов бригады.
      Сколько всего измерительных приборов было смонтировано бригадой за один рабочий день?
     
      62. Хлебосдачу вовремя
      Начиная сдачу хлеба государству, правление колхоза решило доставить в город эшелон с зерном точно к 11 часам утра. Если машины поведут со скоростью 30 км/час, то колонна прибудет в город в 10 часов утра, а если со скоростью 20 км/час, то в 12 часов дня.
      Как далеко от колхоза до города и с какой скоростью следует ехать, чтобы прибыть как раз вовремя?
     
      63. В дачном поезде
      В вагоне электропоезда ехали из города на дачу две подруги-школьницы.
      — Я замечаю, — сказала одна из подруг, — что обратные дачные поезда нам встречаются через каждые 5 минут. Как ты думаешь, сколько дачных поездов прибывает в город в течение одного часа, если скорости поездов в обоих направлениях одинаковы?
      — Конечно, 12, так как 60:5 = 12, — сказала вторая подруга.
      Но школьница, задавшая вопрос, не согласилась с решением подруги и привела ей свои соображения.
      А что вы думаете по этому поводу?
     
      65. Страшный сон футбольного болельщика
      «Болельщик», огорченный поражением «своей» команды, спал беспокойно. Ему снилась большая квадратная комната без мебели. В комнате тренировался вратарь. Он ударял футбольный мяч о стену, а затем ловил его.
      Вдруг вратарь стал уменьшаться, уменьшаться и, наконец, превратился в маленький целлулоидный мячик от «настольного тенниса», а футбольный мяч оказался чугунным шаром. Шар бешено кружился по гладкому полу комнаты, стремясь раздавить маленький целлулоидный мячик. Бедный мячик в отчаянии метался из стороны в сторону, выбиваясь из сил и не имея возможности подпрыгнуть.
      Мог ли он, не отрываясь от пола, все-таки укрыться где-нибудь от преследований чугунного шара?
      Рис. 30. Шар стремился раздавить мячик.
      Для решения задач второго раздела требуется знакомство с действиями над простыми и десятичными дробями.
      Читатель, еще не изучавший дроби, может временно пропустить задачи этого раздела и перейти к следующим главам.
     
      66. Часы
      Путешествуя по нашей большой и чудесной Родине, я попадал в такие места, где настолько велика разность температур воздуха днем и ночью, что когда я дни и ночи находился на открытом воздухе, то это начинало сказываться на ходе часов. Я замечал, что от изменений температуры днем часы уходили вперед на у минуты, а за ночь отставали на у минуты.
      Утром 1 мая часы еше показывали верное время. К какому числу они уйдут вперед на 5 минут?
     
      67. Лестница
      В доме 6 этажей. Скажите, во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролеты между этажами имеют по одинаковому числу ступенек?
     
      68. Головоломка
      Какой знак надо поставить между написанными рядом цифрами 2 и 3, чтобы получилось число, большее двух, но меньшее трех?
      69. Интересные дроби
      Если к числителю и знаменателю дроби 1/3 прибавить ее знаменатель, то дробь увеличится вдвое.
      Найдите такую дробь, которая от прибавления знаменателя к ее числителю и знаменателю увеличилась бы: а) втрое, б) вчетверо.
      (Знающие алгебру могут обобщить задачу и решить ее с помощью уравнения.)
     
      70; Какое число?
      Половина — треть его. Какое это число?
     
      71. Путь школьника
      Боря каждое утро проделывает довольно длинный путь в школу.
      На расстоянии у пути от дома до школы расположено здание МТС с электрочасами на фасаде, а на расстоянии у всего пути — железнодорожная станция. Когда он проходил мимо МТС, то на часах обычно было 7 ч. 30 м., а когда он доходил до станции, то часы показывали без 25 минут 8 часов.
      Когда Боря выходил из дому и в какое время он приходил в школу?
     
