|
«Начала» Евклида. Книги Книги I—VI. Классики естествознания. — 1950 г.
«Начала» Евклида. Книги VII—X. Классики естествознания. — 1949 г.
«Начала» Евклида. Книги Книги XI—XV. Классики естествознания. — 1950 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Значение «Начал» Евклида трудно переоценить. В течение двух тысячелетий люди изучали геометрию по «Началам» Евклида. Все систематические школьные курсы геометрии, непосредственно или через промежуточные звенья, испытывают на себе влияние «Начал». Их перевод на русский язык является поэтому не только данью классическому произведению древности, но и событием, весьма важным для преподавания геометрии в школе.
Перевод «Начал» Евклида сделан мной с греческого текста издания Гейберга. Я старался быть как можно ближе к греческому тексту, порой даже в ущерб гладкости изложения. Так же, как Петрушевскийг, Энриквес и Хизс, я даю риторического Евклида, решительно отказываясь перекладывать что-либо из «Начал» на современную алгебраическую символику, как это делают другие переводчики, в том числе и Гейберг. Такая символика тесно связана с идеями, совершенно чуждыми Евклиду.
Мой перевод предназначается не только для учителя, который мог бы удовлетвориться вольным переводом вроде перевода Ващенко-Захарченко, но и для лиц, ведущих работу по истории математики, заинтересованных в получении неискажённого Евклида.
При переводе даны комментарии*); большая часть материала этих комментариев взята из моего архива, накоплен-
*) В связи с изданием «Начал» Евклида на русском языке Издательство одновременно публикует ряд статей (М. Я. Выгодского, А. И. Маркушевича и др.), посвящённых «Началам». Эти статьи, помещённые в первом выпуске «Историко-математических исследований» (Гостехиздат,1948), помогут желающим более глубоко изучить творение Евклида.
Многое является результатом собственных размышлений, часть взята преимущественно из старинных комментариев, о которых я буду упоминать в своих примечаниях.
В новейших больших изданиях «Начал», осуществлённых Энриквесом и Хизсом, я нашёл мало материала, который мог бы быть мной использован. Характер комментариев Хизса совершенно другой: Хизс большой знаток истории текста, но не глубокий знаток старинных комментариев и учебников.
Между тем, главное содержание моих комментариев состоит в описании различных евклидовых положений в эволюционирующем в продолжение 400 лет геометрическом учебнике. Можно сказать, что я задаюсь целью дать «Начала» Евклида сначала такими, какими они были в прошлом, т. е. в их первоначальной форме, а затем такими, какими они становятся в процессе эволюции математической мысли, превращаясь постепенно в школьный учебник геометрии.
Конечно, я рассчитываю дать не только 6 первых книг, но все 15 книг, т. е. все «Начала» полностью, причём также с комментариями, относя арифметические книги и книгу X ко второму тому, а стереометрические книги к третьему.
На русском языке мы в прошедшем имели следующие переводы:
1739. Сатаров. Евклидовы элементы геометрии, сокращённые проф. А. Фархварсоном, пер. с латинского. Спб.
1769. Курганов. Евклидовы элементы геометрии, пер.
с французского. Спб.
1784. Пр. Суворов и Вас. Никитин. Евклидовы стихии, пер. с греческого. Спб.
1819. Петрушевский. Евклидовых Начал восемь книг, пер. с греческого. Спб.
1835. Его же. Евклидовых Начал три книги: седьмая, осьмая и девятая, содержащие общую теорию чисел древних геометров, пер. с греческого.
1880. Ващенко-Захарченко. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованием. Киев.
Ващенко-Захарченко не указывает, сделан ли им перевод с греческого или латинского языка. Перевод его очень вольный и местами неправильный. Есть основание предполагать, что он сделан с латинского издания Р. Симеона, довольно свободно обращавшегося с текстом Евклида; отсюда и взяты большей частью его комментарии, которые пополнены замечаниями переводчика, в общем довольно поверхностными. Нельзя, однако, отрицать, что издание это, несмотря на свои недостатки, оказалось очень полезным.
Свой перевод я делал, не имея под рукой перевода Петрушевского, написанного языком XVIII в. и, конечно, в настоящее время совершенно неприемлемого. Но ознакомление с ним уже по выполнении перевода убедило меня в том, что этот перевод очень хороший; хотя местами понимание Петрушевским текста не согласуется с моим, но мне кажется, что ему нельзя отказать в хорошем понимании «Начал».
При чтении текста «Начал» нужно иметь в виду следующие обозначения.