      72. На стадионе
      Вдоль беговой дорожки расставлено 12 флажков на равных расстояниях друг от друга. Старт у первого флажка. У восьмого флажка спортсмен был через 8 секунд после начала бега. Через сколько секунд при неизменной скорости он окажется у двенадцатого флажка? Не попадите впросак!
     
      73. Выгадал ли?
      Остап возвращался домой из Киева. Первую половину пути он проехал поездом в 15 раз быстрее, чем если бы он шел пешком. Однако вторую половину пути ему пришлось проехать на волах — в 2 раза медленнее, чем если бы он шел пешком.
      Выгадал ли Остап сколько-нибудь времени по сравнению с ходьбой пешком?
     
      74. Будильник
      Будильник отстает на 4 мин. в час; 3,5 часа назад он был поставлен точно. Сейчас на часах, показывающих точное время, ровно 12.
      Через сколько минут на будильнике тоже будет 12?
     
      75. Вместо мелких долей крупные
      На машиностроительных заводах есть очень увлекательная профессия; называется она — разметчик. Разметчик намечает на заготовке те линии, по которым эту заготовку следует обрабатывать, чтобы придать ей необходимую форму.
      Разметчику приходится решать интересные и подчас нелегкие геометрические задачи, производить арифметические расчеты и т. д.
      Понадобилось как-то распределить 7 одинаковых прямоугольных пластинок равными долями между 12 деталями. Принесли эти 7 пластинок разметчику и попросили его, если можно, разметить пластинки так, чтобы не пришлось дробить ни одной из них на очень мелкие части. Значит, простейшее решение — резать каждую пластинку на 12 равных частей — не годилось, так как при этом получалось много мелких долей. Как же быть?
      Возможно ли деление данных пластинок на более крупные доли? Разметчик подумал, произвел какие-то арифметические расчеты с дробями и нашел все-таки самый экономный способ деления данных пластинок.
      Впоследствии он легко дробил 5 пластинок для распределения их равными долями между шестью деталями, 13 пластинок для 12 деталей, 13 пластинок для 36 деталей, 26 для 21 и т. п.
      Как поступал разметчик?
     
      76. Брусок мыла
      На одну чашку весов положен брусок мыла, на другую такого же бруска и еще кг. Весы в равновесии.
      Сколько весит брусок?
     
      79. Мишины котята
      Увидит Миша где-нибудь брошенного котенка, непременно подберет и принесет домой. Всегда воспитывается у него несколько котят, а сколько именно, он не любил говорить, чтобы над ним не смеялись.
      Бывало, спросят у него:
      — Сколько у тебя теперь котят?
      — Немного, — ответит он. — Три четверти их числа, да еще три четверти одного котенка.
      Товарищи думали, что он просто балагурит. А между тем Миша задавал им задачу, которую решить совсем нетрудно. Попытайтесь!
     
      80. Средняя скорость
      Половину пути лошадь шла порожняком со скоростью 12 км/час. Остальной путь она шла с возом, делая 4 км/час.
      Какова средняя скорость, то-есть с какой неизменной скоростью нужно было бы двигаться лошади, чтобы на весь путь употребить такое же количество времени?
     
      81. Спящий пассажир
      Когда пассажир проехал половину всего пути, то лег спать и спал до тех пор, пока не осталось - ехать половину того пути, что он проехал спящим. Какую часть всего пути он проехал спящим?
     
      82. Какова длина поезда?
      Два поезда идут друг другу навстречу по параллельным путям; один со скоростью 36 км/час, другой со скоростью 45 км/час. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него в течение 6 секунд. Какова длина первого поезда?
     
      83. Велосипедист
      Когда велосипедист проехал 2/3 пути, лопнула шина.
      На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду.
      Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?
     
      84. Соревнование
      Токари Володя А. и Костя Б. — ученики ремесленного училища металлистов, получив от мастера по одинаковому наряду на изготовление партии деталей, хотели выполнить свои задания одновременно и раньше срока.
      Через некоторое время оказалось, однако, что Костя сделал лишь половину того, что осталось делать Володе, а Володе осталось делать половину того, что он уже сделал.
      Во сколько раз должен был бы теперь увеличить свою дневную выработку Костя по сравнению с Володей, чтобы одновременно с ним успеть выполнить свой наряд?
     
     
      Глава вторая
      ЗАТРУДНИТЕЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
     
      87. Смекалка кузнеца Хечо
      Путешествуя прошлым летом по Грузии, мы иногда развлекались тем, что придумывали всевозможные необыкновенные истории, навеянные каким-нибудь памятником старины.
      Как-то раз подошли мы к одинокой древней башне. Осмотрели ее, присели отдохнуть. А был среди нас студент-математик; он тут же придумал занятную задачу:
      «Назад тому лет 300 жил здесь князь злой и надменный. Была у князя дочь-невеста, Дариджан по имени. Обещал князь свою Дариджан в жены богатому соседу, а она полюбила простого парня, кузнеца Хечо. Попытались было Дариджан и Хечо убежать в горы от неволи, но поймали их слуги Князевы.
      Рассвирепел князь и решил назавтра казнить обоих, на ночь же приказал их запереть вот в эту высокую, мрачную, заброшенную, недостроенную башню, а вместе с ними еще и служанку Дариджан, девочку-подростка, которая помогала им бежать.
      Не растерялся в башне Хечо, осмотрелся, поднялся по ступенькам в верхнюю часть башни, в окно выглянул — прыгать невозможно, разобьешься. Тут заметил Хечо около окна забытую строителями веревку, перекинутую через заржавленный блок, укрепленный повыше
      окна. К концам веревки были привязаны пустые корзины, к каждому концу — по корзине. Хечо вспомнил, что при помощи этих корзин каменщики поднимали вверх кирпич, а вниз спускали щебень, причем, если вес груза в одной корзине превышал вес груза в другой примерно на 5 — 6 кг (в переводе на современные меры),, то корзина довольно плавно опускалась на землю; другая корзина в это время поднималась к окну.
      Хечо на глаз определил, что Дариджан весит около 50 кг, служанка не более чем 40 кг. Свой вес Хечо знал — около 90 кг. Кроме того он нашел в башне цепь весом в 30 кг. Так как в каждой корзине могли поместиться человек и цепь или даже 2 человека, то им всем троим удалось спуститься на землю, причем спускались они так, что ни разу вес опускающейся корзины с человеком не превышал веса поднимающейся корзины более чем на 10 кг.
      Как они выбрались из башни?»
     
      88. Кот и мыши
      Кот Мурлыка только что «помогал» своей юной хозяйке решать задачи. Теперь он сладко спит, а во сне видит себя окруженным тринадцатью мышами. Двенадцать мышей серых, а одна- — белая. И слышит кот, говорит кто-то знакомым голосом: «Мурлыка, ты должен съедать каждую тринадцатую мышку, считая их по кругу все время в одном направлении, с таким расчетом, чтобы последней была съедена белая мышь».
      Но с какой мышки начать, чтобы правильно решить задачу?
      Помогите Мурлыке.
     
      89. Спички вокруг монеты
      Заменим кота монетой, а мышек — спичками. Требуется снять все спички, кроме той, которая обращена головкой к монете (рис. 35), соблюдая следующее условие: сначала снять одну спичку, а затем, двигаясь вправо по кругу, снимать каждую тринадцатую спичку.
      Сообразите, какую спичку надо снять первой.
     