Числа в круглых скобках ( ) указывают номер соответствующего комментария; кроме того, в круглых же ско ках даются ссылки на нужное предложение «Начал», на которое опирается доказательство в рассматриваемом месте напр.: «(предложение 11 книги 1)» или просто «(предложение 11)», когда даётся ссылка на предложение той же самой книги; нужно иметь в виду, что соответствующие ссылки сделаны Гейбергом и в самэм тексте Евклида не содержатся. В тексте Гейберга чертежи не нумерованы. Нумерация их дана нами.
В квадратных скобках помещены слова, принадлежность которых Евклиду Гейберг считает сомнительной, но не настолько, чтобы прямо исключить их из издаваемого текста.
В угловатых скобках помещены добавления переводчика, необходимые для понимания иногда слишком сжатого текста Евклида.
В кавычках « » помещены термины, представляющие буквальный перевод специфической научной терминологии Евклида во избежание недоразумений; например, прямая «из центра», — это выражение стоит там, где мы просто сказали бы «радиус»; поскольку Евклид последнего термина не употребляет, то приходится его термин ставить в кавычки, чтобы читатель не подумал, что здесь идёт дело вообще о какой-то проходящей через центр прямой.
Звёздочкой *) или цифрой, например 1), 2) и т. д., обозначаются ссылки на подстрочные примечания.
Я надеюсь, что мои комментарии дадут толчок как историко-математической, так и методической работе над «Началами» Евклида; дальнейшие исследователи возможно вскроют и мои ошибки, за указание которых я буду весьма признателен.
Приношу свою благодарность проф. Марку Яковлевичу Выгодскому за ряд ценных указаний и советов, использованных мною, и за любезную помощь в пользовании малодоступными источниками.
Приношу свою благодарность также проф. Ивану Николаевичу Веселовскому, затратившему совместно с проф. М. Я. Выгодским большой труд на редактирование перевода «Начал» Евклида и комментариев, в процессе которого был исправлен ряд дефектов.
КНИГА ПЕРВАЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ (1)
1. Точка (2) есть то, что не имеет частей *).
2. Линия (3) же — ; длина без ширины.
3. Концы же линии — точки.
4. Прямая (4) линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.
5. Поверхность (5) есть то, что имеет только длину и ширину.
6. Концы же поверхности — линии.
7. Плоская поверхность (6) есть та, которая равно расположена по отношению к прямым на ней.
8. Плоский же угол (7) есть наклонение друг к другу двух линий **), в плоскости встречающихся***) друг с другом, но не расположенных по одной прямой.
9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным.
10. Когда же прямая, восстановленная на другой прямой, образует рядом углы ****), равные между собой, то
*) Точка у Евклида стщесоу. Аристотель чаще пользуется словом 6tlyixyj, чем arjjielov, в противоположность Платону. Этим двум греческим терминам соответствуют латинские signum и punctum, причём второй термин более распространён.
**) Евклидово xXtot; (склонение, наклон) Марцианом Капеллой (V в. н. э.) переводится словом inclinatio — наклонение.
***) У Евклида «касающихся» (arcojisvtov).
***) Вместо евклидовых al femai Герон употребляет термин dvxixeijievai — лежащие напротив друг друга. В русской литературе установился термин «смежные углы».
каждый иЗ равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром*) к той, на которой она восставлена (8).
11. Тупой угол — больший прямого (9).
12. Острый же — меньший прямого.
13. Граница**) есть то, что является оконечностью чего-либо (10).
14. Фигура (11) ***) есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.
15. Круг (12) есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии которая называется окружностью ****), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие на окружность круга прямые равны между собой (13).
16. Центром же круга называется эта точка (14).
17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведённая через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассекает круг пополам.
18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекаемой им частью окружности. Центр же полукруга — то же самое, что и у круга.
19. Прямолинейные (15) фигуры суть те, которые содержатся между прямыми, трёхсторонние *****) — между тремя, четырёхсторонние же — четырьмя, многосторонние же — которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.
*) У Евклида «отвесная» (xaftetoq — без члена). Латинский термин perpendicularis есть буквальный перевод этого слова; от него произошёл и наш обычный термин — перпендикуляр.
**) У Евклида говорится: «оро; ictiv, о tlvo? iaxi пер а?». Слово opoQ — граница, пограничный камень, и явра? — край, оконечность, не соответствуют математическому термину «предел».
Слово оро; употребляется и в смысле определения (definitio) и в смысле границы (terminus). Для греков определить какой-нибудь объект — значило отграничить его от других.
г Греческому слову отвечают два латинских figura
и forma.
** **) Термин «окружность» (rcspnpgpsia — буквально «обвод») Евклид употребляет и в смысле дуги и в смысле целой окружности. **««.*) у Евклида tpudeopa. Переводить словом «треугольный» нельзя; для этого имеется специальный термин тpiyovov, который Евклид и употребляет ниже без особого определения.