      90. Жребий пал на чижа и малиновку
      В конце летнего лагерного периода пионеры решили выпустить на свободу изловленных юными птицеловами пернатых обитателей полей и рощ. Всего было 20 птиц, каждая в отдельной клетке. Вожатый предложил такой порядок:
      — Поставить все клетки с птицами в один ряд и, начиная слева направо, открывать каждую пятую клетку. Дойдя до конца ряда, переносить счет на начало ряда, но открытые клетки уже не считать, и так продолжать до тех пор, пока не окажутся открытыми все клетки, кроме- каких-то двух последних. Птиц, находящихся в этих клетках, можно взять с собой в город.
      Предложение приняли.
      Большинству ребят было безразлично, каких двух птиц увезти с собой (если уж нельзя взять всех), но Тане и Алику хотелось, чтобы жребий пал непременно на чижа и малиновку. Когда они помогали расставлять клетки в ряд, то вспомнили задачу о коте и мышах (задача 88). Они быстро рассчитали, на какие места следует поставить клетки с чижом и малиновкой, чтобы именно эти клетки остались неоткрытыми, и поставили их на ...
      Впрочем, вы можете без особого труда определить сами, на какие места поставили Таня и Алик клетки с чижом и малиновкой.
     
      91. Разложить монеты
      Заготовьте 7 спичек и 6 монет. Спички разложите на столе звездочкой, как показано на рис. 36. Начиная от любой спички, отсчитайте по движению стрелки часов третью и около ее головки положите монету. Затем опять отсчитайте третью спичку в том же направлении, начиная от любой спички, против которой еще не лежит монета, и также около головки положите монету.
      Действуя таким образом, постарайтесь разложить все 6 монет около головок шести спичек. При отсчете спичек не следует пропускать и тех, около которых уже положена монета;
      начинать отсчет надо обязательно со спички, не имеющей около себя монеты; двух монет на одно место не класть.
      Каким надо руководствоваться правилом, чтобы наверняка решить задачу?
     
      92. Пропустить пассажирский!
      На полустанке одноколейной железной дороги остановился поезд в составе паровоза и пяти вагонов, доставивший бригаду рабочих для строительства новой ветки. Пока на этом полустанке имелся только небольшой тупичок, в котором в случае необходимости едва мог бы поместиться паровоз с двумя вагонами.
      Рис. 37. Как пропустить пассажирский?
      Вскоре следом за поездом со строительной бригадой подошел к этому же полустанку пассажирский поезд.
      Как пропустить пассажирский?
     
      93. Задача, возникшая из каприза трех девочек
      Тема этой задачи имеет почтенную давность. Три девочки, каждая со своим папой, гуляли. Все шестеро подошли к небольшой реке и пожелали переправиться с одного берега на другой. В их распоряжении оказалась всего одна лодка без гребца, поднимающая только двух человек. Переправу было бы, разумеется, нетрудно осуществить, если бы девочки не заявили то ли из каприза, то ли из шалости, что ни одна из них не согласна ехать в лодке, или быть на берегу с одним или двумя чужими папами без своего папы. Девочки были маленькие, но не очень, так что каждая из них могла вести лодку самостоятельно.
      Таким образом, неожиданно возникли дополнительные условия переправы, но ради забавы путники решили попытаться их выполнить. Как они действовали?
     
      94. Дальнейшее развитие задачи
      Веселая компания благополучно переправилась на противоположный берег реки и уселась отдыхать. Возник вопрос: можно ли было бы при тех же условиях организовать переправу четырех пар? Очень скоро выяснилось, что при сохранении условий, выдвинутых девочками (см. предыдущую задачу), переправу четырех пар можно было бы осуществить только при наличии лодки, поднимающей трех человек, причем всего лишь в 5 приемов.
      Каким образом?
      Развивая тему задачи еще дальше, наши путешественники нашли, что и на лодке, вмещающей только двух человек, можно осуществить переправу с одного берега на другой четырех девочек с их папами, если посреди реки есть остров, на котором можно делать промежуточную остановку и высаживаться. В этом случае для окончательной переправы требуется совершить не менее 12 переездов при соблюдении того же условия, то-есть, что ни одна девочка не будет находиться ни в лодке, ни на острове, ни на берегах с чужим папой без своего папы.
      Найдите и это решение.
     
      95. Прыгающие шашки
      Положите 3 белые шашки на квадраты 1, 2, 3 (рис. 38), а 3 черные на квадраты 5, 6, 7. Пользуясь свободным квадратом 4, передвиньте белые шашки на место черных, а черные на место белых; при этом придерживайтесь следующего правила: шашки можно передвигать на соседний свободный квадрат; разрешается также и прыгать через соседнюю шашку, если за ней есть свободный квадрат. Белые и черные шашки могут двигаться навстречу друг другу. Ходы в обратном направлении не разрешаются. Задача решается в 15 ходов.
     
      96. Белое и черное
      Возьмите четыре белые и четыре черные шашки (или 4 медные и 4 серебряные монеты) и положите их на стол в ряд, чередуя цвет: белую, черную, белую, черную и так далее. Слева или справа оставьте такое свободное место, на котором могли бы уместиться не более чем 2 шашки (монеты). Пользуясь свободным местом, можно перемешать каждый раз только по две рядом лежащие шашки (монеты), не изменяя при этом взаимного их расположения.
      Достаточно сделать 4 таких перемещения пар шашек, чтобы оказались подряд все черные, а за ними все белые шашки.
      Убедитесь в этом!
     
      97. Усложнение задачи
      С увеличением числа первоначально взятых шашек (монет) задача усложняется.
      Так, если вы поместите в ряд 5 белых и 5 черных шашек, чередуя их цвет, то потребуется 5 перемещений, чтобы расположить черные шашки с черными, а белые — с белыми.
      В случае шести пар шашек потребуется 6 перемещений; в случае семи пар — 7 перемещений и т. д. Найдите решения задачи для пяти, шести и семи пар шашек.
      Помните, что при первоначальной раскладке шашек следует оставлять слева (или справа) свободное место не более чем для двух шашек и перемещать каждый раз по 2 шашки без изменения их взаимного расположения.
     
      98. Карточки укладываются по порядку номеров
      Нарежьте из картона 10 карточек размером 4X0 си и пронумеруйте их числами от 1 до 10. Сложив карточки стопкой, возьмите их в руку. Начиная с верхней карточки, кладите первую карточку на стол, вторую под низ стопки, третью карточку на стол, четвертую под низ стопки. Поступайте так все время до тех пор, пока не положите на стол все карточки.
      С уверенностью можно сказать, что карточки расположатся не по порядку номеров.
      Подумайте, в какой последовательности надо первоначально сложить карточки в стопку, чтобы при указанной раскладке они расположились в порядке номеров от 1 до 10.
     
      99. Две головоломки расположения
      Первая головоломка. Двенадцать шашек (монет, кусочков бумаги и т. д.) нетрудно расположить на столе в форме квадратной рамки по 4 шашки вдоль каждой стороны. Но попробуйте положить эти шашки так, чтобы вдоль каждой стороны квадрата их было по 5.
      Вторая головоломка. Разложите на столе 12 шашек так, чтобы образовалось 3 ряда по горизонтали и 3 ряда по вертикали и чтобы в каждом из этих рядов лежало по 4 шашки.
     