20. Из трёхсторонних фигур равносторонний треугольник *) есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же — имеющая только две равные стороны, разносторонний**) же — имеющая три неравные стороны.
21. Кроме того, из трёхсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же — имеющий тупой угол, а остроугольный — имеющий три острых угла.
22. Из четырёхсторонних фигур квадрат ***) есть та, которая и равносторонняя и прямоугольная, разносторонник ****) же — прямоугольная, но не равносторонняя, ромб — равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) — имеющая противоположные стороны и углы, равные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямоугольной.
*) У Евклида IcorcXsopov трlywvov — буквально «равносторонняя треугольная» (подразумевается «фигура»). Здесь и всюду мы будем переводить просто «треугольник».
**) У Евклида охаХт)уб;. На русском языке нет подходящего термина: косой или косоугольный обозначает нечто совсем другое. Специальное название для разностороннего треугольника показывает, что этот термин установился в конце исторического развития понятия о треугольнике: первоначально рассматривались лишь правильные треугольники, потом появились равнобедренные и, наконец (возможно в эпоху Евкшда), разносторонние, получившие даже особое название. В современной школе при господстве убеждения о необходимости перехода от общего к частному в специальном термине для разностороннего треугольника нет надобности.
***) У Евклида xeTpd-ywvov, т. е. просто «четыреугольник». Ясно, что перв,ым четыреугольником, с которым познакомилась геометрия, был квадрат.
****)У Евклида s“sp6{AT)X?(j — наш прямоугольник в общем смысле. Этот термин встречается у Аристотеля. Интересно, что у Евклида в «Началах» ни этого термина, ни других («ромб», «ромбоид») более уже не встречается. Свойства ромба вообще не изучаются; вместо «ромбоида» же он пользуется термином «параллелограмм» — буквально «параллельнолинейная» (подразумевается фигура). Прямоугольник рассматриваются во 2-й и следующих книгах и называются «прямоугольными параллелограммами». У Архимеда параллелограмм употребляется в смысле нашего прямоугольника.
Остальные же четырёхсторонники будем называть трапециями *) (16).
23. Параллельные **) суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно***), ни с той ни с другой «стороны» между собой не встречаются****) (17).
ПОСТУЛАТЫ *****) (18)
Допустим:
1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой******) (19).
3. И что из всякого центра и всяким раствором (20) может быть описан круг (21).
4. (Акс. 10.) И что все прямые углы равны между собой (22).
*) Трапеция (трагсгСюу — буквально «столик») здесь понимается в смысле четыреугольника общей формы. Герон различает трапеза (наши трапеции) и xparceCosiSv) (трапецовидные) — трапеции в смысле последнего определения Евклида. Интересно, что у Гиппо-крата Хиосского употребляются трапеции и притом именно в нашем смысле слова. Возможно, что всё определение 22 в конечном счёте восходит к первому учебнику геометрии — гиппократовым «Элементам», откуда они и были заимствованы Евклидом непосредственно или через промежуточные обработки «Элементов».
**) яараХХт)Хо1 = sbftslai rcapiXXyjXas i-jisvaL, т. e. прямые, проведённые Друг подле друга.
***) Eic; arcsipov — буквально «в неопределенность». Греки избегали нашего понятия «бесконечность».
****) ajjmrcTouaiv аХХт)Хак; — совпадают, сталкиваются, встречаются друг с другом, но ни в коем случае не пересекаются.
*****) у Евклида aiTYjiAorca — требования; соответственно этому Боэций говорит о «pelitio» и «postulata».
******) У Евклида sir’ sd&sta? — почти что в смысле наречия. Петрушевский образно переводит это одним словом «впрямь», которое в современном языке, к сожалению, получило другой смысл.
5. (Акс. 11.) И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двухпрямых *), то продолженные эти две прямые неограниченно-встретятся с той стороны, где углы меньщие двух прямых (23).
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ (24)
(Аксиомы)
1. Равные одному и тому же равны и между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые**) будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой (25).
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой (26).
8. И целое больше части (27).
9. И две прямые не содержат пространства (28).
Предложение 1 (29, 39)
На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
Пусть данная ограниченная ***) прямая будет АВ (черт. 1).
Требуется вот на прямой АВ построить равносторонний треугольник.
*) Мы сказали бы «углы в сумме меньшие двух прямых».-Здесь и в дальнейшем мы сохраняем евклидов способ изложения.
**) У Евклида таола, что вполне точно переводится «целые», а не «суммы»; Евклид не мыслит сложения величин и получае-мых после сложения сумм.
***) кыераоргут) — лучше сказать «ограниченная», чем «конечная».
|