      100. Загадочная шкатулка
      Миша отдыхал летом в Артеке и привез оттуда в подарок своей младшей сестре Ирочке красивую шкатулку, украшенную 36 ракушками. На крышке шкатулки выжжены линии так, что они делят крышку на 8 секций.
      Ирочка в школу еще не ходит, но умеет считать до 10. Больше всего ей в мишином подарке понравилось то, что вдоль каждой стороны крышки шкатулки расположено ровно по 10 ракушек (рис. 40). Считая ракушки вдоль стороны, Ирочка учитывает все ракушки, находящиеся в примыкающей к этой стороне секции. Ракушки, расположенные в угловых секциях, Ирочка присчитывает и к той и к другой стороне.
      Однажды мама, протирая шкатулку тряпочкой, нечаянно раздавила 4 ракушки. Теперь не стало получаться по 10 ракушек вдоль каждой стороны крышки. Какая неприятность! Придет Ирочка из детского сада и очень огорчится.
      Рис. 40. Вдоль каждой стороны крышки шкатулки — 10 ракушек.
      Рис. 39. Как положить эти шашки по 5 с каждой стороны?
      — Беда не велика, — успокоил маму Миша.
      Он осторожно отклеил часть ракушек из оставшихся 32 и так умело их наклеил снова на крышку шкатулки, что вдоль каждой ее стороны стало опять по 10 ракушек.
      Прошло несколько дней. Снова беда. Шкатулка упала, разбилось еще 6 ракушек; осталось их только 26. Но и в этот раз Миша смекнул, как надо расположить оставшиеся 26 ракушек на крышке, чтобы вдоль каждой ее стороны Ирочка попрежнему насчитывала по 10 ракушек. Правда, оставшиеся ракушки в последнем случае невозможно было распределить на крышке шкатулки так же симметрично, как они располагались до сих пор, но Ирочка на это не обратила внимания.
      Найдите оба Мишины решения.
     
      101. Отважный «гарнизон»
      Снежную крепость защищает отважный «гарнизон». Ребята отразили 5 штурмов, но не сдались. В начале игры «гарнизон» состоял из 40 человек. «Комендант» снежной крепости первоначально расставил силы по схеме, показанной в квадратной рамке справа (в центральном квадрате — общая численность «гарнизона»).
      «Противник» видел, что каждую из 4 сторон крепости защищают 11 человек. По условию игры при первом, втором, третьем и четвертом штурмах «гарнизон» «терял» каждый раз по 4 человека. В последний, пятый, штурм «неприятель» своими снежками вывел из строя еще двух человек. И все же, несмотря на потери, после каждого штурма любую из сторон снежной крепости продолжало защищать по 11 человек.
      Как «комендант» снежной крепости расставлял силы своего гарнизона после каждого штурма?
     
      104. Подготовка к празднику
      Геометрический смысл предыдущих пяти задач заключался в осуществлении такого расположения предметов вдоль четырех прямых линий (сторон прямоугольника или квадрата), что число предметов вдоль каждой прямой сохранялось одним и тем же при изменении их общего количества.
      Такое расположение достигалось за счет того, что все предметы, расположенные по углам, считались как бы принадлежащими каждой из сторон угла подобно тому, как точка пересечения двух прямых принадлежит каждой из них.
      Если полагать, что каждый из предметов, размещаемых по сторонам фигуры, занимает некоторую точку на соответствующей стороне, то все предметы, расположенные по углам, надо воображать сосредоточенными в одной точке (в вершине угла).
      Откажемся теперь от возможности пусть даже воображаемого скопления предметов в одной геометрической точке.
      Будем считать, что каждый отдельный предмет (камушек, лампочка, дерево и т. п.) из числа расположенных на некоторой плоскости занимает отдельную точку этой плоскости, и не будем ограничивать себя требованием размещать эти предметы только по четырем прямым
      линиям. Если эти условия дополнить еще требованием симметричности решения в каком-либо смысле, то задачи о размещении предметов вдоль прямых линий приобретут дополнительный геометрический интерес. Решение таких задач приводит обычно к построению некоторой геометрической фигуры.
      Например, как при изготовлении праздничной иллюминации можно было бы красиво разместить 10 лампочек в 5 рядов по 4 лампочки в каждом ряду?
      Ответ на этот вопрос дает пятиконечная звезда, изображенная на рис. 44.
      Поупражняйтесь в решении аналогичных задач; старайтесь при этом добиться симметрии в требуемом расположении.
      Задача 1. Как расположить 12 лампочек в 6 рядов по 4 лампочки в каждом ряду? (Эта задача имеет два решения.)
      Задача 2. Рассадите 13 декоративных кустов в 12 рядов по 3 куста в каждом ряду.
      Задача 3. На треугольной площадке (рис. 45) садовник вырастил 16 роз, расположенных в 12 прямолинейных рядов по 4 розы в каждом ряду. Потом он приготовил клумбу и пересадил туда все 16 роз в 15 рядов по 4 розы в каждом? Как он это сделал?
      Задача 4. Разместите 25 деревьев в 12 рядов по 5 деревьев в каждом ряду.
      Рис. 44. 5 рядов по 4.
      Рис. 45. Как сделать 15 рядов по 4.
     
      105. Рассадить дубки по-другому
      Красиво высажены 27 дубков по схеме, изображенной
      на рис. 46, в 9 рядов по б дубков в каждом ряду, но лесовод, несомненно, забраковал бы такую планировку. Дубу солнце нужно только сверху, а по бокам чтобы зелень была.
      Любит он, как говорится, расти в шубе, но без шапки, а тут отскочили 3 дубка куда-то в сторону и торчат одиноко!
      Попробуйте рассадить эти 27 дубков по-другому, тоже в 9 рядов и тоже по 6 дубков в каждом ряду, но так, чтобы все деревья расположились в три группы и ни от своей группы; сохраните и
      из них не отскакивало симметрию в расположении.
     
      109. Подарок-головоломка
      Есть такая игрушка: коробочка; откроешь ее, а внутри еще коробочка; ее откроешь, внутри опять коробочка.
      Сделайте такую игрушку из четырех коробочек. В самую маленькую внутреннюю коробочку положите 4 конфеты, добавьте по 4 конфеты в каждую из двух следующих коробочек и 9 конфет — в самую большую.
      Таким образом в четырех коробочках будет размещена 21 конфета (рис. 53).
      Подарите эту коробку с конфетами вашему другу в день рождения с условием не кушать конфеты до тех пор, пока «юбиляр» не перераспределит 21 конфету так, чтобы в каждой коробочке лежало по четному числу пар конфет и еще одна.
      Разумеется, прежде чем делать этот подарок, надо самому «раскусить» эту головоломку. Имейте в виду, что никакие правила арифметики здесь не помогут, надо лишь проявить смекалку и небольшую долю остроумия.
     
      110. Ходом коня
      Для решения этой забавной шахматной задачи не требуется умения играть в шахматы. Достаточно лишь знать, как перемещается фигура коня по доске. На шахматной доске расставлены черные пешки (см. схему на рис. 54). Поставьте белого коня на любую желательную вам свободную клетку шахматной доски с таким расчетом, чтобы этим конем можно было снять с доски все черные пешки, делая при этом наименьшее возможное число ходов конем.
     
      113. Восемь звездочек
      В одной из белых клеток на рис. 57 я поставил звездочку.
      Разместите в белых клетках еше 7 звездочек так, чтобы никакие 2 звездочки (из восьми) не находились на одной горизонтали или вертикали, или какой-либо диагонали.
      Решать задачу, конечно, надо путем проб, поэтому дополнительный интерес задачи еще и в том, чтобы в процесс необходимых испытаний внести известную систему.
     
      114. Две задачи на расстановку букв
      Первая задача. В квадрате, разделенном на 16 равных квадратов, расставьте 4 буквы так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой из двух диагоналей большого квадрата встречалась только одна буква. Как велико число решений этой задачи в том случае, когда расставляемые буквы одинаковы, и в том случае, когда они различны?
      Вторая задача. В квадрате, разделенном на 16 равных квадратов, расставьте по 4 раза каждую из четырех букв а, Ь, с и d таким образом, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой из двух диагоналей большого квадрата не было одинаковых букв. Как велико число решений этой задачи?
     
      115. Раскладка разноцветных квадратов
      Приготовьте 16 квадратов одного размера, но четырех различных окрасок, положим, белой, черной, красной и зеленой — по 4 квадрата каждой окраски. У вас образуется четыре комплекта разноцветных квадратов. На каждом квадрате первого комплекта напишите цифру 1, на каждом квадрате второго комплекта — 2, на квадратах третьего комплекта — 3 и на квадратах четвертого — 4.
      Требуется расположить эти 16 разноцветных квадратов также в виде квадрата, причем так, чтобы в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и в каждой из двух диагоналей находились в каком-либо произвольном порядке квадраты с цифрами 1, 2, 3 и 4 и притом непременно разных окрасок.
      Задача допускает очень много решений. Подумайте о системе получения требуемых расположений.
     
      119. Задача-шутка
      Ученик 4-го класса средней школы Коля Синичкин усердно старается перевести шахматного коня из левого нижнего угла шахматной доски (с поля а\) в правый верхний угол (на поле h8) так, чтобы конь побывал на каждой клетке доски по одному разу. Пока ему это не удается. Но не пытается ли он решить неразрешимую задачу?
      Разберитесь в этом теоретически и объясните Коле Синичкину, в чем тут дело.
     
      120. Сто сорок пять дверей (головоломка)
      Средневековые феодалы превращали иногда подвалы своих замков в тюрьмы — лабиринты со всякого рода фокусами и секретами: с раздвигающимися стенами камер, потайными ходами, разнообразными ловушками.
      Посмотришь на такой старинный замок и невольно возникает желание пофантазировать.
      Представим себе, что в один из таких подвалов, план которого изображен на рисунке 62, брошен человек, из тех, кто боролся с феодалом. Вообразим такой секрет в устройстве этого подвала. Из 145 дверей только 9 заперты (они обозначены на рис. 62 жирными полосками), а все остальные открыты настежь. Кажется, так легко подойти к двери, ведущей наружу, и попытаться ее открыть. Не тут-то было. Открыть запертую дверь ничем невозможно, но она откроется сама, если будет точно девятой по счету, то-есть если перед этим будет пройдено 8 открытых дверей. При этом должны быть открыты и пройдены все запертые двери подземелья; каждая из них также открывается сама, если перед этим пройдено ровно восемь открытых дверей. Исправить ошибку и пройти 2 — 3 лишние двери по соседству, чтобы довести число пройденных дверей до восьми, тоже не удастся: как только какая-нибудь камера пройдена, все прежде открытые в ней двери наглухо закрываются и запираются — второй раз через камеру не пройдешь. Феодалы нарочно так устроили.
      Узник знал об этом секрете подземелья, а на стене своей камеры (отмеченной на плане звездочкой) нашел нацарапанный гвоздем точный план подземелья. Долго он ломал голову над тем, как наметить правильный маршрут, чтобы каждая запертая дверь действительно оказалась девятой. Наконец, он решил эту задачу и вышел на свободу.
      Какое решение нашел узник?
     
      121. Как узник вышел на свободу?
      Желающие могут подумать еще над таким вариантом предыдущей задачи.
      Вообразите, что каземат, в котором томится узник, состоит из 49 камер.
      В семи камерах, обозначенных на плане подземелья (рис. 63) буквами А, Б, В, Г, Д, Е и Ж, есть по одной двери, открывающейся только ключом, причем ключ от двери камеры А находится в камере а, ключ от двери камеры Б находится в камере б, ключи от дверей камер В, Г, Д, Е и Ж, находятся соответственно в камерах в, г, д, е и ж.
      Остальные двери открываются простым нажимом на ручку, но ручка имеется только с одной стороны каждой двери, и дверь, после того как она пройдена, автоматически захлопывается. На другой стороне двери ручки нет.
      На плане подземелья показано, в какую сторону можно пройти через каждую дверь, открывающуюся без ключа, но в каком порядке следует открывать запертые двери, неизвестно. Через одну и ту же дверь разрешается проходить любое число раз, разумеется, соблюдая условия, при которых она открывается.
      Узник находится в камере О. Укажите ему путь, ведущий к выходу на свободу.